第二章球面与共轴球面系统(2014)
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第二章 共轴球面系统(1)
符号规则的应用举例：
20º 20º
20º 20º
100
100
符号规则的应用举例：
光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则
表示该几何量的方位。 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的 公式具有普遍性。
举例：
透镜的结构参数： r1 = 10
d=5
n1 = 1.0 n1’ = n2 = 1.5163 (K9)
r2 = -50
n2’ = 1.0
§ 2-3
近轴成像
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小，则这 些角度的正弦值可近似地用弧度值来代替， 并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时， 其他各量均用相应小写字母来表示。 此时，由于u角很小，光线很靠近光轴， 这样的光线称为近轴光线（或称傍轴光线）。 近轴光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
〈讨论〉
③ 当一物点位于反射镜的球心时，此时 I= -I″= 0 ，即说明从球心发出的 光线被球面镜反射后，反射光线按原 路返回；也就是说，从C点发出的任 何光线经球面镜反射后，仍会聚于C点。
何谓理想光学系统？
此即是把近轴区成完善像的范围扩 大到整个光学系统的任意空间；亦即当 任意大范围的物体以任意宽的光束经光 学系统后均能成完善像的光学系统。
A
-u
C
A’ B’
- u’
O
-l’ -l
球面反射镜的成像特性
1、焦距公式：
f ′= f = r / 2 2、物像关系：
（2-18）
1 / l′+ 1 / l = 2 / r
β=-l’/l α= - β 2 γ= -1 / β
第二章-共轴球面系统的物像关系
I ' I
折射定律
n sin I n' sin I '
看成是折射的一种特殊情形： n' n
1.
2.
3.
4.
Lr sin I sinU r n sin I ' sin I n' U ' I U I' sin I ' L' r r sinU '
n' n
一、概念
1. 子午面——包含物点与光轴的平面 2. 截距：物方截距——物方光线与光轴交点到顶点的距离 像方截距——像方光线与光轴交点到顶点的距离 3. 倾斜角：物方倾斜角——物方光线与光轴的夹角 物方倾斜角——物方光线与光轴的夹角
P
U A O
φ C
Uˊ Aˊ
n
nˊ
二、表示光线位置的坐标——光路的位置
5
O
各参量的符号规则规定如下：
1．线段： 由左向右为正，由下向上为正，反之为负。 规定线段的计算起点：
L、L'—由球面顶点算起到光线与光轴的交点 r—由球面顶点算起到球心 d—由前一面顶点算起到下一面顶点 h —以光轴算起
2．角度：
一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始轴： U、U'—由光轴起转到光线； I、I'—由光线起转到法线； ψ—由光轴起转到法线，
转面公式：
L2 L2 'd
' U 2 U1 '
l2 l1 'd1 u2 u1 '
上述公式称为近轴光线的光路计算公式。
靠近光轴的区域叫近轴区，近轴区域内的光线 叫近轴光线（高斯光学） • 近轴光路计算公式有误差 • 相对误差范围
折射定律
n sin I n' sin I '
看成是折射的一种特殊情形： n' n
1.
2.
3.
4.
Lr sin I sinU r n sin I ' sin I n' U ' I U I' sin I ' L' r r sinU '
n' n
一、概念
1. 子午面——包含物点与光轴的平面 2. 截距：物方截距——物方光线与光轴交点到顶点的距离 像方截距——像方光线与光轴交点到顶点的距离 3. 倾斜角：物方倾斜角——物方光线与光轴的夹角 物方倾斜角——物方光线与光轴的夹角
P
U A O
φ C
Uˊ Aˊ
n
nˊ
二、表示光线位置的坐标——光路的位置
5
O
各参量的符号规则规定如下：
1．线段： 由左向右为正，由下向上为正，反之为负。 规定线段的计算起点：
L、L'—由球面顶点算起到光线与光轴的交点 r—由球面顶点算起到球心 d—由前一面顶点算起到下一面顶点 h —以光轴算起
2．角度：
一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始轴： U、U'—由光轴起转到光线； I、I'—由光线起转到法线； ψ—由光轴起转到法线，
转面公式：
L2 L2 'd
' U 2 U1 '
l2 l1 'd1 u2 u1 '
上述公式称为近轴光线的光路计算公式。
靠近光轴的区域叫近轴区，近轴区域内的光线 叫近轴光线（高斯光学） • 近轴光路计算公式有误差 • 相对误差范围
几何光学 第二章 球面和球面系统
1 反射面只是折射面在 n ' n 的特殊情况 2 平面是半径为无穷大的球面
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
+第2章球面和共轴系统
说明：1）β>0，y与y’同号，成正像，反之倒像。
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
第二章 球面与共轴球面系统
3. 放大率公式1） Nhomakorabea轴放大率：
yk y1
1 2 k
n 1 l 1l 2 l k n k l1 l 2 l k
n1u 1 nkuk
意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。 2）轴向放大率： 3）角放大率： 4）三者关系：
lk lk rk
远轴光的过渡公式：
L 2 L 1 d 1 , L 3 L 2 d 2 ,......
U
2
L k L k 1 d k 1
U 1 , U
3
U 2 ,...... U
k
U k 1
n 2 n 1 , n 3 n 2 ,......, n k n k 1
第二章 球面与共轴球面系统
§ 2－1 光线光路计算与共轴光学系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。 物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。 子午面— 包含物面与光轴的截面。
一、 光线经过单个折射面的折射
n I E I′ φ U′ C n′ h -U
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间 n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′ u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′ y2 ＝ y1′， y3 ＝ y2′ …… yk ＝ yk-1′ l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1 h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′ 各面近轴光线成像公式： n k n k nk nk
yk y1
1 2 k
n 1 l 1l 2 l k n k l1 l 2 l k
n1u 1 nkuk
意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。 2）轴向放大率： 3）角放大率： 4）三者关系：
lk lk rk
远轴光的过渡公式：
L 2 L 1 d 1 , L 3 L 2 d 2 ,......
U
2
L k L k 1 d k 1
U 1 , U
3
U 2 ,...... U
k
U k 1
n 2 n 1 , n 3 n 2 ,......, n k n k 1
第二章 球面与共轴球面系统
§ 2－1 光线光路计算与共轴光学系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。 物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。 子午面— 包含物面与光轴的截面。
一、 光线经过单个折射面的折射
n I E I′ φ U′ C n′ h -U
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间 n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′ u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′ y2 ＝ y1′， y3 ＝ y2′ …… yk ＝ yk-1′ l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1 h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′ 各面近轴光线成像公式： n k n k nk nk
工程光学(第二章)
L' r(1 sin I ' ) （2－4） sinU '
i lru r
i' n i n'
u' u i i'
l' r(1 i' ) u'
称为小 l 公式
ni
E
n’
h φC
O
r
当无限远物点发出的平行光入射时，有 继续用其余三个公式。
i h r
小 l 公式也称为近轴光线的光路追迹公式
例2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
L1 B
L2 B’
A1
A
A’
B1
对于L1而言，A1B1是AB的像;
对L2而言，A1B1是物，A’B’是像，则A1B1称为中 间像
※物所在的空间为物空间，像所在的空 间为像空间，两者的范围都是 （-∞,+∞）
※ 通常对于某一光学系统来说，某一 位置上的物会在一个相应的位置成一个 清晰的像，物与像是一一对应的，这种 关系称为物与像的共轭。
n' u' nu h( n' n ) r
将 l u = l’ u’ = h 代入，消去u和u’ , 可得
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
rl
r l'
也可表示为
n' n n' n l' l r
上式称为单个折射球面物像位置公式
n' u' nu h( n' n ) r
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
nI
第二章 共轴球面系统(二)
= l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
第2章 共轴球面系统的物像关系
12
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
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sin U ?
i? l?ru r
i?? nn?i u?? u ? i ? i?
l ??
r
?
r
i? u?
说明：1）l′＝f (r、n、n′、l)
sin ? ? ? sin ?
?
0.1 00
l??
r
?
n ?r ??l ? r ? n?l ? n?l ? r ?
2）l′与u无关，象方光束同心，近轴光以细光束成完善象。
n(l ? r ) ? n'(l'?r ) ?
rl
rl '
l'? r ? nl' l ? r n'l
lu ? h ? l'u'
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l l一定时， l'一定， β一定，取决于共轭面的位置。
在一对共轭面内，像必与物相似。 b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反；
第二章 球面与共轴球面系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。
物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。
共轴球面光学系统 本章的思路： 基本概念与符号规则-? 单个折射球面的计算公式? 单个折射球面
的成像倍率与特殊关系? 反射球面镜的成像。
n
?
k
?
2
n1
3）角放大率：
?
?
u ?k u1
?
?1? 2 ?
?k
?
n1 1
n?k ?
4）三者关系：
??
?
n
?
k
?
2
n1
1
??
n1 nk? ?
4. 拉赫不变量： J ? n1u1 y1 ? ? ? nk uk yk
意义： 1、 J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用 J来校
对光路计算是否正确。 2、J 表征光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角的光线入射成
r1=50
n=1.5
-r2=100
200
500
先算位置关系，再计算垂轴放大率，再分析大小、虚实和正倒
§ 2－4 球面反射镜
令 n′= -n，
n?? n ? n?? n l? l r
l1??
1 l
?
2 r
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n? l l
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n
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各面近轴光线成像公式： nk? ? nk ? nk? ? nk
lk? lk
rk
远轴光的过渡公式：
L2 ? L1?? d1 , L3 ? L2? ? d 2 ,...... Lk ? Lk??1 ? dk?1 U 2 ? U 1?,U 3 ? U 2?,......U k ? U k??1 n2 ? n1?, n3 ? n2?,......, nk ? nk??1
a. 光线传播方向：从左向右 b. 线段：沿轴线段 ( L,L',r ) 以顶点 O 为基准，左“ - ”右“ + ”
垂轴线段 ( h ) 以光轴为准，上“ + ”下“ - ” 间隔 d(O1O2) 以前一个面为基准，左“ - ”右“ + ” c. 角度：光轴与光线组成角度 ( U,U' ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到光线，顺“ + ”逆“ - ” 光线与法线组成角度 ( I,I' ) 以光线为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 光轴与法线组成角度 ( φ ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 优先级：光轴? 光线? 法线
3. 放大率公式
1）垂轴放大率：
?
?
y?k y1
?
?1? 2 ?
?k
?
n1 l1?l2?? n?k l1l2 ?
lk? ? n1u1 lk nk?uk?
意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。
2）轴向放大率：
?
?
dl
?
k
dl1
?
?
1?
2
?
?k
?
n1? n1
?
2 1
?
n
?
k
nk
?
2 k
?
(u′、u关系)
3、
n?? n ? n?? n l? l r
（常用的物象位置关系）
六、（近轴区）折射球面的光焦度，焦点和焦距
n?? n ? n?? n l? l r
像方焦距：
l?
??
,
f ' ? l'l?
??
?
r n'
n'? n
物方焦距：
l'?
?,
f
? ll '?
?
?? r n n'? n
f ' ? ? n' fn
§ 2－2 单个折射球面的成像放大率、拉赫不变量
1. 垂轴放大率：像的大小和物的大小的比值
B
n
E
n′
y
-u A
? ? y?? l?? r ? nl?? nu
y l ? r n?l n?u'
-l
h
O
C
r
u′
- y′ A′
B′
l′
利用三角形相似和阿贝不变量
n(1 r
?
1) l
?
n?(1 r
?
l1?)
?
n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′
u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′
y2 ＝ y1′， y3 ＝ y2′ …… yk ＝ yk-1′
l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1
h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′
3）在光学设计中有重要作用。为了设计出一定垂 轴倍率的光学系统，在物方参数nuy固定的条件下，常通 过改变像方孔径角u′的大小来改变y′的数值，使得y′与y 的比值满足系统设计的要求。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
J ? uy ? ?u?y?
β<0， l 、 l′同号，物象虚实一致，倒立。 β>0， l 、 l′异号，物象虚实相反，正立。
当物沿光轴移动时，像总是以相反的方向 沿轴移动。
说明：
1. 当物处于球心时，有：
l ? l?? r
? ? ? 1,? ? ?1,? ? 1
2. l ? ??
l?? f ?? r 2
1. 共轴球面系统的结构参量：
各球面半径：r1 、 r2 …… rk-1 、 rk
相邻球面顶点间隔：d1 、 d2 …… dk-1
各球面间介质折射率：n1 、 n2 ……
、 n n nk-1
k 、 k+1
r1=50
-r2=100
n=1.5
200
500
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间
§ 2.1 光线经过单个折射面的折射
一、 基本概念
n
IE
n′
I′ h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
r
-L
L′
1、子午平面: 包含光轴的平面, 轴上点，轴外点 2、物方截距: 物方光线与光轴的交点到顶点的距离
像方截距: 像方光线与光轴的交点到顶点的距离 3、物方孔径角：物方光线与光轴的夹角
像方孔径角：像方光线与光轴的夹角
三、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）
给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′
其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
正弦定理、折射定律，三角关系
sin I ? L ? r sinU
n
IE
n′
r
I′ h
-U
φ
U′
sin I?? n sin I
A
O
C
A′
n?
U?? U ? I ? I ?
? ? u?? l ? n 1 u l? n??
4. 三者关系：
a? ? n?? 2 ? n 1 ? ? n n??
5. 拉赫不变量J：折射面前后三个量n、u、y的乘积相等
? ? y?? n ?l?? n ?u
y n??l n??u?
J ? nuy ? n?u?y?
意义：1）计算象差的公式中出现；
2）校对计算结果的正确性；
3. 通过球心的光线被反射镜原路反射回来，球面反 射镜对其曲率中心为等光程面。
4. 对于平面反射镜，有：
r ? ??
l1??
1 l
?
0
? ? ? l?? 1
l
位置、大小、正倒，虚实
例：凹面反射镜半径为-400mm，物放在何处成放大 两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像？
思考题：一月凸薄透镜的两个球面半径为r1 =-200mm， r2 ＝-150mm，n=1.5，后表面凸面渡银，在前表面前 方400mm处的轴上放一高为10mm的物，求最后所成
3）物点位于物方无限远时，入射光线位置由高度h决定。
sin I ? h r
i? l?ru r
i?? nn?i u?? u ? i ? i?
l ??
r
?
r
i? u?
说明：1）l′＝f (r、n、n′、l)
sin ? ? ? sin ?
?
0.1 00
l??
r
?
n ?r ??l ? r ? n?l ? n?l ? r ?
2）l′与u无关，象方光束同心，近轴光以细光束成完善象。
n(l ? r ) ? n'(l'?r ) ?
rl
rl '
l'? r ? nl' l ? r n'l
lu ? h ? l'u'
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l l一定时， l'一定， β一定，取决于共轭面的位置。
在一对共轭面内，像必与物相似。 b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反；
第二章 球面与共轴球面系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。
物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。
共轴球面光学系统 本章的思路： 基本概念与符号规则-? 单个折射球面的计算公式? 单个折射球面
的成像倍率与特殊关系? 反射球面镜的成像。
n
?
k
?
2
n1
3）角放大率：
?
?
u ?k u1
?
?1? 2 ?
?k
?
n1 1
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4）三者关系：
??
?
n
?
k
?
2
n1
1
??
n1 nk? ?
4. 拉赫不变量： J ? n1u1 y1 ? ? ? nk uk yk
意义： 1、 J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用 J来校
对光路计算是否正确。 2、J 表征光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角的光线入射成
r1=50
n=1.5
-r2=100
200
500
先算位置关系，再计算垂轴放大率，再分析大小、虚实和正倒
§ 2－4 球面反射镜
令 n′= -n，
n?? n ? n?? n l? l r
l1??
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各面近轴光线成像公式： nk? ? nk ? nk? ? nk
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a. 光线传播方向：从左向右 b. 线段：沿轴线段 ( L,L',r ) 以顶点 O 为基准，左“ - ”右“ + ”
垂轴线段 ( h ) 以光轴为准，上“ + ”下“ - ” 间隔 d(O1O2) 以前一个面为基准，左“ - ”右“ + ” c. 角度：光轴与光线组成角度 ( U,U' ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到光线，顺“ + ”逆“ - ” 光线与法线组成角度 ( I,I' ) 以光线为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 光轴与法线组成角度 ( φ ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 优先级：光轴? 光线? 法线
3. 放大率公式
1）垂轴放大率：
?
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意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。
2）轴向放大率：
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(u′、u关系)
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（常用的物象位置关系）
六、（近轴区）折射球面的光焦度，焦点和焦距
n?? n ? n?? n l? l r
像方焦距：
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物方焦距：
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§ 2－2 单个折射球面的成像放大率、拉赫不变量
1. 垂轴放大率：像的大小和物的大小的比值
B
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利用三角形相似和阿贝不变量
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n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′
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l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1
h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′
3）在光学设计中有重要作用。为了设计出一定垂 轴倍率的光学系统，在物方参数nuy固定的条件下，常通 过改变像方孔径角u′的大小来改变y′的数值，使得y′与y 的比值满足系统设计的要求。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
J ? uy ? ?u?y?
β<0， l 、 l′同号，物象虚实一致，倒立。 β>0， l 、 l′异号，物象虚实相反，正立。
当物沿光轴移动时，像总是以相反的方向 沿轴移动。
说明：
1. 当物处于球心时，有：
l ? l?? r
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1. 共轴球面系统的结构参量：
各球面半径：r1 、 r2 …… rk-1 、 rk
相邻球面顶点间隔：d1 、 d2 …… dk-1
各球面间介质折射率：n1 、 n2 ……
、 n n nk-1
k 、 k+1
r1=50
-r2=100
n=1.5
200
500
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间
§ 2.1 光线经过单个折射面的折射
一、 基本概念
n
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1、子午平面: 包含光轴的平面, 轴上点，轴外点 2、物方截距: 物方光线与光轴的交点到顶点的距离
像方截距: 像方光线与光轴的交点到顶点的距离 3、物方孔径角：物方光线与光轴的夹角
像方孔径角：像方光线与光轴的夹角
三、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）
给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′
其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
正弦定理、折射定律，三角关系
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4. 三者关系：
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5. 拉赫不变量J：折射面前后三个量n、u、y的乘积相等
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意义：1）计算象差的公式中出现；
2）校对计算结果的正确性；
3. 通过球心的光线被反射镜原路反射回来，球面反 射镜对其曲率中心为等光程面。
4. 对于平面反射镜，有：
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位置、大小、正倒，虚实
例：凹面反射镜半径为-400mm，物放在何处成放大 两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像？
思考题：一月凸薄透镜的两个球面半径为r1 =-200mm， r2 ＝-150mm，n=1.5，后表面凸面渡银，在前表面前 方400mm处的轴上放一高为10mm的物，求最后所成
3）物点位于物方无限远时，入射光线位置由高度h决定。
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