方向角问题1
26.4 解直角三角形的应用 - 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件(共23张PPT)
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
第1课时 视角问题与方向角问题
如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得 楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°. 已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房BC的高度．(参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，sin 38.5°≈0.62，cos 38.5°≈0.78，tan 38.5°≈0.80)
28．2. 2 应用举例
第1课时 视角问题与方向角问题
1．解直角三角形的应用——仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角是__仰角 __，视线在水平线下
方的角是__ 俯角__． 因为光是沿直线传播的，因此在视角问题中，过视线上的某个点作水平直线的垂线， 则得到直角三角形，由此，在视线问题中，常通过作垂线或平行线构造直角三角形， 为利用三角函数计算创造条件．
5.(苏州模拟)“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新的游戏：“奔跑” 路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东 30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD＝BC＝30 m．从A
地跑到D地的路程是( D )
A．30 3 m C．30 2 m B．20 5 m D．15 6 m
2．解直角三角形的应用——方向角 方向角一般是指以__观测者 __的位置为中心，将__ __方向作为起始方向旋转到 正北或正南 目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)××度，若正好为 45°，则表示为如：西南方向等． 方位角是一种具有特殊形式的角，具有角的一切特点，为此，解题时应首先把方位角
3
3．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的正确式子是( C ) A．CD＝bsin 33°＋a B．CD＝bcos 33°＋a
方向角问题
1、在南北海岸线有A、B两港口，相距(120-120)海里，一船从A港出发，沿北偏东60°方向航行，当船到达C处时，从B港测得此时船在B 港的南偏东45°处，求这时C处到海岸线AB的距离。
2、一轮船在海面上A处，沿着南偏东75°方向以每小时24海里的速度航行，为了确定船的位置，船在A处测得灯塔B在北偏东45°的方向上，船按原来航向和航行速度继续航行40分钟到达C处，测得灯塔B恰好在正北方向，求此时船与灯塔的距离(精确到0.1海里)sin75°=0.9659,cos75°=0.2588,tan75°=3.7321,cot75°=0.26793.一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？4、正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．5.如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？6、已知：某次台风目前正位于A 地朝北偏西45°的方向移动，台风中心最大风速为25千米/时，在半径为240千米的范围内将受到影响，城市B恰在A地正西方和与A地距离300千米处，试问B市气象部门应当怎样报道这次台风对城市B的影响？（B 市是否遭到台风的影响？若受影响，从何时开始到何时结束，时间多长）7、轮船在离观察站A正北海里处的港B出发，向正东方向航行，在观察站A第一次测得该船在A的北偏东30゜的M处，半小时后又测得该船在A的北偏东60゜的N处，求船速。
专题1-5三角函数的应用-方向角问题-(解析版)
2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.5三角函数的应用-方向角问题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A．200tan70°米B．米C．200sin 70°米D．米【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．【解答】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°，∴PT，即河宽米，故选：B．2．（2020•济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C 在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝42°，根据等角对等边得出BC＝AB，求出AB即可．【解答】解：如图．根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，∴BC＝AB，∵AB＝15×2＝30（海里），∴BC＝30（海里），即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．3．（2019•济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37°，tan53°）A．225m B．275m C．300m D．315m【分析】如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．构建方程组求出x，y即可解决问题．【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°，即，在Rt△AEC中，tan37°，即，解得x＝180，y＝135，∴AC300（m），故选：C．4．（2020•岱岳区一模）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（）A．1小时B．小时C．2小时D．小时【分析】过B作AC的垂线，设垂足为D．由题易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，则∠CBD＝∠CBA ＝30°，得AC＝BC．由此可在Rt△CBD中，根据BC（即AC）的长求出CD的长，进而可求出该船需要继续航行的时间．【解答】解：作BD⊥AC于D，如下图所示：易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，则∠CBD＝∠CBA＝30°．∴AC＝BC，∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，∴AC＝BC＝2×40＝80海里，∴CD BC＝40海里．故该船需要继续航行的时间为40÷40＝1小时．故选：A．5．（2020•开平区一模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（）A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°【分析】由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出∠BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO＝BO，得出∠BAO＝50°，以及求出∠BAD的度数，得出点B位于点A的方向．【解答】解：∵甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，两船的航行速度相同，∴AO＝BO，∠BOA＝80°，∠OAD＝30°∴∠BAO＝∠ABO＝50°，∴∠BAD＝∠BAO﹣∠OAD＝50°﹣30°＝20°，∴点B位于点A的南偏西20°的方向上，故选：C．6．（2019•泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC 于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．7．（2019秋•乐亭县期中）如图，一艘油轮在海中航行，在A点看到小岛B在A的北偏东25°方向距离60海里处，油轮沿北偏东70°方向航行到C处，看到小岛B在C的北偏西50°方向，则油轮从A航行到C处的距离是（）海里．（结果保留整数）（参考数据： 1.41， 1.74， 2.45）A．66.8 B．67 C．115.8 D．116【分析】过B作BD⊥AC于D，求出∠BAC和∠BCA，解直角三角形求出AD、BD、CD，即可求出答案．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA＝∠BDC＝90°，由题意知：∠BAC＝70°﹣25°＝45°，∵AM∥CN，∴∠MAC+∠NCA＝180°，∴∠NCA＝180°﹣70°＝110°，∴∠BCA＝110°﹣50°＝60°，∵AB＝60海里，∠BAD＝45°，∴AD＝AB×cos45°＝30海里，BD＝AD＝30海里，CD10海里，301030×1.41+10×2.45≈67∴AC＝AD+CD＝67海里，故选：B．8．（2019•咸安区一模）如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（）A．海里B．海里C．海里D．海里【分析】作AC⊥OB于C点，根据题目提供的方向角，并从图中整理出直角三角形的模型，利用解直角三角形的知识求得BC的长即可．【解答】解：作AC⊥OB于C点，只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，由已知得：∠AOB＝30°，∠ABC＝45°、OB＝20海里，∴BC＝AC，CO＝AC÷tan∠AOB＝AC÷tan30°，∵CO﹣CB AC＝20，解得：AC海里，∴BC＝AC＝10（1）海里，故选：A．9．（2019•张家口二模）如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，AC＝15m，那么河AB宽为（）A．15m B．m C．m D．m【分析】先过C作CE⊥AB，在Rt△ACE中，根据∠CAD＝60°，AC＝15m可得出∠ACE的度数及AE、CE的长，再根据∠BCA＝30°可求出∠BCE的度数，由锐角三角函数的定义即可得出BE的长，进而可求出AB的长．【解答】解：过C作CE⊥AB，Rt△ACE中，∵∠CAD＝60°，AC＝15m，∴∠ACE＝30°，AE AC15＝7.5m，CE＝AC•cos30°＝15，∵∠BAC＝30°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝60°，∴BE＝CE•tan60°22.5m，∴AB＝BE﹣AE＝22.5﹣7.5＝15m．补充方法：∵∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，∴∠CBA＝∠CAD﹣∠BCA＝30°，∴AB＝AC＝15m．故选：A．10．（2018•苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2P A，求出P A即可解决问题；【解答】解：在Rt△P AB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2P A，∵P A＝AB•tan60°，∴PC＝2×2040（海里），故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•邹城市一模）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是18海里（结果保留根号）．【分析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，首先在Rt△BCD中求得CD的长，然后在Rt△ACD中求得AC 的长即可．【解答】解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝12×1.5＝18（海里），∠CBD＝45°，∴CD＝BC•sin45°＝189（海里），则在Rt△ACD中，AC92＝18（海里）．故我渔政船航行了18海里．故答案为：18．12．（2019•荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为22海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，2.24）【分析】根据题意得MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，于是得到BN ＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，得到四边形AMNE是矩形，根据矩形的性质得到AE＝MN＝20，EN＝AM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，∴BN＝MN＝20，如图，过A作AE⊥BN于E，则四边形AMNE是矩形，∴AE＝MN＝20，EN＝AM，∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，∴BE＝20﹣10＝10，∴AB1022海里．故答案为：22．13．（2019•宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为566米．（精确到1米，参考数据： 1.414， 1.732）【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB400566（米）故答案是：566．14．（2019•新宾县四模）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（2）km．【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD＝DE，进而得出EC＝BE＝2km，再利用勾股定理得出DE 的长，即可得出答案．【解答】解：在CD上取一点E，使BD＝DE，∵CD⊥AB，∴∠EBD＝45°，AD＝DC，∵AB＝AD﹣BD，CE＝CD﹣DE，∴CE＝AB＝2km，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC＝2km，∴BD＝ED km，∴CD＝2（km）．故答案为：（2）km．15．（2019秋•德州期中）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝7海里．【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠P AD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°且∠PBD＝∠P AB+∠APB，∠P AB＝90﹣75＝15°∴∠P AB＝∠APB∴BP＝AB＝7（海里）故答案是：7．16．（2018•辽阳）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为5海里．（结果保留根号）【分析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝10海里，∠BAH＝30°，∴∠ABH＝60°，BH AB＝5（海里），在Rt△BCH中，∵∠CBH＝∠C＝45°，BH＝5（海里），∴BH＝CH＝5海里，∴CB＝5（海里）．故答案为5．17．（2018•潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠P AQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1.5+BQ＝90+BQ（海里），所以BQ＝PQ﹣90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ•tan30°PQ（海里），所以PQ﹣90PQ，所以PQ＝45（3）（海里）所以MN＝PQ＝45（3）（海里）在直角△BMN中，∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90（3）（海里）所以（小时）故答案是：．18．（2018秋•顺义区期末）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是25海里．【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA＝90°，再求出∠CBA＝45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．【解答】解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°，∵∠ACD＝60°，∴∠ACB＝30°+60°＝90°，∴∠CBA＝75°﹣30°＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵BC＝50×0.5＝25，∴AC＝BC＝25（海里）．故答案为：25．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•湘阴县一模）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P点320千米处．（1）说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间．【分析】（1）作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函数值求出BH的长与200千米相比较即可．（2）以B为圆心，以200为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间．【解答】（1）如图所示：∵台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，B市位于点P的北偏东75°方向上，∴∠QPG＝45°，∠NPB＝75°，∠BPG＝15°，∴∠BPQ＝30°作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，得BH＝320sin30°＝160＜200，∴本次台风会影响B市．（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由（1）得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，∴P1P2＝2240，∴台风影响的时间t8（小时）．20．（2020•枣阳市校级模拟）已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港（精确到1小时）（该船在C岛停留半个小时）？．【分析】作CD⊥AB于D点．设CD＝x海里，在直角△ACD中，利用x表示出AC，AD，同理表示出BD，BC，根据AB＝40即可列出方程求得CD的长，则AC+CB即可求得，然后除以速度即可得到时间．【解答】解：作CD⊥AB于D点．设CD＝x海里，在直角△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，则AC＝2x，AD x，在直角△BCD中，∠CBD＝45°，则BD＝CD＝x，BC CD x，∵AB＝40，即AD+BD＝40，∴x+x＝40，解得：x＝20（1），∴BC＝20（1）＝2020，AC＝2x＝40（1），则总路程是：202040（1）海里，则时间是：22≈2.45﹣1.41+2×1.73﹣2≈2.5（小时）．∵该船在C岛停留半个小时，∴需要3小时能把这批物资送到A港．21．（2020•铁西区模拟）如图，海中有一小岛P，在距小岛P的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？【分析】过P作PB⊥AM于B，则PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，求出PC长和16比较即可，第二问设出航行方向，利用特殊角的三角函数值确定答案．【解答】解：过P作PB⊥AM于B，在Rt△APB中，∵∠P AB＝30°，∴PB AP32＝16海里，∵16＜16，故轮船有触礁危险．为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里，即这个距离至少为16海里，设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，由题意得，AP＝32海里，PD＝16海里，∵sin∠P AC，∴在Rt△P AD中，∠P AC＝45°，∴∠BAC＝∠P AC﹣∠P AB＝45°﹣30°＝15°．答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行，才能安全通过这一海域．22．（2020•潮南区模拟）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．【分析】作CD⊥AB于点D，求出C到航线的最近的距离CD的长，与6海里比较大小即可．【解答】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．∴∴CD＝4≈6.928＞6．∴船继续向东航行无触礁危险．23．（2020春•呼兰区期中）如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向A处，且A处与灯塔B相距60海里，轮船沿东北方向匀速前行，到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的C处．（1）求∠ACB的度数；（2）求灯塔B到C处的距离．（结果保留根号）【分析】（1）利用三角形内角和定理进行计算；（2）过点B作AC的垂线，垂足为D．在△BDC中利用三角函数即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°．则∠ACB＝180°﹣45°﹣105°＝30°，即∠ACB＝30°；（2）过点B作AC的垂线，垂足为D，依题意可得∠DAB＝45°，∠DBA＝45°，AB＝60海里．在△BDC中，∠DBC＝45°+15°＝60°，∠BDC＝90°，cos∠DBC cos60°．∴BC＝60（海里）．答：灯塔B到C处的距离是60海里．24．（2020•滨州模拟）在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN 的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．【分析】（1）先求出∠BAC＝90°，然后利用勾股定理列式求解即可得到BC，再求解即可；（2）作CE⊥l于E，设直线BC交l于F，然后求出CE、AE，然后求出AF的长，再进行判断即可．【解答】解：（1）由题意，得∠BAC＝90°，∴BC10，∴飞机航行的速度为：1060＝600（km/h）；（2）能；作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F．在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝10，∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°，又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，∴CE＝AC•sin∠CAE，AE＝AC•cos∠CAE．则AF＝2AE＝15（km），∴AN＝AM+MN＝14.5+1＝15.5km，∵AM＜AF＜AN，∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间．。
中考数学-锐角三角函数应用方位角与方向角问题
中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里 北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。
解直角三角形的应用-方向角问题-初中数学习题集含答案
一．填空题（共 5 小题） 1．（2018 秋•顺义区期末）轮船从 B 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30 方向匀速航行，在 B 处观测灯塔 A 位于
南偏东 75 方向上，轮船航行半小时到达 C 处，在观测灯塔 A 北偏东 60 方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是 海里．
2．（2019 秋•东城区校级期中）如图，某货船以 24 海里 / 时的速度从 A 处向正东方向的 D 处航行，在点 A 处测得某 岛 C 在北偏东 60 的方向．该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时测得该岛在北偏东 30 的方向上．则货船在航行中 离小岛 C 的最短距离是 ．
3．（2017 春•西城区校级期中）如图，在点 A 测得某岛 C 在北偏东 60 方向上，且距 A 点18 3 海里，某船以每小时 36 海里的速度从点 A 向正东方向航行，航行半小时后到达 B 点，此时测得岛 C 在北偏东 30 方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁． B 点与 C 岛的距离是 B 点暗礁区域 （填内或外）
7．（2016•延庆县一模）如图，甲船在港口 P 的南偏西 60 方向，距港口 86 海里的 A 处，沿 AP 方向以每小时 15 海 里的速度匀速驶向港口 P ．乙船从港口 P 出发，沿南偏东 45 方向匀速驶离港口 PC 2x ，现两船同时出发，2 小 时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到个位，参考数据： 2 1.414 ， 3 1.732 ， 5 2.236)
【分析】根据题中所给信息，求出 BCA 90 ，再求出 CBA 45 ，从而得到 ABC 为等腰直角三角形，然后根据 解直角三角形的知识解答．
【解答】解：根据题意，得 1 2 30 ， Q ACD 60 ， ACB 30 60 90 ， CBA 75 30 45 ， ABC 为等腰直角三角形， Q BC 50 0.5 25 ， AC BC 25 （海里）． 故答案为：25．
九年级数学下册 1.5 方向角问题(第1课时)课件 (新版)北师大版
外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的( D )
A．南偏东50° B．南偏东40°
C．北偏东50° D．北偏东40°
2．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得
有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°的500 m处，那么水塔所在的位
置到公路的距离AB是( A )
A．250 m B．250 3 m
4．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北 偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏 东30°方向走，恰能达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地 相距_2_0_0___m.
5．如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A和 B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6 km，则 AB＝__3__ km.
13．(2015·攀枝花)如图所示，港口B位于港口O正西方向120 km 处，小岛C位于港口O北偏西60°方向，一艘游船从港口O出发， 沿OA方向(北偏西30°)以νkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇 从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C， 在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送 去．
(2)在 Rt△PCA 中，PA＝sin3P6C.5°＝100 海里，在 Rt△PCB 中， PB＝sinP4C5°＝60 2海里，t 甲＝2.5(小时)，t 乙＝2 2(小时)，故救助船 A 先到达 P 处
12．如图所示，MN 表示引水工程一段设计路线，从 M 到 N 的 走向为南偏东 30°，在 M 的南偏东 60°方向上，有一点 A，以 A 为 圆心，500 m 为半径的圆形区域为居民区，取 MN 上另一点 B，测得 BA 的方向为南偏东 75°，已知 MB＝400 m，通过计算，回答如果不 改变方向，输水路线是否穿过居民区？(参考数据： 3≈1.73)
解直角三角形(方向角)
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
东
二、探究
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯
塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到 达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮 所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
65°80 A
P C
34°
B
练习：1、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一 艘货轮由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A 在北偏西60˚.在c见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航 行，有无触礁的危险？
上A地出发向南偏西400的方向行驶40
海里到达B地,再由B地向北偏西200的方
向行驶40海里到达C地,则A,C两地的距
4离0海为里____
北
C 北
D
A 有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
(陕西) 一次测量活动中，同学们要测量某公园 的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离， 如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平 面上的点P，在点P处测得码头A位于点P北偏 西30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向； 又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运 用以上数据求出A与B的距离。
方向角：
是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角
方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向 作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）， 通常表达成北（南）偏东（西）××度，若正好为45度， 则表示为正西（东）南（北）。
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考 解直角三角形的应用-方向角问题． 点： 分 首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中 析： 与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由 PC+BP=BC=30× ，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间 =路程÷速度即可求解． 解 解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里． 答： 在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，
考 解直角三角形的应用-方向角问题． 点： 分 过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的 析： 垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截 点D处到公路的距离DA=BE+CF．解Rt△BCE，求出BE= BC= ×1000=500米；解Rt△CDF，求出CF= CD=500 米，则DA=BE+CF=（500+500 ）米． 解 解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E； 答： 过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则 ∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF． 在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°， ∴∠BCE=30°， ∴BE= BC=
， 解得B1B2=
= ， 所以乙船每小时航行： ÷ =20 海里．
点 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等边三角形的判 评： 定与性质，方向角的定义，锐角三角函数的定义，学生的阅读理 解能力以及知识的迁移能力．正确理解阅读材料是解题的关键． 5．（2015•宜宾）如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供 水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小 区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为 300（ +l）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）
= ，利用上述结论可以求解如下题目： 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°， ∠B=30°，a=6，求b． 解：在△ABC中，∵ = ∴b= = =
=3 ． 理解应用： 如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北 偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行， 当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2 处，此时两船相距10 海里． （1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明； （2）求乙船每小时航行多少海里？
考 解直角三角形的应用-方向角问题． 点： 分 过点C作CD⊥AB于点D，则若该船继续向西航行至离灯塔距离最 析： 近的位置为CD的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可． 解 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 答：
AB=20×1=20（海里）， ∵∠CAF=60°，∠CBE=30°， ∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°， ∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°， ∴∠C=∠CAB， ∴BC=BA=20（海里）， ∠CBD=90°﹣∠CBE=60°， ∴CD=BC•sin∠CBD= ≈17（海里）． 点 此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题 评： 关键． 4．（2015•济宁）阅读材料： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， =
考 解直角三角形的应用-方向角问题． 点： 分 （1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再 析： 利用路程公式即可求得所需的时间； （2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．求出 OC=OB•cos30°=60 ，CD= OC=30 ，OD=OC•cos30°=90，则DE=90﹣3v．在直角△CDE中利用勾股 定理得出CD2+DE2=CE2，即（30 ）2+（90﹣3v）2=602，解方程求出v=20或40，进而求出相遇处 与港口O的距离． 解 解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°， 答： ∴∠BCO=90°． 在Rt△BCO中，∵OB=120， ∴BC= OB=60， ∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）； （2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E． 则OC=OB•cos30°=60
1．（2015•荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公 路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进 实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调 整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝 方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
米．
点 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，“化斜为直”是解三 评： 角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角 （30°、45°、60°）． 6．（2015•泸州）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00 观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航 行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表 示，不取近似值）．
考 解直角三角形的应用-方向角问题． 点： 分 （1）过点A作AD⊥OD于点D，可求得AD的长为60km，由60＞50 析： 可知，不会受到台风影响； （2）过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50 千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾 股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．
解 解：（1）△A1A2B2是等边三角形，理由如下： 答： 连结A B ．
1 2
∵甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2， ∴A1A2=30 × =10 ， 又∵A2B2=10 ，∠A1A2B2=60°， ∴△A1A2B2是等边三角形； （2）如图，∵B1N∥A1A2， ∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°， ∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°． ∵△A1A2B2是等边三角形， ∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10 ， ∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°． 在△B1A1B2中，∵A1B2=10 ，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，∠A2A1B2=60°， 由阅读材料可知， =
解 解：（1）作AD⊥OC， 答： ∵由题意得：∠DOA=45°，OA=60 km， ∴AD=DO=60 ÷ =60km， ∵60＞50， ∴A市不会受到此台风的影响； （2）作BG⊥OC于G， ∵由题意得：∠BOC=30°，OB=80km， ∴BG= OB=40km， ∵40＜50， ∴会受到影响， 如图：BE=BF=50km， ∴EG= =30km， ∴EF=2EG=60km， ∵风速为40km/h， ∴60÷40=1.5小时， ∴影响时间约为1.5小时．
考 解直角三角形的应用-方向角问题． 点： 分 （1）先根据路程=速度×时间求出A1A2=30 析： × =10 ，又A2B2=10 ，∠A1A2B2=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角 形即可得出△A1A2B2是等边三角形； （2）先由平行线的性质及方向角的定义求出∠A1B1B2=75°﹣ 15°=60°，由等边三角形的性质得出∠A2A1B2=60°， A1B2=A1A2=10 ，那么∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．然后在△B1A1B2中，根据阅 读材料可知， = ，求出B1B2的距离，再由时间求出乙船航行的速度．
考 解直角三角形的应用-方向角问题． 点： 分 根据题意，在△ABM中，∠BAM=30°，∠ABM=45°，AB=300（ 析： +l）米．过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米，用含x的代数式分别 表示AN，BN，根据AN+BN=AB 建立方程，解方程求出x的值，进而求出MA与MB的长． 解 解：过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米． 答： 在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°， ∴MA=2MN=2x，AN= MN= x． 在Rt△AMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°， ∴BN=MN=x，MB= MN= x． ∵AN+BN=AB， ∴ x+x=300（ +l）， ∴x=300， ∴MA=2x=600，MB= x=300 ． 故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300
，CD= OC=30 ，OD=OC•cos30°=90， ∴DE=90﹣3v． ∵CE=60，CD2+DE2=CE2， ∴（30 ）2+（90﹣3v）2=602， ∴v=20或40， ∴当v=20km/h时，OE=3×20=60km， 当v=40km/h时，OE=3×40=120km．
点 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的 评： 定义，勾股定理等知识，理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是 解题的关键，本题难易程度适中． 3．（2015•恩施州）如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速 航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此 时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离 最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数 据： ≈1.732）
∴tan∠PAC= ， ∴CP=AP•tan∠PAC= x． 在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°， ∴BP=AP=x． ∵PC+BP=BC=30× ， ∴ x+x=15， 解得x= ， ∴PB=x= ， ∴航行时间： ÷30= （小时）． 答：该渔船从B处开始航行 小时，离观测点A的距离最近．
点 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应 评： 用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问 题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
8．（2015•眉山）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B 的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到 达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船 到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留 根号）．