解直角三角形(方位角问题)

第五章 空间与图形

5.7 解直角三角形

【基础巩固】

1、勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：2

22c b a =+。

逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足2

22c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 2、直角三角形的边角关系:锐角三角函数 （1）. 正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边

的对边

A A ∠=

sin ;

（2）. 余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边

的邻边

A A ∠=

cos ;

（3）. 正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边

的对边

A A A ∠∠=

tan

（4）余切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边

的邻边

A A A ∠∠=

cot ;

（5）.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 在一个直角三角形中，若∠A 为锐角，则

①)90cos(sin A A ∠-︒=； )90sin(cos A A ∠-︒=

解直角三角形 勾股定理

锐角三角函数

考查内容

考查角度

方向角问题

楼的高度 旗杆高度 山的高度 坑的深度

图 1

图 3 图4 ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒= (6).特殊角的锐角三角函数值

3.仰角与俯角

当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角．． 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角．．

4. 坡角

坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．

)。用字母i 表示， 即A l

h

i tan ==

5.方位角与方向角

从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．

。 如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．

。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西

60°。

6.解直角三角形

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有

(1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2

；

(2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：

0º 30 º

45 º 60 º 90 º sin α 0 2

1 2

2 2

3 1 cos α 1 23 2

2 2

1 0 tan α 0 3

3 1 3

— cot α

—

3

1

3

3 0

h

i=h:l

l

B

C

;cot ,

tan ,

cos ,

sin a b

A b a

A c b

A c a

A ====

;cot ,

tan ,

cos ,

sin b

a

B a b

B c a

B c b

B ====

(4)面积公式:chc ab 2

1

21S ==

∆(hc 为C 边上的高);

【答题技巧】

解直角三角形解题步骤：构造直角三角形——找到已知元素——利用勾股定理和三角函数求出未知元素

解直角三角形必须注意：（1）必须以直角三角形为前提；（2）利用好两锐角互余。

【直击中考】 1、方向角问题

例1. ★★★ (08河北22．9)气象台发布的卫星云图显示，代号为W 的台风在某海岛（设为点O ）的南偏东45方向的B 点生成，测得1006km OB =．台风中心从点B 以40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处．因受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km/h 的速度向北偏西60方向继续移动．以O 为原点建立如图12所示的直角坐标系． （1）台风中心生成点B 的坐标为 ，台风中心转折点C 的坐标为 ；（结果保留根号）

（2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A ）位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？

【分析】

（1）根据OB 的方向角和OB 的长度确定B 点到X 轴、Y 轴的距离，即为B 点坐标；根据运动过程得出BC 长度，进而求出C 点坐标； （2）台风从生成到最初．．侵袭该城即为台风到A 点为20km ，解直角三角形计算出AC 长度进而找到C 点到最初侵袭的距离，此距离与台风速度的比即为所用时间。

点评：此题是解直角三角形的典型题目，台风背景下的方向角问题，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．

x /km

y /km

北

A

O B C 60

45

图12

【真题演练】

1. ★★★(2012•连云港)已知B 港口位于A 观测点北偏东53.2°方向，且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16k m ，一艘货轮从B 港口以40k m/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行，15mi n 后达到C 处，现测得C 处位于A 观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长(精确到0.1k m )．(参考数据：s i n 53.2°≈0.80，co s 53.2°≈0.60，s i n 79.8°≈0.98，co s 79.8°≈0.18，tan 26.6°≈0.50，

≈1.41，

≈2.24)

8．★★★(2012•扬州)如图，一艘巡逻艇航行至海面B 处时，得知正北方向上距B 处20海里的C 处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A 处的救援艇前往C 处营救．已知C 处位于A 处的北偏东45°的方向上，港口A 位于B 的北偏西30°的方向上．求A 、C 之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据

≈1.41，

≈1.73)

1、（2013年潍坊市）一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近.同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）.

A.310海里/小时

B. 30海里/小时

C.320海里/小时

D.330海里/小时

1.★★★(2012•连云港)已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16k m，一艘货轮从B港口以40k m/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15mi n后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1k m)．(参考数据：s i n53.2°≈0.80，co s53.2°≈0.60，

s i n79.8°≈0.98，co s79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)

3、（2013年河北）如图1，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，

它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到

达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的

距离为

A．40海里B．60海里

C．70海里D．80海里

4、（2013•荆门）A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．

5、（2013•湘西州）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B 处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．

（1）请在图中作出该船在点B处的位置；

（2）求钓鱼岛C到B处距离（结果保留根号）

6、（2013年广州市）如图10，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里.

（1）求船P到海岸线MN的距离（精确到0.1海里）；

（2）若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处.

7、(2013年广东湛江)如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北

偏西30ο的方向上，随后渔政船以80海里小时的速度向北偏东30ο

的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船

的北偏西60ο的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．

≈）

（结果保留小数点后一位，3 1.732

15、（2013•自贡）在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19.5km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距km 的C 处．

（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．

16、(2013年黄石)高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音。如图，点A 是某市一

高考考点，在位于A 考点南偏西15°方向距离125米的C 点处有一消防队。在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C 点北偏东75°方向的F 点处突发火

灾，消防队必须立即赶往救火。已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶。试问：

消防车是否需要改道行驶？说明理由.3取1.732）

17、（2013四川南充，21，8分）如图，公路AB 为东西走向，在点A 北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M ；在点A 北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N （参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）. （1）求M ，N 两村之间的距离；

（2）要在公路AB 旁修建一个土特产收购站P ，使得M ，N 两村到P 站的距离之和最短，求这个最短距离。

C

北

A 15°

75°

F

北

18、（2013•新疆）如图所示，一条自西向东的观光大道l 上有A 、B 两个景点，A 、B 相距2km ，在A 处测得另一景点C 位于点A 的北偏东60°方向，在B 处测得景点C 位于景点B 的北偏东45°方向，求景点C 到观光大道l 的距离．（结果精确到0.1km ）

20、（2013达州）钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿

开展常态化监视监测。如图，E 、F 为钓鱼岛东西两端。某日，中国一艘海监船从A 点

向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离CF=203公里，在A 点测得钓鱼岛最西端F 在最东端E 的东北方向（C 、F 、E 在同一直线上）。求钓鱼岛东西两端的距离。2 1.41≈3 1.73≈，结果精确到0.1）

北

A N

M

B