矩阵可交换成立的条件与性质
矩阵可交换性的应用讲解
2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用学号：11404111姓名：郭冬冬班级：数学1101指导教师：闫慧凰专业：数学与应用数学系别：数学系完成时间：2014年4月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。
指导教师签名：时间摘要矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。
而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。
关键词：矩阵；可交换目录1.绪论 (1)2.基础知识 (1)2.1 矩阵相关概念 (1)2.2 线性变换相关概念 (2)3.矩阵可交换的应用 (3)3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 (3)3.2上三角矩阵可交换的应用 (4)矩阵可交换性的应用11404111 郭冬冬 数学与应用数学指导教师 闫慧凰1.绪论随着社会经济的发展，数学显得格外重要，在生产、生活中都或多或少的涉及到了数学，所以数学是每个人必须学会的，而对于一些技术分子则不仅仅是掌握基本的数学知识，而且要对数学中的一些比较高深的内容进行进一步的了解，之后对其进行应用，像从事计算科学、无线电技术和卫星通信领域工作的人都涉及到了矩阵的可交换方面的知识。
可交换矩阵的性质及应用_孟献青
n
…b n
2
n n
b 。 n nn 1n
性质 ２ 若矩阵 A, B 可交换, 则对任一多项式 f
（λ）,有 （f A）B＝BFra bibliotekf A）。性质 ３[1] 设 A, B 为 n 阶可交换方阵,且 A, B 都
可对角化, 则存在可逆矩阵 P, 使 P－1AP 与 P－1BP 同
时为对角阵。
证明 由于 A 可对角化,从而存在可逆矩阵 T, 使
（1） （2）
λbn1＝λbn1，i＝n，j＝1，
（3）
λbi1＋bi＋11＝λbi1，i≠n，j＝1，
（4）
由（4）得：bi＋11＝0，即
b21＝b31＝…bn1＝0。
（5）
由（2）得：bnj－1＝0，即
bn1＝bn2＝…bnn－1＝0。
由（1）得：bi＋1j＝bij－1。
（6）
令 j＝2 得：bi＋12＝bi1＝0，i≠1，
第 29 卷第 2 期 2013 年 4 月
文章编号：1674－0874（2013）02－0006－03
山西大同大学学报(自然科学版) Journal of Shanxi Datong University(Natural Ｓｃｉｅｎｃｅ）
Vol.29.No.2 Apr 2013
可交换矩阵的性质及应用
k叟1，证明｜A＋B｜＝｜B｜。
证明 因 AB＝BA，由性质 4 知，存在可逆矩阵
P使
λ*
* *
1
*
*
P－1AP＝
* * *
λ2
*
*
*
**
*
μ*
* *
1
*
*
P－1BP＝
矩阵可交换的定义
矩阵可交换的定义嘿，朋友们！今天咱来唠唠矩阵可交换这个事儿。
咱先想想啊，矩阵就像是一群排好了队的数字小兵。
那可交换呢，就好比这些数字小兵可以互相换换位置，而且换了之后没啥大影响。
比如说，你有两个矩阵 A 和 B，它们要是可交换，那 A 乘以 B 就等于B 乘以 A 呀。
这就好像你有两堆玩具，你先从第一堆里拿一个，再从第二堆里拿一个，和你先从第二堆里拿一个，再从第一堆里拿一个，最后的结果差不多。
这有啥用呢？用处可大啦！就像你走路，有时候走这条路能到目的地，走另一条路也能到，这就让你有了更多的选择呀。
你想想，如果矩阵不可交换，那多麻烦呀！就跟你出门，规定了你只能先迈左脚，再迈右脚，不能反过来，那多别扭呀。
咱再打个比方，矩阵可交换就像是朋友之间相处很融洽，可以互相换位子也不影响感情。
要是不可交换，那不就跟两个合不来的人似的，非得按照特定的顺序来，不然就闹别扭。
在实际应用中，矩阵可交换也很重要呢。
比如在一些科学研究、工程计算里，要是能找到可交换的矩阵，那就能让计算变得简单很多，就像找到了一把钥匙，能轻松打开难题的大门。
而且哦，研究矩阵可交换还能让我们更深入地理解数学的奥秘呢。
就好像探索一个神秘的洞穴，每走一步都可能有新的发现，多刺激呀！咱平常生活中不也经常遇到类似的情况嘛。
比如你做事的顺序，有时候换一换也没啥，有时候就不行。
这和矩阵可交换是不是有点像呀？所以啊，矩阵可交换可不是什么遥不可及的高深概念，它就藏在我们生活的各个角落呢。
只要我们用心去感受，去发现，就能明白它的奇妙之处啦。
总之呢，矩阵可交换是数学里一个很有趣也很有用的概念，它就像一把神奇的钥匙，能打开很多知识的大门，让我们看到更广阔的世界。
我们可不能小瞧它呀，要好好去研究它，利用它，让它为我们的学习和生活带来更多的便利和惊喜！。
矩阵可交换成立的条件与性质
毕业设计（论文）题目矩阵可交换成立的条件与性质学院理学院专业数学与应用数学年级 2008级班级 0814 姓名吴锦娜学号 2008530088 指导教师李伟职称副教授矩阵可交换成立的条件与性质[摘要］矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，BAAB ．但是,在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵．[关键词］矩阵可交换条件性质应用The Conditions for The Commutation of Matrix and Its Some Properties［Abstract] Matrix， a important content in altitude－mathematics， has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field。
As far as we have concerned，the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally，AB≠BA。
Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule。
The exchangeable matrix has many special properties and important effection。
可逆矩阵可交换的充要条件
可逆矩阵可交换的充要条件
1. 可逆矩阵可交换，嘿，这就好比两个好朋友，能随意交换位置还不影响关系，就像 A 矩阵和 B 矩阵，[具体例子]，这多有意思啊！
2. 你想想看，可逆矩阵可交换的充要条件，不就像是打开一个神奇宝盒的钥匙吗？比如 C 矩阵和 D 矩阵的例子，哇，真的很神奇呢！
3. 可逆矩阵可交换的这个条件啊，简直就是数学世界里的一个秘密通道，像 E 矩阵和 F 矩阵，[具体例子]，是不是很特别？
4. 哎呀呀，可逆矩阵可交换的充要条件，这可是个宝贝呢！就如同 G 矩阵和 H 矩阵的情况，多让人着迷呀！
5. 可逆矩阵可交换的充要条件，不正是那连接不同奇妙世界的桥梁吗？瞧瞧 I 矩阵和 J 矩阵的例子，多神奇呀！
6. 嘿，可逆矩阵可交换的充要条件啊，那可是数学领域的一颗璀璨明珠，就像 K 矩阵和 L 矩阵，[具体例子]，太牛了吧！
7. 可逆矩阵可交换，这就好像一场精彩的舞蹈，每个矩阵都能找到自己的完美搭档，比如 M 矩阵和 N 矩阵的例子，真绝了！
8. 哇塞，可逆矩阵可交换的充要条件，简直就是一个魔法，像 O 矩阵和 P 矩阵的组合，[具体例子]，太不可思议了！
9. 可逆矩阵可交换的这个事儿，就如同找到了一个隐藏的宝藏，比如 Q 矩阵和 R 矩阵，[具体例子]，是不是很惊喜？
10. 可逆矩阵可交换的充要条件，那可是解开数学谜题的关键呀！就像S 矩阵和 T 矩阵的例子，真的好厉害呢！
我的观点结论就是：可逆矩阵可交换的充要条件有着独特的魅力和重要性，在数学中有着不可或缺的地位。
交换矩阵
A
=
1 2
2 3
的可交换矩阵。
解：设矩阵
B
a c
b d
为
A
的可交换矩阵。则有
AB
BA.
AB
=
1 2
2a
3
c
b d
a 2c 2a 3c
b 2d 2b 3d
C
a b 1 2 a 2b 2a 3b
BA
c
d
2
3
c
2d
2c
3d
D
a 2 a 2b
dn1
d1n
。
dnn
显然有 C D 。 （3） AB 与 BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是 不一样。
比如说：矩阵
A
=
2 1
1 1
，
B
=
1 1
2 2
。
AB
=
2 1
1 1 1 1
2 3 2 2
6 4
=
C
；
但是
BA
=
1 1
2 2 2 1
1 1
4 4
3 3
=
D
。显然
C
定理 6： ( A B)2 A2 2AB B2 ； 证明：充分性 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2
又 ( A B)2 A2 2AB B2 ， 从而 AB BA 2AB 即 AB BA； 必要性： 若 AB BA 则 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 A2 2AB B2 ， 必要性得证。 定理 7： (AB) AB ； 证明：充分性 由题知 (AB) AB ，又因为 (BA) AB ，
矩阵可交换性质
矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。
本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。
两矩阵可交换的条件
两矩阵可交换的条件我觉得这两矩阵可交换啊，这里面的事儿可太有意思了。
你想啊，就好像两个人打交道似的，矩阵也得有自己的规矩和默契才能交换。
我就想起我以前认识的一个老学究，那家伙戴着个厚厚的眼镜，镜片就像瓶底儿似的。
他成天就研究这些个矩阵的事儿。
有一回我问他：“您说这矩阵咋就能交换呢？”他那眼睛从镜片后面翻着看我，跟看个怪物似的，然后慢悠悠地说：“这哪是一两句话能说清的事儿。
”我就不服气啊，我觉得这事儿肯定有个简单的门道。
我就自己琢磨。
这矩阵就像两个小方阵，每个小方阵里的数字就像一个个小兵。
这两个矩阵要能交换，就好比两个军队要换防，那得满足一定的条件啊。
你看啊，要是两个矩阵都是那种规规矩矩的方阵，就像两个整齐的兵团，那可能就比较容易交换。
但要是一个矩阵长得歪七扭八的，就像一群散兵游勇，那和另一个矩阵交换起来肯定就麻烦。
这就像你让一群训练有素的士兵和一群乌合之众换地方，那不乱套了嘛。
有时候我看着那些矩阵里的数字，就好像看到一个个小人在里面晃悠。
我就想啊，这些个数字小人是不是也得互相商量好了才能交换呢？比如说这个数字小人对另一个矩阵里的数字小人说：“兄弟，咱们换换位置呗。
”然后另一个小人说：“行啊，但是你得满足我们这儿的条件。
”我还见过那种特别复杂的矩阵，那数字密密麻麻的，就像一群蚂蚁在纸上爬。
看着那样的矩阵，我脑袋都大了，更别说想它们可交换的条件了。
我就想，这要是把老学究叫来，他估计也得挠头。
不过我觉得，这矩阵可交换的条件，肯定和它们的大小、形状还有里面数字的规律有关系。
就像人与人之间的交往，得看身份、性格还有彼此的需求一样。
这矩阵也得看自己的“身份”，也就是它的行数和列数，还有那些数字之间的微妙关系。
有时候一个小小的数字变化，可能就像在平静的湖水里扔了块石头，整个矩阵的可交换性就变了。
我还和一个年轻的学生讨论过这事儿。
那学生眼睛亮晶晶的，充满了求知欲。
他说：“刘老师，我觉得这矩阵可交换可能就像拼图一样，得严丝合缝才行。
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长春师范学院本科生毕业论文矩阵可交换成立的条件与性质系（部）：数学系专业：数学与应用数学学号：0707140305学生姓名：史丹指导教师：魏丽莉职称：副教授2010年12月摘要摘要：矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义。
众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠BA。
但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律。
可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用。
本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵。
关键词：矩阵；可交换；条件；性质；上3角矩阵TheConditionsForTheCommutationofMatrixandsomeproper tiesofTheCommutativeMatrixAbstract：Matrix, a important content inaltitude-mathematics, has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally, AB≠BA . Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effection. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and part of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.Key Words：Matrix;interchangeable;conditions;property;upper triangular matrix目录前言 (1)1.矩阵可交换成立的条件 (2)2.可交换矩阵的性质 (6)3.几类常用的可交换矩阵 (8)4.可交换矩阵的应用 10 总结 (14)参考文献 (15)致谢 (16)前言矩阵的乘法不适合交换律是指一般情形而说的,但是对于个别矩阵,它满足一定的条件,即它是可交换的。
可交换矩阵的概念:如果两个矩阵A与B满足AB=BA,则称矩阵A与B是可交换的。
矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：（1）AB有意义时，BA不一定有意义。
（2）AB与BA均有意义时，阶数可能不相等。
（3）AB与BA均有意义，且阶数相等时，仍可能出现AB≠BA。
1、矩阵可交换成立的条件：若AB=BA 成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵。
设f(x)=amxm+am-1xm 1-+…+a1x1+a0,系数a0,a1,…,am均为数域p 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记f(A)=amAm+am-1Am 1-+…+a1A+a0E.容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵A *是可交换的，且二者的乘积为|AI|n;对于任何方阵A ，f(A)=a0Ap+a1Ap 1-+…+apI与g(A)=b0Aq+b1+-Aq 1…+bqI,可交换.定理1设n 阶方阵A ，B 满足条件A+B=AB.则A ，Ｂ可交换. 证明：由条件A+B=AB,变形可得-I=A-I+B-AB=(A-I)+B(I-A) =-(A-I)(B-I) 即(A-I)(B-I)=I所以A-I 为可逆矩阵，其逆矩阵为B-I ，有 (A-I)(B-I)=(B-I)(A-I)=I 即AB-A-B+I=BA-B-A+I 从而可得AB=BA.定理2设A,B 均为对称矩阵，则A,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵。
证明:设A,B 均为对称矩阵，由于ＡＢ＝ＢＡ，则)(AB T＝B TAT＝ＢＡ＝ＡＢ，所以AB 是对称的。
反之，注意到)(AB T＝ＡＢ，所以AB ＝)(AB T＝B TAT＝ＢＡ，因此，A,B 可交换。
推论 ：设A 为n 阶对称矩阵，则A ，AT都可交换.定理3：设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则A,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵. 证明：设AT=A ，BT=-B,由于AB=BA,所以)(AB T=B TAT=-BA=-（AB ）. 所以AB 为反对称矩阵.反之，若AB 为反对称矩阵,则-（AB ）=)(AB T=B TAT=-（BA ）从而AB=BA.定理4：设Ａ，Ｂ均为反对称矩阵，则Ａ，Ｂ可交换的充要条件是ＡＢ为对称矩阵．证明：因AB 均为反对称矩阵，故有AT=-A ，BT=-B ，又因为A ，B 可交换，故有AB=BA 成立.从而)(AB T=B TAT=（-B ）（-A ）=AB=BA ，反之，若AB 为对称矩阵，则AB=)(AB T=B TAT=（-B ）（-A ）=BA=AB,所以Ａ,Ｂ是可交换定理５：若Ａ，Ｂ为同阶可逆矩阵，则A ，B 可交换的冲要条件是A1-，B 1-可交换.证明：因AB=BA,故有B 1-A 1-=)(1AB -=)(1BA -=A 1-B 1- 即，A 1-与B 1-是可交换的。
反之，因A 1-，B 1-可交换，故有)(1BA -=A 1-B 1-=B 1-A 1-=)(1AB -两边求逆得到AB=BA.推论：可逆矩阵A ，B 可交换的冲要条件是)(1AB -=B 1-A1-.定理6；若A ，B 为n 阶方阵，则ＡＢ可交换的条件是)(AB T=A TBT证明：如果AB=AB ，那么)(AB T=)(BA T＝A TBT。
反之，若)(AB T=B TAT，则)(AB T=B TAT＝)(BA T，即AB=BA 。
定理７：设ＡＢ可交换，则以下结论成立：（1）A 2－B 2＝（Ａ-B ）（Ａ＋Ｂ）＝（Ａ＋Ｂ）(Ａ－Ｂ）； （2）=+)(2B A A 2＋２ＡＢ＋B2(3))(2B A -=A2-２ＡＢ＋B2（4）)(AB k＝B kAk，ＡB m＝B mＡ，其中ｋ，ｍ分别为正整数；（４）Am－B m＝（Ａ－Ｂ）（A m 1-＋A m 2-Ｂ＋…＋B m 1-）＝（A m 1-＋A m 2-Ｂ＋…＋B m 1-）（Ａ－Ｂ）； （５）)(B A m+＝∑=mk 0C kmA k m -B k．证明:（1）因为(A+B)(A-B)=A2+AB-BA-B2，(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2由已知AB=BA ，可得A 2－B 2=(A-B)(A+B)=(A+B)(A-B) （2）=+)(2B A (A+B)(A+B)=A2+AB+BA ＋B2由已知AB=BA ，可得:)(2B A +=A 2+2AB+B 2同理可得：)(2B A -=A 2-2AB+B 2(3)由已知AB=BA,可得(AB K=ABAB…AB=AABB…AB=AA…AB…B=A K B K,)A B m=ABB…B=BAB…B=…=BB…BA=B m A(4)运用数学归纳法（ⅰ）当m=2时，由（1），等式成立，即A2-B2=(A-B)(A+B)(ⅱ)假设m=k-1时，等式成立，即有A k1--B k1-=(A-B)(A k2-+A k3-B+…+B k2-)（ⅲ）则当m=k时，由已知AB=BA，有A k-B k=(A k1--B k1-)(A+B)-A k1-B+B k1-A=(A-B)(A k2-+A k3-B+…+B k2-)(A+B)- A k1-B+B k1-A=A k+A k1-B+…+A2B k2--B2A k2--B3A k3--…-B k-A k1-B+B k1-A由性质有：B k1-A=A B k1-，A k1-B=B A k1-，因此，上式可转化为：A k-B k=A k+A k1-B+…+A2B k2--B2A k2--…-B k-A k1-B+B k1-A=A k+A k1-B+…+A2B k2-+A B k1-- B A k1--B2A k2--B3A k3--…-B k=A k1-(A-B)+ A k2-B(A-B) +…+B k1-(A-B)=(A-B)（A k1-+A k2-B+…+B k1-）即证得A m-B m=(A-B)（A m 1-+Am 2-B+…+Bm 1-）同理可证得A m-Bm=（Am 1-+Am 2-B+…+Bm 1-）(A-B)（5）对m 用数学归纳法同（4）即可得证。
定理8矩阵A 能与一切n 阶矩阵可交换的充分必要条件是A 为数量矩阵。
证明：若A 与一切n 阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A 必为一对角线矩阵。
设A=ddd n..12取矩阵B= 0............0..001..11代入条件AB=BA,得d 1=d 2=…=d n ，所以A 是一个数量矩阵。
反之，设A= aI,B 为任一n 阶矩阵，则 AB=(aI)B=aB=Ba =(BI)a=B(Ia)=BA引理1（i）A=0时（即A为零矩阵时），与A可交换得矩阵B可以是任意的与A同价的B矩阵。
（ii）当A是纯量矩阵时，即，a是实数，是n 阶单位矩阵，则与A可交换得矩阵也可以是任意与A同价的矩阵;(iii)A的幂矩阵总是与A可交换。
定理1与A可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n-1次的多项式矩阵。
引理2当A矩阵为对角阵时，即，且互不相同时，与它可交换的B 矩阵必可表示成A的n-1次多项式。
定理2一个矩阵A化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A可交换的矩阵其充要条件为B可化为A的n-1次多项式。
定理3下列均是A , B 可交换的充要条件:(1)A-B =(A + B)(A-B)=(A-B)(A+B)(2)(A±B)2 =A2 ±2AB+B2(3)(AB)′=A′B′(4)(AB)=AB定理4可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是：(AB) = A ·B .定理5(1)设A,B均为(反) 对称矩阵, 则A,B 可交换的充要条件是AB为对称矩阵;(2)设A,B有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条是AB为反对称矩阵.２、可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。