第三节共轴球面系统及其基点
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7.2-7.4共轴球面光学系统解析
I ' U ' 同理，在像方可得 OE L 'sin U '/ cos 2
则
2
I Q
E
I ' U ' I ' U ' cos L sin U cos 2 2 L ' OE I U sin U ' sin U 'cos 2
A
U -L
φ O r
C L'
U'
7.2 单个折射球面的折射
近轴光的光路计算公式
近轴光线的光路计算则按实际光线的光路计算公式近似简化为
l r ， i r
n i' i ， n'
u#39; r (1 u'
当光线平行于光轴时
h sin I r
h i r
7.2 单个折射球面的折射
近轴光的光路计算公式
符号法则
注意：几何图形上各量一律标注其绝对值，因此，对图 中负量必须在该量的字母前加一负号。
7.2 单个折射球面的折射
单个折射球面的光路计算公式 光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单 个折射球面的结构参量n、n’和r，由已知入射光线 坐标L和U，计算折射后出射光线的坐标L’和U’。 L和 L’分别为物方、像方截距；U和U’分别为物方、 像方孔径角。 单考虑折射球面的折射原因是：大多数光学系统由 折、反射球面或平面组成的共轴球面光学系统；平面 可以看成曲率半径取于无穷大；反射是n’=-n时的特 例.
7.2 单个折射球面的折射
单个折射球面的光路计算公式
如图，在ΔAEC中，应用正弦定律 ，得
sin AEC sin(U ) L r r
又 sin I
3.9理想光具组的基点和基面
(例:两个会聚系统组成一个发散系统)
u
h F1 H1
u1 H1
F1
H 2 F2
h
u2 F2 H 2 h u2 F H
f1
f2
f 2
f1
d
d H1H2 f f2, 可正可负;
x 2 xH
f
F1F2,称为光学间隔可正可负,可为零.
当 n n时 有 1，所以在此情况下，主点与
节点重合. 利用两者重合的性质，并根据系统绕 节点作不大的转动时，平行光所生的像不发生 位移的特点，可确定主点和节点的位置，从而 确定任意复杂系统的焦距 .
确定节点，主点实验光路图
F
H N
F
利用主点和节点重合的性质，并根据系统绕节点作不大的转 动时,平行光所成的像不发生位移的特点，可确定主点的位置， 从而能确定任意复杂系统的焦距.
f f2 x2 . f1 f 2
因 F1和 F 关于子系统Ⅱ共轭,
按高斯公式应有:
（5）
f2 f2 1. f2 x2 ( f2 )
按牛顿公式 应有 x2 f2 f2,
或
x2
f 2 f 2 ,
（6） （7）
HF F N , H N FN,
证明
且有
HH NN.
证明
六个基点中，只有四个是独立的．但四个中必须至少有一 个是焦点.
F
平物 面方
焦
M
M
i
N N H H
R R
平物平像 面 方面 方
主主
F i
平像 面方
焦
共轴球面系统的物距 s HS, 像距 s H S,
u
h F1 H1
u1 H1
F1
H 2 F2
h
u2 F2 H 2 h u2 F H
f1
f2
f 2
f1
d
d H1H2 f f2, 可正可负;
x 2 xH
f
F1F2,称为光学间隔可正可负,可为零.
当 n n时 有 1，所以在此情况下，主点与
节点重合. 利用两者重合的性质，并根据系统绕 节点作不大的转动时，平行光所生的像不发生 位移的特点，可确定主点和节点的位置，从而 确定任意复杂系统的焦距 .
确定节点，主点实验光路图
F
H N
F
利用主点和节点重合的性质，并根据系统绕节点作不大的转 动时,平行光所成的像不发生位移的特点，可确定主点的位置， 从而能确定任意复杂系统的焦距.
f f2 x2 . f1 f 2
因 F1和 F 关于子系统Ⅱ共轭,
按高斯公式应有:
（5）
f2 f2 1. f2 x2 ( f2 )
按牛顿公式 应有 x2 f2 f2,
或
x2
f 2 f 2 ,
（6） （7）
HF F N , H N FN,
证明
且有
HH NN.
证明
六个基点中，只有四个是独立的．但四个中必须至少有一 个是焦点.
F
平物 面方
焦
M
M
i
N N H H
R R
平物平像 面 方面 方
主主
F i
平像 面方
焦
共轴球面系统的物距 s HS, 像距 s H S,
应用光学0322-3
意义:J 不仅对一个折射球面的两个空间是不变量,而且对整个 共轴球面系统的每一个面的每一个空间都是不变量. 三, 共轴球面系统的放大率 利用转面公式去求出具有 k 个面的光学系统这些量. 1. 垂轴放大率β 整个光学系统的垂轴放大率(横向放大率)定义为:
' yk β= (即最终像高与物高之比) y1
由图
' = I 2 = 2.8746 0 h2 (0.02) L'2 = = = 0.4426 ' 0.045 tg ( I 2 )
L'2 = 0.4426 (与光轴交点)
(4)说明问题: a) 实际光线计算得到和光轴的交点为截距,与高斯像面不重合, 存在轴向偏移. b) 实际光线在高斯像平面上交点与理想像点不重合,有高度 h2 , 垂直方向也有偏移,发光点发出近轴光与实际光线在像平面上 的偏差,使成像不能点点对应,即像差,故像由点变成斑,因 而成像不清晰. 说明实际光线成像确有像差. 一个透镜对光轴上一个点物成像(用单色光), 具有单色像差.
利用单球面的折射截距公式:
n ' n n ' n = l' l r
利用 n ' = n ,代入上式得
1 1 2 + = l' l r
此为反射球面的成像公式. 另一形式的反射球面为中心"凸" ,如图所示. 注意:这时成像是利用了实际光线的延长线. 讨论: 球面反射应用广泛,具有许多优点:如反光镜,聚光镜;无色差,波 长范围广,没有吸收;所用材料广泛,如用金属作非球面.
(A)
(此处β为共轴球面系统的) 3. 角放大率γ
' uk 定义式: γ = u1
由转面公式: u2 = u1' , u3 = u2' , , uk = uk' 1 ,作变换
共轴球面系统及其基点
系统光轴角放大率的两个共轭点在此情况下主点和节点重合利用两者重合的性质并根据系统绕节点作不大的转动时平行光生成的像不生位移的特点可确定系统主点位置从而能确定任意复杂系统的焦距
第三节 共轴球面系统及其基点
一、拉赫公式 n1 n’1=n2
h1
n’2=n3 u2
-l2
r2
-u1
-l1
u1’
l’1
d1
-h2
-u2’
l’2
d2
-u3
-l3
共轴球面系统: 由中心在同一直线上的两个或两个以上球面 组成的系统
n1
n’1=n2
h1
n’2=n3 u2
-l2
r2
-u1
-l1
u1’
l’1
d1
-h2
-u2’
l’2
d2
-u3
-l3
n2 n1' n3 n2' n k nk 1' 转面公式 u 2 u1' u3 u 2' u k u k 1' l l ' d l3 n 2' d 2 l k l k 1' -d k-1 1 2 1
1
∴在此情况下，主点和节点重合利用两者重合的性质并根据系 统绕节点作不大的转动时， 1 平行光生成的像不生位移的 特点，可确定系统主点位置，从而能确定任意复杂系统的焦距。
三、共轴系统的成像
F
-x -f f’
F’
-l
1．物像公式
x’ l’
f' f 1 l' l xx' ff '
象空间的主焦平面:
通过F’所作的垂直于光轴的平面
第三节 共轴球面系统及其基点
一、拉赫公式 n1 n’1=n2
h1
n’2=n3 u2
-l2
r2
-u1
-l1
u1’
l’1
d1
-h2
-u2’
l’2
d2
-u3
-l3
共轴球面系统: 由中心在同一直线上的两个或两个以上球面 组成的系统
n1
n’1=n2
h1
n’2=n3 u2
-l2
r2
-u1
-l1
u1’
l’1
d1
-h2
-u2’
l’2
d2
-u3
-l3
n2 n1' n3 n2' n k nk 1' 转面公式 u 2 u1' u3 u 2' u k u k 1' l l ' d l3 n 2' d 2 l k l k 1' -d k-1 1 2 1
1
∴在此情况下，主点和节点重合利用两者重合的性质并根据系 统绕节点作不大的转动时， 1 平行光生成的像不生位移的 特点，可确定系统主点位置，从而能确定任意复杂系统的焦距。
三、共轴系统的成像
F
-x -f f’
F’
-l
1．物像公式
x’ l’
f' f 1 l' l xx' ff '
象空间的主焦平面:
通过F’所作的垂直于光轴的平面
2-5共轴理想光学系统的基点
光学系统的成像性质可用这些基面和基点求得
最常用的是一对共轭面和轴上的两对共轭点。
应用光学讲稿
主平面性质： 任意一条入射光线与物方主平面的交点高度和出 射光线与像方主平面的交点高度相同
应用光学讲稿
二 .无限远轴上物点和它所对应的像点F’——像方焦点
n' n n' n l' l r
当轴上物点位于无限远时，它的像点位于F’处。 F’称为“像方焦点”。
应用光学讲稿
§2-6 单个折射球面的主平面和焦点 一. 球面的主点位置 主平面是垂轴放大率β =1的一对共轭面。 nl ' 1 或者 nl ' n' l n' l 同时，由于它是一对共轭面，主点位置应满足
n' n n' n l' l r
应用光学讲稿
, n n , , , 0 n l nl ll r
§2-5 共轴理想光学系统的基点 ——主平面和焦点 林硕
E-mail: linshuo_pv@
应用光学讲稿
近轴光学基本公式的缺点：物面位置改变时，需 重新计算，若要求知道整个空间的物像对应关系，势 必要计算许多不同的物平面。 已知两对共轭面的位置和放大率，或者一对共轭 面的位置和放大率，以及轴上的两对共轭点的位置， 则其任意物点的像点就可以根据这些已知的共轭面和 共轭点来求得。
n' n n' n l' l r
如果轴上某一物点F，和它共轭的像点位于轴上无限远， 则F称为物方焦点。 通过F垂直于光轴的平面称为物方焦平面 它和无限远的垂直于光轴的像平面共轭。
应用光学讲稿
物方焦点和物方焦平面性质： 1、过物方焦点入射的光线，通过光学系统后平 行于光轴出射 2、由物方焦平面上轴外任意一点下发出的所有 光线，通过光学系统以后，对应一束和光轴成一定 夹角的平行光线。
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对于第二个折射面来讲，
21
会运用转面公式进行透镜成像计算
r 52.3mmn 1.523 解：若第一面是凹面，则透镜如下图所示。
球心所在的直线2叫做共轴系统的主光轴。 2
n'2 1
l2'
n2
n2' n2' n2
111.1mm
l2
r2
《眼镜光学技术》
若第一面是凸面，则透镜如下图所示。对于第一个折射 面来讲，因光线来自无穷远，即：
对会于运第 用一转个面折公射式面进来行讲透，镜因成光像晶线计状来算自体无穷远，即：
即像在球后15mm处。
虹膜
眼睛的水平剖面图
《眼镜光学技术》
1.角膜前表面成像
曲率半径
折射率 厚度
角膜
前
后
7.8
6.8
1.376
0.5
房水
1.336 3.1
晶体
前
后
10.0
-6.0
1.406
3.0
玻璃体 1.336
n角膜1 n角膜1 l1 r1
《眼镜光学技术》
• 讨论：若d=0，则：
– 第一种情况的计算结果 d0mm l2l1' 15m 23m
l2'
n2
n2' n2'
n2
111.1mm
r2 52.3mmn'2 1 n2 1.523
l2
r2
– 第二种情况的计算结果 d0mm l2l1' 15.32mm
l2'
n2
n2' n2' n2
111.1mm
《眼镜光学技术》
一、共轴球面系统
• 球心在一条直线上的几个折射球面组成的系统叫 做共轴球面系统，简称共轴系统(coaxial system)。球心所在的直线叫做共轴系统的主光 轴。
3-4共轴系统成像
3-4 共轴系统成像
第3章 几何光学 共轴球面系统：由中心在同一直线上的两个或 更多球面构成的光学系统.
主光轴：诸球面中心所在同一直线.
成像：在近轴区域，只要物空间是单心光束， 则经共轴球面系统成像后仍为单心光束.即共轴球面 系统对近轴区域的物能成完善的像. 一 焦点 主平面 成像公式 1、焦点：物空间与主光轴平行的光线在像空间
i i 有 LN RN P R3 P2 R2 P R1 L1 A L1 3 1
其中；A—称为系统矩阵.（可用矩阵乘法计算）
a11 a12 11 12 11 12 aij i1 1 j i 2 2 j a a 21 22 21 22 21 22 i = 1 , 2 j = 1 , 2
S’k
-sk-1
nk 1
dk
S’k-1
sk
nk 1 nk 1 yk 1 ( ) yk 1 k 1 sk 1 sk 1
nk 1uk 1 nk 1uk 1 yk 1 k 1
yk 1 0 yk 1
1 0 k 1 1
因为两空间主平面是共扼的，所以系统的垂直 放大率 β = 1 .
3-4 共轴系统成像
证明：如图
M
第3章 几何光学
M’
h h h h F’ H H’ h s F h’ h’ h’ f tan -x -f f’ x’ x tan( ) -s s’ f （此系统的原点必需以两个主 x 若物点在主平面上， 平面为原点.）
从几何光学角度，共轴球面光学系统成像，不 过是光在光学系统的各面上折（反）射的结果.如果 能确定各面上折（反）射的光路，最终可得光学系 统的成像性质.光路计算方法很多，逐面计算加上相 邻面过渡条件的方法，思路简单，但在用计算机进 行光学系统设计中不甚方便.利用矩阵代数计算光路 为共轴球面光学系统计算机设计提供了途径. 设；共轴球面光学系统有 N 个折（反）射面， 如图. 计算在系统中任意两个相邻面上光线的折射.
第3章 几何光学 共轴球面系统：由中心在同一直线上的两个或 更多球面构成的光学系统.
主光轴：诸球面中心所在同一直线.
成像：在近轴区域，只要物空间是单心光束， 则经共轴球面系统成像后仍为单心光束.即共轴球面 系统对近轴区域的物能成完善的像. 一 焦点 主平面 成像公式 1、焦点：物空间与主光轴平行的光线在像空间
i i 有 LN RN P R3 P2 R2 P R1 L1 A L1 3 1
其中；A—称为系统矩阵.（可用矩阵乘法计算）
a11 a12 11 12 11 12 aij i1 1 j i 2 2 j a a 21 22 21 22 21 22 i = 1 , 2 j = 1 , 2
S’k
-sk-1
nk 1
dk
S’k-1
sk
nk 1 nk 1 yk 1 ( ) yk 1 k 1 sk 1 sk 1
nk 1uk 1 nk 1uk 1 yk 1 k 1
yk 1 0 yk 1
1 0 k 1 1
因为两空间主平面是共扼的，所以系统的垂直 放大率 β = 1 .
3-4 共轴系统成像
证明：如图
M
第3章 几何光学
M’
h h h h F’ H H’ h s F h’ h’ h’ f tan -x -f f’ x’ x tan( ) -s s’ f （此系统的原点必需以两个主 x 若物点在主平面上， 平面为原点.）
从几何光学角度，共轴球面光学系统成像，不 过是光在光学系统的各面上折（反）射的结果.如果 能确定各面上折（反）射的光路，最终可得光学系 统的成像性质.光路计算方法很多，逐面计算加上相 邻面过渡条件的方法，思路简单，但在用计算机进 行光学系统设计中不甚方便.利用矩阵代数计算光路 为共轴球面光学系统计算机设计提供了途径. 设；共轴球面光学系统有 N 个折（反）射面， 如图. 计算在系统中任意两个相邻面上光线的折射.
经典实验讲义-测节点位置及透镜组焦距 (测量实验)
测节点位置及透镜组焦距 (测量实验)一、实验目的了解透镜组节点的特性，掌握测透镜组节点的方法。
二、实验原理光学仪器中的共轴球面系统、厚透镜、透镜组，常把它作为一个整体来研究。
这时可以用三对特殊的点和三对面来表征系统在成像上的性质。
若已知这三对点和三对面的位置，则可用简单的高斯公式和牛顿公式来研究起成像规律。
共轴球面系统的这三对基点和基面是：主焦点（F，F'）和主焦面，主点（H，H'）和主平面，节点（N，N'）和节平面。
如附图1，1附图附图2实际使用的共轴球面系统——透镜组，多数情况下透镜组两边的介质都是空气，根据几何光学的理论，当物空间和像空间介质折射率相同时，透镜组的两个节点分别与两个主点重合，在这种情况下，主点兼有节点的性质，透镜组的成像规律只用两对基点（焦点，主点）和基面（焦面，主面）就完全可以确定了。
根据节点定义，一束平行光从透镜组左方入射，如附图2，光束中的光线经透镜组后的出射方向，一般和入射方向不平行，但其中有一根特殊的光线，即经过第一节点N的光线PN，折射后必须通过第二节点N'且出射光线N'Q平行与原入射光线PN。
设NQ与透镜组的第二焦平面相交于F''点。
由焦平面的定义可知，PN方向的平行光束经透镜组会聚于F''点。
若入射的平行光的方向PN与透镜组光轴平行时，F''点将与透镜组的主焦点F'重合，如附图3附图3综上所述节点应具有下列性质：当平行光入射透镜组时，如果绕透镜组的第二节点N'微微转过一个小角 ，则平行光经透镜组后的会聚点F'在屏上的位置将不横移，只是变得稍模糊一点儿，这是因为转动透镜组后入射于节点N的光线并没有改变原来入射的平行光的方向，因而NQ的方向也不改变，又因为透镜组是绕N'点转动，N点不动，所以 N'Q线也不移动，而像点始终在N'Q 线上，故F''点不会有横向移动，至于NF''的长度，当然会随着透镜组的转动有很小的变化，所以F''点前后稍有移动，屏上的像会稍有模糊一点。
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F -f f’
F’ x’ l’
ltgu l ' tgu' h
又
tgu' l tgu l '
f ' n' f n
yftgu y' f ' tgu'
yntgu y ' n' tgu' tgu' yn n 1 tgu y ' n' n'
一、拉赫公式 n1 n’1=n2
h1
n’2=n3 u2
-l2
r2
-u1
-l1
u1’
l’1
d1
-h2
-u2’
l’2
d2
-u3
-l3
共轴球面系统: 由中心在同一直线上的两个或两个以上球面 组成的系统
n1
n’1=n2
h1
n’2=n3 u2
-l2
r2
-u1
-l1
u1’
l’1
d1
-h2
-u2’
l’2
d2
-u3
象空间的主焦平面:
通过F’所作的垂直于光轴的平面
F -x -l -f
F’
f’
x’ l’
物空间的主焦点，F：象空间平行于系统光轴光束，在物
空间所对应的点，又称第一主焦点。 物空间的主焦点平面：过F所作垂直于光轴的平面
F -x -l 2、物空间的主平面： -f
F’
f’
x’ l’
主平面含义：系统对物空间主焦点F处发出的光线所产生的偏折， 等效于物空间主平面对同一光线所产生的偏折 物空间主点（第一主点）：物空间主平面与光轴交点 象空间主平面：物空间平行光线延长线与过F’光线的延长线的 交点M’，过M’向光轴所作的垂轴平面。 象空间主点（第二主点）象空间主平面与光轴交点。
上面公式与计算单球面的折射成像的高斯公式和牛顿公式 完全相同，但必须注意单球面的原点，为折射面与光轴交 点，而此处为组合系统的两主点。 4、轴向放大率 定义
dx ' dl ' dx dl
dx , dl
dx ' , dl '
为轴上物点A沿光轴移动的微小距离， 为当物点A移动距离时象点A’移动的相应距离。
1
∴在此情况下，主点和节点重合利用两者重合的性质并根据系 统绕节点作不大的转动时， 1 平行光生成的像不生位移的 特点，可确定系统主点位置，从而能确定任意复杂系统的焦距。
三、共轴系统的成像
F
-x -f f’
F’
-l
1．物像公式
x’ l’
f' f 1 l' l xx' ff '
n1
n’1=n2
h1
n’2=n3 u2
-l2
r2
-u1
-l1
u1’
l’1
d1
-h2
-u2’
l’2
d2
-u3
-l3
角放大率 而
h lu l ' u '
u' l u l'
u' u
y ' nl' 而垂轴放大率 y n' l y' n l ' n u y n' l n' u'
近轴光： 又由拉赫公式：
yfu y ' f ' u'
nuy n' u' y '
f' yu n' f y ' u' n
当处于同一介质
n' n
f ' f
F -x -l 3．垂轴放大率
y' y
F’ -f
f’
x’ l’
y' f x' y x f'
-l3
n2 n1' n3 n2' n k nk 1' 转面公式 u 2 u1' u3 u 2' u k u k 1' l l ' d l3 n 2' d 2 l k l k 1' -d k-1 1 2 1
n1
n’1=n2
h1
n’2=n3 u2
n' u' y ' nuy
拉赫公式
n1u1 y1 n2u2 y2 n3u3 y3 nk uk yk J
二、其轴系统的基点：
系统主焦点、主点和节点、统称为系统的基点
F -x -l -f f’ F’
x’ l’
系统象空间的主焦点，F’，(第二主焦点) 物空间平行于系统光轴的平行光束，在系统象空间的交点。
6、放大率之间的关系
F -x -l -f
H
H'
F’
f’
x’ l’
主平面还可定义为：系统垂轴放大率为正1, 1的两个 共轭垂轴平面 物空间焦距HF: 物空间主点H到物空间主焦点F的距离 象空间焦距H’F’ : 象空间主点H’到物空间主焦点F’的距离
3．节点:
系统光轴角放大率 1 的两个共轭点
在物空间的折射率和象空间的折射率相同的共轴球面系统内
y y' ( f f )tgu ( f ' f ' )tgu' y' y
y y' ( f f )tgu ( f ' f ' )tgu' y' y
y y' (1 ) f tgu (1 ) f ' tgu' y' y
yftgu y' f ' tgu'
2．焦距间的关系
( x f )tgu ( x' f ' )tgu'
y
-u h u’ y’
2．焦距间的关系
又 同理
( x f )tgu ( x' f ' )tgu' y x y x f y' f y'
y' x' f ' y
(3)
(1) (2)
(2), (3)代入(1)
-l2
r2
-u1
-l1
u1’
l’1
d1
-h2
-u2’
l’2
d2
-u3
-l3
l 2 l1' d1 l 2 u1' l1' u1' d1u1' l 2 u 2 l1' u1' d1u1'
h2 h1 d1u1'
' hk hk 1 d k 1u k 1
ff ' x ' 根据牛顿公式，β 写为另一形式: 将 的两边同时加上 f’ x ff ' f' x ' f ' f ' ( f x) x x f' l' l, l ' x' f ' , l x f x f' n' f nl' f n x n' l
f' f 1 l' l
对高斯公式进行微分
dl' fl '2 n l '2 n' nl' 2 ' 2 2 ( ) dl n' l n n' l fl n' 2 n
f ' dl ' fdl 2 0 2 l' l
5、角放大率
定义：象方孔径角u’ 的正切与物方孔径角 u的正切之比 -x -l