自考高等数学(一)考试重点
自考笔记 00020 高等数学(一) 完整免费版
自考笔记 00020 高等数学（一）完整免费版小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问前言《高等数学一》共6章第一章函数 1.主要是对高中知识的复习; 2.为今后知识打下良好的基础; 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右. 第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础; 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章导数与微分主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题; 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念; 本章内容在历年考题中所占分值为25分左右. 第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分的计算; 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章函数1.1 预备知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 2关于x的方程ax，bx，c,0(a?0)，称为一元二次方程，称为此方程的判别式. (1)求根公式: 当?,0时，方程有两个不同的实根: 当?,0时，方程有一个二重实根:当?,0时，方程有一对共轭复根: (2)根与系数的关系(韦达定理):2(3)一元二次函数(抛物线):y,ax，bx，c(a?0)，当a,0时，开口向上，当a,0时，开口向下. 对称轴顶点坐标 322例1.若x，x，ax，b能被x,3x，2整除，则a、b是多少, 结论:多项式f(x)，g(x).若f(x)能被g(x)整除，则g(x),0的根均为f(x),0的根. 2解:令x,3x，2,0，解得x,1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组. 当时，方程组有唯一解;当时，方程组无解;当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组 (1)若方程组有无穷多解，求a的值; (2)当a,6时，求方程组的解.解:(1)因为方程组有无穷多组解，所以, 解得a,4.(2)当,6是，原方程组变为, a解得 3.不等式 (1)一元二次不等式 22考虑不等式ax，bx，c,0，如果记一元二次方程ax，bx，c=0的两个不同实根分别为x，x，且x,x，根据一元二次函数的图形可知: 1212当a,0时，这个不等式的解集是{x?x,x或x,x}; 12当a,0时，它的解集是{x?x,x,x}. 12222用类似的方法可以求解不等式ax，bx，c?0，ax，bx，c,0和ax，bx，c?0. 2例3.解不等式x,5x，6?0. 2解:令,5，6,0,xx(x,2)(x,3),0, 得,2或=3, xx? 解集为(,?，2]?[3，，?). 2例4.解不等式x，(1,a)x,a,0. 2解:令x，(1,a)x,a,0, (x,a)(x，1),0, 得x,a或x,,1, ?若a,,1，解集为(a，,1), ?如a,,1，解集为Φ, ?若a,,1，解集为(,1，a). (2)绝对值不等式不等式?f(x)?,a,0等价于f(x),a或f(x),,a; 不等式?f(x)?,a等价于,a,f(x),a. 例5.解下列含有绝对值符号的不等式: (1)?2x,3??5 (2)?3x,1??7 解:(1)原不等式等价于,5?2x,3?5 解得:,1?x?4. 所以解集为[,1，4]. (2)原不等式等价于3x,1?,7或3x,1?7， 3x,1?,7的解集为x?,2，3x,1?7的解集为x?, 1小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以解集为(,?，,2]?[，，?). 2例6.解不等式?x,2x,5?,3. 解:原不等式等价于2x,2x,5,,3的解集为(,?，]?[，，?)， 2x,2x,5,3的解集为(,2，4)，所以原不等式的解集为(,2，]?[，，4). 4.数列 (1)等差数列:相邻两项的差为定值，即a,a,d，d称为公差. n，1n通项公式:a,a，(n,1)d n1前n项和公式:当m，n,k，l时，a，a,a，a mnkl特别地有例7.设{a}是一个等差数列，且a，a，a，a,64，求a，a和S. 2310116712n解:因为 2，11,3，10,13 所以a，a,a，a,32, 211310又因为 6，7,13，所以a，a,32, 67S,(a，a)×12?2,6(a，a),6×32,192. 12112112(2)等比数列:相邻两项的商为定值，即，q称为公比. n-1通项公式:a,aq n1前n项和公式: 当m，n,k，l时，aa,aa mnkl特别地有例8.设{a}是一个等比数列，且a,12，a,48，求a，a和aa的值.n3511026解: 所以q,?25a,a?q,48×(?2),?1536 1055因为2，6,3，5,8 所以a?a,a?a,12×48,576. 26351.1.2 集合与逻辑符号 1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类: N——自然数集Z——整数集 Q——有理数集R——实数集 C——复数集合 2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a?A;否则就说a不属于A，记为aA. 3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A. 若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A,B. 2例9.A,{1，2}，C,{x?x,3x，2,0}，则A和C是什么关系, 2解:解方程x,3x，2,0，得x,1或x,2. 所以C,{1，2}，从而A,C. 4.空集不含任何元素的集合称为空集(记作Φ).规定空集为任何集合的子集. 2例10.{x?x?R，x，1,0},Φ 5.集合的表示方法:列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间:[a，b],{x?a?x?b，x?R}; 开区间:(a，b),{x?a,x,b，x?R}; 半开半闭区间: 左开右闭区间:(a，b],{x?a,x?b，x?R}，左闭右开区间:[a，b),{x?a?x,b，x?R}; (,?，b],{x?x?b，x?R}，[a，，?],{x?x?a，x?R}; 点a的邻域:U(a，ε),(a,ε，a，ε)，ε,0，即U(a，ε)是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用U表示; a点a的去心邻域:N(a，ε),(a,ε，a)?(a，a，ε)，ε,0.点a的去心邻域也可以表示为N. a6.集合之间的运算 (1)并:由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A?B. A?B,{x?x?A或x?B}，A?B,B?A. 例11.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A?B. 解:A?B,{1，2，3，4，6，8，10，12}. 例12.已知:,{?1,,5}，,{?,3,?2}，求:?. AxxBxxAB解:A?B,{x?,3,x,5}. (2)交:由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A?B. A?B,{x?x?A且x?B}，A?B,B?A 例13.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2、4、6、8、10、12}，求:A?B. 解:A?B,{2，4}. 例14.已知:A,{x?1,x,4}，B,{x?,3,x?3}，求:A?B. 解:A?B,{x?1,x?3}. (3)余集(差集):由中不属于的元素组成的集合称为与的差集，记为,. ABABABA,B,{x?x?A但xB}. 例15.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A,B. 解:A,B,{1，3}. 7.一些逻辑符号p能推出q，记为pq，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果pq，qp 同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件(充要条件)，记作pq. 1.2 函数的概念与图形 1.2.1 函数的概念 1.定义设D是一个非空数集，f 是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x?D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y,f(x)，x?D. 也称是的函数，其中称为自变量，称为因变量.当?时，称()为函数在点处的函数值.数集叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数,{?,()，?}称为函数的值域. yxxyxDfxxDWyyfxxD000例1.已知:，求:y的定义域、值域. 2解:令1,x?0，解得:,1?x?1, 所以定义域为[,1，1]. 2因为0?1,x?1，所以0??1，所以值域为[0，1].例2.已知:，求:y的定义域、值域.解:根据题意，得，解得,1,x,1，所以定义域为(,1，1)， 2小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问因为 0,?1，从而，所以值域为[1，，?). 2.函数的三要素:定义域、对应法则、值域. 约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化. 例3.判断下列两个函数是否相等，(1)y,x，3; (2).例4.求函数的定义域. 解:根据题意，得解得:2?x,3或3,x,5，所以定义域为[2，3)?(3，5). 3.函数的表示法:表达式法(解析法)、图形法、数表法. 1.2.2 函数的图形 1.函数图形的概念函数y,f(x)，x?D的图形是指在xOy平面上的点集{(x,y)?y,f(x)，x?D}. 常见的几个幂函数的图形:2.函数的性质 (1)有界性函数f(x)，x?D，存在两个实数m、M，满足条件:对于D中所有的x都有不等式m?f(x)?M，则称函数f(x)在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，(1)y=sinx， (2). (2)单调性设函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x及x，当x,x时，恒有f(x),f(x)，则称函数f(x)在区间D上是单调增加，称f(x)是D上的单调增加函数，称D是函数f(x)的单调增加区间. 121212设函数及，当,时，恒有),)，则称函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点xxxxf(xf(xf(x)在区间D上是单调减少，称f(x)是D上的单调减少函数，称D是函数f(x)的单调减少区间. 1212122例6.求的单调性. y, x解:任取,,0， xx1222,,)(，),0, xx,(xxxx121212所以y,x在(,?，0)上单调减少.22同理可得:y, x在(0，，?)上单调增加. 例7.求y ,sinx的单调性. 解:y,sinx的图像如图，y=sinx在(2kπ,，2kπ，)上单调增加，在(2kπ，，2kπ，)上单调减少. (3)奇偶性设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),f(x)，称 f(x) 为偶函数;设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),,f(x)，称 f(x) 为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性(1)(2)解:(1)因为，所以定义域为R.3小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以f(x)为奇函数.(2) x-x因为a,a?0，故x ?0，所以定义域为(,?，0)?(0，，?).所以()为奇函数. fx(4)幂函数的性质α形如y,x的函数为幂函数，其中α为任意常数. 性质: α对任意实数α，曲线y,x都通过平面上的点(1，1);αα,0时，y,x在(0，+?)单调增加; αα,0时，y,x在(0，+?)单调减少; ，+?); α为正整数时，幂函数的定义域是(,?αα为偶数时，,为偶函数; yxαα为奇数时，, 为奇函数; yxα为负整数时，幂函数的定义域是 (,?，0)?(0，+?). α幂函数y,x(α是常数)的图形:1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形:例10.画出下面分段函数的图形:例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数… … (剩余部分略)完整免费版请访问—— 1.4 函数运算 1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f(x)，g(x)都在D上有定义，k?R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变(除法运算时除数为0的点除外)，而函数值的对应定义如下: (1)加法运算 (f，g)(x),f(x)，g(x)，x?D . (2)数乘运算(kf)(x),kf(x)，x?D. (3)乘法运算 (fg)(x),f(x)g(x)，x?D .(4) 除法运算 g(x)?0， x?D. 其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f(x)=ln(1，x)，g(x)=1,cosx，求 . 因为函数f(x)=ln(1，x)的定义域为(,1，+?)，函数g(x)=1,cosx 的定义域为(,?，+?)，且当x=2 kπ(k为整数)时，g(x)=0，所以，解，x?(,1， +?)\{2kπ}(k为整数) 1.4.2复合函数如有函数()和(),它们的定义域分别为和，值域分别是和当时，对于任意?,都有唯一的()?,，从而有唯一的(())?与?对应，这样就确定了一个从到的函数，此函数称fxgxDD ZZ.ZD xDgxZDfgxZxDDZfgf g.gfggffggf为 f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
2023年自考高等数学000201月真题答案详解
绝密★考试结束前全国1月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码：00020试卷总体分析：试卷详解：请考生按规定用笔将所有试题旳答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项：1．答题前，考生务必将自己旳考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹旳签字笔或钢笔填写在答题纸规定旳位置上。
2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目旳答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）在每题列出旳四个备选项中只有一种是符合题目规定旳，请将其选出并将“答题纸”旳对应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．设函数()21f x x x +=+，贝f(x)= A. x (x+1) B ．x (x-1) C. (x+1) (x-2) D ．(x-1) (x+2)答案：B 知识点：复合函数 ()()()()()()2211,11111f x x x x t x t f t t t t t f x x x+=++==-=-+-=-=-解：令则故即2．若x →0时函数f (x )为x 2旳高阶无穷小量，则2()limx f x x →= A ．0 B ．12C ．1D ．∞答案：A知识点：无穷小量旳比较 解：根据高阶无穷小量旳定义2()limx f x x →=0. 3．设函数()()2931f x x x x =++，则高阶导数()(12)f x = A ．12! B ．11! C ．10! D ．0答案：D 知识点：高阶导数()()()()()()()()293115211151211125222110121'1152"111054211!0f x x x x x x x f x x x x f x x x x f x x f x ------=++=++=++=⋅+⋅+==解：4．曲线23xy x =+ A ．仅有铅直渐近线 B ．仅有水平渐近线 C ．既有水平渐近线又有铅直渐近线 D ．无渐近线 答案：B知识点：曲线旳渐近线221lim limlim 0331x x x xxy x x →∞→∞→∞===++∴解：原曲线有水平渐近线y=05．设函数f (x )持续，()()d axx tf t t Φ=⎰,则()x 'Φ=A . x f (x )B ．a f (x )C ．-x f (x )D ．-a f (x )答案：C知识点：变限积分旳导数 解：()()'()()d 'a xx tf t t xf x Φ==-⎰非选择题部分注意事项：用黑色字迹旳签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
高数(一)00020所有章节总复习
第一章 函 数1. 1预备知识一元二次函数、方程和不等式不等式： 1大于取两边，大于大的，小于小的； 2 小于取中间。
绝对值不等式：|x|>a(a>0) x>a 或x<-a|x|<a 等价于 -a<x<a一元二次方程的两个根分别为x1,x2则有韦达定理：x 1+x 2= b a - x 1*x 2= c a 2b a-为曲线对称轴 不等式：算术平均值大于等于几何平均值：2a b+≥ a=b 时才相等. 因式分解与乘法公式22222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2)n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 等差数列和等比数列()()()11111 22n n n n a a n d n a a n n n S S na d=+-+-==+1.等差数列 通项公式： 前项和公式或()()1100n n n GP a a qa q -=≠≠2.等比数列 通项公式，()()()11.1111n n n a q q S qna q ⎧-⎪≠=-⎨⎪=⎩前项和公式 求定义域：1:分式的分母不能为0 2:根号内的大于等于0 3:对数内的要大于0 （对数为分母时真数不等于1）y=sinx, 奇函数 y=cosx, 偶 定义域（-∞，+∞） 值域：-1 <= x <= 1y=tanx, 定义域{x | x ∈R, X ≠k π+2π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数y=cotx 定义域{x | x ∈R, X ≠k π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数判断奇偶性：f(-x)=f(x) 偶cosx,secx F(-x)=- f(x) 奇 sinx tanx cotx 等反函数：1先解出一个干净的Y ， 2 再把Y 写成X ，X 写成Y 就成了，复合函数要会看，谁是外衣，谁是内衣，P36页的公式要记住，初等函数的几个常见的图形要记住，初等数学基础知识 一、三角函数1．公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系： sin 2(α)+cos 2 (α)=1; tan 2 (α)+1=sec 2 (α); cot 2 (α)+1=csc^2(α) ·商的关系：tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα ·倒数关系：tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式：sin(2x)=2sinx·cosxcos(2x)=cos 2(x)-sin 2 (α)=2cos 2(x)-1=1-2sin 2 (x) tan(2x)=2tanx / [1-tan^2(x)] ·半角公式：sin 2 (α/2)=(1-cosα)/2 cos 2 (α/2)=(1+cosα)/2tan 2 (α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan 2 (α/2)] cosα=[1-tan 2 (α/2)]/[1+tan 2 (α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan 2 (α/2)] ·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]2．特殊角的三角函数值只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。
高等数学(一)自学考试大纲(史上最全的复习资料)
《高等数学（一）》考试大纲第一章函数及其图形（一）考核的知识点1.一元函数的定义及其图形2.函数的表示法（包括分段函数）3.函数的几个基本特性4.反函数及其图形5.复合函数6.初等函数7.简单函数关系的建立（二）自学要求函数是数学中最基本的概念之一，它从数学上反映各种实际现象中量与量之间的依赖关系，是微积分的主要研究对象。
本章总的要求是：理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示方法；理解函数的几种基本特性；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；掌握函数的复合和分解；熟练掌握基本初等函数及其图形的性态；知道什么是初等函数；知道几种常用的经济函数；能根据比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系。
本章重点：函数概念和基本初等函数难点：函数的复合（三）考核要求1.一元函数的定义及其图形，要求达到“领会”层次。
1.1 清楚一元函数的定义，理解确定函数的两个基本要素――定义域和对应法则（映射），知道什么是函数的值域。
1.2 清楚函数与其图形之间的关系1.3 对给定的解析式，会求出由它所确定的函数的自然定义域。
2.函数的表示法，要求达到“识记”层次。
2.1 知道函数的三种表示法――解析法，表格法，图像法，并知道它们各自的特点。
2.2 清楚分段函数的概念3.函数的几个基本特性，要求达到“简单应用”层次。
3.1 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义，并会判定比较简单的函数是否具有这些特性。
4.反函数及其图形，要求达到“领会”层次。
4.1 知道函数的反函数的概念，清楚单调函数必有反函数4.2 会求比较简单的定义域、值域和图形与其反函数的定义域、值域和图形之间的关系5.复合函数，要求达到“简单应用”层次。
5.1 清楚函数的复合运算的含义，会求比较简单的复合函数的定义域。
5.2 会做多个函数按一定顺序的复合，并会把一个函数分解成简单函数的复合6.初等函数，要求达到“简单应用”层次。
6.1 知道什么是基本初等函数，熟悉其定义域、基本特性和图形（不含余切、正割、余割及其反函数的图形）。
高等数学(一)考试大纲
高等数学（一）考试大纲一、考试性质二、考试目标《高等数学》专升本入学考试注重考察学生基础知识、基本技能和思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力。
三、考试内容和基本要求一、函数、极限与连续（一）考试内容函数的概念与基本特性；数列、函数极限；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小的概念与阶的比较；函数的连续性和间断点；闭区间上连续函数的性质。
（二）考试要求1．理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。
了解反函数的概念；理解复合函数的概念。
理解初等函数的概念。
会建立简单实际问题的函数关系。
2．理解数列极限、函数极限的概念（不要求做给出ε，求N或δ的习题）；了解极限性质（唯一性、有界性、保号性）和极限的两个存在准则（夹逼准则和单调有界准则）。
3．掌握函数极限的运算法则；熟练掌握极限计算方法。
掌握两个重要极限，并会用两个重要极限求极限。
4．了解无穷小、无穷大、高阶无穷小、等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。
5．理解函数连续的概念；了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型（第一类与第二类）。
6．了解初等函数的连续性；了解闭区间上连续函数的性质，会用性质证明一些简单结论。
二、导数与微分（一）考试内容导数概念及求导法则；隐函数与参数方程所确定函数的导数；高阶导数；微分的概念与运算法则。
（二）考试要求1．理解导数的概念及几何意义，了解函数可导与连续的关系，会求平面曲线的切、法线方程；2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的求导公式，会熟练求函数的导数。
3．掌握隐函数与参数方程所确定函数的求导方法（一阶）；掌握取对数求导法。
3．了解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法。
会求简单函数的n 阶导数。
4．理解微分的概念，了解微分的运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。
三、中值定理与导数应用（一）考试内容罗尔中值定理、拉格朗日中值定理；洛必达法则；函数单调性与极值、曲线凹凸性与拐点。
自考高数(一)试题及答案
自考高数(一)试题及答案自考高等数学（一）试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是基本初等函数？A. 正弦函数B. 常数函数C. 指数函数D. 绝对值函数答案：D2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间（-∞，-2）上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 不确定D. 非单调答案：B3. 微积分基本定理指出：A. 定积分可以转化为不定积分求解B. 不定积分是定积分的基础C. 定积分的值等于其原函数的不定积分的差值D. 所有连续函数都有原函数答案：C4. 曲线y = x^3在点（1，1）处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 2答案：C5. 以下哪个级数是发散的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. (1/2) + (1/4) + (1/8) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...答案：A6. 微分方程dy/dx = x^2 - y^2的解的形式是：A. y = x^2B. y = C/xC. y = x + CD. y = Cx^2答案：B7. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式的前两项是：A. 1 + xB. 1 - xC. 1 + x^2D. 1 + x + x^2答案：A8. 以下哪个选项是二元函数f(x, y) = x^2 + y^2的极值点？A. (0, 0)B. (1, 1)C. (-1, -1)D. (2, -2)答案：A9. 曲线积分∮(x^2 + y^2) ds 在圆周x^2 + y^2 = 1上的值是：A. 0B. 1C. 2πD. 4π答案：D10. 以下哪个选项是函数f(x) = sin(x)的傅里叶变换？A. 1/2B. 1/2δ(x - π)C. 1/2δ(x)D. δ(x - π)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim (x→0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
自考高等数学考试重点
《高等数学(一)》考试重点第一章 函数及其图形（选择题1、填空题1）1.函数的定义域2.函数的有界性3.函数的奇偶性奇偶性：奇函数x y egx f x f =→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-点对称奇函数的定义域关于原为奇函数)()(偶函数2)()(x y egy x f x f =→⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-轴对称偶函数的定义域关于为偶函数4.函数的反函数5.求函数表达式第二章 极限和连续（选择题、填空题、计算题）6.记住重要结论：等比级数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=∑-1111q q q aaqn 发散，调和级数n 1∑发散；21n∑收敛。
（注意级数的敛散性） 7.无穷小量及其性质，无穷大量 8.两个重要极限1sin lim 0=→x x x ，e n nn =+∞→)11(lim 9.无穷小量的比较 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞≠≠→的低阶无穷小量是的等价无穷小量是同阶无穷小量是的高阶无穷小量是)()()()(1)()()1()()(00)()()(lim ()x p x a x p x a x p x a c c x p x a x x p x a x ρ 10.函数的连续性和函数的运算（1）了解函数极限定义以及有极限函数基本性质（唯一性、有界性、保号性）；（2）分段函数分段点处极限的求法11.函数的间断点12.闭区间上连续函数的性质（零点存在定理）第三章 一元函数的导数和微分（选择题、填空题、计算题）13.导数的定义及其几何意义，记住求导数的常用公式00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→，这个式子再求分段函数，含有绝对值的函数的导数的应用。
14.函数可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导。
15.函数的各种求导法则，四则运算，复合函数求导16.基本初等函数的导数（1）0='C (C 是常数) （2）1)(-='k kkxx （k 为实数）（3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -=' （5）)10(ln 1)(log ,1)(ln ≠>='='a a ax x x xa 且 （6）)1,0(ln )(,)(≠>='='a a a a a e e xxxx（7）x x 2sec )(tan =' （8）x x 2csc )(cot -=' （9）x x x tan sec )(sec =' （10）x x x cot csc )(csc -='（11）211)(arcsin xx -='（12）211)(arccos xx --='（13）211)(arctan xx +=' （14）211)cot (xx arc +-=' 17.高阶导数（主要是二阶导数）18.微分的定义和微分的基本公式、运算法则以及以阶微分形式的不变形第四章 微分中值定理和导数的应用19.微分中式定理（罗尔定理和拉格朗日中值定理）罗尔定理：设函数)(x f 满足(1)在闭区间],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))()(b f a f =；则存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf ；拉格朗日中值定理：设函数)(x f 满足(1)闭区间],[b a 上连续；(2)在开区间),(b a 内可导；则存在一点),(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ或))(()()(a b f a f b f -'=-ξ20.洛必达法则以及等价无穷小量代换求极限 如果)(x f 和)(x g 满足(1))()(lim)(x g x f x →为“οο”或“∞∞”型极限； (2))(x f 、)(x g 在与“)(→x ”相对应的区域内可导，且0)(≠'x g ；(3))()(lim)(x g x f x ''→存在（或为∞） 则)()(lim )()(lim)()(x g x f x g x f x x ''=→→ 21.函数单调性判定 ),(b a x ∈∀⎪⎩⎪⎨⎧↓<'↑>')(,0)()(,0)(x f x f x f x f22.函数极值及其求法 23.函数的最值及其应用 24.函数的凹凸性和拐点25.曲线的水平渐近线、竖直渐近线(1)水平渐近线：假设函数)(x f 的定义域是无穷区间，曲线C 是是它所表示的几何图形，如果有)(C ,)(lim )(lim x f y b y b x f b x f x x ====-∞→+∞→：就是曲线则或的水平渐近线。
自考高等数学重难点复习笔记
自考高等数学一考试重难点复习笔记编号：《高等数学（一）》课程自学辅导材料●配套教材：《高等数学（一）微积分》●主编：章学诚●出版社：武汉大学出版社●版次： 2004年版●适应层次：本科目录第一部分自学指导第1章：函数及其图形 (3)第2章：极限和连续 (3)第3章：一元函数的导数和微分 (3)第4章：微分中值定理和导数的应用 (3)第5章：一元函数积分学 (3)第6章：多元函数微积分 (3)第二部分复习思考题一．单选题 (4)二．填空题 (24)三．计算题 (29)四．应用题 (35)五．证明题 (36)第三部分参考答案一．单选题 (38)二．填空题 (39)三．计算题 (44)四．应用题 (49)五．证明题 (49)第一部分自学指导自学指导见教材中的自学考试大纲第二部分 复习思考题一．单选题：1.x x f arcsin )(=,x x g 2)(=,则)]([x g f 的定义域是 （ ）A 、 ]2,2[-B 、 ]21,21[- C 、 )2,2(- D 、 )21,21(-2.将函数11)(-+=x x f 表示分段函数时， 则)(x f = ( )A 、 ⎩⎨⎧-x x 2 00<≥x xB 、 ⎩⎨⎧-x x 2 00<≥x xC 、 ⎩⎨⎧-x x 2 11<≥x xD 、 ⎩⎨⎧-x x 2 11<≥x x3.设函数()2x f x ⎧=⎨⎩ 2042<≤≤≤x x ,则)2()2()(++=x f x f x F 的定义域 （ ）A 、 [0,2]B 、 [-2,0]C 、[-2，2]D 、（1，3）4.设)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(+x f 的定义域的 （ ）A 、 [0，1]B 、 [-1，0]C 、 [1，2]D 、[0，2]5.函数1)1ln(-+=x x y 的定义域的 （ ）A 、 }{1->x xB 、 }{1>x xC 、 }{1-≥x xD 、 }{1≥x x 6.设2)(x x f =,x x g 2)(=,则=)]([x g f （ )A 、 22xB 、 x x 2C 、 22xD 、 x 227.设()f x =⎩⎨⎧0sin xx x 11>≤,则)4(π-f = （ )A 、 0B 、 1C 、22D 、 22-8.设函数 1)(-=x xx f ,则当1≠x 且0≠x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(1x f f = ( )A 、 x x 1- B 、 1-x xC 、 1x -D 、 x9.函数)(21x x e e y --=的图象，对称于直线 （ ）A 、 y x =B 、 y x =-C 、 0x =D 、0y =10.函数)(21x x e e y --=是 （ ）A 、 奇函数B 、 偶函数C 、 非奇非偶函数D 、 有界函数11.函数)1ln(2x x y ++=是 （ ）A 、 奇函数B 、 偶函数C 、非奇非偶函数D 、有界函数12.在),(+∞-∞上，下列函数中为周期函数的是 （ ）A 、 2sin xB 、 x 2sinC 、x x cosD 、 x arcsin13.函数x y πsin 5=的最小正周期是 （ ）A 、 10B 、 2C 、 10πD 、 2π14.函数x y arctan +=π是 （ ）A 、 有界函数B 、无界函数C 、单调减少函数D 、 周期函数15.函数x y ln 2ln +=的反函数是 ( )A 、x y 2=B 、x y 2=C 、 42xe y = D 、 xy 4= 16. 函数2arcsin xy -=π的反函数是 （ ）A 、sin()y x π=- 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、2sin()y x π=- 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、2sin y x = 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、sin y x =- 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦17.函数 ⎩⎨⎧+=x xx f 12)( <1 x x 21≤≤为 （ ）A 、 基本初等函数B 、 分段函数C 、初等函数D 、 复合函数18.设231)(--=x xx f 与)(x g 的图形关于直线x y =对称，则)(x g = ( )A 、 321++x xB 、 231--x xC 、 x x213++ D 、 x x 312--19.设)(x f 定义在),(+∞-∞内，下列函数中为奇函数的有 （ ）A 、 )(x f y -=B 、 )(2x xf y =C 、 )(x f y --=D 、 )()(x f x f y -+=20.设x x g 21)(-=,221)]([x x x g f -=,则=)21(f ( )A 、 15B 、 1615C 、 3D 、3121.若数列{}n a 有界,则{}n a 必 ( )A 、 收敛B 、 发散C 、 可能收敛,也可能发散D 、 收敛于022.若数列{}n x .{}n y 有界，则{}n n y x +必 （ ）A 、发散B 、 不能确定C 、收敛D 、 无界23.设⎩⎨⎧-+=223)(2x x x f 00>≤x x ,+→0)(lim x x f = ( )A 、 2B 、 0C 、 -1D 、 -224.设11)(--=x x x f ,则1)(lim →x x f = （ ）A 、 0B 、 -1C 、 1D 、 不存在25.函数)(x f y =在点0x x =处左.右极限都存在并且相等是它在该点有极限的（ ）A 、 必要条件B 、 充分条件C 、 充要条件D 、 无关条件 26.n n n n n n +++-+∞→233514lim = ( )A 、54B 、 0C 、21D 、 ∞ 27.233)1()1()3(lim +++--∞→n nn n = （ ） A 、 ∞ B 、 0 C 、 -1 D 、 128.下列极限存在的有 （ ）A 、 x x xe +∞→limB 、 x x xe sin lim -∞→C 、 x x x 1lim +--∞→ D 、 xx x 1lim 0+-→ 29.下列式中错误的是 （ ）A 、 1)21(lim 0=+→x xB 、 1)21(lim 0=-→xxC 、 0)21(lim =+∞→xx D 、 0)21(lim =-∞→xx 30.x xx 4sin 3tan lim 0→= （ ）A 、 3B 、 41C 、 43D 、 不存在 31.xx x 10)31(lim -→= （ ）A 、 31-e B 、 3-e C 、 31e D 、 3e32.当x →∞时，()f x = x xsin ( )A 、 无界B 、 没有极限C 、 是无穷小量D 、 无意义33.当x 0→时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ）A 、 xB 、x 4C 、 x 2D 、 2x34.当x →∞时，x x 1sin 是 （ ）A 、 无穷小量B 、 无穷大量C 、 无界变量D 、 有界变量35.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是 （ ）A 、12-x (x 0→)B 、 x xsin (x 0→)C 、 2)3(1-x (x 1→) D 、 12--x (x 1→ )36.函数)(x f y =在点0x x =处有定义是它在该点连续的 （ ）A 、 必要条件B 、 充分条件C 、 充要条件D 、无关条件37.要使函数x xx x f --+=11)(在点0=x 处连续，则=)0(f ( )A 、 21B 、 2C 、 1D 、 038. 233)(2+--=x x x x f 的间断点是 （ ）A 、 2,1==x xB 、 3=xC 、 2,1==x x ,3=xD 、 无间断点39.设⎪⎩⎪⎨⎧=a x bxx f sin )( 00=≠x x （,a b 是常数）为连续函数，则=a ( )A 、 1B 、 0C 、 B 、D 、 –B 、 40.)1ln(1-=x y 的连续区间是 （ ）A 、 ),2(]2,1[+∞B 、 ),2()2,1(+∞C 、 ),1(+∞D 、 [)1,+∞41.若函数)(x f 和)(x g 都在0x 处间断，则)(x f 和)(x g 在0x x =处 （ ）A 、 一定间断B 、可能间断也可能连续C 、 连续D 、 有极限42.函数434)(2---=x x x x f 的间断点个数是 （ ）A 、 0B 、 2C 、 3D 、 143.设函数在0x 点处可导，则x x f x x f x ∆-∆-→∆)()2(lim 000= （ ）A 、 )('0x fB 、 -)('0x fC 、 2)('0x fD 、-2)('0x f 44.设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧++=4211)(2x x x f 22>≤x x ，则在2=x 处 （）A 、 不连续B 、 连续，但左右导数不存在C 、 连续且可导D 、 连续但不可导45.设x x f 4ln )(=,则x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0= （ ）A 、 4B 、 41C 、 ∞D 、 046.过曲线13-=x y 上点)9,2(-的切线斜率为 （ ）A 、 -9B 、 9C 、 12D 、 -1247.函数13-=x y 在点0x 处可导，且曲线)(x f y =在点（0x ，)(0x f ）处的切线平行线于x 轴，则)('0x f = （ ）A 、 0B 、 大于 0C 、 小于0D 、 不存在48.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线)(x f y =应满足的关系是 （ ）A 、 x y 2'=B 、 x y 2''=C 、 3)1(,2'==y x yD 、 3)1(,2''==y x y49.设函数⎪⎩⎪⎨⎧+=01)(1x e xx f 0=≠x x ,则)(x f 在0=x 处 （ ）A 、 左导数不存在B 、 右导数不存在C 、 )0('f =1D 、 不可导50.下列函数中在0=x 处可导的是 （ ）A 、 x 1B 、 xC 、 11-x eD 、 ()2x51.设)cos(ln )(x x f =,则)('x f = （ ）A 、 x 2secB 、 -x 2secC 、 ctgxD 、 –tgx52.若函数)(x f 在o x 处有不等于零的导数，并且其反函数)(x g 在点0y （0y =f(0x )）处连续，则)('0y g = （ ）A 、 )(10x f B 、 )(10y f C 、 )('10y f D 、 )('10x f53.)2(x f y -=,则''y = ( )A 、 4)2(''x y -B 、 )2(''x y -C 、 -2)2(''x y -D 、 -4)2(''x y -54.若)(x f 在点0x 处二阶可导，0)('0=x f ，1)(''0=x f ，则)3('lim 0h x hf x -+∞→= ( )A 、 ∞B 、 0C 、 3D 、 -355.下列函数中，哪个函数是在1=x 处没有导数的连续函数 ( )A 、x y =B 、 31-=x yC 、x y arctan =D 、 1ln -=x y56.设函数)3)(2)(1(---=x x x x y ，则=)0('y ( )A 、 0B 、 1C 、 3D 、 -657.|2|)(-=x x f 在点2=x 处的导数为 ( )A 、 1B 、 0C 、 -1D 、 不存在58.设x xx f ln 2ln )(-= ，则=)1('f ( )A 、 0B 、 21- C 、21D 、 159.设x e x f arctan )(=，则=)(x df ( )A 、 dx e x 211+ B 、 dx e e x x21+C 、 dx e x 211-D 、 dx e e xx21- 60.设n n n n a x a x a x a x f ++⋅⋅⋅++=--1110)(，则=)0()(n f ( )A 、0B 、 !0n aC 、 0aD 、 n a61.设x 为自变量，当1=x ，1.0=∆x 时=3dx ( )A 、 0.3B 、 0.03C 、 0.1D 、 0.0162.利用微分近似公式 01.25≈ ( )A 、 5.01B 、 5.1C 、 5.0001D 、 5.00163.在区间[-1，1]上，下列函数不满足罗尔定理的是 （ ）A 、 1)(2-=x e x fB 、 )1ln()(2x x f +=C 、 ||)(x x f =D 、 211)(x x f +=64. 对于函数211)(x x f +=满足罗尔定理全部条件的区间是 （ ）A 、 [-2，0]B 、 [0，1]C 、 [-2，1]D 、 [-2，2]65.在区间[-1，2]上，1074)(23--+=x x x x f 满足罗尔定理的条件，则=ξ （ ）A 、 -1B 、 2C 、3374±- D 、 3374+-66.3x y =在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则=ξ （ ）A 、33 B 、 -33C 、 3D 、 -367.计算22001cos (1cos )sin 1limlim lim 1(1)22x x x x x x x x →→'--==='++则计算 （ ）A 、 正确B 、 错误，因为201cos 1limx xx +-→不是00型待定式C 、 错误，因为20(1cos )lim(1)x x x →'-'+不存在D 、 错误，因为20(1cos )lim(1)x x x →'-'+本来不存在68.下列求极限问题中不能使用罗比塔法则的有 （ ） A 、 xx x x x sin sin lim+-∞→ B 、 x xx sin 2lim 0→C 、 1ln lim 1-→x x xD 、 1cos )1(lim 0--→x e x x x69.=---→)1211(lim 2x x ax （ ） A 、 必要条件 B 、 充分条件 C 、 充要条件 D 、 无关条件 70.⎪⎭⎫⎝⎛---→1211lim 21x x x = ( )A 、 -1B 、 1/2C 、 0D 、 ∞ 71.设函数)(x f 在],[b a 上二次可微0)()(>'-''x f x f x 且xx f )('在区间),0(a 内 （ ） A 、 不增的 B 、 不减的 C 、 单调增加 D 、 单调减少 72.),0(,0)(a x x f ∈<'是可导函数)(x f y =在区间),(b a 内单调减少的 （ ） A 、 必要条件 B 、 充分条件 C 、 充要条件 D 、 无关条件73.⎩⎨⎧+=2)1(0)(x x f 其他)1,0(∈x 在区间[1，10] （ ） A 、 单调增加 B 、 单调减少 C 、不增不减 D 、 有增有减 74.),(,0)(b a x x f ∈>'是可导函数，)(x f y =在区间),(b a 内单调加的 （ ） A 、 必要条件 B 、 充分条件 C 、 充要条件 D 、 无关条件 75.函数)(x f 的连续但不可导点 （ ） A 、 一定不是极值点 B 、 一定是极值点 C 、 一定不是拐点 D 、 一定不是驻点76.0)(,0)(00>''='x f x f 是函数)(x f 在0x x =处有极值的 （ ） A 、 必要条件 B 、 充分条件 C 、 充要条件 D 、 无关条件 77.,0)(='x f 是可导函数)(x f y =在0x x =处取极值的 （ ） A 、 必要条件 B 、 充分条件 C 、 充要条件 D 、 无关条件 78.函数21+-=x y 的最小点0x （ ） A 、 0 B 、 1 C 、 2 D 、 -179.在区间),(b a 内任意点函数)(x f y =曲线弧总位于其切线上方，则该曲线在),(b a 内 （ ） A 、 下凹 B 、 上凸 C 、 单调上升 D 、 单调下降 80.下列函数对应的曲线在定义域内上凹的是 （ ） A 、 xey -= B 、 )1ln(2x y += C 、 32x x y -= D 、sin y x =81.曲线2x e y -= （ ） A 、 没有拐点 B 、 有一个拐点 C 、 有两个拐点 D 、 有三个拐点82.曲线12-=x e y x的水平渐进线是 （ ）A 、 1-=xB 、 1=xC 、 0=yD 、 1=y 83.=+=⎰)(,)(22x f c e x dx x f x 则 （ ）A 、 x xe 22B 、 x e x 222C 、 xxe 2 D 、 )1(22x xe x +84.=+=--⎰⎰dx e f e c x F dx x f x x )(,)()(则 （ ）A 、 c e F x +-)(B 、 -c e F x +-)(C 、 c x F +)(D 、c xe F x +-)( 85.⎰='dx arctgx )( （ ） A 、 arctgx B 、 c arctgx + C 、112+x D 、C x ++112 86.设)(x f =xxsin ,则='⎰))((dx x f （ ）A 、x x cos B 、 x x sin C 、 x x cos +C 、 D 、 xxsin +C 、 87.设)(x f =则,1x ⎰='dx x f )( （ ）A 、 x 1B 、C x+1C 、x lnD 、C x +ln88.⎰=-ctgxdx x ctgx )csc ( ( ) A 、 C x x ctgx ++-csc B 、 C x x ctgx ++--csc C 、 C x x ctgx +--csc D 、 C x x ctgx +---csc89.=-+⎰dx xx 211 （ ）A 、 C x x +-+21arcsinB 、C x x +--21arcsin C 、 C x x +-+-21arcsinD 、 C x x +---21arcsin90.⎰=xdx x 2cos sin （ ）A 、 C x x +-2cos 31cos B 、 C x +2cos 31C 、 C x +-3sin 31D 、 C x +-3cos 3191.下列函数中，哪一个是函数)(222x xe e--的原函数 （ ）A 、 xx e e -+ B 、 )(422x x e e -+ C 、 xxe e -- D 、 2)(x x e e -+92.c dx edx x f x +=⎰33))(，则=')(x f （ ）A 、 33x eB 、 3x eC 、 39x e D 、331xe93.=⎰dx e xx3 （ ）A 、 C e xx++)3ln 1(3 B 、C e xx ++13ln 3 C 、 C e xx+3ln 3 D 、C e xx +3ln 3 94.⎰=x d arcsin（ ）A 、 C x +arcsinB 、C x +arccos C 、 x +11D 、 C xx ++1 95.设)(x f 的一个原函数为⎰=-dx x x f e x)(ln ,则（ ） A 、 )ln(ln x B 、 C x +2)(ln 21 C 、 C x + D 、C x +196.下列函数中，是同一函数的原函数的是 （ ） A 、 x x arccos arcsin 与 B 、 )5ln(+x 与5ln ln +xC 、 2ln 2x 与2ln 2+xD 、 )2ln(x 与x ln97.设)(x f 在),(+∞-∞内连续且为奇函数，)(x F 是它的一个原函数，则 （ ） A 、 )()(x F x F --= B 、 )()(x F x F =- C 、 C x F x F +=-)()( D 、C x F x F +--=)()(98.=-⎰192x dx （ ）A 、 C x x +--193ln 2B 、C x x +-+193ln 2 C 、 31C x x +--193ln 2D 、 31C x x +-+193ln 2 99.=-+=⎰⎰dx x xf c x dx x f )1(,)(22则 （ ）A 、 C x +-22)1(B 、C x +--22)1( C 、21C x +-22)1( D 、 -21C x +-22)1( 100.=⎰xdx tg 2（ ）A 、C x +secB 、C x tgx +-- C 、 C x tgx +-D 、 C x +2cos ln101.若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是 （ ）A 、 ax ln -B 、a1ax ln C 、 x a +ln D 、 212)(ln x102.设x tg k x f 2)(⋅=的一个原函数为,2cos ln 32x 则k= ( )A 、 32-B 、 23C 、 34- D 、43103.微分方程0)(43='-''y y y x 的阶为 （ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4104.0=-ydx xdy 的通解为 （ ） A 、 Cx y = B 、 xC y =C 、 xCe y = D 、 x C y ln = 105.下列函数是方程dx xdx ydy =-的解是（ ）A 、 22x y = B 、 22)1(+=x c yC 、 C x y ++=22)1( D 、 C x y =+)1(106.1=-'y y x 的通解是（ ）A 、 Cx y =B 、C y x =+)1( C 、 Cx y =+1D 、 C y x =++22)1(A 、 1B 、 4C 、 2D 、 3 107.下列函数是方程ydx ydy x =ln 的通解的是（ ）A 、 )l n (ln 22Cx y =B 、 Cx y =2lnC 、 2ln Cx y =D 、 xCy =2ln 108.211x x y x y +=-'的通解是（ ） A 、 x x x )(a r c t a n + B 、 x c x x)a r c t a n 1(+--C 、 x C x )(t a n +D 、 x C x )(a r c s i n + 109.1)1(0==+y ydx xdy 满足的特解的是（ ）A 、 x y =B 、 1+=x yC 、 1=xyD 、 122+=x y 110.微分方程12+='y y 的一个特解为（ ） A 、 642+=y y B 、 0422=-+x y y C 、 1222+=+x y y D 、 322+=x y 111.⎩⎨⎧=-=2)0(y dyydx xdy 的解是（ ）A 、 )1(2x y +=B 、 x y =2C 、 22x y =D 、 x y 2-=112.ln31()xe dx x'=⎰（ ） A 、e -3ln 3 B 、 e +33ln C 、 e +3ln 3 D 、 e +33ln 113.dx e dx e x x ⎰⎰-12210][的值（ ）A 、0>B 、0<C 、0=D 、1-< 114.下列积分中，积分值为零的是（ ） A 、⎰-21xdxB 、dx x x ⎰-112sin C 、dx x x ⎰-11sin D 、dx x x ⎰-1122sin115.⎰baxdx dx d arcsin （ ） A 、 0 B 、211x- C 、 x arcsin D 、 1116.3(1)(2)xy t t dt =--⎰则==0x dxdy （ ）A 、2B 、-2C 、-1D 、1 117.⎰10dx e x 与dx e x ⎰12相比，有关系式（ ）A 、⎰1dx e x <dx e x ⎰12B 、⎰10dx e x >dx e x ⎰12C 、⎰10dx e x =dx e x ⎰12D 、210][⎰dx e x <dx e x ⎰12118.设)(x f 在],[b a 上连续，0()()xF x f t dt =⎰则有（ ）A 、 )(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数B 、 )(x f 是)(x F 在],[b a 上的一个原函数C 、 )(x F 是)(x f 在],[b a 上的唯一的原函数D 、 )(x f 是)(x F 在],[b a 上的唯一的原函数119.=⎰→320sin limxdt t xx （ ）A 、1B 、 0C 、 1/3D 、-1 120.=⎰4dx （ ）A 、 0B 、1C 、 1/4D 、 4 121.设函数⎰-=xdt t x f 0)1()(，则=')2(f （ ）A 、 0B 、 1C 、 -2D 、 2 122.⎰=xx dt t f 0421)(，则=⎰dx x f x40)(1 （ ）A 、 16B 、 8C 、 4D 、 2 123.已知)(x F 是)(x f 一个原函数，则=+⎰xdt a t f 0)( （ ）A 、)()(a F x F -B 、 )2()(a F a t F -+C 、 )2()(a F a x F -+D 、 )()(a F t F - 124.若==+⎰k dx k x 则,2)2(1（ ）A 、 0B 、 -1C 、 1D 、 1/2 125.函数⎰-=xdt t x f 0)12()(的极小值是（ ）A 、21 B 、0 C 、 41 D 、 41- 126.广义积分=⎰-dx e xx 02 （ ）A 、 不存在B 、 21- C 、 21 D 、 2127.⎰-=-222cos 1ππdx x （ ）A 、 0B 、 2C 、 2-D 、 22128.设⎩⎨⎧-=x xx f )( 00<≥x x ，则=⎰-11)(dx x f （ ）A 、 0B 、 1C 、 2D 、 -1 129.若=-=+⎰a x dxa则1)1(02（ ）A 、 -1B 、 21- C 、 1 D 、 21130.44tgx dx ππ-=⎰（ ）A 、 2B 、 0C 、 1D 、 2ln 131.=⎰dx x11 （ ）A 、 ∞B 、 1C 、 2D 、21 132.过Y 轴上的点()0,1,0且平行于平xoz 面的平面方程是（ ）A 、 0=xB 、 0=yC 、 0=zD 、 0=+z x 133.在空间直角坐标系下，方程422=+y x 表示（ ）A 、 圆的方程B 、 球面方程C 、 圆柱面方程D 、 平面方程 134.点()1,0,11M 与()0,1,22M 之间的距离是（ ）A 、 1B 、 2C 、 3D 、 3135.在y 轴上与点（2，2，－１）的距离为3的所有点为A 、 ()0,3,0B 、()0,0,0或()0,4,0C 、()0,1,1-D 、 ()0,1,0136.下列点中，在平面x －2y+3=0上的点为（ ）A 、 ()0,0,3B 、 ()3,0,3-C 、 ()0,1,1D 、 ()3,1,1- 137.点())1,2,1(12121---M M 与，，，则21M M 的中点坐标是（ ）A 、 ()1,0,1-B 、 ()0,2,0C 、 ()0,2,1D 、 ()0,4,0 138.过点()2,1,1-，且平行于yoz 平面的平面方程为（ ）A 、 0=xB 、 0=zC 、 1-=yD 、 1=x 139.点 ()2,1,1-关于xoz 平面对称点为（ ）A 、 ()2,1,1-B 、 ()2,1,1---C 、 ()2,1,1D 、 ()2,1,1-- 140.设球面方程为022222=+-++z y z y x ，则球心0M 及半径R 分别为（ ） A 、 ()2,1,1,00=-R M B 、 ()2,1,1,00=-R MC 、 ()2,1,1,00=-R MD 、 ()2,1,1,00=-R M 141.平面轴轴、轴、在z y x zy x 132=-+的截距分别为c b a ,,，则（ ） A 、 3,1,21-===c b a B 、 31,1,2-===c b a C 、 31,1,21-===c b a D 、 3,,2-===c b a142.点()0,1,3-在空间直角坐标系的位置是在（ ）A 、 轴zB 、 x o z 平面C 、 x o y 平面D 、 第一卦限内 143.在空间直角坐标系中2222y x z +=的图形为（ ）A 、 球面B 、 圆柱面C 、 锥面D 、 旋轴抛物面 144.点()3,2,1--关于坐标原点的对称点为（ ）A 、 ()3,2,1---B 、 ()3,2,1-C 、 ()3,2,1D 、 ()3,2,1- 145.二元函数()()x y y x z -+-=ln 21arcsin的定义域为（ ） A 、 20≤-≤x y B 、 20≤-<x y C 、 20≤-≤x y D 、 20≤-≤x y146.设有向直线L 的一组方向数为()1,2,1-，且L 与z 轴的夹角为锐角，则L 的方向余弦为（ ） A 、 21c o s ,22c o s ,21c o s =-=-=γβα B 、 21c o s ,22c o s ,21c o s -=-=-=γβα C 、 21cos ,22cos ,21cos -=-==γβα D 、 21c o s ,22c o s ,21c o s ===γβα 147.经过点()()011)1,0,2(111321，，及与，，--P P P 的平面方程为（ ） A 、 024=+-+z y x B 、 024=+--z y x C 、 024=++-z y x D 、 024=+++z y x 148.经过点 ())564(2,1,321---，，、P P 的直线方程为（ ） A 、725113--=-+=-z y x B 、 526143--=-+=-z y x C 、 251634+=-+=-z y x D 、 755614--=--=-z y x 149.⎪⎩⎪⎨⎧==-012222z b y a x 绕y 轴旋转所形成的旋转面的方程为（ ） A 、 122222=-+b y a z x B 、 122222=+-b z y a x C 、122222=--b y a z x D 、 122222=--b z y a x 150.曲线21,1222==++z z y x 在坐标平面xoz 上的投影曲线为（ ） A 、 ⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x B 、⎪⎩⎪⎨⎧=≤=023;21y x zC 、 ⎪⎩⎪⎨⎧=≤=23;21x y z D 、 4322=+y x 151..方程 1222222=-+cz b y a x 的图形为（ ）A 、 双叶子双曲面B 、 单叶子双曲面C 、 双曲抛物面D 、 单叶抛物面 152.函数)ln(1y x z +=的定义域为（ ）A 、 0≠+y xB 、 0>+y xC 、 1≠+y xD 、 10=+>+y x y x 且 153.若()()()=-+>>--=),(,0ln ,22y x y x f y x y x x y x f 则（ ）A 、 )l n (y x- B 、 )l n (2y x - C 、)ln ln(21y x - D 、 )ln ln(2y x - 154.设二元函数=-+=)32,1(,z x y xy z 则（ ） A 、 34 B 、 34- C 、 32 D 、 0155.设()=+=)1,,,22x yf y x xy y x f （则（ ）A 、 22y x xy + B 、 xy y x 22+ C 、 12+x x D 、 122+x x156.函数)ln(1y x z +=的定义域为（ ）A 、 0>+y xB 、 0)l n (≠+y xC 、 1>+y xD 、 1≠+y x 157.二元函数()y x f z ,=在点),(00y x 的偏导数存在是在该点可微的（ ）A 、 充要条件B 、必要条件C 、 充分条件D 、 非充分非必要条件 158.二元函数()y x f z ,=在点),(00y x 连续是该点偏导数存在的（ ）A 、 充要条件B 、非充分非必要条件C 、 充分条件D 、 必要条件 159.=-=dz y x z 则),ln(（ ）A 、dx y x -1 B 、 y x dy -- C 、 yx dydx -+ D 、 y x dy dx --160.设=∂∂=yze x yz则,（ ） A 、 y ze y 21- B 、 x ln C 、 y ze yz2- D 、 x y ln 1-161.若=∂∂+=xuxy u y则,)1(（ ） A 、 1)1(-+y xy xy B 、 12)1(-+y xy y C 、 )1l n ()1(xy xy y ++ D 、 )1l n ()1(xy xy y y ++162.设)0,1(),2ln(),(y f xyx y x f '+=则=（ ） A 、 1 B 、 21C 、 2D 、 0163.设)1,1(,,dze z xy则==（ ）A 、 dx e xyB 、 )(dy dx e +C 、 y d x x d y +D 、 xy e y x )(+164.设则,xy u ==∂∂)1,1(xu( )A 、 0B 、 21C 、 1-D 、 1 165.设方程0=-xyz e z确定隐函数=∂∂=xz y x f z 则),,(（ ） A 、z z +1 B 、 )1(-z x z C 、 )1(+z x y D 、 )1(z x y - 166.设=∂∂=yzy x z 则,cos 2（ ） A 、 y x 2sin B 、 y x x 22s i n C 、 y x 2s i n - D 、 y x x 22s i n - 167.对于函数xy z = ，原点()0,0 （ ）A 、 不是驻点B 、 是驻点但非极值点C 、 是驻点且为极大值点D 、 是驻点且为极小值点168.设生产函数827,33231===K L K L ，则当θ时，资本K 的边际生产率为（ ）A 、94 B 、 836 C 、 3 D 、 2736 169.),(0),(,0),(0000y x f y x f y x f y x 为='='在点),(00y x 有极值的（ ）A 、 充要条件B 、 必要条件C 、 充分条件D 、 无关条件 170.函数）处，在点（0133y x x z --=（ ）A 、 取得极大值B 、 无极值C 、 取得极小值D 、 无法判断是否有极值 171.二元函数22)1()1(y x z -+-=的驻点为（ ）A 、 0,0==y xB 、 1,0==y xC 、 0,1==y xD 、 1,1==y x172.若{}2214D x y =≤+≤，则⎰⎰Ddxdy =（ ）A 、π B 、 π4 C 、 π3 D 、 π2173.设积分区域D 、是由直线1,0,===x y x y 围成，则有⎰⎰Ddxdy =（ ）A 、⎰⎰xdy dx 010B 、⎰⎰ydx dy 010C 、⎰⎰010xdy dx D 、 ⎰⎰yxdx dy 1174.设函数),(y x f 在222:a y x D ≤+上连续，则⎰⎰Ddxdy y x f ),(=（ ）A 、 ⎰⎰-2200),(4x a ady y x f dx B 、⎰⎰--220),(x a aady y x f dxC 、 ⎰⎰adr r r f dx 020)cos ,sin (4θθπ D 、⎰⎰----2222),(x a x a aady y x f dx175.⎰⎰=xx dy y x f d I 2),(1θ，将I 化为先x 后y 的积分，则I =( )A 、 ⎰⎰102),(dy y x f dx xB 、⎰⎰xdx y x f dy 01),(C 、⎰⎰y dx y x f dy 01),( D 、 ⎰⎰yydx y x f dy ),(10176.设D 由曲线x y =及直线x y =所围成，则⎰⎰Dyx dxdy e =（ ）A 、12-e B 、 2e C 、 12+eD 、 1 177.设积分区域由1,2==y x 所围成，则⎰⎰Ddxdy xy 2=（ ）A 、316 B 、 34C 、 2D 、 0 178.设积分区域由x y x xy ===,2,1所围成，则⎰⎰Ddxdy =（ ）A 、 ⎰⎰22121dy dx B 、 ⎰⎰xdy dx 2121C 、 ⎰⎰x xdy dx 121D 、⎰⎰221ydx dy179.⎰⎰≤≤≤≤10214y x xydxdy =（ ）A 、 7B 、 5C 、 3D 、 1 180.设积分区域由240x y y -==及所围成，则⎰⎰Dxdxdy =（ ）A 、⎰⎰-222dy xdx B 、⎰⎰22dy xdx C 、⎰⎰--24022x dy xdx D 、 ⎰⎰2202dy xdx二．填空题：1. y=sinx 的定义域是_____________2. 函数y=23+x 的定义域是______________3. y=x1－21x -的定义域是______________ 4. y=e x的定义域是_____________ 5. y=ln(x+1)的定义域是_____________ 6. y=241x-的定义域是_____________7. 函数x y ln ln =的定义域是 _______ ____8. 已知2()5f x ax bx =++且(1)()83f x f x x +-=+ ，则a= ，b= __________9. ∞→x limxxsin =_____________10. ∞→x lim xxcos =_____________11. +∞→x lim xx e e x--cos =_____________12. 0lim →x xx5sin 2sin =_____________13. 0lim→x xx6sin 3sin =_____________14. =∞→xx x 21sin3lim _____________ 15. .已知21lim21x x ax bx →++=-，则 a = ，b = ____________ 16. 4332(1)2lim21x a x bx x x →∞+++=-+-，则a = ，b = ____________ 17. 22lim(11)x x x →∞+--=____________18. 201()122x x f x x x≤≤⎧=⎨<≤-⎩，在1x =处____________19. 2.()g x x x = 在0x =处____________20. 3.110()120xx h x x ⎧≠⎪=⎨+=⎪⎩ 在0x =处____________21. 4.0()20sin 0x e x I x x x x x⎧⎪<⎪==⎨⎪>⎪⎩ 在0x =处____________ 22. 设(),()y f x f x =-可导，则'y ____________ 23. 设3'cos3[tan()],(0)6xy ex f π-=+= ____________24. 设1sin 2y x x =-，则dx dy= ____________ 25. 210,()arccos(1)x f x x -<<=-，则'()f x = ____________ 26. 曲线y=x 1在点（21,2）处的切线方程是______________ 27. 曲线e xy -=在点(0,1)处的切线的方程是______________ 28. 5428565y x x x x =++-+，则(6)y= ____________29. 设2222,x xy y x +-=则'20|x y y === ____________30. 设需求函数为Q=752p -(p 为价格)，则需求对价格的弹性为______________ 31. 已知函数7214x y =⋅-,则其边际函数为_________,其弹性函数为___________32. 设某产品的产量为x 千克时的总成本函数为20026C x x =++（元），则产量为100千克时的总成本是________元, 平均成本是________元/千克 33. 设F ()x =dt te xt ⎰--1, 则F /()x =_____________34. 函数)1ln(2x y +=的单调上升区间为 ，单调下降的区间为____________35. 当x = ，2332y x x =-取极大值y = ；当x = ，取极小值y = ______36. 已知函数1sin cos33y a x x =+在3x π=处有极值，则a = ，且()3f π为极 值 37. 函数xe x xf -=arctan )(在[0,1]上的最大值为______________38. 函数113y x x =+-在[0，3]上的最大值为 ，最小值为____________39. 曲线212xy e x =-在 内是凹的，在 内是凸的，拐点为____________40. .当a = ，b = ，点（1，2）为曲线42y x ax bx =++的拐点，并问此曲线是否还有其它拐点，若有，其他拐点为____________ 41. 函数x xy 21+=,=dy ______________ 42. 函数y=xcos2x ,=dy ______________ 43. 设x y cos ln =，则=dy _____ ________44. 微分方程：4()0y y xy '''+-=的阶数为____________ 45. 微分方程：21y x y '=+的通解为_____ ________ 46. 若()f x 2x =，20()()d x x f t t Φ=⎰，则d[()]d x xΦ=_____ ________ 47.dx d 201xt dt ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎰_____ ________48. 设⎰xdt t f 0)(=xcosx, 则f(x)=__________49. 设F ()x =⎰-12xttedt, 则F/()x =_____________50. ⎰⎰=____________________)(dx x f d d51. _________________________cot2=⎰xdx52.⎰=+______________________2cos 11du u53. ⎰=___________________________2sin 2dx x 54. x e x f =)(，则⎰=___________)(ln 'dx xx f 55. ⎰=__________________2sin xdx56.__________________________412=-⎰dx x57. ___________________)21(7=-⎰dx x58. ________________________1arctan=⎰dx x59. ⎰=__________________cos sin xdx x x60.⎰=________________________2ln dx x61. ⎰=+______________________33dx x x 62. 方程()01=-+dx y dy e x 的通解为 ____________ 63. 方程xyy x y +='称为微分方程，其通解为 ，满足2)1(=y 的特解为________ 64. 设x x dt t f xln )(0=⎰, 则=)(x f _____________ 65. 设x xxe dt t f =⎰)(, 则=)(x f ____________66. 求dx d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰2021x dt t = ____________ 67. 曲线521y x x =+-的可能拐点为____________68. 00lim x y →→()1sin xy e xy -=____________69. (,),f x y x y xy +-=则 (,)f x y =____________ 70. 已知(sin ,cos )cos 2,f x x x =则(,)f x y =____________71. 已知)0()(22>+=x xy x xy f ，则=)(x f ____________ 72. 设2222),(),(y x y x y x y x f -=+=ϕ，，求=]),,([2y y x f ϕ ____________ 73. 22001lim sinx y x x y →→=+____________74. 222200lim 2x y x y x y →→-+= ____________75. 200cos lim1sin x y x xyxy →→+=-____________ 76. 222200ln(1)limsin()x y x y x y →→++=+____________ 77. 22111limcos(1)x y x y xy →→++=-____________ 78. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin ),(y y yx y x f 在点(0,0)处必 ____________ （连续，不连续）79.2()y d x dxdy=____________ 80. ()x x yx y-'=+____________ 81. (arctan )x yx'=____________ 82. 设yx ez 2-=,而t y t x ==，sin ，则=dtdz____________ 83. 设yxx y =，则=dxdy84. 设022=-++xyz z y x ，则=∂∂xz____________ 85. 33()d x y -=____________86.2()x y x∂+=∂____________ 87. )(x x d y -____________ 88. ()x y d e -=____________89. 函数2ln()z x y =+的全微分dz ＝__________90. 设32y x z =,则当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 时,z ∆= _____,dz =______91. 设y x x y =，则=dxdy92. 022=-++xyz z y x ，则=∂∂xz93. 若点)1,41(是函数b y x a y x x y z )()(ln 2-+++=的一个极值点，则______________==b a ，94. 函数22(,)(2)x f x y e x y y =++在点______取得极______（大，小）值为______ 95. 设D 为半径为3的圆，则Ddxdy =⎰⎰____________96. 0,1x y xydxdy ≤≤=⎰⎰____________ 97. 0,1(2)x y x y dxdy ≤≤-=⎰⎰____________98.1130dx xy dy =⎰⎰____________99. 改变积分次序()2111,x dx f x y dy --⎰⎰= ____________100. 改变积分次序并计算结果32211sin x I dx y dy -=⎰⎰ ____________三．计算题：1. 设函数24)(-⋅=x x x f ,求函数值 )2(f , )2(-f2. 设函数⎩⎨⎧+=x x x f 23)(2 +∞<<≤<-x x 0010，求函数值)2(-f ,(0)f , )2(f3. 求函数2322+-=x x xy 的定义域。
全国成人高考专升本高等数学(一)考点汇编
第一章极限和连续【考点1】极限的三大性质1.唯一性2.局部保号性3.局部有界性【考点2】极限的四大运算法则若lim f (x )=A ,lim g (x )=B ，那么1.lim f (x )士g (x )=lim f (x )士lim g (x )=A 士B2.lim f (x ).g (x )=lim f (x ).lim g (x )=A .B3.limf g x x =l l i i m m f g x x =AB(B 子0)4.lim f (x )g (x )=lim f (x )lim g (x )=A B (A >0)【考点3】夹逼准则若数列{xn },{y n },{z n }满足y n <x n <z n ，且l n y n =lnz n =a ，则数列的极限存在，且l nx n =a若函数f (x ),g (x ),h (x )满足g (x )<f (x )<h (x )，且lim g (x )=lim h (x )=A ，则lim f (x )存在，且lim f (x )=A 【考点4】无穷小量与无穷大量的比阶是在同一自变量变化过程中的无穷小，且a 子0若lim=0，则β是a 的高阶无穷小，记为β=o (a )；若lim =父，则β是a 的低阶无穷小；若lim =c 产0，则β是a 的同阶无穷小；若lim =1，则β是a 的等价无穷小，记为β~a ；若lim=c 产0(k >0)，则β是a 的k 阶无穷小。
【考点5】无穷小量的性质无穷小乘有界函数仍为无穷小；有限个无穷小的和仍为无穷小；有限个无穷小的乘积仍为无穷小。
【考点6】两个重要极限1.lim =1x →0x (1)x2.lx1+x )|=e 【考点7】连续与间断(|l x|l l x=lx=f (x 0)若f (x 0+0),f (x 0−0)均存在，则x 0是第一类间断点f (x 0+0)=f (x 0−0)产f (x 0)时，x 0为可去间断点f (x 0+0)产f (x 0−0)时，x 0为跳跃间断点若f (x 0+0),f (x 0−0)至少有一个不存在，则x 0是第二类间断点极限不存在且为无穷大时，x 0为无穷间断点极限不存在且为振荡时，x 0为振荡间断点sin x 连续：〈第二章一元函数微分学【考点1】导数的概念与几何意义增量式：f '(x 0)=ix,f '(x )=ix（证明用）差值式：f '(x 0)=lx（计算用）切线方程：y −f (x 0)=f '(x 0)(x −x 0)法线方程：y −f (x 0)=−(x −x 0)(f '(x 0)士0)【考点2】导数的计算C '=0(x a)'=axa −1(cos x )'=−sin x (tan x )'=sec 2x(sec x )'=sec x tan x (csc x )'=−csc x cot x (e x)'=ex(log a x )'=(arcsin x )'=(arccos x )'=−(arccot x )'=−(ln (x +))'=(u 土v )'=u '土v '(Cu )'=Cu '(uv )'=u 'v +uv '1.复合函数求导2.反函数求导3.隐函数求导4.幂指函数求导5.参数方程求导6.分段函数求导(sin x )'=cos x (cot x )'=−csc 2x(a x)'=axln a(ln x )'=(arctan x )'=(ln (x +))'='=(v 士0)1−x1−x【考点3】微分中值定理1.罗尔定理：设f (x )在[a ,b ]内连续，(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )，则二ξe (a ,b )，使得f '(ξ)=0.2.拉格朗日中值定理：设f (x )在[a ,b ]内连续，(a ,b )内可导，则二ξe (a ,b )，使得f '(ξ)=f (b )−f (a ).【考点4】洛必达法则若lim f (x )=0(伪/?),lim g (x )=0(伪)，f (x ),g (x )在点x 0的某去心邻域内可导，且limf '(x )存在或为无穷大，则limf (x )=limf '(x )x →x 0g '(x )x →x 0g (x )x →x 0g '(x )【考点5】单调性与极值1.单调性设函数y =f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导如果在(a ,b )内f '(x )之0，且等号仅在有限个点成立，则y =f (x )在上单调递增；如果在(a ,b )内f '(x )<0，且等号仅在有限个点成立，则y =f (x )在上单调递减；2.极值f (x )在x =x 0处连续，且在x 0的某去心邻域内可导若x e (x 0−δ,x 0)时，f '(x )<0，x e (x 0,x 0+δ)时，f '(x )>0，则x 0为极小值点若x e (x 0−δ,x 0)时，f '(x )>0，x e (x 0,x 0+δ)时，f '(x )<0，则x 0为极大值点【考点6】凹凸性与拐点b −ax →x 0x →x 0设y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导若f''(x)>0，则称y=f(x)为凹函数；若f''(x)<0，则称y=f(x)为凸函数2.拐点若f(x)在x0处连续，在x0的某去心邻域二阶可导，f''(x)在点(x0,f(x0))两侧变号（f'(x)单调性相反），则点(x0,f(x0))为y=f(x)的拐点【考点7】曲线的渐近线1.铅直渐近线：若x mx0f(x)=伪，则x=x0为一条铅直渐近线(x→x+0)(x→x−0)2.水平渐近线：若lx=b，则y=b为一条水平渐近线第三章一元函数积分学【考点1】原函数与不定积分的概念1.原函数的定义：如果F(x)在区间I上可导，而且对v x=I，都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数2.原函数存在定理①连续函数必有原函数②含有跳跃、可去、无穷间断点的函数一定没有原函数③含有震荡间断点的函数可能有也可能没有原函数3.原函数之间的关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，其中C为任意常数，这说明，原函数若存在，不唯一。
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全国2011年10月《高等数学(一)》考试重点前言： 很多自考学员反映，在自考复习过程中大多数时候感到既畏惧，又无从下手。
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第一章 函数及其图形1.函数的定义域2.函数的有界性3.函数的奇偶性奇偶性：奇函数x y egx f x f =→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-点对称奇函数的定义域关于原为奇函数)()(偶函数2)()(x y egy x f x f =→⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-轴对称偶函数的定义域关于为偶函数4.函数的反函数性第二章 极限和连续6.数项级数的基本概念记住重要结论：等比级数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=∑-1111q q q a aqn 发散，调和级数n 1∑发散；21n∑收敛。
（注意级数的敛散性）7.无穷小量及其性质，无穷大量 8.两个重要极限1sin lim=→x x x ，e n n n =+∞→)11(lim 9.无穷小量的比较 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞≠≠→的低阶无穷小量是的等价无穷小量是同阶无穷小量是的高阶无穷小量是)()()()(1)()()1()()(00)()()(lim ()x p x a x p x a x p x a c c x p x a x x p x a x ρ10.函数的连续性和函数的运算（1）了解函数极限定义以及有极限函数基本性质（唯一性、有界性、保号性）；（2）分段函数分段点处极限的求法11.函数的间断点12.闭区间上连续函数的性质（零点存在定理）第三章 一元函数的导数和微分14.导数的定义及其几何意义，记住求导数的常用公式00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→，这个式子再求分段函数，含有绝对值的函数的导数的应用。
15.函数可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导。
16.函数的各种求导法则，四则运算，复合函数求导⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧'+'='⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'='-'±'='±2)(v v u v u v u v u v u v u v u v u ）（17.基本初等函数的导数（1）0='C (C 是常数) （2）1)(-='k k kx x （k 为实数） （3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -=' （5）)10(ln 1)(log ,1)(ln ≠>='='a a ax x x xa 且 （6）)1,0(ln )(,)(≠>='='a a a a a e e x x x x （7）x x 2sec )(tan =' （8）x x 2csc )(cot -=' （9）x x x tan sec )(sec =' （10）x x x cot csc )(csc -=' （11）211)(arcsin xx -='（12）211)(arccos xx --='（13）211)(arctan xx +=' （14）211)cot (x x arc +-='18.高阶导数（主要是二阶导数）19.微分的定义和微分的基本公式、运算法则以及以阶微分形式的不变形 dx x f dy )('=20.经济学中的边际函数和弹性函数。
第四章 微分中值定理和导数的应用21.微分中式定理（罗尔定理和拉格朗日中值定理） 罗尔定理：设函数)(x f 满足(1)在闭区间],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))()(b f a f =；则存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf ； 拉格朗日中值定理：设函数)(x f 满足(1)闭区间],[b a 上连续；(2)在开区间),(b a 内可导；则存在一点),(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ或))(()()(a b f a f b f -'=-ξ22.洛必达法则以及等价无穷小量代换求极限 如果)(x f 和)(x g 满足(1))()(lim)(x g x f x →为“οο”或“∞∞”型极限；(2))(x f 、)(x g 在与“)(→x ”相对应的区域内可导，且0)(≠'x g ；(3))()(lim)(x g x f x ''→存在（或为∞） 则)()(lim )()(lim )()(x g x f x g x f x x ''=→→1~ln ~arctan ~arcsin ~tan ~sin 0)1(--+x x e x x x x x ～ 221~cos 1x x - x x 21~)1(2-+23.函数单调性判定 ),(b a x ∈∀⎪⎩⎪⎨⎧↓<'↑>')(,0)()(,0)(x f x f x f x f24.函数极值及其求法 25.函数的最值及其应用 26.函数的凹凸性和拐点27.曲线的水平渐近线、竖直渐近线(1)水平渐近线：假设函数)(x f 的定义域是无穷区间，曲线C 是是它所表示的几何图形，如果有)(C ,)(lim )(lim x f y b y b x f b x f x x ====-∞→+∞→：就是曲线则或的水平渐近线。
（2）竖直渐近线：设函数)(x f 在a 的一个空心邻域（或左邻域，或右邻域）中有定义，如果)(C ,)(lim )(lim x f y a y x f x f ax a x ==∞=∞=+-→→：就是曲线则或的竖直渐近线。
第五章 一元函数积分学28.原函数和不定积分的概念 29.基本积分公式(1)⎰+=c x dx(2)⎰++=+c k x dx x k k11)1(-≠k (3)⎰+=c x dx xln 1(4)⎰+=c aa dx a xxln (5)⎰+=c e dx e xx(6)⎰+-=c x xdx cos sin (7)⎰+=c xdx sin cos(8)⎰⎰+==c x dx x xdx tan cos 1sec 22(9)⎰⎰+-==c x dx x xdx cot sin 1csc 22(10)⎰+=c x xdx x sec tan sec(11)⎰+-=c x xdx x csc cot csc(12)⎰'+-=+=c x c x dx xarccos arcsin -112(13)⎰'+-=+=+c x arc c x dx x cot arctan 112(14)⎰+-=c x xdx cos ln tan (15)⎰+=c x xdx sin ln cot (16)⎰++=c x x xdx tan sec ln sec (17)⎰+=c x x xdx cot -csc ln csc (18)⎰+=+c axa dx a x arctan 1122 (19)⎰++-=-c ax a x a dx a x ln 21122 (20)⎰+=-c a xx a dxarcsin 22(21)⎰+++=+c a x x a x dx )ln(2222(22)⎰+-+=-c a x x a x dx 2222ln30.不定积分的换元积分法和分部积分法换元积分法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=='=+=='==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=C x G Ct G dt t g dt t t f dx x f C x F x d x f dx x x f dx x g dx x g t x ))(()()()())(()())(()())(()())(()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ第二换元积分法：分法）第一换元积分法（凑微分部积分法：⎰⎰'-='dx u v uv dx v u31.微分方程初步（1）可分离变量微分方程的求解步骤 （2）非齐次线性微分方程的通解公式])([)()(C dx e x Q ey dx x p dxx p +=⎰⎰⎰-32.定积分的概念33.变上限积分和牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式a babx F b F a F dx x f )()()()(=-=⎰，其中)(x F 是)(x f 的一个原函数； 变上限积分求导公式)())(())()((x g x g f dt t f ax g '⋅='⎰34.定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分：dt t t f dx x f a b )())(()('ϕϕβα⎰⎰= 定积分的分部积分：⎰⎰-=bavdu a b uv udv a b35.无穷限反常积分敛散性的判定 36.定积分的几何应用求面积⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎰⎰dyy y c d A dx x f x g a b A )]()([)]()([ϕϕ左右边界：上下边界：求体积⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======⎰⎰⎰⎰⎰⎰dyy c d dy x c d dv c d Vy y dx x f a b dx y a b dv a b Vx x 2222)]([)]([ϕππππ轴旋转绕轴旋转绕第六章 多元函数积分学37.偏导数和全微分偏导公式：),(00y x f x '，),(00y x f y '主要为二阶偏导。
全微分：dy y x y f dx y x x f dz ),(),('+'= 多元函数全微分：dy v z u z dx v z u z ydy z xdx z dz y v y u x v x u)()('+'+'+'='+'= 38.复合函数求导x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 39.隐函数及其求导法则 0),(=y x F ，则),(),(y x y F y x x F dx dy ''-=，dx y x y F y x x F dy ),(),(''-=40.二元函数的极值及其求法 41.二阶偏导数42.二重积分的概念和计算三种情况：1）{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,,⎰⎰⎰⎰==Ddx dy y x f cda b d y x f V ]),([6),(2）{}b x a x y x y x D ≤≤≤≤=),()(,21ϕϕ⎰⎰⎰⎰==Ddy y x f x x x a b d y x f V ),()()(),(12ϕϕσ3）{}d y c y x y y x D ≤≤≤≤=),()(,21ϕϕ）（⎰⎰⎰⎰==Ddx y x f y y d a bd y x f V ),()()(6),(12ϕϕσ。