2011电磁场数值计算(本)-08
电磁场数值计算及其应用简介
例 1) 忽略端部效应的平板电源自器中的静电场其为一维问题, 可以解析求解。
•
场域中电位满足Laplace方程： 边界条件：
2 2
x 2
0
|x0 0
|xd U
通解与特解： C1x C2 U x d
E=U/d
d
2) 考虑端部效应的平板电容器
• •
二维Laplace方程: 边界条件：
四、现状
算法研究较少，主要是应用研究。 因算法研究效果大大低于计算机发展速度带来的效果。 但仍有计算技术方面的研究。
重点为通用、实用软件的开发。
商业软件已经使得非电磁场数值计算人员可以实现对实际 问题的计算机仿真。
目前流行的软件： OPERA(算法专业、使用较难)， Ansoft(傻瓜型、低频、高频、时变电路计算模块齐全)， ANSYS(开放型、专业型、以低频为主、多场耦合计算)
▲ 同时也在算法上做了一些改进。
3. 80年代国外提出一些有效处理Maxwell方程组求解的方法。 ▲ 有效位函数的引入与求解。
关键与难点是解的唯一“规范”约束的实现问题。
4. 74年在英国召开第一届COMPUMAG
Conference on Computation of Electromagnetic Fields
六、有待解决的问题 软件性能的提高。计算方法和技术，时变瞬态场，耦合场
问题，场路结合, 优化问题，逆问题（故障诊断、多解性）
七、我们的工作
有七限、元我法们的计工算作
变压器升高座电磁场
升高座涡流分布
低磁钢板
导磁钢板
升高座涡流损耗密度分布
电流互感器磁场计算
三维计算模型
电流互感器磁场计算
电流互感器电场计算
电磁场的数值计算方法
电磁场的数值计算方法物理系0702班学生杜星星指导老师任丽英摘要：数值计算方法是一种研究并解决数学问题数值近似解的方法，广泛运用于电气、军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众多领域。
本文综述了电磁场数值计算方法的发展历史、分类，详细介绍了三种典型的数值计算方法—有限差分法、有限元法、矩量法, 对每种方法的解题思路、原理、步骤、特点、应用进行了详细阐述, 并就不同方法的区别进行了深入分析, 最后对电磁场数值计算方法的应用前景作了初步探讨。
关键词：电磁场；数值计算；有限差分法；有限元法；矩量法引言自从1864年Maxwell建立了统一的电磁场理论，并得出著名的Maxwell方程以来，经典的数学分析方法是一百多年来电磁学学科发展中一个极为重要的手段, 围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。
在数值计算方法之前, 电磁分布的边值问题的研究方法主要是解析法，但其推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性,可求解的问题非常有限。
上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,多种电磁场数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于解析法而言,数值计算方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。
但各种数值计算方法都有一定的局限性,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，因此如何充分发挥各种方法的优势,取长补短,将多种方法结合起来解决实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。
本文综述电磁场的数值计算方法，对三种常用的电磁场数值计算方法进行分类和比较。
1电磁场数值计算方法的发展历史在上世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz法[1]，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解。
五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时。
电磁场数值计算与分析技术研究
电磁场数值计算与分析技术研究1. 研究背景电磁场是物理学中重要的研究领域，涉及到电磁波传播、电磁辐射、电磁场对物质的影响等多个方面。
在现代科学技术中，电磁场的应用十分广泛，如无线通信、电子设备、雷达测量等。
而电磁场数值计算与分析技术则是电磁场研究中的基础工具，它能够通过计算机模拟的方式帮助我们快速地了解电磁场的特性，分析电磁场对物体的影响。
2. 电磁场数值计算的方法电磁场数值计算的方法主要分为两类，即有限元法和有限差分法。
这两种方法在具体应用中各有优缺点。
有限元法是一种适用于复杂结构的数值计算方法，它将电磁场模型划分为有限个小的单元，然后在每个单元内进行计算，最后整合得到整个模型的计算结果。
有限元法的优点在于它能够处理各种复杂结构，如非线性材料、异形结构等，并且具有精度高、计算速度快等特点。
但是，有限元法的计算成本比较高，需要大量的计算资源，并且需要较高的计算技术水平。
有限差分法是一种比较简单的数值计算方法，它将空间分为一个个离散的网格，然后通过在不同的网格点上进行计算，得到整个空间内的电磁场分布。
有限差分法的优点在于它很容易实现且计算速度快，但是对于复杂的结构和材料效应处理能力较弱，并且需要网格的密度比较高才能够得到比较精确的结果。
3. 电磁场数值计算技术的应用电磁场数值计算技术的应用非常广泛，其中包括电磁波传播、电磁场对物体的影响、电磁设备设计等。
在电磁波传播方面，电磁场数值计算技术可以通过计算电磁波在空间中的传播路径、干扰区域等，来帮助无线通信等领域的设计和优化。
在电磁场对物体的影响方面，电磁场数值计算技术可以帮助我们计算电磁场对物体的激发情况，例如电磁波照射在人体上的吸收情况等，这对于电磁辐射防护等领域非常重要。
在电磁设备设计方面，电磁场数值计算技术可以帮助我们了解电磁场在设备内的分布情况，优化电磁场对设备的影响，提高设备的性能和可靠性。
4. 电磁场数值计算技术的未来发展随着计算机技术的不断进步，电磁场数值计算技术也在不断发展。
电磁场数值计算(平行平面和轴对称)
任课教师：王泽忠
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
2
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
开域截断-人工边界
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
3
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电位1
远 边 界 电位2 ？
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
9
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
流
流
正
正
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
10
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
流
流
正
负
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
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电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
对称性简化
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
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电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
位
位
正
正
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
8
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
位
位
正
负
2020年1月31日
21
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
rz 平面的轴对称矢量场经过旋度运算可以得到另一个相应的矢量场，
M r, z
电磁场数值分析
电磁场数值分析电和磁现象在自然界普遍存在，两者相互依存形成一个不看分割的整体。
电能产生磁，磁能生电。
很早以前人们就注意到电现象和磁现象，但是两者之间的这种相互联系在很长的一段时间内都没有被人们认识。
直到奥斯特首先发现了通电直导线周围存在磁场这一现象人们才开始把电和磁放在一起来研究。
然而这个时候人们依然没有办法揭示电和磁中间的秘密，只是停留在实验研究阶段，没有形成科学的理论。
1831年法拉第发现了电磁感应定律，从此电和磁的计算可以量化了，人类历史也开启了一个新的时代—电气时代。
由于法拉第的杰出工作，电和磁不再是不可触摸的了，人们已经掌握了运用它的钥匙。
在法拉第之后，另一位杰出的科学家麦克斯韦则更进一步，建立了麦克斯韦方程组，电和磁的理论已经到了相当完美的程度。
现代电机，不管结构多么复杂，都是基于法拉第电磁感应定律和麦克斯韦方程组的原理来运行的，其电和磁的相关量都可以利用这两个定律来进行精确地分析，在设计电机时，我们也是基于这两个定律对电机的电磁过程来进行精确的设计，从而设计出理想的电机。
学会电磁场分析，主要是基于麦克斯韦方程组的相关计算，对电机的学习非常重要。
它为我们今后的学习打下基础。
在学习过程中，主要要把握以下几个度之间的关系：梯度、旋度、散度，这三者的变换正体现了电和磁之间的转换。
一基本原理电磁场的内在规律由电磁场基本方程组—麦克斯韦（Maxwell ）方程组表达。
这些方程是由麦克斯韦对大量实验结果及基本概念进行了数学加工和推广归纳而成的。
麦克斯韦方程组是分析和计算电磁场问题的出发点，它既可写成微分形式，又可写成积分形式。
微分形式的麦克斯韦方程组为 t DJ H ∂∂+=⨯∇（1） t BE ∂∂-=⨯∇（2） 0=⋅∇B（3） ρ=⋅∇D （4）式中，E 为电场强度（V/m ）；B 为磁感应强度（T ）；D 为电位移矢量（C/m 2）；H 为磁场强度（A/m ）；J 为电流密度（A/m 2）；ρ为电荷密度（C/m 2）。
工程电磁场数值计算(七)
SndS Sm 40 r rn
矩量法算例（五）
• 阻抗矩阵的计算（二）
zmn
Sm
1 dS 'dS
Sn 40 r r '
In (r)dS
Sm 40
zmn
Sm
In (r)dS 4 0
Sm
N i1
wi In (ri )
1
In(r)
Sn
dS rr'
可解析求解
zmn
Sm
1 dS 'dS
s (r ') S 40
1 rr'
dS ' s (r) 2 0
1n E1(r) 2n E2(r)
s (r) 1 2 n s (r ') 1 dS ' 0
20 1 2 S 40 r r '
稳恒电流场问题（六）
s (r) 1 2 n s (r ') 1 dS ' 0
取 q dV '
根据叠加原理,某点电位是所有电荷的贡献和
(r) (r ')dV '
V 40 r r '
静电场问题（三）
• 定义Green 函数
G(r, r ') 1
40 r r '
显然满足
2G(r, r ') (r r ')
可见，给定源分布求解电磁场分布的关键在 于获得Green函数。
O'
S
S
'
nˆ
P P P P0
l l
l
源
矩量法的难点（六）
dS ' lim
S R 0
S S
s
电磁场数值方法计算
电磁场数值方法姓名： 侯大有 学号： P1******* 专业： 电磁场与微波技术1. TM 极化平面波以00=ϕ入射到半径a=λ的无限长理想导体圆柱，应用MOM 编程计算目标上的电流分布和双站RCS 。
程序如下：clc;clear;ticlamda=0.01;a=lamda;k=2*pi/lamda;e=2.7183;sita=[pi/180:pi/180:2*pi];delta_sita=pi/180;N=length(sita); %计算x 和Cnsita=sita-delta_sita/2;% 取弧长中心x=a*cos(sita);y=a*sin(sita);Cn=sqrt((a*sin(sita)).^2+(a*cos(sita)).^2)*delta_sita; %小段弧长V=exp(-j*k*x);%入射波for m=1:NZ(m,:)=Cn.*k*120*pi/4.*besselh(0,2,k*sqrt((x-x(m)).^2+(y-y(m)).^2));Z(m,m)=k*120*pi/4*Cn(m)*(1-j*2/pi*log(1.78107*k*Cn(m)/(4*e)));endJ=inv(Z)*(V.');S=200*lamda;%远区场；K=exp(-j*(k*S+3*pi/4))/sqrt(8*pi*k*S);E_s=k*120*pi*K*exp(-j*k*(cos(sita.')*x+sin(sita.')*y))*(Cn.'.*J);%散射场RCS=2*pi*S*(abs(E_s).^2).';figure(1);plot(sita(1:360),abs(J(1:360).')*120*pi);xlim([0,2*pi]);xlabel('phi');ylabel('J')title('电流分布');figure(2);plot(sita(1:360),sqrt(RCS(1:360)));xlim([0,2*pi]);xlabel('phi');ylabel('RCS')title('雷达散射截面');toc运行结果如下图:2. 设一接地金属槽如图1-1所示，其上盖对地绝缘且具有电位 1002=ϕ(相对值) ，侧壁与底壁为地电位01=ϕ。
电磁场数值分析,有限差分法
可得：
(K ) x (x x 0 )K 0 x x 0 )n ) (( K 0 K ! 1 2 2 1 3 3 1 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x 1 2 2 1 3 3 3 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x
有限差分法的基本步骤 （1）剖分场区，确定离散点。将所研究的电位分布 按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。 （2）建立电位分布问题的差分方程组。
（3）求解差分方程组。可以采用各种迭代法，如简 单迭代法，塞德尔迭代法，超松弛迭代法等等。
100 V 1 4 OV 7 2 5 8 3 6 9
在xoy 平面内把所求解区域 划分为若干个相同的正方形格 子，边长均为h，假设0点点位 为φ0 ，其余各点为φ1，φ2，φ3，
φ4，φ5。
将这几个点的点位用泰勒级数展开：
f 1 2f 1 3f f f0 (x x 0 ) 2 (x x 0 )2 3 (x x 0 )3 ... x 2! x 0 3! x 0 0
四，计算实例
1V
如图，一正方形区域，四个边的电位分 别是0V,0V,1V,100V，求解该区域内部 的电位分布。
0V
解： 将该正方形区域分割成4X4的小正 方形区域，则一共有9个内点。按照前 面得出的结论，任意一点的电位等于他 周围四个点电位的平均值。可以得到方 程组：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 二源自差分方程的数值解法简单迭代法
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8
电磁场数值计算
6.1 有限元网格划分
主讲人： 王泽忠
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。
网格划分就是把求解区域划分成有限个三角形
或四边形。单元边长尽量接近或内角大小尽量接近。
如图，将一个较大的区域划分成有限个三角形单
元，显示网格的一部分。
在三维情况下，可以将求解区域划分为有限个四
面体或六面体。
（ m 1, 2,, nn ）
将不含未知函数 u 的项移至方程右端，得
aM m ud bM mud M m f d cM md
Biblioteka 将由基函数线性组合构成的近似函数代入方程，
得
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电磁场数值计算
六十年代初有限元法被正式命名，随后被广泛应 用于结构力学、流体力学、传热学和电磁学等领域。
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
六十年代中期以来在电磁场数值计算（计算电磁
学）领域，有限元法迅速成为一种主要方法。
目前，有限元法（FEM）、矩量法（MOM）和时域
第 4 章中已经论述了基函数与单元插值形状函数的
关系。这里利用这种关系将整个场域中有限元离散化方
程组系数矩阵和右端向量的计算转化为单元系数矩阵
和右端向量的计算。
通过逐个单元系数矩阵和右端向量的计算和对应
叠加，形成整体有限元离散化方程组。
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电磁场数值计算
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
作为深入探讨，将轴对称标量场和轴对称矢
量场转化为二维场（圆柱坐标系），分别给出了这
两种二维场有限元系数矩阵和右端向量的通用计
算公式。
具体讨论了三角形单元及其边界线单元系数
矩阵和右端向量元素的计算公式。
最后给出了典型问题的举例。
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aM m
ud
Mma
u n
d
Mm
f
d
m 1, 2,, nn
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
将第二、三类边界条件式代入，得
aM m ud M m (bu c)d M m f d
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
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三角形网格划分
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
6.2 泊松方程的有限元公式
1、电磁场边值问题
电磁场边值问题一般满足微分方程和相应的边界
条件。
泊松方程是电磁场位函数满足方程中的一大类，下
2019/10/4
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
2、近似函数
以插值方式构造近似函数， u 的近似解表示为
nn
u M nun n1
其中基函数为
M1, M 2 , , M nn
相应的待定常数为 u1, u2 , , unn
2019/10/4
有限差分法（FDTD）并列，号称计算电磁学三大方法。
有限元法一般直接求解位函数的偏微分方程。在
高频电磁场领域有时也直接求解场矢量的微分方程。 有限元法的数学基础是变分原理和加权余量原理。
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
加权余量原理对应于力学中的虚功原理，理论比
较简单。
本章讨论加权余量原理基础上的有限元离散化
过程。
用基函数和线性组合方法构造场域近似函数，借
助于加权余量原理（伽辽金法）将场域的偏微分方程
离散为代数方程组。
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
有限元法的关键是用分块（片或段）插值方法构造
基函数和权函数。
面主要介绍泊松方程的有限元公式。
泊松方程表示为
a2u f
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
边界条件表示为
u 1 u0
u
a n
2 ,3
bu c
式中， u 为空间的位函数， u0 为边界上已知的 位函数， a 为方程系数（与场域的材料有关）， b 和 c 为已知的边界条件系数， f 是场域中源密度函数。
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主讲人： 王泽忠
根据基函数和权函数与单元形状函数的关系，在 伽辽金有限元法中一个单元内基函数和权函数的值等
于相应的形状函数的值，表示为在单元 e 中 M ne,i Ni ； M me, j N j
3、伽辽金加权余量方程 采用伽辽金加权余量形式，设一组与基函数相同的权
主讲人： 王泽忠
在论述泊松方程伽辽金有限元计算的基础上，
分别给出了三维、二维（直角坐标）、和一维（直角
坐标）问题中的计算公式。
二维有限元中，具体讨论三角形线性插值单元
及其边界线性插值线单元的计算公式。
在三维有限元中，具体讨论四面体线性插值单
元及其边界线性插值三角形单元的计算公式。
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函数 M1, M 2 , , M nn 。
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
将权函数代入伽辽金加权余量方程，得一组方程
M m (a2u)d M m f d
S
S
m 1, 2,, nn ，对应节点的整体编号。
对上式应用格林定理，得
主讲人： 王泽忠
nn
nn
[aM m (M nun )]d [bM m (M nun )d
n 1
n1
(M m f )d (cM m )d
将近似函数的梯度运算分配到各项，得
电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
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1
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主讲人： 王泽忠
电磁场数值 计算
王泽忠
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2
电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
6 有限元法
有限元法是一种求解偏微分程的数值计算方法。 该方法上世纪四十年代从结构力学领域发展起来的。 数学工作者的参与，使之成为计算数学的一个强大分 支。