第6讲 函数的单调性学生
函数单调性教案-ppt课件
定义：
y y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1
x2
x
探求新知
y y f(x)
注意：
f(x1) f(x2)
O x1 x2
x
在给定的区间上任
取x1，x2； x1 x2
f(x 1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为增函数。这
个给定的区间就为
单调增区间。
在给定的区间上任
x x 取x1，x2； 1
1 证明函数f（x）=-x2在0, 上是减函数.
2、预习下节课我们要学习的内容——最大(小)值.
函数单调性
复习思考
1 函数的概念？
设A，B为非空数集，如果按某一确定的对应关系f，使对于 集合A中任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对 应，那么就称对应f：A→B为从集合A到B的映射；即f：A→B的 一个函数.记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.
函数的三要素：定义域、值域、对应关系
2
f(x1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区
间上为减函数。这
个给定的区间就为
单调减区间。
巩固反思
例1 如右图是定义 在闭区间 [-5，5]上的 函数y=f(x) ，根据图 象说出函数的单调区 间，以及在每一单调 区间上，它是增函数 还是减函数.
解：函数y=f(x) 的单调区间有[-5,-2) , [-2,1) , [1,3) , [3,5).
在定义域区间内，
① 图像从左到右一直上升——x的值增大,函数值y也增大； ② 图像从左到右一直下降——x的值增大,函数值y反而减小. 问题2：那么对于二次函数的变化规律又是怎样描述的呢？
y
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)章节一：函数单调性的引入1. 引入概念：单调增加和单调减少2. 讲解实例：设f(x) = x，则f(x)在实数集上单调增加设g(x) = -x，则g(x)在实数集上单调减少3. 总结：函数单调性是描述函数值变化趋势的重要性质，分为单调增加和单调减少两种情况。
章节二：函数单调性的定义1. 定义单调增加：若对于任意的x1 < x2，都有f(x1) ≤f(x2)，则称f(x)在区间I上单调增加。
2. 定义单调减少：若对于任意的x1 < x2，都有f(x1) ≥f(x2)，则称f(x)在区间I上单调减少。
3. 举例说明：设h(x) = 2x + 3，则h(x)在实数集上单调增加设k(x) = -x^2 + 1，则k(x)在区间[-1, 1]上单调增加，在区间(-∞, -1]和[1, +∞)上单调减少章节三：函数单调性的判断方法1. 导数法：若函数f(x)在区间I上可导，且导数f'(x) ≥0（单调增加）或f'(x) ≤0（单调减少），则f(x)在区间I上单调增加或单调减少。
2. 图像法：绘制函数图像，观察函数值的变化趋势，判断单调性。
3. 表格法：列出函数在不同x值下的函数值，观察函数值的变化规律，判断单调性。
章节四：函数单调性的应用1. 最大值和最小值：对于单调增加的函数，最大值出现在定义域的右端点；对于单调减少的函数，最小值出现在定义域的左端点。
2. 函数的切线：单调增加的函数在切点处的切线斜率为正；单调减少的函数在切点处的切线斜率为负。
3. 函数的图像：单调增加的函数图像上升，单调减少的函数图像下降。
章节五：单调性在实际问题中的应用1. 线性规划：利用函数的单调性确定最优解的位置。
2. 优化问题：求函数的最值，利用函数的单调性判断最值的位置。
3. 经济学：分析市场需求和供给的单调性，预测市场变化趋势。
4. 物理学：研究物体运动的速度和加速度，利用单调性分析物体的运动状态。
《函数的单调性》说课PPT精选全文完整版
调区间，判断它们的单调性，并加以证明。
引领探索 建构概念
举例巩固 深化概念
知识应用 形成技能
回顾总结 布置作业
（－∞，0] ，（0,+∞)
和
f (x2 ) f (x1) x22 x12 (x2 x1)( x2 x1)
24
函数的单调性
教材分析 学情分析 教学目标 教学设计 教学过程 教学反思
28
检验 评价
函数的单调性
教材分析 学情分析 教学目标 教学设计 教学过程 教学反思
创设情境 导入新课
利用函数的单调性比较大小
引领探索 建构概念
举例巩固 深化概念
知识应用 形成技能
回顾总结 布置作业
例例55 已已知知函函数数 ff((xx))是是区区间间（（00，，++∞∞））上上的 增的函增数函，数判，断判断 ff(1(1))与与ff(的3(3))的大大小小关关系系．．
依据： 判断和证明的前提； 提高推理论证的思维能力。
重点难点
难点： 理 增解 、并 减能 函用数符的号定语义言。描述
依据： 学生很难从描述性语言过渡 到严谨的数学符号语言。
7
函数的单调性
教材分析 学情分析 教学目标 教学设计 教学过程 教学反思
设计理念 资源整合 教法学法 教学环节
问题驱动 教师主导 学生主体 合作探究
铺垫
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迁移能力
函数的单调性
教材分析 学情分析 教学目标 教学设计 教学过程 教学反思
创设情境 导入新课
问题
引领探索 建构概念
举例巩固 深化概念
如何利用函数的单调性比较两个函 数值的大小？
知识应用 形成技能
回顾总结 布置作业
函数单调性课件公开课
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
如果对于属于定义I域内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于区间D的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 义 那么就说 f (x)在区间D上 是单调增函数，D称为 f (x)的单调
增区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
函数在其定义域内某一点处的函数值 画出下列函数图像，并写出单调区间：
试用定义法证明函数
是确定的，讨论函数在某点处的单调 在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
性无意义。若函数在区间端点处有定 区间D内随着x的增大，y也增大
x
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大f(x2)N？
对区间D内任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
D x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值(解析版)
第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值1．函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在该区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在该区间内单调递减.2．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： ()0f x '>⇒()f x 单调递增； ()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减； ()f x 单调递减()0f x '⇒≤.3．函数极值的概念设函数()y f x =在点0x 处连续且0()0y f x '==，若在点0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0x 为函数的极大值点；若在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，则0x 为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 4．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点. 5．函数的最大值、最小值若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在[],a b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.6．求函数的最大值、最小值的一般步骤设()y f x =是定义在区间[],a b 上的函数，()y f x =在(,)a b 可导，求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.1．已知0x 是函数()e ln x f x x =-的极值点，若()00,a x ∈， ()0,b x ∈+∞，则 A. ()0f a '>， ()0f b '< B. ()0f a '<， ()0f b '< C. ()0f a '>， ()0f b '> D. ()0f a '<， ()0f b '> 【答案】D【解析】因为()1(0)x f x e x x '=->，令()1=0x f x e x '=-，即1=x e x ，在平面直角坐标系画出1,x y e y x==的图象，如图：根据图象可知， ()()()()000,,0,,,0x x f x x x f x '∞'∈∈+，所以 ()0f a '<， ()0f b '>，故选D.2．已知20a b =≠，且关于x 的函数()321132f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为（ ）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】()321132f x x a x a bx =++⋅在R 有极值， ()2'0f x x a x a b ∴=++⋅=有不等式的根， 0∴∆>，即2240,4cos 0a a b a a b θ-⋅>∴->，120,cos 2a b θ=≠∴<， 0,3πθπθπ≤≤∴<≤，即向量,a b 夹角范围是,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.3．在ABC ∆中， ,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A. 0 B. 32- C. 32D. -1 【答案】D【解析】()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+，∴f′（x ）=x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ），又∵函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，∴x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ）=0有两个不同的根，∴△=（2b ）2-4（a 2+c 2-ac ）＞0，即ac ＞a 2+c 2-b 2，即ac ＞2accosB ；即cosB ＜12，故∠B 的范围是（π3π，），所以23B π- 5,33ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3112B 326B πππ-==，即 时sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是-1 故选D4．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx ， 11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，又无极小值 【答案】D【解析】因为xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，所以()()2ln xf x f x x x x -='，所以()'ln ()f x xx x=，所以f (x )＝12x ln 2x ＋cx .因为f (1e )＝12e ln 21e ＋c ×1e ＝1e ，所以c ＝12，所以f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝12(ln x ＋1)2≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造()()x f x g x e =， ()()f x f x '+构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '-构造()()f xg x x=， ()()xf x f x '+构造()()g x xf x =等 5．设a R ∈，若函数,x y e ax x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）A. 1a e<- B. 1a e >- C. 1a >- D. 1a <-【答案】D【解析】()x f x e a '=+（x>0）,显然当0a ≥时， ()0f x '>，f(x)在R 上单调递增，无极值点，不符。
2016届高三第一轮第6讲 函数的单调性与最值
诸城一中高三数学一轮复习第6讲函数的单调性与最值班级： 姓名： 命题人：谭玉邦 审核人：孙建鹏 2015-06-18 教师寄语：反复印象深刻、反思思维灵活！一、 高考要求：1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2、会运用函数的图象理解和研究函数的性质. 【2016年高考预测】1．考查求函数单调性和最值的基本方法． 2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．．二、知识点梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义2．函数的最值说明：1、函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 2、设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 3、两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．三、双基自测1．设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )＜0的解集为( )． A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)2．(2011·湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )． A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______．5．若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．考向一 函数的单调性的判断【例1】►试讨论函数f (x )＝xx 2＋1的单调性． [审题视点] 可采用定义法或导数法判断．【训练1】 讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．考向二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例2】►已知函数f (x )＝x 2＋ax (a >0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．[审题视点] 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性．【训练2】 函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3总结：已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．考向三 利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[审题视点] 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形．反思：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．【训练3】 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．考向四 不等式恒成立问题在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗透，使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置.【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等.例4、已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．利用函数性质求f (x )的最值，从而解不等式f (x )min ≥a ，得a 的取值范围．解题过程中要注意a 的范围的讨论．【训练4】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 四、高考真题在线1、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1) 2、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)3、[2014·天津卷] 函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 4、函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 5、设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当z xy 取得最大值时，z y x 212-+的最大值为 (A ）0 （B ）1 （C ）49(D ）3函数的单调性与最值双基训练一、选择题1、下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是 ( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋42、函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 ( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123、(教材习题改编)函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是 ( )A.45B.54C.34D.434、(2010·北京高考)给定函数①y ＝12x；②)1(log 21+=x y ；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5、(2012·广东六校第二次联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是 ( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln|x |C ．y ＝1x2 D ．y ＝cos x6、(2012·长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k 取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为 ( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)7、(2012·长春模拟)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1(4－a2)x ＋2 ，x ≤1 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)8、已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0, 则a 的取值范围是( ) A.(22，3) B.(3，10) C.(22，4) D.(－2，3)二、填空题9、(教材习题改编)x x x f 2)(2-= (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 10、已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫|1x |<f (1)的实数x 的 取值范围是________． 11、(2012·枣庄模拟)函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．12、函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．13、(2012·汉中模拟)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，若f (x ) 在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2， 则a ＝__________.14、函数[]x x y -=的最小值为__________15、已知偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，则)43(-f 与)1(2+-a a f 的大小为________。
《函数的单调性》说课稿(附教案)
《函数的单调性》说课稿一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数概念等基础知识后，学习函数的第一个性质，主要刻画了函数在某区间上图象的变化趋势（上升或下降），为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
而且在解决解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标的确定：根据本课教材内容的特点、学生现有知识基础、认知能力以及所任教班级学生的特点，本节课从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的理解；强调判断、证明函数单调性的方法的落实；突出逻辑思维能力、类比化归、数形结合能力的培养。
三、教学诊断分析:在函数单调性这节课中，对于函数的单调性，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：（1）“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难。
困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述。
即把某区间上“随着x 的增大，y 也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的21x x <，有)()(21x f x f <”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的12x x 、。
（2）利用定义证明函数的单调性过程中，对学生在代数方面严格推理能力的要求对高一的学生同样比较困难。
针对这两方面学生存在的困难，在教学中我所采用的教师启发引导，学生探究学习的教学方法，以及多媒体直观教学和反例的恰当应用，较好的解决了学生在这两方面的困惑。
此外，在教学过程中，单调性定义还需要注意以下易错点和疑点：（1）单调性是函数的一个区间上的性质，函数在不同的区间上可以有不同的单调性。
函数的单调性(公开课课件)
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
第6讲 函数的单调性与最值
变式 (2)函数 y＝ －x2＋3x－2的单调递增区间为_________．
()
()
目标 3 函数单调性的应用
3 (1)已知函数f(x)＝－x ln 2－x3，则不等式f(3－x2)＞f(2x－5)的解集为( )
A．(－4，2)
B．(－2，2)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
M为最小值
4．求函数最值的依据： 我们知道连续函数在闭区间内一定存在最大值和最小值． (1) 当 函 数 为 单 调 函 数 时 ， 区 间 两 端 点 处 的 函 数 值 分 别 为 ____最_大__(小__)值_____； (2)当函数不单调时，函数的极大(小)值与区间端点处的较大 (小)值中最大(小)的函数值为函数在给定区间的 ___最__大_(_小_)_值_____．
目标 1 函数单调性的判断
1 (1)判断并证明 f(x)＝x2＋x 4在(0，＋∞)上的单调性． (2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：ⅰ)对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(xy) ＝f(x)＋f(y)；ⅱ)当且仅当x＞1时，f(x)＜0成立． ①求f(1)的值；
②用定义证明f(x)的单调性．
3．(人A必一P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋3在R上是减函数，则实数k的取值范
围是______________．
4．(人 A 必一 P79 例 3 改编)函数 y＝x＋4x(x＞0)的单调递增区间是______________． 5．函数 y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值为__________．
第二章 基本初等函数
第6讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
定义
名师导学高考数学一轮总复习第二章函数第6讲函数的单调性课件文新人教A版
第五页，共35页。
5.对任意 a，b∈R，记 max{a，b}＝ba，，aa<≥bb. ，函数 fx＝ 3
max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是 2 .
【解析】作出函数 y＝x＋1和 y ＝x－2的图象，如图，由图可知 f(x)
＝x2＋－1x，，xx≥<1212，所以 f(x)的最小值
为 f12＝32.
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【知识要点】
1.单调函数的有关概念
(1)增函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自
变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说
f(x)在这个区间上是增函数.
(2)减函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自
变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说
立.
即
a≥
x2＋2x x＋1
＝
（x＋1）2－1 x＋1
＝
(x
＋
1)
－
1 x＋1
对
任
意
x∈(－1，1)都成立.
令 y＝(x＋1)－x＋1 1，则 y′＝1＋（x＋11）2>0.
∴y＝(x＋1)－x＋1 1在(－1，1)上单调递增.
∴y<(1＋1)－1＋1 1＝32.
∴a≥32.
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(3)若函数 f(x)在 R 上单调递减， 则 f′(x)≤0 对任意 x∈R 都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0 对任意 x∈R 都成立， ∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0 对任意 x∈R 都成立.
2.判断函数单调性的常用方法
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第6讲函数的单调性
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
[玩转典例]
题型一 函数单调性的判断和证明
例1 判断并证明函数y ＝x ＋2x ＋1
在(－1，＋∞)上的单调性．
例2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，
－1，x ＜0，
g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________． 例3. 函数的单调递增区间为 .
[玩转跟踪]
1.已知函数f (x )＝2－x x ＋1
，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.
2.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b
>0，则必有( ) A.函数f (x )先增后减
B.f (x )是R 上的增函数
C.函数f (x )先减后增
D.函数f (x )是R 上的减函数
3.画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间.
223y x x =--
题型二 函数单调性的应用
角度一：利用函数的单调性求最值
例4 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1
的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝ax ＋1a
(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．
角度二：利用函数的单调性求解不等式
例5 1.(1)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则实数a 的取值范围为________.
(2) 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．
2.探究与创新
设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：
(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；
(2)f (2)＝1；
(3)在(0，＋∞)上是增函数.
如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围.
角度三：利用函数的单调性求参数
例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞
B.⎣⎡⎭
⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0
(2).已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是________.
题型三 分类讨论二次函数单调性和最值
例7 求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的单调性和最小值．
【玩转跟踪】
1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．
2．已知函数32)(2
+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．
题型四 抽象函数单调性和最值
例8 已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，
f (1)＝－23
. （1）求证：)(x f 在R 上是减函数；
（2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．
【玩转跟踪】
1.已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，
且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅． （1）求)1(f 的值；
（2）证明)(x f 在定义域上的增函数；
（3）解不等式0)]2
1([<-x x f ．
[玩转练习]
1.下列说法中，正确的有( )
①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
＞0，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；
③函数y ＝－1x
在定义域上是增函数； ④函数y ＝1x
的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A.y ＝|x |
B.y ＝3－x
C.y ＝1x
D.y ＝－x 2＋4
3.若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )
A.(－∞，40)
B.[40,64]
C.(－∞，40]∪[64，＋∞)
D.[64，＋∞)
4.若f (x )为R 上的增函数，kf (x )为R 上的减函数，则实数k 的取值范围是( )
A.k 为任意实数
B.k ＞0
C.k ＜0
D.k ≤0
5.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是________.
6. 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.
7.求证：函数f (x )＝－1x
－1在区间(－∞，0)上是增函数.
8.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )
A.a ＞－14
B.a ≥－14
C.－14≤a ＜0
D.－14
≤a ≤0
9.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则()
A.f(－1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(－1)
C.f(2)<f(－1)<f(1)
D.f(1)<f(－1)<f(2)
10.讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的单调性.
11.已知函数f(x)在实数集中满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)在定义域内是减函数.
(1)求f(1)的值；
(2)若f(2a－3)＜0，试确定a的取值范围.。