第2篇共轴球面系统
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第二章球面与共轴球面系统（ＰＤＦ）
第二章球面与共轴球面系统§2－1 光线光路计算与共轴光学系统共轴球面系统—光学系统一般由球面和平面组成，各球面球心在一条直线（光轴）上。
物象关系的研究方法—光线的光路计算。
逐面计算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。
子午面—包含物面与光轴的截面。
一、 光线经过单个折射面的折射OEAA ′II ′Cr-LL ′hnn ′-UU ′φ1.基本参量E －折射点 OE OE －折射球面 U U 、U ′－ 物象方孔径角O －顶点 h h －入射高度 n n 、n ′－物象方空间折射率C－球心 r－球面曲率半径 I 、I ′－入、折射角A 、A ′－物点、象点 L 、L ′－物距、象距φ －法线与光轴夹角2. 符号法则（便于统一计算）规定光线从左向右传播a）沿轴线段L、L′、r以O为原点，与光线传播方向相同，为“＋”与光线传播方向相反，为“－”b）垂轴线段h在光轴之上，为“＋”在光轴之下，为“－”c）光线与光轴夹角U、U′以光轴转向光线成的锐角来度量，顺时针为“＋”逆时针为“－”d）光线与法线夹角I、I′以光线转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”逆时针为“－”e）光轴与法线的夹角φ以光轴转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”逆时针为“－”f）折射面的间隔d，一般取“＋”g）所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
二、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算） 给定n 、 n ′、r ，已知L 、U ，求解L ′、 U ′ 其中U 、 U ′较大，远轴光线成像（大光路）U I rr L I I U U In nI Ur r L I ′′+=′′−+=′′=′−=sin sin sin sin sin sin OEAA ′II ′Cr-LL ′hnn ′-UU ′φ3）物点位于物方无限远时，入射光线位置由高度h 决定。
rh I =sin 说明：1）L ′＝f (U 、L 、n 、n ′、r)2）当L 为定值时，L ′随U 变化而变化，象方光束失去同心性，成不完善象，形成球差。
第二章 共轴球面系统(1)
符号规则的应用举例：
20º 20º
20º 20º
100
100
符号规则的应用举例：
光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则
表示该几何量的方位。 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的 公式具有普遍性。
举例：
透镜的结构参数： r1 = 10
d=5
n1 = 1.0 n1’ = n2 = 1.5163 (K9)
r2 = -50
n2’ = 1.0
§ 2-3
近轴成像
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小，则这 些角度的正弦值可近似地用弧度值来代替， 并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时， 其他各量均用相应小写字母来表示。 此时，由于u角很小，光线很靠近光轴， 这样的光线称为近轴光线（或称傍轴光线）。 近轴光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
〈讨论〉
③ 当一物点位于反射镜的球心时，此时 I= -I″= 0 ，即说明从球心发出的 光线被球面镜反射后，反射光线按原 路返回；也就是说，从C点发出的任 何光线经球面镜反射后，仍会聚于C点。
何谓理想光学系统？
此即是把近轴区成完善像的范围扩 大到整个光学系统的任意空间；亦即当 任意大范围的物体以任意宽的光束经光 学系统后均能成完善像的光学系统。
A
-u
C
A’ B’
- u’
O
-l’ -l
球面反射镜的成像特性
1、焦距公式：
f ′= f = r / 2 2、物像关系：
（2-18）
1 / l′+ 1 / l = 2 / r
β=-l’/l α= - β 2 γ= -1 / β
+第2章球面和共轴系统
说明：1）β>0，y与y’同号，成正像，反之倒像。
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
《应用光学》共轴球面系统的物像关系 ppt课件
B
B′
l=0
F′ H A
A′ H′
F
像平面为: 像方主平面
ppt课件 17
2.5 作图法对位于空气中的负透镜组(f′＜０)分别求不 同物距的像平面位置.
B′
f' l 2
B H H′
Aபைடு நூலகம்
F A′
F′
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
ppt课件 18
2.5 作图法对位于空气中的负透镜组(f′＜０)分别求不 同物距的像平面位置.
l = −f′
B
… …
F A
F′ H H′
像平面在像 空间无限远 处.
l′=∞
ppt课件 6
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
B′ B A′ F A H F′ H′
f' l 2
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
l ′ = −f′
ppt课件 7
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
B
B′
l=0
F H A
A′ H′
F′
像平面为:
像方主平面
ppt课件 8
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
B B′ F H A′ H′ A F′
f' l 2
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
l ′ = f′/3
ppt课件 9
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
ppt课件 13
2.5 作图法对位于空气中的负透镜组(f′＜０)分别求不 同物距的像平面位置.
第二章 共轴球面系统(二)
= l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
应用光学第二章共轴球面系统的物像关系
l ' f (n, n ', l , r )
第4节 近轴光学的基本公式 和他的实际意义
• 物像位置关系式
• 推导出 l ' f (n, n ', l , r )
h n ' u ' nu (n ' n) r
L1’
I1 I1’ L1’ U1’
35.96893
11.06815 7.27365 35.96893 2.79450
34.5908
22.57512 14.66568 34.5908 5.90945
32.22743
35.14835 22.31332 32.22743 9.83503
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
• 折射光线位置：
– L’：折射光线与光轴的交点A’到球面顶点的距离。 – U’：折射光线与光轴的夹角。
• 其他已知量：
–球面半径r； –折射球面前后的折射率n、n’。
O
P
n n’ I r L’ L I’
φ
U C’
A’
U
A
第1节 共轴球面系统中的光路计算公式
• 共轴球面系统的光路计算公式
• 已知：L、U、r、n、n’；求L’、U’。 • 对△APC应用正弦定理得到：
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
起始角度U1 L1 r1 -1° -100 10 -2° -100 10 -3° -100 10
(L1-r1)/r1 sinU1
sinI1 I1
-11 -0.017452
0.19198 11.06815
-11 -0.034899
0.38389 22.57512
第2章 共轴球面系统
2.2 单个折射球面的成像放 大率及拉赫不变量
如果在轴上点A附近从球面上取一小块面积 ds并 把它的细光束像记为ds′ ，当面积足够小时，可 近似认为物和像均为在两球面的切平面上。 结论： 结论：当物体以细光束成像时，只有位于近轴 只有位于近轴 区的物体才能成完善像。 区的物体才能成完善像。 二、单个折射球面成像的放大率及拉赫不变量
y′ nl′ β= = y n′l
lu = l ′u ′ = h
nyu = n′y ′u ′ = J
——拉格朗日赫姆霍兹定理，J为拉赫不变量 拉赫不变量 结论：实际光学系统在近轴区内成像时，对于一 对共轭平面来说，物高、物方孔径角和物方介质 折射率的乘积是一个常数。 阿贝不变量： 1 1 阿贝不变量 1 1
2.2单个折射球面的成像放大率 2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
2.2单个折射球面的成像放大率 2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
一、垂轴平面物体以细光束成像
A’是A的完善像点 是 的完善像点，根据物像之间等光程性，可 知 ∑′ 面是 ∑ 面的细光束像。 根据物像位置关系公式知，B点的像在 ∑′ 面左侧 面左侧. B 结论： 结论：如果物是垂轴平面物体，则它经过单个 折射球面折射后，它的细光束像不再是平面， 而是一个比 ∑′ 面更弯曲的曲面，成像不完善 成像不完善— 成像不完善 —像面弯曲 像面弯曲。 像面弯曲
结论：位于近轴区的轴外物点，利用近轴光线 成像时，符合点对点的理想成像关系。
2.1光线经单个折射球面的折射 2.1光线经单个折射球面的折射
4.物像位置关系公式（ 4.物像位置关系公式（l ′与l ) 物像位置关系公式
工程光学第2章 共轴球面光学系统
12
共轴球面光学系统
2. 成像放大率 单折射球面
y′ nl′ = β = y n ′l
dl′ nl′2 n′ α = β = = 2 dl n ′l n
u′ l n 1 γ = = = u l′ n' β
2
共轴球面系统
y'k y'1 y'2 y'k = β 1β 2 β k = β= y1 y1 y 2 y k
U′
y′
L′
1
共轴球面光学系统
2、符号规则 、
（一）光线行进方向：从左向右。 光线行进方向：从左向右。 线量符号： （二）线量符号： (1)沿轴线段：以球面顶点 为原点，与光线行进方向相 沿轴线段： 为原点， 沿轴线段 以球面顶点O为原点 同者为正，与光线行进方向相反者为负。 同者为正，与光线行进方向相反者为负。 (2)垂轴线段：以光轴为界，在光轴之上为正，在光轴之 垂轴线段 以光轴为界，在光轴之上为正， 垂轴线 下为负。 下为负。 角度符号（一律以锐角来衡量）： (三）角度符号（一律以锐角来衡量）： 光线与光轴的夹角 光轴转向光线，顺时针为正， 的夹角： (1) 光线与光轴的夹角：光轴转向光线，顺时针为正，逆 时针为负。 时针为负。 光线与法线的夹角 光线转向法线，顺时针为正， 的夹角： (2) 光线与法线的夹角：光线转向法线，顺时针为正，逆 时针为负。 时针为负。 光轴与法线的夹角 光轴转向法线，顺时针为正， 的夹角： (3) 光轴与法线的夹角：光轴转向法线，顺时针为正，逆 时针为负。 时针为负。
11
1. 过渡公式
共轴球面光学系统
′ ′ ′ n2 = n1 , n3 = n2 , , nk = nk 1 ′ ′ ′ u2 = u1 , u3 = u2 , , uk = uk 1 ′ ′ ′ y 2 = y1 , y 3 = y 2 , , y k = y k 1
共轴球面光学系统
2. 成像放大率 单折射球面
y′ nl′ = β = y n ′l
dl′ nl′2 n′ α = β = = 2 dl n ′l n
u′ l n 1 γ = = = u l′ n' β
2
共轴球面系统
y'k y'1 y'2 y'k = β 1β 2 β k = β= y1 y1 y 2 y k
U′
y′
L′
1
共轴球面光学系统
2、符号规则 、
（一）光线行进方向：从左向右。 光线行进方向：从左向右。 线量符号： （二）线量符号： (1)沿轴线段：以球面顶点 为原点，与光线行进方向相 沿轴线段： 为原点， 沿轴线段 以球面顶点O为原点 同者为正，与光线行进方向相反者为负。 同者为正，与光线行进方向相反者为负。 (2)垂轴线段：以光轴为界，在光轴之上为正，在光轴之 垂轴线段 以光轴为界，在光轴之上为正， 垂轴线 下为负。 下为负。 角度符号（一律以锐角来衡量）： (三）角度符号（一律以锐角来衡量）： 光线与光轴的夹角 光轴转向光线，顺时针为正， 的夹角： (1) 光线与光轴的夹角：光轴转向光线，顺时针为正，逆 时针为负。 时针为负。 光线与法线的夹角 光线转向法线，顺时针为正， 的夹角： (2) 光线与法线的夹角：光线转向法线，顺时针为正，逆 时针为负。 时针为负。 光轴与法线的夹角 光轴转向法线，顺时针为正， 的夹角： (3) 光轴与法线的夹角：光轴转向法线，顺时针为正，逆 时针为负。 时针为负。
11
1. 过渡公式
共轴球面光学系统
′ ′ ′ n2 = n1 , n3 = n2 , , nk = nk 1 ′ ′ ′ u2 = u1 , u3 = u2 , , uk = uk 1 ′ ′ ′ y 2 = y1 , y 3 = y 2 , , y k = y k 1
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第 2章 球面和球面系统
主要内容：符号规则；光线经过单个折射球 面的光路计算公式；单个折射球面成像放大 率及拉赫不变量；共轴球面系统的转面公式、 放大率和拉赫公式；球面反射镜的物像位置 关系公式及成像放大率。
重点:符号规则；近轴光线经单个折射球面的 物像关系公式；共轴球面系统的转面公式、 拉赫公式和放大率。
2.1光线经单个折射球面的折射
2.近轴光线的光路计算公式：
sin I L r sinU sin I n sin I
r
n
U U I I L r(1 sin I ) sinU
光线平行于光轴:光线的入射角用光线的入射高度
表示为： i h / r
2.1光线经单个折射球面的折射
3.成像性质：
难点：近轴光线的物像位置关系公式；单个 折射球面的拉赫不变量；共轴球面系统的转 面公式、拉赫公式和放大率。
物体 物点
光学系统
像
规律
像点
入射光线
单个折射 球面
出射光线
2.1光线经单个折射球面的折射
主要内容: 符号规则 光线经单个折射球面的实际光路计算公式 光线经单个折射球面的近轴光路计算公式 近轴物像位置关系公式 单个折射球面的成像放大率
2.1光线经单个折射球面的折射
四、光线经单个折射球面的近轴光路的计 算公式
1. 概念：
近轴光线：与光轴很靠近的光线，角度的正弦 值、正切值可以用角度的弧度值代替.
近轴区：近轴光线所在的区域。其中有关的量 用小写字母表示：u,l,i,i,u,l
近轴区没有明确界限，由允许的相对误差大小 确定.相对误差大小：0.1%——各角度小于5°
3.近轴光线经折射球面计算的其他形式
近轴光线满足：lu lu h
n n n n
(1)
l l r
推导出下面的公式 n(1 1) n(1 1) Q (2)
rl
r l
nu nu n n h
(3)
r
➢ （1）式表示物像位置的关系；（2）式称为阿贝
不变量公式，它表示单个折射球面物方和像方的
U U I I
sin I n sin I n
L r(1 sin I ) sinU
2.1光线经单个折射球面的折射
结论：出射光线的位置坐标L’是入射孔径角U 的函数，不同U的入射光线经球面折射后不交 于一点，成像不完善。
2. 物点位于轴上无限远:它发出的光束是平行于 光轴的平行光束，即 L , ，U 此0 时光线的入射 角可用下式计算： sin I h / r
2.2 单个折射球面的成像放
大率及拉赫不变量
如果在轴上点A附近从球面上取一小块面积ds并 把它的细光束像记为ds， 当面积足够小时，可近 似认为物和像均为在两球面的切平面上。
结论：当物体以细光束成像时，只有位于近轴 区的物体才能成完善像。
二、单个折射球面成像的放大率及拉赫不变量
物体 位置
物像位置 关系公式
2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
一、垂轴平面物体以细光束成像
A’是A的完善像点，根据物像之间等光程性，可 知 面是 面的细光束像。
根据物像位置关系公式知，B点的像在面左侧. 结论：如果物是垂轴平面物体，则它经过单个
折射球面折射后，它的细光束像不再是平面， 而是一个比 面 更弯曲的曲面，成像不完善—— 像面弯曲。
线，顺正逆负； 光轴与法线组成角度(φ)：光轴以锐角方向转到
法线，顺正逆负。 注：优先性：光轴、光线、法线。
2.1光线经单个折射球面的折射
三、光线经单个折射球面的实际光路计算公式 1.由入射光线求出射光线：已知r，n，n’，L，U,
求L’，U’。
利用正弦定理、折射定律和外角定理可得
sin I L r sinU r
像的 位置
像的大小、正倒、虚实？
1. 垂直放大率：像高与物高之比，或称为横向放
Q值相等；（3）式表示近轴光线经球面折射后
物像方孔径角的关系。
➢ 例题：有一折射球面，其参数为 r 20mm,n 1,n 1.5163, 物距为 l 6，0m求m 像距的值。
2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
二、符号规则 1.光线传播方向：规定光线从左向右传播为正。
2.线段： 沿轴线段:以顶点O为基准，左负右正；
垂轴线段:(h)以光轴为准，上正下负；
间隔d：以前一个面为基准，左负右正。
2.1光线经单个折射球面的折射
3.角度： 光轴与光线组成角度：光轴以锐角方向转到光
线，顺时针正逆时针负； 光线与法线组成角度：光线以锐角方向转到法
l
2.1光线经单个折射球面的折射
轴外点近轴光线成像：对于单个折射球面，如 果Ｂ点离主光轴很近，则Ｂ点发出的近轴光线 相对于主光轴来说也是近轴光线，经球面折射 后交于一点。
结论：位于近轴区的轴外物点，利用近轴光线 成像时，符合点对点的理想成像关系。
2.1光线经单个折射球面的折射
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.物像位置关系公式（ l与)l
2.1光线经单个折射球面的折射
一、概念
1.子午平面：包含光轴的平面。 2.截距：物方截距——物方光线与光轴的交点到顶
点的距离；像方截距——像方光线与光轴的交点 到顶点的距离。 3.孔径角：物方孔径角——物方光线与光轴的夹角； 像方孔径角——像方光线与光轴的夹角。
2.1光线经单个折射球面的折射
分界面有左右，球面有凹凸，光轴有上方下方，如 何区别？
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
u ir lr
i( 1 1) i( 1 1)
l r
lr
颠倒相除 r
u ir l r
n n n n (1) l l r
像的位置l只与物点的位置 和l 折射球面的结构 及物像方介质折射率有关。
2.1光线经单个折射球面的折射
由近轴光线光路计算公式可知，当角度u扩 大或减小K倍，i, i’ ,u’均扩大或缩小K倍。
ki l r ku r
ku ku ki ki
ki n ki n
l r r ki r r i
ku
u
结论：当入射光线的u改变时，l值不变，即 由同一物点发出的近轴光线，经单个折射球 面折射后交于同一点，成完善像。
主要内容：符号规则；光线经过单个折射球 面的光路计算公式；单个折射球面成像放大 率及拉赫不变量；共轴球面系统的转面公式、 放大率和拉赫公式；球面反射镜的物像位置 关系公式及成像放大率。
重点:符号规则；近轴光线经单个折射球面的 物像关系公式；共轴球面系统的转面公式、 拉赫公式和放大率。
2.1光线经单个折射球面的折射
2.近轴光线的光路计算公式：
sin I L r sinU sin I n sin I
r
n
U U I I L r(1 sin I ) sinU
光线平行于光轴:光线的入射角用光线的入射高度
表示为： i h / r
2.1光线经单个折射球面的折射
3.成像性质：
难点：近轴光线的物像位置关系公式；单个 折射球面的拉赫不变量；共轴球面系统的转 面公式、拉赫公式和放大率。
物体 物点
光学系统
像
规律
像点
入射光线
单个折射 球面
出射光线
2.1光线经单个折射球面的折射
主要内容: 符号规则 光线经单个折射球面的实际光路计算公式 光线经单个折射球面的近轴光路计算公式 近轴物像位置关系公式 单个折射球面的成像放大率
2.1光线经单个折射球面的折射
四、光线经单个折射球面的近轴光路的计 算公式
1. 概念：
近轴光线：与光轴很靠近的光线，角度的正弦 值、正切值可以用角度的弧度值代替.
近轴区：近轴光线所在的区域。其中有关的量 用小写字母表示：u,l,i,i,u,l
近轴区没有明确界限，由允许的相对误差大小 确定.相对误差大小：0.1%——各角度小于5°
3.近轴光线经折射球面计算的其他形式
近轴光线满足：lu lu h
n n n n
(1)
l l r
推导出下面的公式 n(1 1) n(1 1) Q (2)
rl
r l
nu nu n n h
(3)
r
➢ （1）式表示物像位置的关系；（2）式称为阿贝
不变量公式，它表示单个折射球面物方和像方的
U U I I
sin I n sin I n
L r(1 sin I ) sinU
2.1光线经单个折射球面的折射
结论：出射光线的位置坐标L’是入射孔径角U 的函数，不同U的入射光线经球面折射后不交 于一点，成像不完善。
2. 物点位于轴上无限远:它发出的光束是平行于 光轴的平行光束，即 L , ，U 此0 时光线的入射 角可用下式计算： sin I h / r
2.2 单个折射球面的成像放
大率及拉赫不变量
如果在轴上点A附近从球面上取一小块面积ds并 把它的细光束像记为ds， 当面积足够小时，可近 似认为物和像均为在两球面的切平面上。
结论：当物体以细光束成像时，只有位于近轴 区的物体才能成完善像。
二、单个折射球面成像的放大率及拉赫不变量
物体 位置
物像位置 关系公式
2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
一、垂轴平面物体以细光束成像
A’是A的完善像点，根据物像之间等光程性，可 知 面是 面的细光束像。
根据物像位置关系公式知，B点的像在面左侧. 结论：如果物是垂轴平面物体，则它经过单个
折射球面折射后，它的细光束像不再是平面， 而是一个比 面 更弯曲的曲面，成像不完善—— 像面弯曲。
线，顺正逆负； 光轴与法线组成角度(φ)：光轴以锐角方向转到
法线，顺正逆负。 注：优先性：光轴、光线、法线。
2.1光线经单个折射球面的折射
三、光线经单个折射球面的实际光路计算公式 1.由入射光线求出射光线：已知r，n，n’，L，U,
求L’，U’。
利用正弦定理、折射定律和外角定理可得
sin I L r sinU r
像的 位置
像的大小、正倒、虚实？
1. 垂直放大率：像高与物高之比，或称为横向放
Q值相等；（3）式表示近轴光线经球面折射后
物像方孔径角的关系。
➢ 例题：有一折射球面，其参数为 r 20mm,n 1,n 1.5163, 物距为 l 6，0m求m 像距的值。
2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
二、符号规则 1.光线传播方向：规定光线从左向右传播为正。
2.线段： 沿轴线段:以顶点O为基准，左负右正；
垂轴线段:(h)以光轴为准，上正下负；
间隔d：以前一个面为基准，左负右正。
2.1光线经单个折射球面的折射
3.角度： 光轴与光线组成角度：光轴以锐角方向转到光
线，顺时针正逆时针负； 光线与法线组成角度：光线以锐角方向转到法
l
2.1光线经单个折射球面的折射
轴外点近轴光线成像：对于单个折射球面，如 果Ｂ点离主光轴很近，则Ｂ点发出的近轴光线 相对于主光轴来说也是近轴光线，经球面折射 后交于一点。
结论：位于近轴区的轴外物点，利用近轴光线 成像时，符合点对点的理想成像关系。
2.1光线经单个折射球面的折射
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.物像位置关系公式（ l与)l
2.1光线经单个折射球面的折射
一、概念
1.子午平面：包含光轴的平面。 2.截距：物方截距——物方光线与光轴的交点到顶
点的距离；像方截距——像方光线与光轴的交点 到顶点的距离。 3.孔径角：物方孔径角——物方光线与光轴的夹角； 像方孔径角——像方光线与光轴的夹角。
2.1光线经单个折射球面的折射
分界面有左右，球面有凹凸，光轴有上方下方，如 何区别？
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
u ir lr
i( 1 1) i( 1 1)
l r
lr
颠倒相除 r
u ir l r
n n n n (1) l l r
像的位置l只与物点的位置 和l 折射球面的结构 及物像方介质折射率有关。
2.1光线经单个折射球面的折射
由近轴光线光路计算公式可知，当角度u扩 大或减小K倍，i, i’ ,u’均扩大或缩小K倍。
ki l r ku r
ku ku ki ki
ki n ki n
l r r ki r r i
ku
u
结论：当入射光线的u改变时，l值不变，即 由同一物点发出的近轴光线，经单个折射球 面折射后交于同一点，成完善像。