芝诺悖论解答
浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它。
此问题可用数学知识表示为；如图设阿基里斯处在A 点，乌龟处在B 点，A ，B 点相距X ，阿基里斯以速度V 前进，则乌龟以速度1∕10V 前进，若阿基里斯前进了X ，则乌龟前进了1/10X ，若阿基里斯前进了1/10X ，则乌龟前进了1/10ˆ2X ，就这样无限的进行下去，乌龟前进的路程可表示为S=1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆnX ，而阿基里斯前进的路程为S ’=X+1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆ(n-1)X, 所以二者之差S ’—S= X —1/10ˆnX ，乌龟与阿基里斯相距1/10ˆnX ，当n 为无穷大时，S ’—S ≈X ， 1/10ˆnX ≈0，但是1/10ˆnX 总是一个大于0的数，因此阿基里斯是追不上乌龟的.然而如果我们深思这个问题我们会发现，当n 为无穷大时，1/10ˆnX 会越来越小，通过这段路程的时间会趋于0.对于宏观上分析，显然我们可以得出当1/10ˆnX ≈0时，阿基里斯与乌龟所占的空间要比1/10ˆnX 大得多，我们说阿基里斯没有追上乌龟这是不科学的。
对于微观上分析，我们将阿基里斯与乌龟分别看成两个质点，设为A ，B ，而质点是没有体积的，这样讨论就不会产生宏观上的不科学的观点。
若A,B 是质点，我们显然可以得到A 是永远追不上B 的。
但在牛顿的经典物理学中，我们可以知道若A 比B 的速度快，经过有限时间后，A 是一定会追上B 的，因此这个问题是不可以用牛顿的经典物理学来分析的，经典物理学有两个假设： 其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。
芝诺悖论
作为一个的女王，她把键牛皮切成细细的 条子，并决定用它围成面积最大的土地。
伟大的类比——开普勒
2、“阿基里斯追鬼”悖论
阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄，让乌龟在 阿基里斯前100米处，与阿基里斯一同起跑，阿基里 斯的速度是乌龟的10倍。最初起跑时，阿基里斯与乌 龟的距离为100米，当阿基里斯跑完100米时，乌龟前 进了10米，这时阿基里斯与乌龟的距离为10米，当阿 基里斯跑完100米时，乌龟前进了1米，这时阿基里斯 与乌龟的距离为1米 …..，这样阿基里斯与乌龟的距离 渐次为100，10，1，0.1，0.01，…..按线段无限可分 理论，他们之间的距离永远不为零。因此善跑的阿基 里斯追不上乌龟。
解析：拥有最高德行的人如同水一样，具 有宽广的胸怀、谦逊的品德、与世无争的情 操、宽厚诚实的作风。具体地讲就是心胸要 像水渊一样，宽广无边、清湛悠然；要像水 的流势一样谦虚卑下，不可处处与人争高低， 要择地而居。对人要亲切自然，以诚相待， 老厚道。为人处世重诺守信，如同潮汐一般， 起落守时。
《道德经》第二十七八章 善行无辙—— “瞒天过海”
芝诺悖论
1、“二分说”悖论：运动是不可 能的 一个物体从甲地到乙地，永远不能到达。 因为从甲地到乙地，首先要通过道路的一半， 但是要通过一半，必须通过一半的一半，即 道路的四分之一，要通过道路的四分之一， 必须通过八分之一。这样分下去，永无止境。 芝诺的结论是此物体根本不能开始运动，因 为它被道路的无限分割阻碍着。
“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
意大利的裴波那契在《算盘书》中写了这 样一个问题： 7个老妇同赴罗马，每人有7匹骡，每匹 骡驮7个袋，每个袋盛7个面包，每个面包带 有7把小刀，每把小刀放在7个鞘之中，问各 有多少？
古代的数学迷宫——图形数
论芝诺悖论的“语言解答”
悖 论 从 一 开 始 就 注 定 与 数 学 有 着 密 不 可 分 的 联
系， 而找 出芝诺 悖 论 的“ 数 学 解 答 ”也 就 成 了 一 件
悖论 的“ 语言 解答 ” 重新 加 以考察 和讨 论 将 有助 于 对 芝诺 悖论 有更 为深 入 的理解 和思 考 。 亚 里士 多德 在其 《 物 理 学 》中提 出 ， 时间 、 距 离 以及任 何连续 的东西通 常 被称 为“ 无穷的” 实 际上
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ （ Ｓ ｏ ｃ ｉ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）Ｖ ｏ １ ． ２ ７ Ｎ ｏ ． １ ２ ２ ０ １ ３
是 延展 （ ｅ ｘ ｔ ｒ ｉ ｍｅ ｔ ｉ ｅ ｓ ） 的 无 穷 Ｊ ２ ３ ‘
；其 针 对 芝 诺
悖论提 出 的潜 无 穷 （ ｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｉ ｎ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ）和 实 无 穷
托 尔 找 到 了答 案 并 为 理 智 开 创 了 一 个 一 直 混 沌 不 堪、 晦 暗不 明的广 阔新领 域 。 ” ＿ ２ 对 于康 托 尔 的解 答， 罗 素进一 步评 论 说 ： “ 对 于 那 些 熟 悉 数 学 的人 来说 ， 这 种 解 答 如 此 清 晰 以 至 于 没 有 再 留 下 一 丝
ｄ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ４ － ８ ４ ２ ５ （ Ｓ ） ． ２ ０ １ ３ ． １ ２ ． ０ ０ ３
论 芝 诺悖 论 的“ 语 言解答 ”
宋 伟
（ 湖北大学 哲学学 院 ， 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ２ ） 摘要： ２ ０世 纪 ６ ０年 代 ， 在 西 方 哲 学有 关 日常 语 言 是 否 需 要 改 革 的 争 论 中 ， 芝诺 悖论 常 常被 争论 双 方 用作 论 证 各 自观 点 的 一 个 例 证 ， 由此 导 致 了芝 诺 悖 论 的 “ 语 言解答 ” 和“ 数 学解 答 ” 或“ 科 学 解 答” 之 间 长期 的争论 。争论 的双方 互相指 责 对 方没 有抓 住 问题 的 关键 ， 犯 了不相 干 结论 的错 误， 其 中 坚持 “ 数 学解 答” 或“ 科 学 解 答 ”的 一 方 常 常 将 “ 语 言解答 ” 视 为 是 一 种 “蒙 昧 主 义 ”的 解 答 。通 过考 察这 种争论 可以看 出： 给 芝诺 悖 论 的 “ 语 言 解 答 ”简 单 地 贴 上 一 个 “蒙 昧 主 义 ”的 标
第7讲芝诺悖论有限与无限
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但康托不同意这一观点，他很愿意把 这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实 体。这就是实无限的观点。
康托的工作是划时代的，对现代数学产生了 巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔， 却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和 待遇都不太好。
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2. 数学中的无限在生活中的反映
1 ）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）
2 ）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
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3 ） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形
的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。 规则图形的面积→不规则图形的面积？
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二、芝诺悖论
芝诺（前 490 ？—前 430 ？）是（南意 大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企 图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可 分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只 是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖 论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角 度看其中的一个悖论。
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2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人
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2
3
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2
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空下了奇数号房间
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3. 客满后又来了一万个旅游团，每个
团中都有无穷个客人
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10001 20002 30003 40004 ┅
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10001×k ┅
上帝告诉你芝诺悖论之一：追乌龟?的逻辑真相
上帝告诉你芝诺悖论之一：追乌龟的逻辑真相阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。
在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！上面就是芝诺悖论之一：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。
上面是个路程问题，实质是个实数与无穷问题。
上面涉及距离问题，因走速的变化也涉及时间问题。
距离的变化 : 1→1/2 →1/4→1/8→...→1/2^n→...从递减上距程的变化就包含了时间和速度.故,只要距离的变化就能完整的用距离来讨论.又每个时间段都对应所走了距离。
所以在全面讨论距离（路程）问题时，可以踢开时间去讨论（因时间段上都有路程对应着）。
从0走到1,在这段距离,不管用多大速度,光速也行.都得经过这段距离的所有,再加速也一样.因为 1/2后有个1/4,再之后有个1/8......这些都得经过,就算用跳,也经过了这些距离,就算用光速,也经过这些距离.所以,不算是人还是光速,都走不完 1/2+1/4+1/8+1/16+.....因为 1/2+1/4+1/8+1/16+.....无限,其逻辑就是之没完没了,所以走不完.与人能走完1是两回事.所以根本不形成谬论.时间,速度再怎样变化它总对应着路程(距离),所以,只要距离这一项就能反映逻辑真相.又讨论时间又讨论路程反而有歧义会出现不必要的错误误导。
此悖论与飞矢不动不同，飞矢不动涉及时间、时刻、时间流速等问题。
芝诺悖论无穷级数求解
芝诺悖论无穷级数求解芝诺悖论是一种古老而有趣的数学悖论，涉及到无穷级数的求解。
该悖论最早由古希腊数学家芝诺提出，他认为对一个无限的任务集合进行求和，将无法完成。
芝诺悖论的核心在于无穷级数的求和问题。
无穷级数是一系列数的和，其中每一项与前一项之间有规律的关系。
例如，常见的无穷级数可以表示为1+1/2+1/4+1/8+...，其中每一项都是前一项的一半。
芝诺悖论的思考方式是，假设我们从第一项开始，每一步都能加上前一项，那么我们应该可以得到一个有限的总和。
然而，如果我们将这个无穷级数的总和表示为S，我们可以通过以下方式推算：S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...将S乘以1/2得到：1/2 * S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...将这个等式的两侧相减：(1 - 1/2) * S = 1化简得到：1/2 * S = 1解得：S = 2根据上述计算，我们得到了一个令人惊讶的结果，即无穷级数1+1/2+1/4+1/8+...的总和等于2。
然而，这与我们的直觉不符。
我们知道这个无穷级数是无限接近于2，但却不等于2。
这就是芝诺悖论的核心所在。
无穷级数的求和并不是一种直观的操作。
尽管我们可以进行一系列推导，看似得到了有理的结果，但这个结果与我们的直觉和实际情况不符。
实际上，芝诺悖论表明了无穷级数求和的难题。
数学家们在近几个世纪里一直在探索如何更准确地定义和求解无穷级数。
他们提出了一系列概念和方法，如级数的收敛性、绝对收敛等，以便更好地处理无穷级数。
总的来说，芝诺悖论向我们展示了数学中的困难和悖论。
它提醒我们，在处理无穷级数时需要谨慎，并不是所有的推导都可以直接应用于无穷情况。
数学家们仍然在努力解决这个问题，以更好地理解和解释无穷级数的求解。
哲学家芝诺悖论是什么
哲学家芝诺悖论是什么芝诺悖论芝诺悖论一：二分说。
芝诺认为运动是不存在的，他的意思是说，一个人如果要过一段路，那么在走完这段路之前是肯定会走过你要走的这一段路的一半的位置，过了这个位置之后，你又想走完剩下来的这一半，那么就又要走剩下来的这一半路的一半的位置，这样一直下去。
芝诺悖论二：追龟说。
这个悖论与上一个悖论二分说相似，意思是说，一个人到达乌龟的出发点时，乌龟就已经在前面走了一小段路了，于是就必须走过这一小段路程，可是乌龟在你走的时候也在向前走，于是就是这样，你无限接近它，但不能追到它。
芝诺悖论三：飞箭静止说。
这个悖论的意思是，如果你和一个东西在同一个空间但是没有超过它，这个东西是静止的。
那么如果要移动的事物在这个空间里面占有一个小的空间，那么飞在空中的箭是静止不动的。
芝诺悖论四：运动场悖论。
运动场悖论是运动物体的论点，在跑道上有前后两排大小和数目都相同的事物，其中一排是前半段的，另一排后半段的，他们以相同的速度却向着反方向作运动。
芝诺的历史评价虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。
不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销.正如美国数学史家E.T.贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾"以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。
"芝诺的功绩在于把动和静、无限和有限、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察.虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合:柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。
当时欧多克索斯(Eudo某us)正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。
欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论(《几何原本》第五卷中的主要内容)，从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机;并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。
亚里士多德对芝诺悖论
亚里士多德对芝诺悖论亚里士多德对芝诺悖论的解析亚里士多德是古希腊哲学家中最重要的人物之一，被誉为逻辑学的奠基者。
他对逻辑思维和自然哲学的研究影响深远。
在他的众多著作中，他对芝诺悖论提出了一种独特而深入的解析。
本文将探讨亚里士多德对芝诺悖论的理解和解答。
芝诺悖论，又称阿基里斯和乌龟悖论，最早由古希腊哲学家芝诺提出。
这个悖论的核心是：阿基里斯和乌龟比赛，阿基里斯在出发时比乌龟快，但每次阿基里斯追到乌龟前，乌龟又前进了一点。
根据这种推理，乌龟赛跑时似乎永远不会被阿基里斯赶上，但是实际上又是可以赶上的。
这种看似无解的悖论困扰了许多哲学家，并推动了亚里士多德对逻辑的深入研究。
亚里士多德认为，芝诺悖论的解决在于悖论的命题本身存在逻辑上的混淆。
他指出，悖论的产生是因为芝诺将时间和空间分离开来考虑，而实际上，时间和空间是密不可分的。
亚里士多德提出了一种解析方法，通过对运动和时间的思考来解决芝诺悖论。
他认为，我们可以将时间分成无限个无穷小的瞬间，每个瞬间乌龟都前进一点。
虽然每个瞬间乌龟都离阿基里斯更远，但由于时间无限小，我们可以认为瞬间之间的距离也是无限小的。
这样一来，当阿基里斯追上其中一个瞬间时，他也就追上了乌龟。
亚里士多德的观点是，时间和空间的连续性使得芝诺悖论不成立。
虽然乌龟每次都在前进，但由于时间的连续性，阿基里斯最终能够追上乌龟。
亚里士多德的解析方法对芝诺悖论提供了一种合理而令人信服的解释。
他强调了时间和空间之间的内在联系，揭示了芝诺悖论的漏洞所在。
然而，亚里士多德的解析并没有完全解决芝诺悖论。
后来的哲学家们不断对亚里士多德的解析进行质疑，并提出了各种不同的解释。
例如，柏拉图认为悖论的解答在于无穷的概念，而亚里士多德的解析只是从时间和空间的角度解释。
尽管亚里士多德的解析受到了质疑，但他对芝诺悖论的研究仍然具有重要意义。
他的思考展示了逻辑思维的力量，并为后来的哲学家们开辟了解决悖论的思路。
总结起来，亚里士多德对芝诺悖论的解析紧密结合了时间和空间的概念，提出了一种合理而深入的解答。
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解释：事实上，阿基里斯追到新起点的 所用时间也越来越短。要判断阿基里斯 能不能追上乌龟，关键是看这无限段时 间之和是否有限。用数学极限思想很容 易得出这无限段时间之和的确是有限的 （具体内容即场演绎，实际上是等比数 列和的极限）。于是阿基米斯实事上是 可以追上乌龟的。这个悖论也是利用了 人的错觉。
内容：一支飞行的箭是静止的 理由：每一时刻这支箭都占据与其 大小相等的确定位置，因而是静止 的；所有静止状态加起来还是静止 的，于是飞行的箭是静止的
解释：我们判断物体是静是动是根据物 体位置变动，位置变动是速度在时间长 度上的累积（s=vt）。“瞬间”时间长 度t为零，于是位置移动s当然也为零， 这与速度v=0（静止）有本质上的区别。 人们受日常生活经验限制，错觉以为位 置不变动就一定是由v=0引起的。这个悖 论利用了人的错觉。
相关链接——错觉引出的怪想象 3个房客，每人10元，凑齐了30元给房 东租房一晚。房东让服务生拿回5块钱 返现，服务生偷拿了2块钱，剩下的3 元返还给房客。房客实际上每人交了9 块钱，即总共是27块钱，再加上服务 生那2块钱，总共是29块钱，剩下的一 块钱去了哪里？
总结 所谓悖论很多时候只是“理所 当然”的错觉。我们之所以会误 入圈套，是因为对要有严谨科学的态度 和扎实的知识基础，还要有洞悉 世间一切伪像的决心与毅力。
内容：龟（乌龟）人（阿基里斯）赛跑，龟 在前，人在后，人不可能追上龟
理由：在竞赛中，追者先必须到达被追者的 出发点，当阿基里斯追到乌龟的出发点，乌 龟已经又向前爬了一点，于是，一个新的起 点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追 到乌龟的新起点时，乌龟又已经向前爬了一 小点。就这样，乌龟会制造出无穷个起点， 它总能在起点与自己之间制造出一个距离， 不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！