第十章静电场中的导体与电介质版答案

一．选择题

[B ]1、(基训 2) 一“无限大”均匀带电平面 A ，其附近放一与它平行的 有一定厚度的“无限大”平面导体板 B ，如图所示．已知 A 上的电荷面密度 为 + ，则在导体板 B 的两个表面 1 和 2 上的感生电荷面

密度

为：

1

1 (A) 1 =

- ， 2 = + ． (B) 1 =

，

2 =

2

2

1

1

(C)

1 =

， 1 =

． (D) 1 =

2 = 0．

2

2

解析】 由静电平衡平面导体板

B 内部的场强为零， 同时根据原平面导体

板 B 电量为零可以列出

1S+ 2S=0

[B]2 、(基训 5)两个同心的薄金属球壳，半径为

R 1，R 2(R 1

和 q 2 的电荷，则两者的电势分别为 V 1 和 V 2(选择无限远处为电势零点) 。现用细导线 将两球壳连接

起来，则它们的电势为 :

(A)V 1 (B) V 2 (C)V 1+V 2 (D) (V

1

+V 2)/2

解析】原来两球壳未连起来之前，内、外球的电势分别为

q 1 q 2

4

π 0R

1 4

π 0R

2

q 1 q 2

4

π

0R

2 4

π 0R

2

用导线将两球壳连起来，电荷都将分布在外球壳，现在该体系等价于一个半径为 R 2 的

均匀带电球面，因此其电势为

C ]3、(基训 6)半径为 R 的金属球与地连接。在与球心 O 相距 d =2R 处有一电荷为 q

的点电荷。如图 16 所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷 q 为：

(A) 0． (B) q 2． (C) - q 2． (D) q ．

解析】利用金属球是等势体，球体上处电势为零。球心电势也为零。

dq q

0 4 o R 4 o 2R

第十章

静电场中的导体和电介质

20 20

q 1 q 2

4π 0R

2

V 2

q

2R

[C ]4、（基训 8）两只电容器， C 1 = 8 F ，C 2 = 2 F ，分别把它们充电到 将它们反接 （如图 10-8 所示 ），此时两极板间的电势差为：

[A ]5、（自测 6）一平行板电容器充满相对介电常数为

r 的各向同性均匀电介质，已知介

质表面极化电荷面密度为 。则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为 :

【解析】 介质表面的极化电荷可以看成两个电荷面密度为 原理，它们在电容器中产生的电场强度大小为

[B ]6、（自测 9）三块互相平行的导体板，相互之间的距离 d 1 和 d 2比

板面积线度小得多，外面二板用导线连接．中间板上带电，设左右两面 上电荷面密度分别为 1和 2 ，如图所示．则比值 1/ 2 为:

（A ）d 1/d 2 （B ） d 2/d 1 （C ） 1

（D ） d 22/d 21

解析】外面两板相连时为等势体，

U Ed

00

二、填空题

1、（基训 11）在静电场中有一立方形均匀导体，边长为

a ．已知立方导体

中心 O 处的电势为 U 0，则立方体顶点 A 的电势为 U 0 。 解析】静电场中的导体为等势体。

2、（基训 14）一空气平行板电容器，电容为

C ，两极板间距离为 d ．充电后，两极

板间相

(A) 0 V

解析】

(B) 200 V ． (C) 600 V ． (D) 1000 V

Q Q 1 Q 2 C 1U C 2U

6 10 3C

Q

C' C 1

C 2

6 10 3C 1 10 5 F

600V

(A)

(B)

0r

(C)

2 0

20

(D)

r

dq

o

R

q

4 o 2R

1000 V ，然后 的无限大平行平面，由叠加

1d 1

互作用力为F．则两极板间的电势差为2Fd / C ，极板上的电荷为2FdC ．

6、（自测 20）A 、B 为两个电容值都等于 C 的电容器， A 带电量为 Q ，B 带电量为 2Q ，现 将 A 、B 并

联后，系统电场能量的增量 W ＝

Q 2

/4C

【解析】

A 、

B 并联后，系统的等效电容为 2

C ，带电量为 3Q ，因此，系统电场能量的增量为

【解析】 求两极板间相互作用力对应的电场强度 E 是一个极板的电场强度，而求两极板间 的电势差对应的电场强度 E '是两个极板的电场强度叠加。 根据公式 F Eq q q,C 0S 可求得极板上的电荷； 2 0S d 根据公式 U E'd q d 可求得两极板的电势差。 0S 3、（自测 13）带电量为 q ，半径为 r A 的金属球 A ，与一原先不带电、内外半径分别为 r B 和

r C 的金属球壳 B 同心放置，如图所示，则图中 P 点的电场强度是 qr /（4 0r ）

，若用

导线将 A 和 B 连接起来，则 A 球的电势为 q/（4 0rC ） 。（设无穷远处电 势为零） 【解析】 过 P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出 异种，但是高斯面内只有电荷 q ．根据高斯定理可得 E4πr 2 = q/ε0，可得

点的电场强度为 E 4 0r 2 当金属球壳内侧会感应出异种电荷 -q 时，外侧将出现同种电荷 q ．用导线将 A 和 B 连 接起来后，正负电荷将中和． A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势． A 球的电势是球 壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是 r c ，所以 A 球的电势为 U 4、（自测 14）（自测 14）有三个点电荷 q 1、q 2 和 q 3，分别静止于 圆周上的三个点，如图所示。设无穷远处为电势零点，则该电荷 系统的相互作用电势能 W ＝

提示】 该电荷系统的相互作用电势能等于把这三个点电荷依次 q 4 0r c 从现在的位置搬运到无穷远的地方，电场力所作的功。 5、（自测 16）在相对介电常量 r = 4 的各向同性均匀电介质中，求：与电能密度 w e =2×106 J/cm 3相应的电场强度的大小 E=3.36×1011 V/m 。［真空介电常量 0 = 8.85×10-12 C 2/(N ·m 2)] 解析】

w e 1 DE 2 1 0 r E 2 0 r E 2

=3.36×10

11 V/m

WWW 1 (3Q)2

2 2C

Q2 (2Q)2

2C 2C

Q2

4C

三、计算题

1、（基训20）一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R1 =

2cm ，R2 = 5cm ，其间充满相对介电常量为r的各向同性、均匀电

介质。电容器接在电压U=16V的电源上，试求距离轴线R =3.5cm 处的A点的电场强度和A 点与外筒间的电势差。

【解析】

设内外圆筒的电荷线密度为+ 和- ，由高斯定理得两圆筒间的电场强度为

E

2 0 r r

两圆筒的电势差为

R2

U E dr

R1R2dr

R1 2 0 r r

2 0 r ln R21

因此

2 0 r U

ln( R2 / R1)

则A 点的电场强度大小为

998V/m

Rln( R2 / R1)

方向沿径向向外。

A 点与外筒间的电势差为

R

2 U R

2 dr U R2

U 2 Edr 2 ln 212.5V R ln(R2 / R1) R r ln( R2 / R1) R

2、（基训21）如图所示，一内半径为a、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求：（1）球壳内外表面上的电荷．（2）球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．（3）球心O 点处

的总电势．

【解析】

（1）球壳内空间点电荷q 偏离圆心，使得球壳内表面电荷分布不均匀，但球壳内表面上感应生成的负电荷总量由静电平衡条件得知应为-q，球壳外表面

处电荷分布不均匀，外表面处总电量为Q+q 。

（2）球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势为：

U内

q

4 0a

3）球心O 点处的总电势是由点电荷q，球壳内、外表面电荷在O 点产生的电势叠加。

3、(基训 25)三个电容器如图联接，其中 C 1 = 10×10-6 F ，C 2 = 5×10-6 F ，C 3 = 4×10-6 F ， 当 A 、 B 间电

压 U =100 V 时，试求： (1) A 、 B 之间的电容；

(2) 当 C 3 被击穿时，在电容 C 1上的电荷和电压各变为多少？

【解析】

(2)如果当 C 3被击穿而短路，则电压加在

C 1 和 C 2上，

3

U 1 100V , q 1 C 1U 1 1 10 3C

4、(基训 27) –R 1)］，两圆柱之间

充满相对介电常量为 带电荷 (即电荷

线密度 )分别为 和 - ，求： 【解析】 (1)圆柱体的场强分布为

两极板间电势差为

电容器的电容为

0 r

L

ln R 2 R 1

2)电容器储存的能量为

5、(自测 21)一空气平行板电容器，极板面积为 S ， 两极板之间距离为 d ．试求∶ (1) 将

一与极板面积相同而厚度为 d / 3 的导体板平行地插入该电容器中，其电容将改变多大？ (2) 设两极板上带电荷± Q ，在电荷保持不变的条件下，将上述导体板从电容器中抽出，外力需 作多少功？ 【解析】

( 1)设导体板两侧离二极板的距离为

d 1 和 d 2，空隙中场强为 E 0，导体板中静电平衡

U q 4 0r

,U

内

,U 外

4 0a

Qq 4 0b

(1)

C AB C 12C 3

(C 1

C 2) C

3

3.16 F

C 2 C 3

C 12 C 3

C 1

R 2，长为 L [L >> (R 2

圆柱形电容器，内圆柱的半径为

R 1，外圆柱的半径为

r 的各向同性均匀电介质．设内外圆柱单位长度上 (1)

电容器的电容； (2) 电容器储存的能量．

R2 R1

dr 0 r

r

ln R

2

2 0 r

R 1

1

Uq 2

2L

ln R 2

4

0 r

R

1

i

E 0

dx d 4

0x 2

4 0d

时场强为零。则两极板的电势差为

平行板电容为 U E 0 d 1 E 0d 2

d 1 d 2

q

S

d

3

C q 3 0S

C

U 2d

2）两极板上带电荷±

Q ，抽出导体板之前 W 1

1Q

2

2C

1 Q

2 2d 2

3 0S

抽出导体板之后

W

2

1Q

2

2 C 0

1Q 2d 2 0S

外力需作功

A 外＝ W 1Q 2d

6 0S

6、（自测 25）如图，有两根半径都是 R 的“无限长”直导线，彼 此平行放

置， 两者轴线的距离是 d （d ≥2r ） ，沿轴线方向单位长度上 分别带有 +λ和 -λ的电荷．设两带电导线之间的相互作用不影响它 们的电荷分布，试求两导线间的电势差。 【解析】

设远点 O 在左边导线的轴线上， x 轴通过两导线轴线并与之垂直， 在两轴线组成的平面上，在 R

P 点场强为 EE E

2 0x 2 0 d x

则两导线间的电势差

dR Edx

R

dR

dx

R

2 0x 2 0 d x

dR

ln x 20

ln(d x)

R

ln

dR

R

1、（基训 28）一接地的 " 无限大 " 导体板前垂直放置一 "半无限长 "均匀带 电直

线，使该带电直线的一端距板面的距离为 d ．如图所示，若带电直

线上电荷线密度为 ，试求垂足 O 点处的感生电荷面密度．

【解析】

如图取坐标，导体板内 O 点左边邻近一点，半无限长带点直线产生的场 强为：

姓名___________ 学号

________________

《大学物理Ⅰ》答题纸第十章

导体板上的感应电荷产生的场强：

E0'200i

由场强叠加和静电平衡条件，该点合场强为零，即- -

2 0 4 0d 0。即

2d

2、（自测28）如图，将两极板间距离为d 的平行板电容器垂直地插入到密度为ρ、相对介

电常量为εr 的液体电介质中．如维持两极板之间的电势差U 不变，试求液体上升的高度h。解析】

设极板宽度为L ，液体未上升时的电容为

C0 0HL /d

液体上升到h 高度时的电容为

hL r d r 1h

H C0

Q CU C0U0 r 1 hLU /d

电源作功

A QU0r1hLU 2 /d

液体上升后增加的电能

12

W1CU 21C0U212

0 r 1hLU 2/d

12202

液体上升后增加的重力势能

在U 不变下，液体上升后极板上增加的电荷为

W2L gdh2

1U

gd