新人教版八年级数学上册全册导学案(137页)

新人教版八年级数学上册全册导学案

第二十二章二次函数

22．1二次函数的图象和性质

22．1.1二次函数

结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．

重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．

难点：理解二次函数的有关概念．

一、自学指导．(10分钟)

自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．

总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)

1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．

A．y＝(x－3)2－1

B．y＝1－2x2

C．y＝1

3(x＋2)(x－2)

D．y＝(x－1)2－x2

2．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．

3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．

点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)

探究1若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．

探究2某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？

解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50

(2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000，

化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.

∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)

1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？

2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与1

x成反比例，则y与x的函数关系是(A)

A．二次函数B．一次函数

C．正比例函数D．反比例函数

3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数．(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？

(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？

点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，

试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．

点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.

2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)

22．1.2二次函数y＝ax2的图象和性质

1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．

2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．

重点：描点法作出函数的图象．

难点：根据图象认识和理解其性质．

一、自学指导．(7分钟)

自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．

(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；

(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝1

2x2和y＝2x2的图象；

点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．

(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标

是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；

(4)找出上述三条抛物线的异同：______．

(5)在同一坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－1

2x2和y＝－2x2的图象，找出图象的异同．

点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．

总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)

1．教材P41习题22.1第3，4题．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分

钟)

探究1 填空：(1)函数y ＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．

(2)函数y ＝x 2，y ＝1

2x 2和y ＝－2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．

解：(1)抛物线，(0，0)，y 轴，向上；

(2)根据抛物线y ＝ax 2中，a 的值来判断，在x 轴上方开口小的抛物线为y ＝x 2，开口大的为y ＝1

2

x 2，在x 轴下方的为y ＝－2x 2.

点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y ＝ax 2

中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．

探究2 已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数． (1)求满足条件的m 的值；

(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ (3)m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？

解：(1)由题意得?

????m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0.

解得????

?m ＝2或m ＝－3，m ≠－2.

∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数．

(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m>－2，∴只能取m ＝2. ∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y 随x 的增大而增大． (3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m ＋2<0，即m<－2， ∴只能取m ＝－3.

∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)， ∴m ＝－3时，函数有最大值为0. ∴x>0时，y 随x 的增大而减小．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．二次函数y ＝ax 2与y ＝－ax 2的图象之间有何关系？ 2．已知函数y ＝ax 2经过点(－1，3)．

(1)求a的值；

(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况．

3．二次函数y＝－2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是__y1＜y2__．

4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(B)

点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；

2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)

1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．

重点：会作函数的图象．

难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

一、自学指导．(10分钟)

自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．

总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．

抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟) 1．在抛物线y ＝x 2－2上的一个点是( C ) A ．(4，4) B ．(1，－4) C ．(2，2) D ．(0，4)

2．抛物线y ＝x 2－16与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为__64__． 点拨精讲：与x 轴的交点的横坐标即当y 等于0时x 的值，即可求出两个交点的坐标． 3．画出二次函数y ＝x 2－1，y ＝x 2，y ＝x 2＋1的图象，观察图象有哪些异同？ 点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)

探究1 抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2±c 有什么关系？

解：(1)抛物线y ＝ax 2±c 的形状与y ＝ax 2的形状完全相同，只是位置不同； (2)抛物线y ＝ax 2向上平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2＋c ； 抛物线y ＝ax 2向下平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2－c.

探究2 已知抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－2x 2＋4，试求a ，c 的值．

解：根据题意，得???a ＝－2，c －2＝4，解得?

????a ＝－2，c ＝6.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟)

1．函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(D)

2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为(B)

A．y＝x2－4

B．y＝－3

4x2＋3

C．y＝3

2(2－x)2

D．y＝3

2(x2－2)

3．二次函数y＝－x2＋4图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y随x的增大而增大．

4．抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y＝－3x2＋5，它是由抛物线y＝－3x2向__上__平移__5__个单位得到的．

5．将抛物线y＝－3x2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y＝3x2＋4．

6．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝5x2＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，c＝__－1__．

点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)

2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时对应训练部

分．(10分钟)

22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2)

1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．

2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．

重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．

难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．

一、自学指导．(10分钟)

自学：自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质，完成填空．

画函数y＝－1

2x2、y＝－

1

2(x＋1)2和y＝－

1

2(x－1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物

线y＝－1

2x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？

点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．

总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax2向左平移h个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向右平移h个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)

1．教材P35练习题；

2．抛物线y＝－1

2(x－1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平

移1个单位后，得到抛物线y＝－1 2x2.

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)

探究1在直角坐标系中画出函数y ＝1

2(x ＋3)2的图象．

(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)根据图象回答，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 取最大值或最小值？

(3)怎样平移函数y ＝12x 2的图象得到函数y ＝1

2

(x ＋3)2的图象？

解：(1)对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y 随x 的增大而减小；当x>－3时，y 随x 的的增大而增大；当x ＝－3时，y 有最小值；(3)将函数y ＝1

2x 2的

图象沿x 轴向左平移3个单位得到函数y ＝1

2

(x ＋3)2的图象．

点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点． 探究2 已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝－2x 2平移后的顶点与点A 重合．(1)求平移后的抛物线l 的解析式；(2)若点B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)在抛物线l 上，且－12

试比较y 1，y 2的大小．

解：(1)∵y ＝x ＋1，∴令y ＝0，则x ＝－1，∴A(－1，0)，即抛物线l 的顶点坐标为(－1，0)，又抛物线l 是由抛物线y ＝－2x 2平移得到的，∴抛物线l 的解析式为y ＝－2(x ＋1)2.

(2)由(1)可知，抛物线l 的对称轴为x ＝－1，∵a ＝－2<0，∴当x>－1时，y 随x 的增大而减小，又－1

2

y 2.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)

1．不画图象，回答下列问题：

(1)函数y＝3(x－1)2的图象可以看成是由函数y＝3x2的图象作怎样的平移得到的？

(2)说出函数y＝3(x－1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

(3)函数有哪些性质？

(4)若将函数y＝3(x－1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？

点拨精讲：性质从增减性、最值来说．

2．与抛物线y＝－2(x＋5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y＝2(x＋5)2．

3．对于函数y＝－3(x＋1)2，当x>－1时，函数y随x的增大而减小，当x＝－1时，函数取得最大值，最大值y＝0．

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度得到y＝x2－2x＋1的图象，则b＝－6，c＝9．

点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了．

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(3)

1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．

2．能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3．掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．

重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．

难点：能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．

一、自学指导．(10分钟)

自学：自学课本P35～36“例3、例4”，掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2＋k的相关性质，完成填空．

总结归纳：一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位．

抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k)．