第二章 共轴球面系统(二)
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工程光学复习
Fo'
Fe
§7.4 望远镜系统
一、视觉放大率
? ? ? f o? f e?? ? D D? 二、望远镜系统的分辨率和工作放大率
a 140?? ?? ?
fo? D
? ? ? min =60″
0.85a 120??
??
?
fo?
D
? 工作放大率：? =D
三、望远镜的光束限制和视场计算
h1 h2
108
18 lz'
二. 具有不同方向主截面的平面系统
复合棱镜：各光轴截面内均适用。 各主截面分别判断
光学系统中，要同时考虑透镜和棱镜的成像特性。
§4.4 折射棱镜与光楔
? 光路对称于折射棱镜时，偏向角 ?极小。?m：
sin ? ? ? m ? n sin ?
2
2
? 棱镜的色散：同一介质对不同波长的单色光具有不同折射率。
② |?|>1 时，|y'| > |y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 ③ ? >0, 当物点沿轴向移动时，其像点沿光轴同向移动； ④ ? ≠? , 空间物体成像时要变形。 ⑤ ? 表示折射球面将光束变宽或变细的能力，只与共轭点的
位置有关，与光线的孔径角无关。
?
?
y? ?
nl?
y n ?l
? ? n?? 2
单 色 像 差
细光 束像 散
远轴物点细光束成像， 像分散为两个像
不同位置的像 截面形状不一 样
细光 束场 曲
轴外物点的像，位置随 视场而变，且偏离高斯 像面
平面物成弯曲 像面
轴 向
晰 度 选择光阑位置，双分离透
镜
视场
厚透镜，像散过校正
第二章_共轴球面系统的物像关系
uk
u1 , h1 解法二
u ' n' un
' un
l1
解法三
h n' n r
' un 1 un
' ' un , ln
' un 1 un ' ln 1 ln d n
ri ' u'
同样可得：
l' r
l 'u ' u ' i ' r
' 显然 h lu l 'u,代入上式，并在第一式两边同乘以n， 第二式两侧同乘以n '
nh nu ni r
n' h n' u ' n' i ' r
将以上二式相减，并考虑到
n sin I n' sin I '
d—由前一面顶点算起到下一面顶点。
2．角度： 一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始轴： U、U'—由光轴起转到光线； I、I'—由光线起转到法线； ψ—由光轴起转到法线，
应用时，先确定参数的正负号，代入公式计算。 算出的结果亦应按照数值的正负来确定光线的相对位置。 推导公式时，也要使用符号规则。
注意 为了使导出的公式具有普遍性，推导公式时，几何 图形上各量一律标注其绝对值，永远为正
反射情形 看成是折射的一种特殊情形： n’= －n 把反射看成是n’= －n 时的折射。 往后推导公式时，只讲折射的公式；对于反射情形， 只需将n’用－n代入即可，无需另行推导。
Q
P
I
I’
-U A O φ C Uˊ Aˊ
l ' f (n, n' , r , l )
工程光学第2章复习资料解读
2019/3/3
南京信息工程大学电科系
6
符号规则
（一）光路方向
从左向右为正向光路，反之为反向光路。
正向光路 反向光路
2019/3/3
7
（二）线段
1. 沿轴线段：从起点（原点）到终点的方向与光 线传播方向相同，为正；反之为负。 即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。
原点
+
-
原点
2019/3/3
南京信息工程大学电科系
2019/3/3 2
§2-1 符号规则（§2-2）
若干概念与术语
n E h n’ C
O
r
※ O：顶点。
※ C：球面曲率中心。
※ OC：球面曲率半径, r。
※ OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n’ 的分界面。
※ h：光线投射高度。
2019/3/3
南京信息工程大学电科系
3
n A O
E h r
n’ C
B I -U O -L h r L’ E I’ φ U’
y
A
C
A’
-y’ B’
2019/3/3
南京信息工程大学电科系
15
练习：试用符号规则标出下列光组 及光线的位置
（1）r = -30mm, L = -100mm, U = -10°
（2）r = 30mm, L = -100mm, U = -10°
第二章 共轴球面系统的物像关系
2019/3/3
南京信息工程大学电科系
1
光轴 如果光学系统的所有界面均为球面，则称为球面系 统。各球面球心位于一条直线上的球面系统，称为共轴 球面系统。连接各球心的直线称为光轴。光轴与球面的 交点称为顶点。 光线经过光学系统是逐面进行折射的，光线光路计 算也应逐面进行。先对单个折射球面进行讨论，再过渡 到整个系统。透镜是构成光学系统最基本的成像元件， 它由两个球面或一个球面和一个平面所构成。光线在通 过透镜时会在这些面上发生折射。平面可以看做曲率半 径r→∞的特例，反射则是折射在n’=-n时的特例。所 以研究单个折射球面的光路计算具有普遍意义。
南京信息工程大学电科系
6
符号规则
（一）光路方向
从左向右为正向光路，反之为反向光路。
正向光路 反向光路
2019/3/3
7
（二）线段
1. 沿轴线段：从起点（原点）到终点的方向与光 线传播方向相同，为正；反之为负。 即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。
原点
+
-
原点
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§2-1 符号规则（§2-2）
若干概念与术语
n E h n’ C
O
r
※ O：顶点。
※ C：球面曲率中心。
※ OC：球面曲率半径, r。
※ OE：透镜球面，也是两种介质 n 与 n’ 的分界面。
※ h：光线投射高度。
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3
n A O
E h r
n’ C
B I -U O -L h r L’ E I’ φ U’
y
A
C
A’
-y’ B’
2019/3/3
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15
练习：试用符号规则标出下列光组 及光线的位置
（1）r = -30mm, L = -100mm, U = -10°
（2）r = 30mm, L = -100mm, U = -10°
第二章 共轴球面系统的物像关系
2019/3/3
南京信息工程大学电科系
1
光轴 如果光学系统的所有界面均为球面，则称为球面系 统。各球面球心位于一条直线上的球面系统，称为共轴 球面系统。连接各球心的直线称为光轴。光轴与球面的 交点称为顶点。 光线经过光学系统是逐面进行折射的，光线光路计 算也应逐面进行。先对单个折射球面进行讨论，再过渡 到整个系统。透镜是构成光学系统最基本的成像元件， 它由两个球面或一个球面和一个平面所构成。光线在通 过透镜时会在这些面上发生折射。平面可以看做曲率半 径r→∞的特例，反射则是折射在n’=-n时的特例。所 以研究单个折射球面的光路计算具有普遍意义。
7-4共轴球面系统 (2)
二、拉赫不变量－共轴球面光学系统
由折射球面的拉赫不变量有 n1y1u1＝n1’y1’u1’ n2y2u2＝n2’y2’u2’
……
nmymum＝nm’ym’um’
由转面公式可得
nyu ＝n1y1u1 ＝n2y2u2＝……＝nmymum＝n’y’u’
1、垂轴放大率－放大率
b
y' y b 1b 2 b m
§7.4 共轴球面光学系统
一、转面公式 二、拉赫不变量 三、放大率公式 1、垂轴放大率 2、轴向放大率 3、角放大率 四、一般光路计算列表
例题与作业
一、转面公式－共轴球面光学系统
• 成像时涉及的参量
(1) 光学系统参量 (a) 各球面的曲率半径： r1，r2，……，rm； (b) 各球面两侧的折射率： n1，n1’，n2，n2’，……，nm，nm’； (c) 相邻两球面顶点的间距： d1，d2，……，dm-1。 (2) 物像参量 (a) 物像高度： y1，y1’，y2，y2’，……，ym，ym’； (b) 物像距： l1，l1’，l2，l2’，……，lm，lm’。 (3) 光线参量 孔径角： u1，u1’，u2，u2’，……，um，um’。
(3) ＝v’// /v//。
3、角放大率－放大率
u' u 1 2 m
三种放大率的关系
n' n n
b
2
n' b
b
四、一般光路计算列表－共轴球面光学系统 球面1(i=1) 球面2 (i=2) 球面i 球面k (i=m)
ni ni’ ri di Li L1【L】 L2 － ri Li－ri × sinUi sinU1【 sinU】 sinU2 ÷ ri sinIi × ni ÷ ni ’ sinIi’ × ri ÷ sinUi’ + ri Li’ L1’ L2’ － di d1 d2 Li＋1 L2 L3
第2章 共轴球面系统的物像关系
12
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
球面和共轴球面系统培训课件
物体位于有限 远处
三角形AEC中应用正弦定律有： sin I sin(U )
rL
r
由此推出入射角I公式：sin I L r sinU r
再由折射定律可以求得折射角I '的公式：sin I ' n sin I n'
由图可知：＝U I U ' I ', 所以有：U ' U I I '
在三角形A ' EC使用正弦定律得： sin I ' sinU '
L ' r
r
则像方截距为： L ' r r sin I ' sinU '
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
当物在无限远时， L = −∞，设一条光 线平行于光轴入射，入射高度为，则 有：
物体位于无限远 处
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
❖ 由上面提供旳公式，我们能够由已知旳L和U求出L’和 U’。
❖ 1）求高斯像面旳位置； ❖ 2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位
置；
❖ 3）当入射高度为h=10mm，问光线旳像方 截距是多少？和高斯像面相比相差多少？ 阐明什么问题？
2.3 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一种基本成像元件 （反射镜例外，能够单面成像），基本成像元件 是至少两个球面或非球面所构成旳透镜。大部分 透镜都由球面构成，加工以便，成本降低。
❖ 课后习题： 2.2、2.3、2.4、2.5、2.6、2.7、2.8、
2.9 。
2、
n ' u '- nu n ' n h
r
该公式表达近轴光折射前后旳孔径角u和u’之间旳关系。
三角形AEC中应用正弦定律有： sin I sin(U )
rL
r
由此推出入射角I公式：sin I L r sinU r
再由折射定律可以求得折射角I '的公式：sin I ' n sin I n'
由图可知：＝U I U ' I ', 所以有：U ' U I I '
在三角形A ' EC使用正弦定律得： sin I ' sinU '
L ' r
r
则像方截距为： L ' r r sin I ' sinU '
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
当物在无限远时， L = −∞，设一条光 线平行于光轴入射，入射高度为，则 有：
物体位于无限远 处
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
❖ 由上面提供旳公式，我们能够由已知旳L和U求出L’和 U’。
❖ 1）求高斯像面旳位置； ❖ 2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位
置；
❖ 3）当入射高度为h=10mm，问光线旳像方 截距是多少？和高斯像面相比相差多少？ 阐明什么问题？
2.3 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一种基本成像元件 （反射镜例外，能够单面成像），基本成像元件 是至少两个球面或非球面所构成旳透镜。大部分 透镜都由球面构成，加工以便，成本降低。
❖ 课后习题： 2.2、2.3、2.4、2.5、2.6、2.7、2.8、
2.9 。
2、
n ' u '- nu n ' n h
r
该公式表达近轴光折射前后旳孔径角u和u’之间旳关系。
第二章球面和共轴球面系统分析
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大 小问题，必须计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 光线经过单个折射球面的情况如图所示。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。 计算的目的：光从何处来，经何处到哪里去（由此得出由物 点发出的光线经过系统后能否交到一点完善成像）？
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
应光第二章 球面系统 答案
第二章球面和共轴球面系统2。
1某一透镜结构参数如下：r/mm d/mm n100300 1.5∞当l=-∞时，求l',在第二个面（平面）上刻十字线，试问通过球面的共轭像在何处？当入射高度h=10mm时，实际光线和光轴的交点应在何处？在高斯面上的交点高度是多少？这个值说明了什么问题?l’=299。
解:l’=0，在第二面上十字线其共轭像在无限远。
H=10mm，实际光线与广州交点133203mm，这说明了该光线经球面折射后不交于锦州光像点，所以一个物点得到的像是一个弥散斑。
2.2一个玻璃球的直径为400mm，玻璃折射率n=1.5,球中有两个小气泡，一个正在球心,另一个在1/2半径处，沿两气泡的连线方向在球的两边观察两个气泡,它们应在什么位置？如果在水中（n=1.33）观察。
则它们应在什么位置?解：设一个气泡在中心处，另一个在第二面和中心之间.（1）从右侧观察时，如图a:a b（2）从左侧观察时如图b：(3）在水中时: 中心气泡所成像： ，n ’=1。
33 n=1。
5，r=200mm ，l=200mm 得到：l'=200mm 仍在圆心处1/2半径处气泡所成像：，n ’=1。
33 ，n=1.5，r=200mm ，l=100mm 时 ， l ’=94mml=—300mm 时 ， l'=—320mm2.3一个玻璃球直径为60mm ，玻璃折射率n=1.5,一束平行光射在玻璃球上,其会聚点应在什么位置？解：首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式：由 1n '=1。
5 1r =30mm 1n =1 1l =∞得到:1l '=90mm对于第二面，d=60mm ，2l =1l '—d=30mm由 22'222'22'r n n l n l n -=- 2n =1。
5 2n ’=1 2r =-30mm 1n =1 2l =30mm 得到：2l ’=15mm会聚点位于第二面后15mm 处.2。
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= l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
n1 n1
n'k
球面反射镜
n' n
n' n n'n l' l r
11 2 l' l r
第二章 共轴球面系统
大纲要求
[内容] 球面和共轴球面系统 符号规则 球面反射镜
[目的要求] 掌握单球面折射时近轴区光路计算公式和放大率计算公式 掌握笛卡儿符号规则 [时间] 4学时 [教学方法]课程讲授
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率——横向放大率 Transverse magnification
ß﹥0，表示成正像，物像位于折射面的同侧，物 像性质相异
︱ß︱﹤1, 为缩小的像；︱ß︱﹥ 1, 为放大的像
近轴区的放大率----轴向放大率 axial magnification
定义：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系。 当物体沿光轴有一微小位移时，其像也将发生变化
公式： dl'
l2 1
1（倒立）
折射球面2第二次成像，以顶点O2为基准点，利用物像公式：
n2 n2 n2 n2
l'2 l2
r2
其中，l2 20cm ，n'2 1.00 ，n2 1.50 ，r2 10cm
解得
l'2 8cm （最终像，实像）
2
n2l'2 n'2 l2
0.6（正立）
最终像高：
y' 12 y 0.6mm
共轴球面系统的过渡公式（2）
物像高度
y2 y'1 , y3 y'2 , yk y'k1
截距
l2 l'1d1,l3 l'2 d2,lk l'k1dk1
共轴球面系统的过渡公式（3-1）
n'u'nu n'n h
h?
r
u2 u'1 ,u3 u'2 ,uk u'k1
×
l2 l'1d1,l3 l'2 d2,lk l'k1dk 1
l’2
l2
-l
l’1
解： 折射球面1第一次成像，以顶点O1为基准点，利用物像公式：
n1 n1 n1 n1
l'1 l1
r1
其中，s1 20cm ，n'1 1.50 ，n1 1.0，r1 5.0cm
解得
s'1 30cm
（中间像，实像）
l’2
利用横向放大- 率l 公式
1
n1s'1 n'1 sl1’1
得 :l' 15cm
nl' 3
n'l 4
n' 2 3
n4
1
例题2. 置于空气中的一粗圆玻璃棒，折射率为1.50，将其左、 右两端分别磨成半径为5.0cm、 10cm的半球面，构成一个双 凸厚透镜，其厚度为10cm。今有一高为1mm的垂轴小物正立 于透镜左半球面顶点左方20cm处。试求最终像的位置并判断 最终像的性质。
n' 2
n
物体为立方体，由于两放大率不同，像不再 是立方体，因此折射球面不可能获得与物体 相似的立体像
轴向放大率总是正值，物体沿光轴移动，其 像也同方向移动
轴上有限距离的轴向放大率
n' n
1
2
A1 A2 -l2
-l1 n
A’2 A’1
l’2 l’1
n’
近轴区的放大率----角放大率
Angular magnification
定义：一对共轭光线与光轴的夹角的比 值。
公式： u'
u
近轴区的放大率----角放大率
u'
u
lu l'u' h
u' l
u l'
近轴区的放大率----角放大率
n n' l n n'l n 1 n' n l' n' nl' n'
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
n
( n' 2 )( n 1 ) n n'
dl
近轴区的放大率----轴向放大率
n' n n'n 进行微分 l' l r
n'dl' l'2
ndl l2
0
dl' dl
nl'2 n'l 2
横向放大率和轴向放大率的关系
dl' dl
nl'2 n'l 2
n
n'
n n'
nl'2 n'l 2
( nl' )2 n'l
2
n' 2
n
横向放大率和轴向放大率的关系
共轴球面系统
共轴球面系统的结构参量
各个折射面的曲率半径：
r1、r2、………rk
各球面顶点的间距：
d1、d2、………dk-1
各球面之间的介质折射率：
n1、n2、………nk+1
共轴球面系统的过渡公式（1）
折射率
n2 n'1 , n3 n'2 ,nk n'k1
孔径角
u2 u'1 ,u3 u'2 ,uk u'k1
h2 h1 d1u'1 , h3 h2 d2u'2 , hk hk1uk1 dk1uk1
共轴球面系统的拉赫不变量
nuy n'u' y' J n1u1y1 n2u2 y2 ,nkuk yk nk'uk' yk' J
共轴球面系统的放大率
12 k 12 k 1 2 k
nl' l' r n' l l r
y' l'r y lr
y' nl'
y n' l
近轴区的放大率
---- 横向放大率
y' nl'
y n'l
ß取决于介质的折射率和物体的距离，与物体的大 小无关
对于一对确定的共轭面， ß为一常数 ß﹤0，表示成倒像，物像分居折射面的两侧，物
像性质相同
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
n1 n1
n'k
球面反射镜
n' n
n' n n'n l' l r
11 2 l' l r
第二章 共轴球面系统
大纲要求
[内容] 球面和共轴球面系统 符号规则 球面反射镜
[目的要求] 掌握单球面折射时近轴区光路计算公式和放大率计算公式 掌握笛卡儿符号规则 [时间] 4学时 [教学方法]课程讲授
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率——横向放大率 Transverse magnification
ß﹥0，表示成正像，物像位于折射面的同侧，物 像性质相异
︱ß︱﹤1, 为缩小的像；︱ß︱﹥ 1, 为放大的像
近轴区的放大率----轴向放大率 axial magnification
定义：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系。 当物体沿光轴有一微小位移时，其像也将发生变化
公式： dl'
l2 1
1（倒立）
折射球面2第二次成像，以顶点O2为基准点，利用物像公式：
n2 n2 n2 n2
l'2 l2
r2
其中，l2 20cm ，n'2 1.00 ，n2 1.50 ，r2 10cm
解得
l'2 8cm （最终像，实像）
2
n2l'2 n'2 l2
0.6（正立）
最终像高：
y' 12 y 0.6mm
共轴球面系统的过渡公式（2）
物像高度
y2 y'1 , y3 y'2 , yk y'k1
截距
l2 l'1d1,l3 l'2 d2,lk l'k1dk1
共轴球面系统的过渡公式（3-1）
n'u'nu n'n h
h?
r
u2 u'1 ,u3 u'2 ,uk u'k1
×
l2 l'1d1,l3 l'2 d2,lk l'k1dk 1
l’2
l2
-l
l’1
解： 折射球面1第一次成像，以顶点O1为基准点，利用物像公式：
n1 n1 n1 n1
l'1 l1
r1
其中，s1 20cm ，n'1 1.50 ，n1 1.0，r1 5.0cm
解得
s'1 30cm
（中间像，实像）
l’2
利用横向放大- 率l 公式
1
n1s'1 n'1 sl1’1
得 :l' 15cm
nl' 3
n'l 4
n' 2 3
n4
1
例题2. 置于空气中的一粗圆玻璃棒，折射率为1.50，将其左、 右两端分别磨成半径为5.0cm、 10cm的半球面，构成一个双 凸厚透镜，其厚度为10cm。今有一高为1mm的垂轴小物正立 于透镜左半球面顶点左方20cm处。试求最终像的位置并判断 最终像的性质。
n' 2
n
物体为立方体，由于两放大率不同，像不再 是立方体，因此折射球面不可能获得与物体 相似的立体像
轴向放大率总是正值，物体沿光轴移动，其 像也同方向移动
轴上有限距离的轴向放大率
n' n
1
2
A1 A2 -l2
-l1 n
A’2 A’1
l’2 l’1
n’
近轴区的放大率----角放大率
Angular magnification
定义：一对共轭光线与光轴的夹角的比 值。
公式： u'
u
近轴区的放大率----角放大率
u'
u
lu l'u' h
u' l
u l'
近轴区的放大率----角放大率
n n' l n n'l n 1 n' n l' n' nl' n'
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
n
( n' 2 )( n 1 ) n n'
dl
近轴区的放大率----轴向放大率
n' n n'n 进行微分 l' l r
n'dl' l'2
ndl l2
0
dl' dl
nl'2 n'l 2
横向放大率和轴向放大率的关系
dl' dl
nl'2 n'l 2
n
n'
n n'
nl'2 n'l 2
( nl' )2 n'l
2
n' 2
n
横向放大率和轴向放大率的关系
共轴球面系统
共轴球面系统的结构参量
各个折射面的曲率半径：
r1、r2、………rk
各球面顶点的间距：
d1、d2、………dk-1
各球面之间的介质折射率：
n1、n2、………nk+1
共轴球面系统的过渡公式（1）
折射率
n2 n'1 , n3 n'2 ,nk n'k1
孔径角
u2 u'1 ,u3 u'2 ,uk u'k1
h2 h1 d1u'1 , h3 h2 d2u'2 , hk hk1uk1 dk1uk1
共轴球面系统的拉赫不变量
nuy n'u' y' J n1u1y1 n2u2 y2 ,nkuk yk nk'uk' yk' J
共轴球面系统的放大率
12 k 12 k 1 2 k
nl' l' r n' l l r
y' l'r y lr
y' nl'
y n' l
近轴区的放大率
---- 横向放大率
y' nl'
y n'l
ß取决于介质的折射率和物体的距离，与物体的大 小无关
对于一对确定的共轭面， ß为一常数 ß﹤0，表示成倒像，物像分居折射面的两侧，物
像性质相同