静电场及高斯定理

知试验电荷受到的作用力为
F
Fi
Qi q0
4 0ri2
ei
Qi
P ri
P点的电场强度
E
Fi
q0
Qi
4 0
ri2
ei
E＝ Ei
E＝ Ei
点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单 独存在时在该点的场强的矢量和。 这就是电场强度的叠加原理。
（2）电荷连续分布
电荷呈线状分布dq
dq=λdl
q E
E q
(2)几种典型的电场线分布
-Q
+2Q
+Q
+Q
(3)电场线密度
定义：经过电场中任一点，作一 面积元dS，并使它与该点的场强 垂直，若通过dS面的电场线条数 为dΦ，则电场线密度为dΦ/dS。
E＝d
dS
对于匀强电场，电场线密度处处相等，而且方向 处处一致。
2、电场强度通量
(1) 定义 通过电场中某一面的电场线的条数叫做通过这一
1779年对摩擦力进行分析，提出有关润滑剂 的科学理论。
1785~1789年，用扭秤测量静电力和磁力，导 出著名的库仑定律。
1、库仑定律内容
在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小
与点电荷电量的乘积成正比，与两点电荷之间距离的平方
成反比，作用力在两点电荷之间的连线上，同号电荷互相
排斥，异号电荷互相吸引。
Fe ＝ 8.2 108 Fg 3.6 1047
2.3 1039
结论：库仑力比万有引力大得多。
所以在原子中，作用在电子上的力，主要是电场力，万 有引力完全可以忽略不计。
三、 电场强度
1、静电场
(1)电场的概念 电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电
荷周围存在有电场。
在该电场的任何带电体，都受到电场的作用力，这 就是所谓的近距作用。
3、电场力
电荷q在电场E中的电场力
F＝qE
当q>0时，电场力方向与电场强度方向相同； 当q<0时，电场力方向与电场强度方向相反。
4、点电荷电场强度
在真空中，点电荷Q 放在坐标原点，试
验电荷放在r 处，由库仑定律可知试验电
荷受到的F电场 力Q为q0
4 0r
2
er
+
点电荷场强公式
E＝ F q0
Q
4 0r 2
简称场强）。
F E
q0
＝Q
4 0r2
r
F E
q0
＝Q
4 0r2
r
电场中某点的电场强度在数值上等于位于该点的单位正试验电荷所受的电场力。 电场强度的方向与电场力的方向一致（当q0为正值时）。
单位：N.C-1或V.m-1
电场强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否无关，并不因无试验电荷而不存 在，只是由试验电荷反映。
面元的电场强度通量。
de E dS
(2)匀强电场的电通量
平面S的法向向量与E平行时
＝
e
ES
平面S的法向向量与E有夹角θ时
引入面积矢量
S
Sen
e＝E
S
E
en S
＝ES cos
dS
en
dS
(3)非均匀电场的电通量
微元dS
de E dS
e E dS
S
n
dS
E
S
对封闭曲面
e E dS
电偶极矩： p qr0
q q
r0
求：电偶极子轴线延长线上任意一点A处的电场强度
习题P77 5-10
v E
1
40
q
x r0 /
22
v E
1
40
x
q r0
/
22
q O
r0
q
E A
E
x
v v v 1 q
q
E
E
E
4 0
x
r0
/
22
x
r0
/
22
v
E
q
4 0
2 xr0 x2 r02 / 4
最早是由狄拉克从理论上预言的。1932年8月2日，美国加州 理工学院的安德森等人向全世界庄严宣告，他们发现了正电
子。
正电子的发现是利用云雾室来观测的。正电子的发现开辟了 反物质领域的研究。
(2) 电荷量子化
1913年，密立根用液滴法从实验中测出所有电子都具 有相同的电荷，而且带电体的电荷是电子电荷的整数
加电场时
油滴在重力、阻力和 电场力的作用下，最 后也得到收尾速度。
mg 6 rv2－qE 0
v
＝
2
mg qE
6 r
因而可得油滴的电荷为 q 6rv1 v2
E
密立根油滴实验的结果
•油滴的电荷总是等于同一基元电荷的整数倍
q=ne, n=1,2,…., •电子电荷的值为e=1.603×10-19C，称为基元电荷；
2
例2、 均匀带电圆环轴线上一点的场强。 设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线
任一点p 的电场强度。
dE
X
P
r
R dq
L
例2、 均匀带电圆环轴线上一点x处的场强。
设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线
任一点p 的电场强度。
解：由对称性可知，p点场强只有X分量
R2 q 40 x2 40 x2
垂直于板面，正负由电荷的符 号决定。
习题P76 5-9
在远离带电圆面处， 相当于点电荷的场强
。
附： (1+x)m的泰勒级数展开为：
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 m(m 1)(m 2) x3 ......
2!
3!
...... m(m 1)(m 2)......(m n 1) xn n!
小结
• 电荷的量子化 • 电荷守恒定律
• 库仑定律 • 静电场的概念
• 电场强度 • 电场强度叠加原理 • 电场强度的计算
第2节 静电场的高斯定理
1、电场强度通量 2、高斯定理
3、高斯定律应用举例
1、电场线
一、电场强度通量
(1)定义
电场线上每一点的场强的方向 与该点切线方向相同，而且电 场线箭头的指向表示场强的方 向。
式； •进行积分计算； •写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的
大小和方向；
在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。
（4）电场强度的计算
例1、电偶极子的电场强度
电偶极子：等量异号电荷+q、-q，相距为r0，它相 对于求场点很小，称该带电体系为电偶极子。
电偶极子的轴：从-q 指向+q 的矢 量r0称为电偶极子的轴
即电荷是量子化的。
电荷的这种只能取离散的、不连续的量值的性 质，叫作电荷的量子化。电子的电荷e称为基
元电荷，或电荷的量子。
1986年国际推荐值 e 1.602 177 33(49) 1019C
近似值 e 1.6021019C
2、电荷守恒定律
内容： 在孤立系统中，不管系统中的电荷如何 迁移，系统的电荷的代数和保持不变。
电荷
电场
电荷
(2)电场的物质性
•给电场中的带电体施以力的作用。
•当带电体在电场中移动时，电场力作功； 表明电场具有能量。
•变化的电场以光速在空间传播，表明电场 具有动量。
(3) 静电场
静止电荷产生的场叫做静电场。
2、电场强度
（1）试验电荷： ✓线度足够小，小到可以看成点电荷； ✓电量足够小，小到把它放入电场中后，原来的电场几乎没有什么变化。
解：带电圆盘可看成许多同心的圆环
R
组成，取一半径为r，宽度为dr 的细 圆环带电量
o rd
dr
p
x·
d E
x
dE
dq • x
40 (r2 x2 )32
q
dq 2r dr
x R rdr
E x ( p) 2 0 0 (r 2 x 2 )32
面密度
＝Q
S
q
R2
x
2 0
[1
(R2
x
2
)
1 2
q cos
qx
E 4 0r 2 4 0 (R2 x2 )32
dE
X
P
xr
讨论：当求场点远大于环的半径时，
E
q
4 0 x 2
方向在X轴上，正负由q的正负决定。 说明远离环心的场强相当于点电荷的场。
R dq
L
习题P76 5-6（1）
例3、均匀带电圆盘轴线上一点x处的场强。 设圆盘带电量为q，半径为R。
F12
r12
k q1q2 r1 rr2122
e12
F12
r1
O
q1 r12 r2
q2 F21
e12 表示单位矢量
k 1
4 0
F12
1
4 0
q1q2 r122
e12
0 8.85 1012 C2 N1m2
F12
r1
O
q1 r12 r2
q2 F21
真空介电 常数
• 库仑力满足牛顿第三定律
]
习题P76 5-6 （2）
x R rdr
E x ( p) 2 0 0 (r 2 x 2 )32
x
2 0 [1 ( R2 x2 )12 ]
R o rd
dr
讨论：
q
1.当x<<R
E
2 0
2.当x>>R
E R2 40 x2
p
x·
d E
x