2021年高三3月统一练习数学(理)试题
2021年高三综合能力测试数学试卷(理科)(3月份)含解析
2021年高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）含解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A．点B．直线C．线段D．圆3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B．log2C．log2D．log234．已知数列{an }满足a1=10，且2an+1=2an﹣3，若akak+1＜0，则正整数k=（）A．6 B．7 C．8 D．95．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）A．πB．C．3π D．4π6．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则||的最小值是（）A．B．C．1 D．8．某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9．北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为．10．已知f（x）=其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是．11．在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为．12．在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为．13．若x，y满足，则2x+y的取值范围为．14．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．（1）若∃x∈R，使f（x+a）﹣f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）﹣f（x）的最大值为．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．如图，在△ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3．（Ⅰ）求DC的长；（Ⅱ）若A=45°，求AC．16．目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理．（Ⅰ）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（Ⅱ）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况．17．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．18．已知函数f（x）=e x﹣t﹣lnx（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．19．已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=﹣1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．20．定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100﹣001﹣099，f（102）=210﹣0.12﹣198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n＞1且n∈N，，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d n （Ⅰ）当=636时，求，及d2的值；（Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）求证：对任意三位数，n≥6时，=495．xx年北京市高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的除法化简求解复数，即可得到共轭复数．【解答】解：复数z满足（1+i）z=2，可得z===1﹣i．则z的共轭复数=1+i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念的应用，是基础题．2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A．点B．直线 C．线段 D．圆【分析】A代入圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，即可求出圆C的圆心的轨迹．【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），∴（1﹣a）2+（0﹣b）2=1，∴（a﹣1）2+b2=1，∴圆C的圆心的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故选：D．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B．log2C．log2D．log23【分析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=log2+log2+log2+log2的值，利用对数的运算法则计算即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2n=3，M=，S=log2不满足条件n＞5，n=4，M=，S=log2+log2，不满足条件n＞5，n=5，M=，S=log2+log2+log2，不满足条件n＞5，n=6，M=，S=log2+log2+log2+log2，满足条件n＞5，退出循环，输出S=log2+log2+log2+log2=log2（×××）=log2．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了对数的运算，属于基础题．4．已知数列{a n}满足a1=10，且2a n+1=2a n﹣3，若a k a k+1＜0，则正整数k=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】利用2a n+1=2a n﹣3，判断数列{a n}是等差数列，求出数列的通项，确定其正数项，即可得到结论【解答】解：因为2a n+1=2a n﹣3，所以a n+1﹣a n=﹣，所以数列{a n}是首项为10，公差为﹣的等差数列，所以a n=10﹣（n﹣1），由a n=10﹣（n﹣1）＞0，得n＜7，所以使a k a k+1＜0的k值为7，故选：B．【点评】本题考查等差数列的判定，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于基础题．5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）A．πB． C．3πD．4π【分析】由三视图可知：该几何体为一个球的．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个球的．∴这个几何体的表面积=×4×π×12+π×12=4π．故选：D．【点评】本题考查了球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，若a⊥β，则a⊥b；反之不成立．【解答】解：直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，若a⊥β，则a⊥b；反之不成立．∴“a⊥b”是“a⊥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、空间位置关系的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则||的最小值是（）A． B． C．1 D．【分析】由题意可得2=1，从而化简可得=x2+y2+xy，结合不等式组，不妨设x+y=a，（a≥1）时有最小值，从而利用二次函数求解即可．【解答】解：∵单位向量，满足2=2，∴2=1，∵，∴=x2+y2+2xy=x2+y2+xy，不妨设x+y=a，（a≥1）时有最小值，则=x2+y2+xy=x2+（a﹣x）2+x（a﹣x）=x2﹣ax+a2=（x﹣）2+a2，故当x=，此时y=时，有最小值a2，故||的最小值是=，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的应用及二次函数的综合应用，同时考查了不等式组的应用．8．某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据屏幕解锁图案的设计规则即可得出结论．【解答】解：根据屏幕解锁图案的设计规则：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个线路图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，∴得知只有一种方法可以解锁屏幕，根据①，②，③的信息，可得①，②只有一种使其唯一确定，③有多种，故选：C．【点评】本题考查学生进行合情推理的能力，考查学生对新题型的解答能力，属于中档题．二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9．北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为200．【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距；利用频数等于频率乘以样本容量，求出应抽的人数．【解答】解：2月7日这个日期的客流量的频率0.20，因为从2月7日这个日期抽取了40人，所以一共抽取的人数为=200，故答案为：200．【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量．10．已知f（x）=其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是a＞1．【分析】根据分段函数的表达式，结合对数函数的性质，利用对数函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：若0＜a＜1，则当x≤0时，函数f（x）=1﹣ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x＞0时，f（x）=log a（x+1）为减函数，此时f（x）＜0，方程f（x）=2无解，综上方程f（x）=2只有一个解，不满足条件．若a＞1，则当x≤0时，函数f（x）=1﹣ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x＞0时，f（x）=log a（x+1）为增函数，此时f（x）＞0，方程f（x）=2有一个解，综上方程f（x）=2有两个解，满足条件．综上a＞1，故答案为：a＞1．【点评】本题主要考查根的个数的判断和应用，利用分段函数的表达式，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．11．在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为﹣10．【分析】根据题意，可得（x2﹣）5的通项为T r+1，令x的幂指数等于1，可得r=3，将r=3代入通项可得x的系数．【解答】解：根据二项式定理（x2﹣）5的通项为T r+1=C5r（x）10﹣2r（﹣）r=（﹣1）r C5r（x）10﹣3r，令10﹣3r=1，可得r=3，将r=3代入通项公式，可得含x项的系数为：（﹣1）3C53=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．12．在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为2．【分析】由题意可得|OM|=ρ=，再根据正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|=ρ==，故当sinθ=0时，|OM|取得最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查极坐标方程中，极坐标的意义，求函数的最值，属于基础题．13．若x，y满足，则2x+y的取值范围为[0，3] ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，从而得到答案．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是3，故答案为：[0，3]．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．（1）若∃x∈R，使f（x+a）﹣f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）﹣f（x）的最大值为1．【分析】（1）根据正弦函数的图象和性质可得f（x+a）=A，f（x）=﹣A，故a的最小值为f（x）的半周期．（2）使用和角公式化简，利用三角函数的性质得出最大值．【解答】解：（1）∵f（x）的最大值为A，最小值为﹣A，f（x+a）﹣f（x）=2A，∴f（x+a）=A，f（x）=﹣A，∴a的最小值为f（x）的半周期．∵f（x）的周期T=π，∴a的最小值为．（2）f（x+）=sin（2x++φ），f（x）=sin（2x+φ）．∴f（x+）﹣f（x）=sin（2x++φ）﹣sin（2x+φ）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）﹣sin（2x+φ）=cos（2x+φ）﹣sin（2x+φ）=cos（2x++φ）．∴f（x+）﹣f（x）的最大值为1．故答案为，1．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．如图，在△ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3．（Ⅰ）求DC的长；（Ⅱ）若A=45°，求AC．【分析】（Ⅰ）在△DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC2﹣2BDBCcosB，代值计算可得；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系可得sinB，由正弦定理可得AC=，代值计算可得．【解答】解：（Ⅰ）在△DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC2﹣2BDBCcosB=32+72﹣2×3×7×=25，∴DC=5；（Ⅱ）在△ABC中，由cosB=可得sinB==，由正弦定理可得AC===【点评】本题考查正余弦定理解三角形，属基础题．16．目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理．（Ⅰ）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（Ⅱ）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况．【分析】（Ⅰ）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，利用等可能事件概率计算公式能出该月群氛围不合理的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望．（Ⅲ）该群的“群健康度”从图表中看出，群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理．【解答】解：（Ⅰ）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，连续两个月中均为群氛围优良的为：（1，2），（2，3），（5，6），连续两个月均为群氛围不是优良的为：（7，8），（10，11），（11，12），则P（X=2）=，P（X=1）=，P（X=0）=，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==1．（Ⅲ）该群的“群健康度”从图表中看出，在前半年的“群健康度”保持不错水平，在后几个月有上扬的趋势，说明群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意图表的合理运用．17．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．【分析】（Ⅰ）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论；（Ⅱ）利用已知条件先证明BD⊥AC，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（Ⅲ）通过结论空间直角坐标系，利用法向量与斜线所成的角即可找出Q点的位置．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，过点B作BM∥PA，并且取BM=PA，连接PM，CM．∴四边形PABM为平行四边形，∴PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥CD，即PM为平面PAB∩平面PCD=m，m∥CD．（Ⅱ）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD==，AC=．∵AB∥DC，∴，∴，．∴OD2+OC2==4=CD2，∴OC⊥OD，即BD⊥AC；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，，0），C（2，，0），P（0，0，4）．∴，设，则Q（4λ，0，4﹣4λ），∴．，由（2）可知为平面PAC的法向量．∴==，∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，∴=，化为12λ=7，解得．∴=．【点评】熟练掌握平行四边形的性质、平行线的传递性、线面垂直的性质定理和判定定理及法向量与斜线所成的角是解题的关键．18．已知函数f（x）=e x﹣t﹣lnx（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．【分析】（I）由x=1是函数f（x）的极值点，可得f'（1）=0，进而可得t=1，求得导函数，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2，x∈（0，+∞）时，设g（x）=e x﹣2﹣lnx，g′（x）=e x﹣2﹣，根据函数单调性及零点定理可知存在x0∈（1，2）使得g′（x0）=0，在x=x0取极小值也是最小值，即g（x）≥g（x0），lnx0=2﹣x0，根据函数的单调性可知g（x0）=0，即可证明f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域（0，+∞），因为f′（x）=e x﹣t﹣，x=1是f（x）的极值点，所以f′（1）=e1﹣t﹣1=0，所以t=1，所以f′（x）=e x﹣1﹣，因为y=e x﹣1和y=﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴当x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时，f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），（Ⅱ）证明：当t≤2时，f（x）=e x﹣t﹣lnx≥e x﹣2﹣lnx，设g（x）=e x﹣2﹣lnx，则g′（x）=e x﹣2﹣，因为y=e x﹣2和y=﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，因为g′（1）=﹣1＜0，g′（2）=1﹣=＞0，所以存在x0∈（1，2）使得g′（x0）=0，所以在（0，x0）上使得g′（x）＜0，在（x0，+∞）上g′（x）＞0，所以g（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（x0），因为g′（x0）=0，即e x0﹣2=，所以lnx0=2﹣x0，所以g（x0）=e x0﹣2﹣lnx0=+x0﹣2，因为x0∈（1，2），所以g（x0）=+x0﹣2＞2﹣2=0，所以f（x）＞0．【点评】本题考查利用导数求函数的单调性及极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=﹣1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．【分析】（Ⅰ）由点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，求出m，由此能求出椭圆G的焦点坐标．（Ⅱ）由，得2﹣6=0，由此利用韦达定理能推导出y1=﹣y2，从而能证明B、C、O三点共线．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，∴m=4+2=6，∴椭圆的标准方程为，∴c=，∴椭圆G的焦点坐标为（﹣，0）和（，0）．（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），由，消去y，化简，得：2﹣6=0，∴，同理得，∵2k1k2=﹣1，∴====﹣x1，∴2k1k2==2×===﹣1，∴y1=﹣y2，∴B、C、O三点共线．【点评】本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．20．定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100﹣001﹣099，f（102）=210﹣0.12﹣198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n＞1且n∈N，，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d n （Ⅰ）当=636时，求，及d2的值；（Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）求证：对任意三位数，n≥6时，=495．【分析】（Ⅰ）利用新定义之间通过=636时，求解，及d2的值；（Ⅱ）不妨设，a n≥b n≥c n，推出f（）=d n×99，若d1=6，得到=f（）=6×99=495，可得d2=5，然后利用数学归纳法证明当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，推出d1=，d n+1=，d n∈{5，6，7，8，9}，证明对任意三位数，n≥6时，=495．【解答】解：（Ⅰ）当=636时，=663﹣366﹣297，=972﹣279﹣693d2=6；（Ⅱ）不妨设，a n≥b n≥c n，则f（）=（a n×100+b n×10+c n）﹣（c n×100+b n×10+a n）=（a n﹣c n）×99=d n×99，若d1=6，则=f（）=6×99=495，可得d2=9﹣4=5，所以n=2时成立，假设n=k（k＞1）时成立，即d k=5，则=f（）=d k×99=495，d k+1=9﹣4=5．综上：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，则d∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，=f（）=，所以a1=d﹣1，b1=9，c1=10﹣d，所以d1=，所以d1∈{5，6，7，8，9}，同理：=f（）=d k×99=，所以a n+1=d n﹣1，b n+1=9，c n+1=10﹣d n，所以d n+1=，dn∈{5，6，7，8，9}，当n≤5时，d n=5，所以n≥6时，n≥6时，=d n+1×99=5×99=495．【点评】本题考查归纳推理，数学归纳法的应用，数列与函数的关系，考查分析问题解决问题的能力．35187 8973 襳32231 7DE7 緧38928 9810 預21153 52A1 务33932 848C 蒌29998 752E 甮39737 9B39 鬹32677 7FA5 羥W36973 906D 遭27404 6B0C 欌T。
2021年高三3月月考(一模)数学(理)试题 含答案
2021年高三3月月考（一模）数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.若复数则=（）A．3 B.2 C． D．2.已知集合，集合B为函数的定义域，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0C．1D．23．设向量与满足:在方向上的投影为，与垂直，则（）A． B． C． D．4.设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A．2B．4C．8D．165.已知不重合的直线m、l和平面，，,则是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件6．已知对任意的实数，直线都不与曲线相切．则实数的取值范围为( )A. B. C. D.7．某三棱锥的三视图如图所示，其中左视图中虚线平分底边，则该三棱锥的所有面中最大面的面积是( )否是输入m 输出S 结束 S =0,i =1 S =S +ii =i +2 i<m 开始A ．2B ．C ．2D ． 8．阅读如图所示的程序框图，若输入m=xx ，则输出等于() A ．10072 B.10082 C ．10092 D ．xx 29.函数y=sin φ取最小正值时所得偶函数为，则函数的部分图象可以为( )10．设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，抛物线：的准线交双曲线所得的弦长为4,则双曲线的实轴长为（ ）A ．6B ．2C ．D ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若函数只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.左（侧）视图12.已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为( ) A. B. C. D.第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-24为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2021年高三3月联合考试数学(理)试题
2021年高三3月联合考试数学（理）试题注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间为120分钟．2、本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合A={x|y =x―12―x}，集合B={y|y=x2+1}，则A∩B等于A．[1,2] B．(1,2) C．[1,2) D．[1,+∞)2、下列有关命题的说法正确的是A．命题“若x2 =1，则x=1”的否命题为：“若x2 =1，则x≠1”B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1<0 ”D．“x=―1”是“x2―5x―6=0”的必要不充分条件3、已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是A．4 B．6 C．12 D．184、x∈[0, 32π]的值为A．3 B．5π28+1 C．5π28+3 D．5π28俯视图左视图主视图5、已知直线l :x+ky ―3k=0，如果它与双曲线x 24―y 23 =1只有一个公共点，则k 的取值个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46、在等差数列{a n }中，a 1=25，S 17=S 9，则数列前n 项和最大时，n=A ．12B ．13C ．14D ．157、盒中装有6个零件，其中4个是使用过的，另外2个未经使用，从中任取3个，若至少有一个是未经使用的不同取法种数是k ，那么二项式(1+kx 2)6的展开式中x 4的系数为A ．3600B ．3840C ．5400D ．6000 8、已知A ，B ，C ，D 是函数y=sin(ωx+ϕ)，(ω>0，0<ϕ<π2)一个周期内的图像上的四个点，如图所示，A(―π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，→CD 在x 轴上的投影为π12，则ω，ϕ的值为 A ．ω=2，ϕ=π3 B ．ω=2，ϕ=π6C ．ω=12，ϕπ3D ．ω=12，ϕ=π69、向量→a ，→b 均为单位向量，且→a →b =12，向量→a ―→c 与向量→b ―→c 的夹角为π6，则向量→a ―→c 的模长的最大值为A ．3 2 B ．1 C ． 2 33D ．2 10、定义在区间[0，a ]上的函数ƒ(x)的图像如右图所示，记以A(0，ƒ(0))，B(a ，ƒ(a))，C(x ，ƒ(x))为顶点的三角形面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S ′ (x)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写答题卡中的横线上 11、复数Z= 41+i （其中i 为虚数单位）的虚部是 12、执行右图的算法框图，若P=0.9，则输出n=13、棱长为1的正方体AC 1中，E 为AB 的中点，点P 为侧面BB 1C 1C 内一动点（含边界），若动点P 始终满足PE ⊥BD 1，则动点P 的轨迹的长度为14、已知ƒ(x)=⎩⎨⎧x 2―2，x ≤03x ―2，x>0，若|ƒ(x)|≥ax 在x ∈[―1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分15、(A)若不等式|x+1|-|x ―4|≥a+4a，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是(B)已知直线l ∶⎩⎨⎧x=a+2t y=―1―t（t 为参数），圆C ∶ρ=2 2 cos(θ―π4)（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l 被圆C 截得弦长为2，则a=四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）△ABC 中，D 边BC 上一点，∠BAD=θ，AC=( 3 ―1)AB ，AD=1，∠BAC=π3． (1)求角B 的大小；(2)当θ为何值时，→A B ·→AD 取最大值17、（本小题满分12分）在某市今年的公务员考试成绩中随机抽取500名考生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示：CD B A（1）为了能够选拔最优秀的公务员，政府在笔试成绩的第3，4，5组中用分层抽样法抽取12名考生进行第二轮选拔，求第3，4，5组每组抽取多少名考生进入第二轮选拔？ （2）在（1）的前提下，政府的3个下属机关决定先后用相同的方式在12名考生中随机抽取2名考生接受考官的面试，记抽取到第5组的A 考生面试的下属机关的个数为x ，求x 的分布列和期望．18、（本小题满分12分）设函数ƒ(x)=alnx ―bx 2(1) 当a=2，b= 12时，求函数ƒ(x) 在[1e ，e ]上的最大值；(2)当b=0时，若不等式ƒ(x)≥m+x 对所有的a ∈[0,32],x ∈（1,e 2]都成立，求实数m 的取值范围 19、（本小题满分12分）四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△BCD 是等腰直角三角形，其中BD=DC= 2 ，二面角A ―BC ―D 的平面角的余弦值为―33． (1)求点A 到平面BCD 的距离；(2)设G 的BC 中点，H 为△ACD 内的动点（含边界），且GH ∥平面ABD ，求直线AH 与平面BCD 所成角的正弦值的取值范围20、（本小题满分分）已知直线l 1 , l 2分别与双曲线C:y 25－x 24=1的两条渐近线平行，又与x 轴分别交M ，N 于两点，且满足|OM|2+|ON|2=8. (1)求直线l 1 与 l 2的交点H 的轨迹的方程；(2)过点S(0,3)作斜率为k 的直线l ，并且l 与轨迹E 交于不同两点P,Q ，点R 与点P 关于y 轴对称，证明直线RQ 经过一定点G H D B CA21、（本小题满分分）设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N+都有a n>0，且满足(a1+a2+…+a n)2 = a13+a23+…+a n3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当0<λ<1时，设b n=(1-λ) (a n+12)，c n=λ(a n+1) ,数列{1b nc n}的前n项和为T n，求证：T n>9n-14n+3参考答案一、 选择题：CBBBD BBADD 二、 填空题 11. -2 12. 5 13. 22 14. [-1,0] 15.(1)a ≤-4或-1≤a<0 (2)a=5± 5 三、解答题：16．（1）B=π4 (2)θ=π8时→AB ·→AD 最大为 1+ 22 17.(1) 第3，4，5组每组抽取人数分别为6,4,2(2) 从12名考生中随机抽取2人，抽取到第5组的A 考生面试的概率为P=C 11C 111C 122 =163个机关先后用同样的方式来抽取，可看成2次独立重复试验，故x ～B(3, 16),其分布列为E(x)=…=1218.(1)可求得f(x)最大值=ln 2－1 ………5′ (2)m ≤－e 219.(1)传统法或建立空间直角坐标系法得点A 到平面BCD 的距离为 2 (2)法一：用传统法求得2 5 5 ≤tan ∠AMO ≤1 , ∴ 得23≤sin ∠AMO ≤ 22法二：建立空间直角坐标系法 20.（1）x 24+y 25 =1(2)设QR 与y 轴交于D （0，y 0）,由已知可得直线PD 与QR 关于y 轴对称， ∴k PD +k QD =0, 联立y=kx+3与x 24+y 25 =1 ，△>0下设P(x 1,y 1),Q(x 1,y 1)，则R(-x 1,y 1) 由韦达定理，结合k PD +k QD =0 可求得y 0=53 ,即直线QR 恒过定点（0，53） 21．（1）a n =n …………6′(2)b n =(1-λ) (a n +12) c n =λ(n+1)1b n c n = 4λ(1-λ) (2n+1)(2n+2) ≥16(2n+1)(2n+2)≥162n+1 －162n+2 ………8′ T n ≥16((13-14)+(15-16)+…+(12n+1 -12n+2))=16[13+14+15+…+12n+1 +12n+2 -2(14+16+…+12n+2))=16(1n+2+1n+3+…+12n+2 -12) ………10′设t n =1n+2+1n+3+…+12n+2,倒序相加得2t n=(1n+2+12n+2)+(1n+3+12n+1)+…(12n+2+1n+2)≥43n+4+43n+4+…+43n+4=4(n+1)3n+4∴t n>2(n+1)3n+4从而T n>16(2(n+1)3n+4－12)=8n3n+4∵8n3n+4－9n-14n+3=(5n-4)(n-1)(3n+4)(4n+3)≥0∴T n>9n-14n+3……………14′35650 8B42 譂38329 95B9 閹20023 4E37 丷26720 6860 桠29846 7496 璖21724 54DC 哜25381 6325 挥|\20469 4FF5 俵29761 7441 瑁40115 9CB3 鲳。
全国卷2021年3月高三数学(理)联考试题答案解析卷
96
6
30 ， 36 ， 48 ，此时盛水筒有 5 次经过水平面，选项 C 正确；
当t
50 时， h
4
sin
9
50 6
2
4 sin
97 18
2
2 ，所以选项 D 错误，
故选：C．
【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数
，
i
31
4
，继续循环，
…….由此推出第
n
次循环
S
1
1 3
1 3
1 7
1 2n 1
1 2n1 1
1
1 2n1 1
.
令1
1 2n1
1
1022 1023
，解得
n
9
，此时
i
9
1
10
，满足条件，退出循环，所以判断框中应填“
i
10
?
”，
故选：A.
9．已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn nan 3n n N * ，且 S3 15 ，则 S10 （ ）
y＝Asin(ωx＋φ)和
y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T
2
，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 T
.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t＝ωx＋φ，将其转化为研究 y＝sin t 的性质．
11．已知点
F1
、
F2
是椭圆
x2 a2
y2 b2
【分析】由换底公式以及对数函数与指数函数的单调性可判断大小关系.
【详解】根据换底公式
2021年高三3月总复习质检数学(理)试题 含解析
2021年高三3月总复习质检数学（理）试题含解析一、选择题.1.设集合M＝{x|x2＋x－2＜0，}，N＝{x|0＜x≤2}，则M∩N＝（）A、（－1,2）B、（－2,1］C、（0,1］D、（0,1）2.在复平面内，复数的对应点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3.下列命题中的假命题是（）4.已知向量＝（）A、2B、－2C、－3D、35.阅读右面的程序框图，则输出的S＝（）A、14B、20C、30D、55【答案】C【解析】试题分析：第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，结束循环，输出考点：循环结构程序框图.6.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A、B、 C、D、7.如图，设D是图中连长为2的正方形区域，E是函数y＝x3的图象与x轴及x＝±1围成的阴影区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（）8.在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质；（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a∈R，a*0=a；（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）－2c．关于函数f(x)＝(2x)*的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；③函数f(x)的单调递增区间为(−∞，−)，（，+∞)．其中所有正确说法的个数为（）A、0B、1C、2D、3【答案】B【解析】二、填空题（一）必做题（9－13题）9.函数，则的值为____________.10.的展开式中的项的系数是____________.（用数字作答）11.已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴的端点、焦点，则双曲线C的方程是____________.【答案】12. 已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0 }，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，则的最小值为____________.13.已知函数f（x）＝x－［x］，其中［x］表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f（x）＝kx＋k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是____________.考点：根据函数图像求交点个数（二）选题题（14－15题，只能选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（参数tR），圆C的参数方程是（参数θR），则圆C的圆心到直线l的距离为____________．15.（几何证明选讲选做题）如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则圆O 的半径等于＿＿＿＿【答案】 【解析】试题分析：设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以. 考点：切割线定理.三、解答题16.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示。
2021年高三数学3月联考试题理
第4题图2021年高三数学3月联考试题理注意事项：1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.2本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.3答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知复数满足，则=（ ）A. B. C. D.3.已知上的奇函数满足：当时，，则（ ）A. B. C. D.4.某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于( )A ．B ．C ．D ． 5.下列命题正确的个数为（ ） ①“都有”的否定是“使得”; ②“”是“”成立的充分条件;③命题“若，则方程有实数根”的否命题为真命题A. B. C. D.6.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一。
美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的。
程序框图如图所示，若输入的值分别为,,，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（ ）A. B. C. D.第6题图7.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了位育龄妇女，结果如右图． 由算得，参照附表，得到的正确结论是( ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”8.若满足条件，则目标函数的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 9.已知,若直线与线段相交,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.10.已知函数的部分图像如下图所示，若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11.设双曲线的左焦点为，左顶点为，过作轴的垂线交双曲线于、两点，过作垂直于，过作垂直于，设与的交点为，若到直线的距离大于，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）A. B. C. D. 12. 若函数在区间上存在极大值点,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13.的展开式中项的系数为 ． 14. ．15.已知半径为的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的取值范围是 ． 16.中，，是边的一个三等分点，记，则当取最大值时， ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分分）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足， （1）求数列和的通项公式； （2）令,设数列的前项和为,求.非一线 一线 总计愿生 不愿生 总计x o y-55π34π3附表：18.(本小题满分分)在如图所示的多面体中，四边形为正方形，底面为直角梯形，为直角，平面平面.（1）求证：；（2）若求二面角的余弦值.19.（本小题满分分）一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1，2，3，4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”,连续抛掷“骰子”两次.（1）设A为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A发生的概率；（2）设为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.20.（本小题满分分）已知椭圆：的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于、两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程．21.（本小题满分分）已知函数,其图像与轴交于两点，且.（1）求的取值范围；（2）证明：；(为的导函数)（3）设点在函数的图像上，且为等边三角形，记,求的值.请考生从第，两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分分）[选修：参数方程与坐标系]以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为,点的极坐标为,若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，为半径.（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（2）设直线与圆相交于两点，求.23．（本小题满分分）[选修：不等式选讲] 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明: .xx 学年高三下学期江西省九校联合考试数学(理科)答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDADBDCBCABC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13、 14、 15、 16、三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解析：(1)设数列的公差为,数列的公比为,则 由得解得 所以，． …………………6分 (2)由(1)可知01221325272(21)2(21)2n n n T n n --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ ………………①12312325272(21)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ ………………② ①-②得:1213222222(21)2n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅…………………12分18. 解：（1）90,//=∠EAB BF AE ABFE 为直角梯形，底面AB ABFE ABCD ABFE ABCD =⊥平面平面平面平面 ,设轴建立如图坐标系所在的直线分别为以z y x BC BF BA t AE ,,,,,=，…………………6分(2)的一个法向量是平面）知由（BEF )1,0,0(1= ,的一个法向量是平面故得令CEF y x z )2,1,1(,1,1,2====,即二面角……………12分19. 解：(1)两次点数之和为16,即两次的底面数字为:(1,3),(2,2),(3,1), ……………5分 (2)的可能取值为0,1,2,3 且……………9分则的分布列为……………12分12222220.222422,4,11 (44)c e a MF F a c a c a c a b x C y ==+=+∴+=+==∴==∴+=解（1）又的周长为椭圆的方程为分（2）∵，∴四边形为平行四边形， 显然直线的斜率存在，设的方程为， 把代入得， 由得， ∴，，∵………………………7分∴21221214)(2||22x x x x x x S S OAB OANB -+=-==∆=222222)41(34841124)4116(2k k k k k +-=+-+， 令，∴， ∴2161816818)4(82=≤++=+=tt t tS OANB …………………10分 当且仅当，即时取等号，∴，此时的方程为。
2021年高三3月联合检测数学(理)试题 含答案
2021年高三3月联合检测数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．其中第Ⅱ卷第22、23、24题为三选一，其它题为必考题．考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合,.若,则实数的值是（☆）A. B.或C. D.或或2．如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则复数对应的点位于（☆）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．若向量,,,则下列说法中错误．．的是（☆）A. B. 向量与向量的夹角为 C. ∥D.对同一平面内的任意向量,都存在一对实数,使得4．在△ABC中,已知,,△ABC的面积为,则=（☆）A. B. C. D.5．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（☆）A. B. C. D.6．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（☆）A.B.C.D.7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则（☆）A. B.C. D.8．函数的导函数的图像如图所示，那么的图像最有可能的是（☆）9．已知x,y满足，则的最小值为（☆）A. B. C. D.10．已知命题:存在，曲线为双曲线；命题:的解集是．给出下列结论中正确的有（☆）①命题“且”是真命题；②命题“且()”是真命题；③命题“()或”为真命题；④命题“()或()”是真命题．A.1个B.2个C.3个D.4个11．如右图二面角的大小为，平面上的曲线在平面上的正射影为曲线，在直角坐标系下的方程，则曲线的离心率（☆）A. B. C. D.12．设函数，其中表示不超过的最大整数,如，，，若直线与函数的图象恰有两个不同的交点,则的取值范围是（☆）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设5260126(1)(12)x x a a x a x a x,则☆．14．函数的最小值为☆．15．已知函数是定义在上的奇函数,在上单调递减,且,若，则的取值范围为☆．16．椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为☆．三、解答题：（本大题5小题，每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知是一个单调递增的等差数列，且满足,，数列的前项和为，数列满足.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和.18．某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况，从四所中学的学生当中随机抽取50名学生参加问卷调查，已知四所中学各抽取的学生人数分别为15,20,10,5.(Ⅰ)从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率； (Ⅱ)在参加问卷调查的名学生中,从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用表示抽得中学的学生人数,求的分布列及期望值.19．在梯形中，，，，，如图把沿翻折，使得平面平面. （Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）若点为线段中点,求点到平面的距离．20．设到定点的距离和它到直线距离的比是． （Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）为坐标原点,斜率为的直线过点,且与点的轨迹交于点,,若,求△的面积． 21．设函数,其中为自然对数的底数. (Ⅰ)已知,求证:；(Ⅱ)函数是的导函数，求函数在区间上的最小值．请考生从第22、23、24题中任选一题做答．多答按所答的首题进行评分． 22．（本题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.已知圆内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线．（Ⅰ）求∠BAE 的度数； （Ⅱ）求证:23．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)射线与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标. 24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲. (Ⅰ)设函数.证明：； (Ⅱ)若实数满足,求证:B宝鸡石油中学 张新会 宝鸡石油中学 齐宗锁 张亚会题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDDCCAAABBCD13． 30 14． 15． 16．（课本P95第6题）旋转体的体积为323300124(1)8()16927x V dx x x πππ=-=-=⎰三、解答题：本大题5小题，每题12分，共70分.17．解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则依题知. 由,又可得. 由,得,可得.所以.可得 ……………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 当时,当时,满足上式，所以 所以，即, 因为，所以数列是首项为,公比为的等比数列. 所以前项和 ………………………12分18．解: (Ⅰ)从名学生中随机抽取两名学生的取法共有种， 来自同一所中学的取法共有∴从名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为. (Ⅱ)因为名学生中,来自两所中学的学生人数分别为. 依题意得,的可能取值为, ,,∴的分布列为:的期望值为 ………………………12分 19．解：（Ⅰ）证明:因为,， ,, 所以,222(22)2222cos 45CD =+-⨯⨯,,所以.因为平面平面,平面平面, 所以平面．………… 6分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知.以点为原点，所在的直线为轴, 所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系. 则,,,,． 所以,,．设平面的法向量为,则且,所以令,得平面的一个法向量为所以点到平面的距离为．………………12分 20．解：（Ⅰ）由已知得化简得点的轨迹方程为．………………………6分 （Ⅱ）设直线的方程为.联立方程组 消去并整理得 故22121212122(3)(3)[3()3]41k y y k x k x k x x x x k -=--=-++=+ 又所以,可得,所以由222121212||11()42AB k x x k x x x x =+-=+⨯+-= 原点到直线的距离所以 ……………………………… 12分21．(Ⅰ)证明：121212222211(e e 2e )(e e )0.22x x x x x x +=+-=-≥ ………………………6分(Ⅱ)22()()11xg x f x ax bx e ax bx =---=---，，（1）当时,∵，，∴恒成立，即,在上单调递增, 所以. （2）当时,∵，，∴恒成立，即,在上单调递减, 所以. （3）当时，得在上单调递减,在上单调递增, 所以 ………………………12分23．解：(Ⅰ)圆C 的普通方程是，又所以圆C 的极坐标方程是 ………………………5分 (Ⅱ)因为射线的普通方程为联立方程组消去并整理得解得或，所以P点的坐标为所以P点的极坐标为………………………10分解法2：把代入得所以P点的极坐标为………………………10分24．证明:(Ⅰ)由，有111()=|||||)()|2 f x x x a x x a aa a a-++≥--+=+≥(所以………………………5分(Ⅱ),由柯西不等式得:2222222[(2)+](111)(2)x y z x y z+++≥++(当且仅当即时取“”号)整理得:,即……………………10分37642 930A 錊 40321 9D81 鶁-28712 7028 瀨~U35047 88E7 裧f37195 914B 酋)40405 9DD5 鷕31753 7C09 簉u21206 52D6 勖。
2021年高三3月统一测试(一模)数学(理)试题 含解析
2021年高三3月统一测试（一模）数学（理）试题含解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（） A． {1，2} B．{x|x≤1} C． {﹣1，0，1} D． R【考点】：交集及其运算．【专题】：计算题；集合．【分析】：由集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，得B⊆A，由此能求出结果．【解析】：解：∵集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，∴B⊆A，观察备选答案中的4个选项，只有{1，2}⊆A．故选：A．【点评】：本题考查交集性质的应用，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为（）A．B． 2 C． 2 D． 3【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解析】：解：圆ρ=2的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=4．直线ρsinθ=1转化成直角坐标方程为：y=1．所以：圆心到直线y=1的距离为1．则：弦长l==．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．3．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为（）A． 4 B． 6 C．8 D．10【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1不满足条件n＞k，n=4，S=6不满足条件n＞k，n=7，S=19不满足条件n＞k，n=10，S=48由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10故选：C．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析k的取值范围是解题的关键，属于基础题．4．（5分）已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．5．（5分）二项式（2x+）6的展开式中，常数项的值是（）A．240 B．60 C．192 D．180【考点】：二项式系数的性质．【专题】：概率与统计．【分析】：利用通项公式T r+1==x6﹣3r，令6﹣3r=0，解得r=2．即可得出．【解析】：解：T r+1==x6﹣3r，令6﹣3r=0，解得r=2．∴常数项的值是==240．故选：A．【点评】：本题考查了二项式定理的通项公式、常数项，属于基础题．6．（5分）等差数列{a n}中，a，a k=（m≠k），则该数列前mk项之和为（）A．B．C．D．【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知求出等差数列的公差，得到a mk，然后代入前n项和公式得答案．【解析】：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的性质以及已知条件得d==，∵a1+（m﹣1）d=a m，∴a1=﹣（m﹣1）=，∴a mk=+（mk﹣1）=1，∴s mk==．故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．7．（5分）（xx•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解析】：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．8．（5分）如果双曲线的离心率e=，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：①双曲线是黄金双曲线；②双曲线y是黄金双曲线；③在双曲线中，F1为左焦点，A2为右顶点，B1（0，b），若∠F1 B1 A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON=120°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：对于①②求出双曲线的离心率判断正误；对于③通过∠F1B1A2=90°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；对于④，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=120°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误．【解析】：解：①双曲线中a=，c=，离心率是，故不是黄金双曲线，即①正确；②由双曲线y，可得离心率e==，故该双曲线是黄金双曲线，即②正确；③∵∠F1B1A2=90°，∴，∴b2+c2+b2+a2=（a+c）2，化为c2﹣ac﹣a2=0，由③可知该双曲线是黄金双曲线；④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=120°，∴NF2=OF2，∴，∴b2=3ac，∴c2﹣a2=3ac，∴e2﹣3e﹣1=0，∴e=，∴该双曲线不是黄金双曲线，故选：B【点评】：本题考查双曲线的基本性质，a，b，c的关系，离心率的求法，考查计算能力．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）z=1+i，为复数z的共轭复数，则z+=1+．【考点】：复数代数形式的混合运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数的模，共轭复数化简求解即可．【解析】：解：z=1+i，=1﹣i，z+=1+i+（1﹣i）+|1+i|﹣1=1+．故答案为：1+．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．10．（5分）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题．【解析】：解：由割线定理得，PA×PB=PC×PD，∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD，∴PD=8，∴CD=8﹣5=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．故填：30°或．【点评】：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆x2+y2=1内的概率为．【考点】：几何概型；简单线性规划．【专题】：概率与统计．【分析】：首先分别画出区域D、M，然后分别计算面积，利用几何概型的公式解答即可．【解析】：解：平面区域D以及满足条件的M如图阴影部分区域D的面积为=4，区域M的面积为，由几何概型的公式得点M落在圆x2+y2=1内的概率为；故答案为：．【点评】：本题考查了几何概型的概率公式的运用；关键是明确区域的面积，利用公式解答．12．（5分）如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y（x，y∈R），则=．【考点】：向量的三角形法则．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可．【解析】：解：将向量，，放入坐标系中，则向量=（1，2），=（2，﹣1），=（3，4），∵=x+y，∴（3，4）=x（1，2）+y（2，﹣1），即，解得，则=，故答案为：．【点评】：本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．13．（5分）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有180种．【考点】：计数原理的应用．【专题】：排列组合．【分析】：根据分步计数原理，先选2门确定为甲乙相同的2门，再从剩下的4门中任选2门分配给甲乙即可．【解析】：解：先出6门中选2门，再从剩下的4门再选2门分给甲乙，故甲乙所选的课程中恰有2门相同，故有C62×A42=180种情况，故答案为：180．【点评】：本题考查分步计数原理，关键是如何分步，属于基础题14．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=e x﹣2；④M={（x，y）|y=sinx+1．其中是“垂直对点集”的序号是③④．【考点】：点到直线的距离公式．【专题】：导数的综合应用．【分析】：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．【解析】：解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M={（x，y）|y=}，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点，，满足=﹣1，化为=﹣1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”，②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；③M={（x，y）|y=e x﹣2，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”；④M={（x，y）|y=sinx+1，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”．综上可得：只有③④是“垂直对点集”．故答案为：③④．【点评】：本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）=y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．【考点】：任意角的三角函数的定义；直线与圆的位置关系．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1=sinα，y2=sin（α+）=cosα，f（α）=y1+y2=cosα+sinα=sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）=，且a=，c=1，则f（C）═sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即1=2+b2﹣2×b，则b2﹣2b+1=0，即（b﹣1）2=0，解得b=1．【点评】：本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．16．（13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市xx年3月某时刻实时监测到的数据：（Ⅰ）求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据AQI的平均数及其它几个城市的AQI值即可求出x，带入方差公式即可求出并比较出东西部城市AQI数值的方差；（Ⅱ）根据古典概型的求概率方法求出随机变量ξ分别取1，2，3时的概率，从而列出其分布列，带入数学期望公式即可求出其数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）x=82，；（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个；根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3；P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=；∴ξ的分布列为：所以E（ξ）=．【点评】：考查对数据平均值的理解，方差的概念及计算方差的公式，古典概型的概率求解，以及组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念，数学期望的概念及求解公式．17．（14分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=AD=2，CD=4．（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，欲使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF 所成的角等于30°．【考点】：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（Ⅰ）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D﹣xyz，求出D，A，E，B，F，以及，，设P（o，y，z）通过|y|=|z|．设是平面BEF 的法向量，利用，求出，推出与所成的角为60°或120°．通过cos=和y|=|z|．求出P的坐标．【解析】：解：（Ⅰ）在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．（3分）在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得在△BCD中，，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD．（5分）所以BC⊥平面BDE．（6分）（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F（2，0，2）=（2，0，0），设P（o，y，z）则|y|=|z|．令是平面BEF的法向量，则，∴令y′=1，得∴∵AP与平面BEF所成的角等于30°∴与所成的角为60°或120°．∴cos===．∴y2+z2+4yz﹣4=0又∵|y|=|z|．∴y=z或y=﹣z，当y=z时y=z=，当y=﹣z时，上式无解，∴P（0，），或P（0，﹣）．【点评】：本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力已经逻辑推理能力．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；（Ⅱ）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a＞0，即可求得单调区间；（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对a讨论，①当1+a≥e，②当1＜1+a ＜e，求得单调区间和最小值即可．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=x﹣alnx的定义域为（0，+∞）．当a=1时，f′（x）=．由f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）=1﹣ln1=1；（Ⅱ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，其定义域为（0，+∞）．又h′（x）==．由a＞0可得1+a＞0，在0＜x＜1+a上，h′（x）＜0，在x＞1+a上，h′（x）＞0，所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+∞）．（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（II）可知h（x）在[1，e]上单调递减．故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由h（e）=e+﹣a＜0，可得a＞．因为＞e﹣1．所以a＞．②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，由（II）可知h（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增．h（x）在[1，e]上最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）．因为0＜ln（1+a）＜1，所以0＜aln（1+a）＜a．则2+a﹣aln（1+a）＞2，即h（1+a）＞2不满足题意，舍去．综上所述：a∈（，+∞）．【点评】：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．19．（14分）已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN为直径的圆，化简后令y=0，则x=，即得结论．【解析】：（Ⅰ）解：由短轴长为，得b=，由=，得a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点F（，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴Q（0，），直线QA方程为：，∴N（0，），以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，则x2﹣2=0，解得x=．∴以MN为直径的圆过定点F（，0）．【点评】：本题考查椭圆，及其与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（Ⅱ）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前30项之和；（Ⅲ）若数列{a n}的前n项和S n =n2+c（其中c常数），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前m项和T m．【考点】：数列的求和．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（Ⅰ）根据伴随数列的定义直接可得答案；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m （m∈N*），分1≤m≤2，3≤m≤8，9≤m≤26，27≤m≤30（m∈N*）四种情况考虑即可；（III）由题意和a n与S n的关系式求出a n，代入a n≤m得n的最大值为b m，并求出伴随数列{b m}的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列{b m}的前m项和T m．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，易得数列为1，4，7；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m （m∈N*）当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3当27≤m≤30，m∈N*时，b27=b28=b29=b30=4∴b1+b2+…+b30=1×2+2×6+3×18+4×4=84；（III）∵a1=S1=1+c=1，∴c=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1 （n∈N*）由a n=2n﹣1≤m得：（m∈N*）因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以b1=b2=1，b3=b4=2，…，b2t﹣1=b2t=t （t∈N*）当m=2t﹣1 （t∈N*）时：=t2=，当m=2t （t∈N*）时：=t2+t=所以．【点评】：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，属难题．b32711 7FC7 翇C^30925 78CD 磍v34413 866D 虭29139 71D3 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2021年高三年级3月统一考试数学(理)
2021年高三年级3月统一考试数学（理）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8 页．共150分．测试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．一、选择题：本大题共12个小题．每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合13{|,11},{|2,01}A y y x xB y x x==-≤≤=-<≤，则AB等于（）A．(，一1) B．[一1，1]C．D．{1}2．如果且，那么a、、-a、- 的大小关系是（）A．>a>- >-a B．-a> >- >aC．-a> >a>- D．>-a>a>3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4 ，b＝4 ，则角B＝（）A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对4．若数列{ }的前n项和为，且满足，则数列{}的通项公式是（）A．B．C．D．5．以3x士4y＝0渐近线的双曲线过点(3，一4)，则此双曲线的离心率e等于（）A．B．C．D．6．已知向量a=(1，3)，b＝(2，1)，若(a+2b)与(3a+b)平行，则实数的值等于（）A．一6 B．6 C．2 D．一27．由及x轴围成的图形的面积为（）A．28 B．26 C．30 D．8．关于函数f(x)＝2sin(3x-)，有下列四个命题：（）①其最小正周期为；②其图象由y＝2sin3x向左平移个单位而得到；③其表达式可写成．f(x)＝2cos(3x+)；④在上为单调递增函数．则其中真命题为（）A．①③④B．②③④ C.①②④D．①②③9．已知函数y＝log2x，其反函数为y＝f-1(x)，则函数f-1(x一1)的图象是（）10．已知正三棱锥V—ABC的主视图，俯视图如下图所示，其中V A＝4，AC＝2则该三棱锥的左视图的面积为A．9 B．6 C．3 D．11．已知直线l: ax +by-1＝0与圆x2+y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标都是整数，那么这样的直线l共有（）A．66条B．72条C．78条D．84条12．定义在实数集R上的奇函数f(x)的最小正周期为20，在区间(0，10)内仅有f(3)＝0，则函数f(+3)在[一100，400]上零点的个数为（）A．20 B．26 C．27 D．25二、填空题：本大题共4个小题．每小属4分；共16分．把答案填在题中横线上．13．定义—种运算如下：=ad-bc，则复数的共轭复数是________。
2021年高三3月联考综合练习(二)数学理试题 Word版含答案
？ 开始是否输出 结束第4题图正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图俯视图正视图侧视图俯视图2021年高三3月联考综合练习（二）数学理试题 Word 版含答案一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（ ）A ． B. C. D.2．已知复数(),则“”是“为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件3．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程（ ） A ． B. C. D.4．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）A.96B. 120C.144 5．已知满足，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ． B. C. D.7．已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫13，12C. ⎝⎛⎭⎫58，1D. ⎝⎛⎭⎫13，58 8．已知函数则下列结论正确的是（ ）A ．在上恰有一个零点 B. 在上恰有两个零点 C. 在上恰有一个零点 D. 在上恰有两个零点 二.填空题（每题5分,共6小题）9．已知随机变量的分布列如下，则的值等于10．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 .11.如图，是圆的切线，切点为，点在圆内，与圆相交于，若，，，则圆的半径为 . 12．在中，为中点，若，，则的最小值是 .13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）14．已知直线，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①；②；③．其中直线的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.(本小题满分13分) 已知函数,2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+= 其中 ,.（1）求函数的值域；（2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.16．(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．(1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率．17. (本小题满分13分) 在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分13分) 设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围； （2）当时，在上的最小值为，求在该区 间上的最大值.0.0050.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 06065707580859095组距频率100分数F G PD CBA19．(本小题满分14分) 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1． （1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．20．(本小题满分14分) 已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质：对，与两数中至少有一个属于．(1) 分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由； (2) 求证：；(3) 已知数集具有性质．证明：数列是等差数列．东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）参考答案xx.3三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.已知函数2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=其中 ,. （1）求函数的值域；（2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间. 解：（1）)cos 1(21cos 23sin 21cos 23sin )(x x x x x x f ωωωωω+-⋅-⋅+⋅+⋅==1)6sin(21cos sin 3--=--πωωωx x x …………………………………5分所以函数的值域为 …………………………………………………7分 （2）由 得 …………………………………………………9分所以由 ………………………………………11分 得所以函数的单调增区间为. ………13分16．某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．(1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率．解：(1) 77.5； ………………………………………3分 (2) 所求为：直线与直线之间的直方图的面积，因此，61940040040450503503.)...(=⨯⨯+⨯+⨯ ………………………7分 答：这40名学生的成绩在之间的有20人．（答19人也算对） ……………8分(3) 设这5人中恰有2人的成绩在之间为事件，因为 ……………………………………10分 所以 ……………………………………12分答：这5人中恰有2人的成绩在之间的概率为0．3087． ………13分0.0050.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 06065707580859095组距频率100分数17. 在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：底面为矩形ABCD AD ABCD PD 平面底面⊂⊥ ,…………………………………4分（2）证明：取，连接,是平行四边形，//，，//(3) 假设在线段上存在一点，使得平面平面，设，设平面的法向量为， ， 令设平面的法向量为 令 ，解得线段上存在点，且当时，使得平面平面. ……………13分18.设F G PD CBA（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解答 （1）a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-= ……………………………2分 在上存在单调递增区间 存在的子区间，使得时 在上单调递减 ，即 解得当时，在上存在单调递增区间 ………………………………6分 （2）令 ；在上单调递减，在上单调递增在上单调递增，在上单调递减 …………………………………8分 所以的最大值为， ………………………10分 解得 ……………………13分19．已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1． （I ）求动点的轨迹的方程；（II ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值． 解析：（1）设动点的坐标为，由题意得……………2分化简得 当时；当时所以动点的轨迹的方程为和（） ………………………5分（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为 ． 由 设则， …………………………7分因为，所以的斜率为．设，则同理可得 ， …………………………8分)1)(1()1)(1()()(2143+++++=+=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=•y y y y1)(1)(21214343+++++++=y y y y y y y y …………………………………11分16248)1(484482222=⨯+≥++=++=k k k k ……………………………13分 当且仅当即时，取最小值16．…………………………14分20．已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质：对，与两数中至少有一个属于．(1) 分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由； (2) 求证：；(3) 已知数集具有性质．证明：数列是等差数列． 解：(1) 由于和都不属于集合，所以该集合不具有性质；由于、、、、、、、、、都属于集合，所以该数集具有性质． …………………………………………4分 (2) 具有性质，所以与中至少有一个属于由，有，故 ，故，故由具有性质知，又121a a a a a a a a n n n n n n -<-<<-<-- ， ，，…，，从而n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++=-+-++-+-- 21121)()()()( 故 ……………………8分 (3) 由(2)可知，…………………………① 由知，，，…，，均不属于 由具有性质，，，…，，均属于3837476777a a a a a a a a a a -<-<-<<-<-∴，，，…，即…………………………②由①②可知),,,)((82117898 =--=-=--i a a a a a a i i i故构成等差数列． …………………………………13分28805 7085 炅33185 81A1 膡406069E9E 麞x7b25595 63FB 揻 E21938 55B2 喲31484 7AFC 竼 23447 5B97 宗C5。
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2021年高三3月统一练习数学（理）试题
参考公式：
样本数据x 1，x 2，，x n 的标准差
锥体体积公式
])()()[(1
22221x x x x x x n
s m -++-+-=
其中为标本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh
S=4πR 2，V=πR 3 其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选
项，只有一项是符合题目要求的.
1．已知U 为实数集，M ={x|x 2
-2x<0},N={x|y=},则M ∩(C U N)= （ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
2．复数的值是 （ ） （A ）－
（B ）
（C ）
（D ）
3. 圆O 1:和圆O 2: 的位置关系是（ ）
(A)相离
(B) 外切
(C) 相交
(D)内切
4．平面向量与的夹角为，， 则（ ）
（A ）4 (B) 12 (C) (D) 5．若是等差数列的前n 项和，有，则的值为（ ）
（A ）22 （B ）18 （C ）12 （D ）44 6. 中，，，，则（ ）
（A ） （B ） （C ）
（D ）或
2
1
2
左视图
1主视图
x
y
O
A
C
(1,1)
B 7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） (A) (B) 1 (C) (D)
8．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）
（A ）96 （B ）120
（C ）144 （D ）300
9．已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是 （ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
10．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点，则点M 取自阴影部分的概率为（ ）
(A) (B) (C) (D) 11．已知球的直径SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB =，，则棱锥S-ABC 的体积为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）1 12. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
xx 年宁城县高三年级统一考试（3.10）
数学试卷（理科）
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卷相应位置上. 13．双曲线的焦点在轴上，中心为原点，若其中一条渐近线的方程为，则它的离心率为__________.
14. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）.则该几何体的体积为
15. 已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）
15．若2
012(12)()n n n x a a x a x a x x R -=++++∈，则=
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分12分）已知等差数列{a n }前项的和为，若， （I ）求的表达式； （II ）求数列的前n 项和.
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点. （I ）求证：平面A 1BD ； （II ）求二面角的正弦值.
为了解我县中学生的体质状况，对天义地区部分中学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查.现随机抽取100名学生，测得其身高情况如下表所示.
(1）请在频率分布表中的①、②、③位置填上相应的数据，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
（2）若按身高分层抽样，抽取20人参加庆“五一”全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于”的人数为，求的分布列及期望.
已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）直线与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点，使得成立，求实数m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数上为单调增函数，求的取值范围；
D
（2）设,,,:.ln ln 2
m n m n
m n m n m n +
-+∈≠<-R 且求证
四、选考题：（本小题满分10分）
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4－1：几何证明选讲
在中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆 交于点P ，交BC 延长线于点D. （1）求证： ； （2）若AC=3，求的值.
23．选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心、为半径.
（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；
（2）试判定直线和圆的位置关系.
24．选修4—5：不等式选讲
已知函数
（I）求不等式的解集；
（II）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围。
xx 年宁城县高三年级统一考试（3.10
）
数学试卷答案（理）
一．选择题：ABCD ABCB DBCD 二．填空题：13、； 14、2； 15、； 16、。
三.解答题: 17．（I ）设等差数列的公差为d ， 由已知条件可得，即
解得故 ………………5分 （II ）设数列，即①，
②
①-②得：
23111111
3113111222
22
222n n
n n n T n
n +-+--⎛⎫⎛⎫=-+++
-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………12分
在中，由等面积法可求得，又，
．所以二面角的大小--------12分
解法二：（1）取中点，连结． 为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面， 平面．--------------2分 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，----4分 ，，．
，，
，． 平面．--------6分
（2）设平面的法向量为．
，．
，， 令得为平面的一个法向量．
由（1）知平面，为平面的法向量．---------10分，．
二面角的正弦大小为--------------12分
x z A
B C D O F y
20．解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为的椭圆． ∴，，． W 的方程是．………3分 （Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为、， C ，D 中点为． 由 得 ． ……5分 所以 ，从而． ∴斜率． ………8分 又∵， ∴， ∴ 即 …10分
当时，；当时，．
故所求的取范围是． ……12分 21．解：（I ）--2分
因为上为单调增函数，所以上恒成立.------3分
22(22)10(0,).
1
(0,),(22)10,22.
111
(),(0,),()2 2.
1
,1,() 2.
x a x x x a x a x x g x x x g x x x x x x
x x g x x
+-+≥+∞∈+∞+-+≥-≤+=+∈+∞=+≥⋅===即在上恒成立当时由得设所以当且仅当即时有最小值 即 a 的取值范围是 --------------------------6分
22．解：（1），
～，
又--------------------------------5分
（2）
～，---------------------10分
23．【解析】（1）直线的参数方程是，为参数，
圆的极坐标方程是.----------------5分
（2）圆心的直角坐标是，直线的普通方程是，
圆心到直线的距离，所以直线和圆相离. --10分
24．解：（I）原不等式等价于
313
222
(21)(23)6(21)(23)6
x x
x x x x
⎧⎧
>-≤≤
⎪⎪
⎨⎨
⎪⎪
++-≤+--≤
⎩⎩
或或----------3分解，得
30123 75AB 疫29145 71D9 燙39946 9C0A 鰊
G
i;y32186 7DBA 綺35312 89F0 觰21639 5487 咇)38606 96CE 雎27444 6B34 欴。