远程培训继续教育初中数学模块三作业

模块三作业一、思考题(2、8、14为必答题)1. 延伸问题：学生的的数学推理能力强弱主要表现在哪些方面？数学推理是从一些数学命题推出另一个数学命题的思维形式。

它包括合情推理和演绎推理两类。

教学中，我认为学生的数学推理能力强弱主要体现在以下几个方面：1.数字演算推理能力；2.含有字母或未知数的代数式的化简演算推理能力；3.几何题符号表述及逻辑推理能力。

因此，如何培养学生的推理能力成了每位数学老师常讨论的话题，我们可借鉴视频中讲的建议：1.推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中；2.通过多样化的活动，培养学生的推理能力；3.让学生经历“猜想——证明”的探索过程。

2. 请类比数、代数式的体系结构，理解思考方程，函数的体系结构是怎样的？你是如何理解数，代数式，方程，函数等各体系结构之间的联系？方程是含有未知数的等式，从代数式的角度，方程左右式都是代数式，它是确定一组数值，使得两个代数式的值相等，应该说是代数式学习的延伸。

函数反应了代数式的值与代数式中字母之间的关系，表现为自变量和因变量之间的关系，可以说是继承代数式和方程基本理论基础上的知识，起到一种知识回顾、比较作用，在此基础上，通过平面直角坐标系的建立，把方程的解与坐标之间联系起来，实现数形结合。

在数与代数领域，基本内容仍然是数、式、方程（组）、函数等。

为了突出方程、函数等重点内容的学习，教材对于代数式的相关内容作了分散处理。

教科书的这种“分散安排、够用即可”的处理方式，体现了数学知识的本身的发生发展过程。

但是，由于实验教材与原来大纲教材变化很大，很多教师难以适应。

也有教师指出，教材的这种处理对教师、学生的要求都比较高，对于一些基础比较差的学生，在学习有理数的运算后对于由数到式的自然过渡不适应，解方程时出现欠缺必要的预备知识的难点，不利于对基本运算技能的掌握。

考虑到这些意见，这种处理，既保持了教科书对于代数预备知识“突出重点、分散安排”的处理原则，又使得相关内容比较集中，利于教师教学。

函数刻画的是变化过程中不同变量之间的依赖关系，是整个变化过程的一个整体动态描述；而求代数式的值或解方程是对变化过程的某一瞬间或某一点的个别静态的描述。

用字母表示数有任意性与确定性两个方面，即代数式中的字母可以是字母不使代数式和代数式所表示的实际数量失去意义的取值范围内的任何一个数，而一旦字母取定了这一范围内的某一个值，它就表示一个确定的值。

因此凡是出现字母的时候都应看到它的这两个侧面。

如果说用字母表示数，是由简单、个别地认识问题上升到一般、概括地考虑规律，是算术向代数转化的分水岭，那么求代数式的值就是由常量向变量转化、静态向动态发展的分界线。

求代数式的值是培养学生对变量的认识、树立初步的函数观念的良好契机。

数、字母、代数式之间的关系实际就是数、自变量、函数之间的关系。

代数式本身就是代数式所含字母的函数。

字母不使代数式和代数式所表示的实际数量失去意义的取值范围实际就是自变量允许值的范围，即定义域。

代数式求值实际上就是给自变量一个确定的值，求对应的函数值。

解方程实质是代数式的值为0时，求字母的具体取值。

因此，求代数式的值或解方程是对变化过程的某一瞬间或某一点的个别静态的描述。

函数就是某一变化过程中两个不同变量之间的变化相依关系，它揭示了一个变量的变化导致另一个变量怎样的变化。

换句话来说，函数是一个量对于另一个量的依赖关系的抽象模型。

函数的本质在初中阶段的理解应定位在：函数是一种相依关系的反映，是相依关系的数学表示，是整个变化过程的一个整体动态描述。

求代数式的值与解方程，它们都是从静态、定值的角度处理问题。

比如：求代数式的值，是给定一字母的值（常量），按照某种运算顺序和规则，求出该式一确定的值。

解方程是确定未知数的值（常量），使得方程两边的值相等。

其结果往往只有一个。

一旦结果求出，任务即告完成，思维立即停止。

函数的应用是在变化过程中引入变量，借助常量，构造数学模型，从动态角度解决问题。

它通常要利用待定系数法求出反比例函数解析式（而选取的条件：自变量与函数的对应值并不唯一，可以有多种选择），其次才是给出自变量，求函数值（相当于求代数式的值）；或者告诉函数值，求自变量的值（相当于解方程）。

“函数的应用”是在学生学习了“函数的图像和性质”以后，学生利用知识去分析和解决一些实际问题，其中渗透了转化、建模、数形结合等思想.通过观察图像，从图像中获取有用信息，解决相应的实际问题；或者把实际问题通过与函数想结合，不用计算而解决问题。

它有利于综合应用知识、理解知识来解决问题。

函数的应用注重的是学生运用知识解决问题能力的培养，其难点是如何从实际出发建立数学模型，并利用图像来解决问题。

求代数式的值则是给出代数式中字母的具体的值，将其代人代数式中，从而求值，或者将代数式化简以后在求值。

求代数式的值侧重的是学生计算能力的培养。

解方程就是将方程变形，通过计算求出未知数的值的过程。

它也是侧重的是学生计算能力的培养。

总之，“函数的应用”是通过数形结合来解决实际问题，“求代数式的值或解方程”则是需要计算能力。

综上所述，“函数的应用”是研究变量之间的对应关系，尽管涉及求代数式的值与解方程的知识，却比“求代数式的值或解方程”上了一个大台阶，是从动态、变化的角度研究问题，使学生思维方式得以升华，是数学学习的一大飞跃。

应该说，函数图象是函数、方程、不等式这几者之间建立起密切联系、实现数形完美结合的载体。

因此，在函数图象教学中，应引导学生准确、全面地理解函数图象的概念，并着意给他们提供看图象、说图象的机会。

在观察图象时具体指明观察的目的、层次、范围；分析说明时尽量做到寓数于形、以形见数，以期深化学生的数形统一观，培养其数形结合分析问题的能力。

3. 函数内容的学习重心是什么？函数表现出两个变量之间的相互依存关系，一个变量会随着另一个变量的变化而发生变化，两者处于相互牵制、共同变化发展的秩序之中，看似静止的数的概念之间存在着运动的联系。

在初中函数教学中，教师应带领学生在学习函数基础知识以及解题过程中，培育学生们树立相互联系、运动发展的数学理念，在动态的思维模式中掌握函数知识的基本要领。

两个变量间的相互影响关系，对于刚刚接触函数知识的学生来说不太容易理解。

初中函数教师可以根据“一个量随另一个量的变化而变化”这一关系，让学生结合熟悉的数学知识以及日常生活实际来举例，比如“汽车的汽油消耗量随着行车路程的变化而变化”，或者“圆形的面积随着半径长的变化而变化”等等。

这样，便使学生更迅速地理解自变量与变量的定义，并能在活跃的思维环境中锻炼分析、解决问题的能力。

函数中的变量关系，与数学知识体系中的很多领域都存在着融会贯通的关系，比如求路程问题“距离=速度*时间”等，体现出函数的重要性。

学习函数知识，实际上也打开了更多数学领域的视角。

另外，函数同其他学科的联系也十分紧密，是解决实际问题的重要工具。

4. 初中阶段有关数的内容主要是完成两次数系的扩充，你有哪些成功的教学经验？5. 你怎样理解有理数运算法则？你在引导学生理解有理数法则方面有哪些好的做法？6. 根据《标准》的规定，在义务教育阶段，并未引入一般意义下的根式概念及根式运算。

你是如何理解的？7. 用字母表示数应该贯穿整个数与代数教学的始终。

你是如何理解的？8. 结合自己对方程内容核心的认识，谈谈对不等式内容的认识。

初中不等式一章的主要内容包括：一元一次不等式（组）及其相关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示，利用一元一次不等式（组）分析与解决实际问题．其中，以不等式（组）为工具分析问题、解决问题是重点，也是教学中的主要难点；一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式的性质是基础知识；掌握一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示是基本技能和能力。

第1节中首先以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式及其解集的概念；然后类比一元一次方程，引出一元一次不等式的概念．为进一步讨论不等式的解法，教科书接着对不等式的性质进行了讨论，得出不等式的三个性质，并运用它们解简单的不等式．不等式的性质是解不等式的重要依据，教科书正是从讨论解不等式的需要出发引导学生认识它们的．解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样明确的目标，再加上对于不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然地产生．这一节的框架结构与一元一次方程的相应部分类似，教学中可以类比方程、等式的性质等来不等式的性质等。

涉及求未知数取值范围的问题是普遍存在的，而不等式是解决这些问题的有力工具．第2节从一个选择购物商店问题入手，再对列、解一元一次不等式作进一步的讨论．通过引入的问题以及它后面的例题，教科书归纳出一元一次不等式与一元一次方程在解法上的异同及应注意之处．上述讨论与归纳的过程，是结合分析和解决实际问题进行的。

第3节中，结合三角形三条边的大小关系，引进了一元一次不等式组及其解集的概念．在第8章刚学习了二元一次方程组的基础上，讨论不等式组是比较自然的安排．这里公共解集中的“公共”，是指各不等式解集的公共部分（交集）．二元一次方程组的解可以通过消元直接产生，而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴（或在头脑中想象数轴）才能得出．在这个问题上借助直观利用数形结合具有重要作用．在本节的实际问题中，数量间的大小关系更为复杂（有两个以上），通过列不等式组可以进一步培养建立不等式（组）模型的能力。

对于方程相关内容的教学，个人认为可以从两处着手：（一）突出建摸思想，实际问题作为大背景贯穿全章。

同前面的第三章“一元一次方程”、第八章“二元一次方程组”一样，在本章中，安排了一些有代表性的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料，实际问题始终贯穿于全章，对不等式（组）等概念的引入和对它们的解法的讨论，都是在建立和运用不等式（组）这种数学模型的过程之中进行的.1节中，首先通过一个具体行程问题引入不等式及不等式的解，教科书引导学生从时间和路程两个不同角度考虑这个问题，然后再一步步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据不等关系列出含未知数的不等式．是从两个不同角度看同一个问题，选取其中任何一个不等关系都可以列不等式解决本题。

（二）注重知识的前后联系，强调通过比较来认识新事物。

本章在全套教科书中，位居一次方程（组）之后．方程（组）是讨论等量关系的数学工具，不等式（组）是讨论不等关系的数学工具．两者既有联系又有差异．在认识一次方程（组）的基础上，通过比较的方式接受新知识一元一次不等式（组）. 方程组与不等式组在形式上类似，而且它们的解（集）都是指组成方程组或不等式组的各方程或不等式的公共解（集），教科书在引入不等式组及其解集时注意了渗透这种联系．3节从制作三角形木框谈起，引入不等式组的概念，并进一步结合实际问题讨论解方程与解不等式都是通过适当的式子变形，使未知数转化为已知，但两者的目标有所不同，前者要转化为的形式，后者则要转化为的形式．为实现这样的目标，都需要运用化归思想，根据等式或不等式的性质，对方程或不等式进行由繁至简的变形。