第二章 共轴球面系统的物像关系
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第二章_共轴球面系统的物像关系
uk
u1 , h1 解法二
u ' n' un
' un
l1
解法三
h n' n r
' un 1 un
' ' un , ln
' un 1 un ' ln 1 ln d n
ri ' u'
同样可得：
l' r
l 'u ' u ' i ' r
' 显然 h lu l 'u,代入上式，并在第一式两边同乘以n， 第二式两侧同乘以n '
nh nu ni r
n' h n' u ' n' i ' r
将以上二式相减，并考虑到
n sin I n' sin I '
d—由前一面顶点算起到下一面顶点。
2．角度： 一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始轴： U、U'—由光轴起转到光线； I、I'—由光线起转到法线； ψ—由光轴起转到法线，
应用时，先确定参数的正负号，代入公式计算。 算出的结果亦应按照数值的正负来确定光线的相对位置。 推导公式时，也要使用符号规则。
注意 为了使导出的公式具有普遍性，推导公式时，几何 图形上各量一律标注其绝对值，永远为正
反射情形 看成是折射的一种特殊情形： n’= －n 把反射看成是n’= －n 时的折射。 往后推导公式时，只讲折射的公式；对于反射情形， 只需将n’用－n代入即可，无需另行推导。
Q
P
I
I’
-U A O φ C Uˊ Aˊ
l ' f (n, n' , r , l )
第二章球面与共轴球面系统（ＰＤＦ）
第二章球面与共轴球面系统§2－1 光线光路计算与共轴光学系统共轴球面系统—光学系统一般由球面和平面组成，各球面球心在一条直线（光轴）上。
物象关系的研究方法—光线的光路计算。
逐面计算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。
子午面—包含物面与光轴的截面。
一、 光线经过单个折射面的折射OEAA ′II ′Cr-LL ′hnn ′-UU ′φ1.基本参量E －折射点 OE OE －折射球面 U U 、U ′－ 物象方孔径角O －顶点 h h －入射高度 n n 、n ′－物象方空间折射率C－球心 r－球面曲率半径 I 、I ′－入、折射角A 、A ′－物点、象点 L 、L ′－物距、象距φ －法线与光轴夹角2. 符号法则（便于统一计算）规定光线从左向右传播a）沿轴线段L、L′、r以O为原点，与光线传播方向相同，为“＋”与光线传播方向相反，为“－”b）垂轴线段h在光轴之上，为“＋”在光轴之下，为“－”c）光线与光轴夹角U、U′以光轴转向光线成的锐角来度量，顺时针为“＋”逆时针为“－”d）光线与法线夹角I、I′以光线转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”逆时针为“－”e）光轴与法线的夹角φ以光轴转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”逆时针为“－”f）折射面的间隔d，一般取“＋”g）所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
二、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算） 给定n 、 n ′、r ，已知L 、U ，求解L ′、 U ′ 其中U 、 U ′较大，远轴光线成像（大光路）U I rr L I I U U In nI Ur r L I ′′+=′′−+=′′=′−=sin sin sin sin sin sin OEAA ′II ′Cr-LL ′hnn ′-UU ′φ3）物点位于物方无限远时，入射光线位置由高度h 决定。
rh I =sin 说明：1）L ′＝f (U 、L 、n 、n ′、r)2）当L 为定值时，L ′随U 变化而变化，象方光束失去同心性，成不完善象，形成球差。
第二章 共轴球面系统(1)
符号规则的应用举例：
20º 20º
20º 20º
100
100
符号规则的应用举例：
光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则
表示该几何量的方位。 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的 公式具有普遍性。
举例：
透镜的结构参数： r1 = 10
d=5
n1 = 1.0 n1’ = n2 = 1.5163 (K9)
r2 = -50
n2’ = 1.0
§ 2-3
近轴成像
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小，则这 些角度的正弦值可近似地用弧度值来代替， 并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时， 其他各量均用相应小写字母来表示。 此时，由于u角很小，光线很靠近光轴， 这样的光线称为近轴光线（或称傍轴光线）。 近轴光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
〈讨论〉
③ 当一物点位于反射镜的球心时，此时 I= -I″= 0 ，即说明从球心发出的 光线被球面镜反射后，反射光线按原 路返回；也就是说，从C点发出的任 何光线经球面镜反射后，仍会聚于C点。
何谓理想光学系统？
此即是把近轴区成完善像的范围扩 大到整个光学系统的任意空间；亦即当 任意大范围的物体以任意宽的光束经光 学系统后均能成完善像的光学系统。
A
-u
C
A’ B’
- u’
O
-l’ -l
球面反射镜的成像特性
1、焦距公式：
f ′= f = r / 2 2、物像关系：
（2-18）
1 / l′+ 1 / l = 2 / r
β=-l’/l α= - β 2 γ= -1 / β
工程光学(第二章)
L' r(1 sin I ' ) （2－4） sinU '
i lru r
i' n i n'
u' u i i'
l' r(1 i' ) u'
称为小 l 公式
ni
E
n’
h φC
O
r
当无限远物点发出的平行光入射时，有 继续用其余三个公式。
i h r
小 l 公式也称为近轴光线的光路追迹公式
例2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
L1 B
L2 B’
A1
A
A’
B1
对于L1而言，A1B1是AB的像;
对L2而言，A1B1是物，A’B’是像，则A1B1称为中 间像
※物所在的空间为物空间，像所在的空 间为像空间，两者的范围都是 （-∞,+∞）
※ 通常对于某一光学系统来说，某一 位置上的物会在一个相应的位置成一个 清晰的像，物与像是一一对应的，这种 关系称为物与像的共轭。
n' u' nu h( n' n ) r
将 l u = l’ u’ = h 代入，消去u和u’ , 可得
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
rl
r l'
也可表示为
n' n n' n l' l r
上式称为单个折射球面物像位置公式
n' u' nu h( n' n ) r
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
nI
《应用光学》共轴球面系统的物像关系 ppt课件
B
B′
l=0
F′ H A
A′ H′
F
像平面为: 像方主平面
ppt课件 17
2.5 作图法对位于空气中的负透镜组(f′＜０)分别求不 同物距的像平面位置.
B′
f' l 2
B H H′
Aபைடு நூலகம்
F A′
F′
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
ppt课件 18
2.5 作图法对位于空气中的负透镜组(f′＜０)分别求不 同物距的像平面位置.
l = −f′
B
… …
F A
F′ H H′
像平面在像 空间无限远 处.
l′=∞
ppt课件 6
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
B′ B A′ F A H F′ H′
f' l 2
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
l ′ = −f′
ppt课件 7
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
B
B′
l=0
F H A
A′ H′
F′
像平面为:
像方主平面
ppt课件 8
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
B B′ F H A′ H′ A F′
f' l 2
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
l ′ = f′/3
ppt课件 9
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
ppt课件 13
2.5 作图法对位于空气中的负透镜组(f′＜０)分别求不 同物距的像平面位置.
第二章 共轴球面系统(二)
= l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
共轴球面系统的物像关系2
n' l' l n
n' 将 nl ' n' l 及 l ' l 代入上式，解得： n
l 0
l' 0
§2.6 单个折射球面的主平面和焦点
一. 单个折射球面的主点
l 0
l' 0
结论：球面的两个主点H、H’与球面顶点重 合。其物方主平面和像方主平面即为过球面 顶点的切平面。
§2.6 单个折射球面的主平面和焦点
第二章
共轴球面系统的物像关系
2.9 理想光学系统的物像关系式 2.10 光学系统的放大率 2.11 物像空间不变式 2.12 物方焦距和像方焦距的关系 2.13 节平面和节点 2.14 无限远物体理想像高的计算公式 2.15 理想光学系统的组合 2.16 理想光学系统中的光路计算公式 2.17 单透镜的主平面和焦点位置的计算
第二章
共轴球面系统的物像关系
2.9 理想光学系统的物像关系式 2.10 光学系统的放大率 2.11 物像空间不变式 2.12 物方焦距和像方焦距的关系 2.13 节平面和节点 2.14 无限远物体理想像高的计算公式 2.15 理想光学系统的组合 2.16 理想光学系统中的光路计算公式 2.17 单透镜的主平面和焦点位置的计算
n n
2
2 1）光组位于同一介质，
2） 立方体不再是立方体，失真。
三.角放大率
N -u A 角放大率定义： F H H’ F’ u’ A’
tgu 角放大率只和物体的 tgu 位置有关，而与孔径角 由图： ltgu l tgu h 无关
tgu l tgu l
当光组处于同一介质中时，n = n ’,有：
应用光学第二章共轴球面系统的物像关系
l ' f (n, n ', l , r )
第4节 近轴光学的基本公式 和他的实际意义
• 物像位置关系式
• 推导出 l ' f (n, n ', l , r )
h n ' u ' nu (n ' n) r
L1’
I1 I1’ L1’ U1’
35.96893
11.06815 7.27365 35.96893 2.79450
34.5908
22.57512 14.66568 34.5908 5.90945
32.22743
35.14835 22.31332 32.22743 9.83503
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
• 折射光线位置：
– L’：折射光线与光轴的交点A’到球面顶点的距离。 – U’：折射光线与光轴的夹角。
• 其他已知量：
–球面半径r； –折射球面前后的折射率n、n’。
O
P
n n’ I r L’ L I’
φ
U C’
A’
U
A
第1节 共轴球面系统中的光路计算公式
• 共轴球面系统的光路计算公式
• 已知：L、U、r、n、n’；求L’、U’。 • 对△APC应用正弦定理得到：
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
起始角度U1 L1 r1 -1° -100 10 -2° -100 10 -3° -100 10
(L1-r1)/r1 sinU1
sinI1 I1
-11 -0.017452
0.19198 11.06815
-11 -0.034899
0.38389 22.57512
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n' n P r
>0 会聚 ＝0 平面折射 <0 发散
若物点位于左方无限远处的光轴上，此时入射光 线平行于光轴，经球面折射后交光轴的交点记为F 。 这个特殊点是轴上无限远物点的像点，称为折射球面 的像方焦点。此时的像距称为像方焦距，用 f 表示。
13
将l -代入（1-20）式可得
ll
19
如果物点沿轴移动有限距离，如图所示，此距离显 然可以用物点移动的始末两点A1和A2的截距差 l2－l1 来表示，相应于像点移动的距离应为l 2 l 1
l2 l1 l2 l1
20
对A1和A2点分别用（1-20）可得
n n n n n n l2 l2 r l1 l1
n f r n n
像距为无限远时所对应的物点，称为折射球面的物方 焦点或前焦点，记为F，此时的物距称为物方焦距或 前焦距，记为 f，有
ll '
n f r n n
14
由上两式可以看出，折射球面的两焦距符号相反，而且 它们之间还有如下关系：
f f r
单折射球面两焦距和光焦度之间还有如下关系：
物方孔径角:U，像方孔径角：U′ E n
I
h
I′
n´
U′ C L′
4
-U
A -L O D r
2. 符号规则：
光线的传播方向：自左向右为正 线段 沿轴:以O为原点， －L，r，L′ 垂轴 h 球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为正，反之为负 角度 光线与光轴的夹角：光轴转向光线 -U，U′ 光线与法线的夹角：光线转向法线 I，I′ 光轴与法线的夹角：光轴转向法线
U为物方孔径角，是个很小值（<<1rad）,当U<5°，近似代 替误差大约为1%. 近似的有效范围根据精度要求可扩展至 10-30°
10
3.近轴光线经折射球面计算的其他形式
1 1 1 1 ( ) Q n( ) n r l r l
（1-18） （1-19）
n n n n （1-20） l l r 一个公式的三种不同表示形式，便于不同场合的应用
∴单个折射球面对轴上物点成像是不完善的，这种 成像缺陷称为像差，是以后将会讨论到的球差。
8
若物体位于物方光轴上无限远处，这时可认为 由物体发出的光束是平行于光轴的平行光束，即L ＝－∞，U＝0，不能用（1-9）式计算角I，而入射 角应按下式计算
h sin I r
h为光线的入射高度
9
三单个折射球面近轴光线的光路计算
（1-11）
同样，在三角形A sin I r L r sin I 化简后得像方截距 L r r sin U
（1-12）
（1-9）～（1-12）式就是计算子午面内光线光路的 基本公式。给出一组L、U，可计算L′、U′
7
由公式可知，L′是U的函数。不同 U 的光线经折射 后不能相交于一点，点－》斑
u' u
l l
n 1 n'
4. 三个放大率之间的关系
n' 2 n 1 n n' 5. 拉亥不变量J
在公式 y y =nlnl 中，利用公式 =l l=u u，
nuy nuy J
此式称为拉格朗日－亥姆霍兹恒等式，简称拉亥公式。其 表示为不变量形式，用J 表示，简称拉亥不变量。 J 表征了这个光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角 的光线入射成像。 J 值大，表明系统能对物体成像的范围大， 成像的孔径角大，传输光能多。同时，孔径角还与光学系统分 辨微细结构的能力有关。所以 J 大的系统具有高的性能。
n n nu nu h r
h lu l u
l′和u无关（i、i′、u ′和u成线性关系） 很小，cos 1，光程S和 无关
25
4.细小物平面近轴光成像
①物平面以细光束经球面所成的像
细光束， A—— 》 A'，完善成像 同心球面 A1A A2—— 》曲面 A1' A'A2' ，完善成像 由物象位臵公式， l 变小， l'也变小，平面 B1AB2—》 曲面 B1' A'B2'，不再是平面,像面弯曲 ② 细小物平面以细光束经折射球面成像： 对于细小平面，认为像面弯曲可以忽略，平面物 —— 》 平面像，完善成像
移项整理得
l1 n l2l1 n n2l2l1 n l2 12 2 l2 l1 n l2l1 n n l2l1 n
即
其中1 和2 分别为物在A1和A2两点的垂轴放大率
1 2
n' 12 n
21
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u 和u 的比值，称为角放大率
26
E
n B -U A -l O
n´
U′ r
l′ C
A′
y ' nl ' y n 'l
确定 物体的成像特性，正 倒、虚实、放大与缩小
dl nl 2 n 2 2 dl nl n
光轴上一对共轭点沿轴 移动量之间的关系 折射前后一对光线与光 轴夹角之间的关系
u' l n 1 r u l ' n'
2
§2.1 近轴光学系统的光路计算 • 大多数光学系统都是由折、反射球面或平面组
成的共轴球面光学系统
• 折射球面系统具有普遍意义 • 光学系统的成像实际上是物体各点发出的光线
经光学系统逐面折、反射的结果
• 所以首先讨论单个折射球面折射的光路计算问
题，再过渡到整个光学系统
• 实际光学系统中，光线和球面的位臵可能是多
位臵外，还会涉及像的正倒、虚实、放大率等 问题。
• 细小物平面以细小光束成像
物平面是靠近光轴的很小的垂轴平面，并以细光束成 像，就可以认为其像面也是平的，成的是完善像，称 为高斯像，我们将这个成完善像的不大区域称为近轴 区
16
一 单个折射球面成像
E
• 1.垂轴放大率
B
n
n´ -U
BC对于该球面来 说也是光轴，称 为辅轴
第二章 共轴球面系统的物像关 系 Coaxial Spherical System
本章是本课程的理论基础
也是本课程的重点。
• §2.1近轴球面光学系统的光路计算 • §2.2球面光学成像系统 • §2.3理想光学系统 • §2.4理想光学系统的基点与基面 • §2.5理想光学系统的物象关系 • §2.6理想光学系统的放大率 • §2.7节点 • §2.8理想光学系统的组合 • §2.9透镜 • §2.10矩阵方法
nyu n' y' u' J
光学系统的性 能
27
二、球面反射镜
§2.2 球面光学成像系统
在折射面的公式中，只要使n = n，便可直接得到反射 球面的相应公式。 1．球面反射镜的物象位臵公式 将n = n 代入（1-17）式，可得
1 1 2 l' l r
n = -n´ -U A C A´
n´ U′ C A′
-L
L′
Lr sin U r n 在E点，由折射定律得 sin I sin I n
r
sin(180 I ) sin I rL rL
或
sin I
（1-9） （1-10）
由图可知
I U I U
6
所以
U I U I
i
-i´
-U´ O
-r
-L
-L´
2．球面反射镜的焦距
r f f 2
球面反射镜的二焦点重合， 凹球面反射镜: r< 0，f< 0，实焦点，光束会聚 凸球面反射镜: r > 0 , f'>0 ，虚焦点，光束发散
3． 球面反射镜的放大率公式
y l y l dl 2 dl u 1 u
n n f f f n f n
所以，焦距和和光焦度一样也是折射面的特征量。 以后将会看到，对折射球面得出的这两个关系， 对任何光学系统都是适用的。
15
§2.2球面光学成像系统 • 本节讨论有限大小的物体经过折射球面在近轴
区的成像情况
• 有限大小的物体经折射球面的成像，除了物象
E
n -U A O D r I h I′
n´ U′ C
-L
L′
5
二 单个折射球面的光路计算
在给定单个折射球面 的结构参量 n、n 和 r 时，由已知入射光 线坐标 L 和U，计算 折射后出射光线的坐 A 标L 和U
在ΔAEC中，应用正弦定 理有 sin(U ) n -U O D r I E h I′
种多样的，为使推导出的公式在各种情况下都 适用，对参数符号做了规定
3
一 基本概念和符号规则
1.基本概念
E
•
• • •
光轴：若光学系统由球面组成，它们的球心位于同一直线 上，则称为共轴球面系统，这条直线为该光学系统的光轴。 实际上，光学系统的光轴是系统的对称轴 子午面：通过物点和光轴的截面
物方截距：L＝OA，像方截距：L′=OA′
n ' dl ' ndl 由（1-20）式微分得到： 2 0 '2 l l
讨论：
dl dl
dl nl 2 n 2 2 dl nl n
① 恒为正，当物点沿轴向移动时，像点沿轴同向移动 ②一般， ，即空间物体成像后要变形。如正方体 ③只有在dl 很小时才适用
AB＝y，AB=-y
U′
O
A′ B′
A -l