08第八讲 积分判别法
广义积分的收敛判别法
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
宁波大学教师教育学院 18
三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
2019/4/26
宁波大学教师教育学院
3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
判别法判断积分敛散性
判别法判断积分敛散性
积分敛散性是数学中比较重要的概念，它可以提供我们不同的性质的函数的收敛情况的信息。
它可以帮助我们更好地了解函数的特性，对函数的研究和应用也有很大帮助。
积分敛散性是指一个函数从$- \infty $ 到$ + \infty $上的固定横跨长度之和所构成的函数。
如果一个函数$y = f(x)$在某一闭区间上是敛散的，则定义符号$ \int_{a}^{b}f(x)dx$为指定的函数在横跨的变量x的横跨值$a$和$b$之间的积分值，即为$y$之和。
当积分值为正，则说明函数$f(x)$在某一闭区间上性质是敛散的；当积分值为负，则说明函数$f(x)$在某一闭区间上性质是散敛的。
（当积分值等于零时，函数$f(x)$在某一闭区间上就是稳定的，不具有任何无动力收敛或者散散现象）。
积分敛散性主要涉及到函数在定义域有效的极限，可以通过对函数解析，判断其边界等概念来判断其积分敛散性。
直线和抛物线，它们在定义域上的无穷点收敛散散良好；反之，如倒钩函数则会出现收敛紊乱等现象。
综上所述，积分敛散性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地了解函数的特性，如果能够掌握其运算的技巧，也可以用于函数的研究和应用。
积分的收敛判别
第二节 xx 积分的收敛判别法上一节我们讨论了xx 积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对xx 积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个xx 积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy 收敛原理）f(x)在[a, +∞ ）上的xx 积分收敛的充分必要条件是：, 存在A>0, 使得b, >A 时，xx 有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对使用xx 收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分(为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b –]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: , , 只要0<，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果xx 积分收敛，我们称xx 积分绝对收敛（也称f(x)在[a,+xx 绝对可积]; 如收敛而非绝对收敛，则称条件收敛，也称f(x)在[a,+xx 条件可积．由于，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A A dx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理．定理9.3如果xx 积分绝对收敛，则xx 积分必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的xx 积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，xx 积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理9.4（无限区间上的xx 积分）设在[a,+)上xx 有（k 为正常数）则当收敛时, 也收敛;当发散时, 也发散．证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5 设f(x), g(x) 均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使[a, b), 则1）如收敛，则也收敛。
广义积分的判别法PPT课件
则称
例4. 判断反常积分 的敛散性 .
解:
较审敛原理知
给积分收敛 (绝对收敛) .
第13页/共27页
绝对收敛 ; 条件收敛 .
根据比 故由定理5知所
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2013)
第14页/共27页
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义
例2. 判别反常积 分
解:
的敛散性 .
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别反常积分
的敛散性 .
解: 根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
第11页/共27页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理5.
证：
则
而
第12页/共27页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义. 设反常积 分
则称
第一讲 反常积分的审敛法 函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
第1页/共27页
一、无穷限广义积分
定义1. 设
若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作
这时称广义积分 就称广义积分
收敛 ;如果上述极限不存在, 发散 .
类似定理5, 有下列结 论:
称为绝对收敛 .
则反常积分
第19页/共27页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、 函 数
1. 定义
下面证明这个特殊函数在
内收敛 . 令
第20页/共27页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
综上所述 ,
第21页/共27页
几何级数、积分判别法则、交错级数
几何级数、积分判别法则、交错级数1. 几何级数几何级数是指以一个常比r乘以前一项得到的无穷级数，即：S= a + ar + ar^2 + ar^3 + ... = Σ ar^n其中，a是第一项，r是公比，n为项数。
对于几何级数，有以下判别法则：(1) 当公比r在-1到1之间时，几何级数是收敛的。
收敛和为：S = a / (1 - r)(3) 当公比r等于1时，几何级数是发散的，除非a=0，此时S=0。
应用举例：求以下几何级数的和：解：首先确定公比r为2，根据上面的公式，求得：可见该几何级数是发散的。
(2) S2 = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...2. 积分判别法则积分判别法则是指通过将级数中的项转化为函数，然后对其进行积分来判断级数的敛散性。
对于正项级数∑an，如果存在一个单调递减且非负的函数f(x)，使得当n≥1时，an=f(n)，那么该级数敛散性与函数∫f(x)dx的敛散性相同，即：当∫f(x)dx收敛时，级数∑an也收敛；当∫f(x)dx发散时，级数∑an也发散。
判断以下级数的敛散性：(1) ∑1/n^2解：将级数中的n^2转化为函数f(x)=1/x^2，函数f(x)单调递减且非负，于是有：∑1/n^2 敛散性与∫f(x)dx的敛散性相同∫f(x)dx = ∫1/x^2 dx = -1/x+C由于当x趋近于∞时，-1/x趋近于0，故该积分收敛。
因此，级数∑1/n^2也收敛。
因为以1为底的对数函数ln|x|在x=0处不存在，故该积分发散。
因此，级数∑1/n也发散。
3. 交错级数交错级数是指在一个级数中，每一项的符号与前一项的符号不同。
即：其中，a1，a2，a3...都是正数或负数。
(1) 对于交错级数的部分和序列Sn，如果序列Sn单调递减且趋于0，即对于所有n≥1，Sn≥Sn+1，且lim Sn=0，那么该级数收敛。
解：显然，该交错级数是符号交替的。
将其部分和序列表示出来：S1 = 1...不难看出，此级数的部分和序列单调递减，而且趋于0，因此该级数收敛。
(完整word版)无穷积分的性质与收敛判别法(word文档良心出品)
§ 2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质; 别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。
教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。
掌握收敛的 Cauchy 准则、比较判教学内容: 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 f f (xdx 收敛与否，取决于函数」a极限。
因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。
定理11.1 无穷积分f f (X dx 收敛的充要条件是：任给 」a uF (u ) = t f (X dx 在U7 + s 时是否存在Z >0,存在G >a ,只要比、u 2>G ,便u 2 u 2 W . 【a f (X )dX - J a f (X )dX = J u f (X )dX -be u证明：由于 J a f(xdx=li m ( f(xdx =li mF(u),所以 u _ 耘 ,U2[f (X dx 收敛二 limF(u)存在 ng >0^G > a ，只要 5、u 2> G ，便有 I u 2 Wf (X Jdx 4 J f (X )dx - J f (X )dx =1 F (u ?) -F (uj |< &aa此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。
性质1(线性性质) 说a■—梧f^xdx 与J f2(xdx 都收敛，k i 、k 2为任意常数，贝U a 广k i f i (X )+k 2 f2(x )dx 也收敛，且a -be |- ] -be -bef k 1 f ^^+ k 2 f 2(X )ax = k^ f 1(xdx + k 2j f ^x dx 。
(1)a"a&af.a^^0 r则『k i fi (x )+k 2auu(X d X=|i m [ fNxHx , J 2 珂 f2(XdX = |i m J af2(x)dx= lim [k i fi (x )+k 2f2(x )]dxuu= lim [k i 〔 f i (x)dx % J a f 2(x)dx]uu= k i|iml f i (x)dx+k 2|imi f 2(x)dx-be -be=k 1J 1 +k 2J 2 = k 1J f 1(x)dx +k 2j f 2(x)dx.f2(x)dx.u —J性质2若f 在任何有限区间［a , u ］上可积，av b则］f (x dx 与［f(xdx 同敛态(即同时收 敛或同时发散)，且有-be b-bef f (X dx = I f (X dx + f f (X dx ,a a b其中右边第一项是定积分。
柯西积分判别法
柯西积分判别法柯西积分判别法是指在微积分领域，借助柯西不等式的广义方法，根据函数的性质判断函数是否可以经由积分来求得它的积分值。
它是一种根据某一函数及它的衍生物来判断该函数是否可以用积分求取它的积分值的快速方法。
柯西积分判别法是计算定积分的一种非常有用的方法，可以根据函数的特性直接判断该函数是否可以由柯西不等式求取其积分值。
考虑函数f(x)在区间[a,b]上可导，在任意区间[c,d]上有：F(d)-F(c)=∫bacf(x)dx即：F'(x)=f(x),其中F(x)为f(x)的某一积分。
如果能找出一种方法，可以根据函数f(x)的性质就可以知道F(x)是否可以由F(x)=∫bacf(x)dx求取，则可以大大减轻求积分时负担。
这就是柯西积分判别法的基本思想。
根据柯西积分判别法，可以将函数f(x)划分为正交系统的三类，即：自变量的多项式系统（P）、对数函数系统（L）和指数函数系统（E）。
首先介绍自变量的多项式系统，即P类：P类的函数的形式为P(x)=aoxn+a1xn-1+···+an-1x+an，其中n≥0，此系统的积分值可以由P(x)=∫bacaxn+a1xn-1+···+an-1x+an dx求取，F(x)=∫bapow(x)dx。
接着介绍对数函数系统，L类：L类函数的形式为L(x)= (bx+c)alog(ax+d)，其中a,b,c,d＞0，在此系统中，函数的积分值可以由L(x)= ∫bac (bx+c)alog(ax+d)dx求取，F(x)=∫balog(ax+d)dx+cpow(x)dx。
最后介绍指数函数系统，E类：E类函数的形式为e（x) = ain（x+b），其中a ＞0，在E类函数中，积分值可以由e（x) = ∫b acin（x+b）dx求取，F(x)＝∫bacin （x+b）dx。
柯西积分判别法为快速求得定积分提供了一种有用的方法，它可以帮助我们快速识别函数f（x）是否可以由积分求取，减轻了求积分时的负担。
积分dirichlet判别法
积分dirichlet判别法一、背景介绍积分Dirichlet判别法是数学中的一种重要工具，广泛应用于实变函数、复变函数、实数集、复数集等领域。
它以数学家Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet的名字命名，是他在数学分析领域的重要贡献之一。
二、基本原理积分Dirichlet判别法的基本原理是通过将一个函数的等式或不等式转化为积分不等式，从而得到函数的性质或特征。
这种方法不仅可以应用于实函数，也可以推广到复函数的情况。
三、应用领域1. 实变函数中的应用：积分Dirichlet判别法可以用来证明不等式的成立。
例如，在函数的连续性和可微性问题中，可以通过积分Dirichlet判别法来推导极限关系，进而得到一些重要的结果。
2. 复变函数中的应用：在复变函数的研究中，积分Dirichlet判别法被广泛应用于解析函数、调和函数、全纯函数等的性质研究，以及复变函数在物理学中的应用。
3. 数学分析中的应用：积分Dirichlet判别法还可以用于处理一些数学分析中的特殊函数，如Gamma函数和Zeta函数等。
通过将这些特殊函数的积分形式转化为积分不等式，可以得到它们的性质和特征。
四、数学推导积分Dirichlet判别法的具体数学推导较为复杂，需要借助复杂的数学符号和运算。
简单地说，该方法利用积分运算的性质和技巧，通过对函数的积分形式进行变换和估计，得到函数的性质和特征。
五、举例说明以求解一个实变函数的性质为例，假设有一个函数f(x)，要证明f(x)在某个区间上连续或可微。
可以通过将f(x)表示为积分形式，然后利用积分Dirichlet判别法对积分进行估计和变换，最终得到f(x)的性质。
六、总结积分Dirichlet判别法是一种重要的数学分析工具，它基于积分运算的特性和技巧，在实变函数、复变函数、数学分析等领域有广泛应用。
通过将函数的等式或不等式转化为积分不等式，可以得到函数的性质和特征。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学分析第十二章数项级数积分判别法
第八讲
数学分析第十二章数项级数
定理12.9（积分判别法）
积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.
设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞
⎰同时收敛或同时发散.
证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是
对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑
数学分析第十二章数项级数-≤≤-=⎰1()()d (1),2,3,.
n
n f n f x x f n n 依次相加可得1
122
1()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰若反常积分收敛,有
111()(1)()d (1)()d .
m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑⎰⎰
根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛.
则由(12)式左边, 对任何正整数m ,
数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有
-≤≤=∑⎰11()d ().
(13)m
m f x x S f n S 1
0()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+⎰因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑⎰
是同时发散的.112
21()()d (1)().(12)m m
m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞
⎰根据定理反常积分收敛用同样方
数学分析第十二章数项级数例12 讨论1.p p n
级数的敛散性∑1(),0[1,)p f x p x
当时在=>+∞解函数上是非负减函时发散.
是发散的.
数，1d 1p x p x
+∞>⎰反常积分在时收敛，.1时发散≤p 故1()p f n n
=∑∑由积分判别法得01p <≤当≤0p 的情形, 则可由收敛的必要条件知它也至于1p >当时收敛，
数学分析第十二章数项级数例13 讨论下列级数的敛散性.∞∞==∑∑2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )
p p n n n n n n n 解2d ,(ln )
p x x x 研究反常积分由于+∞⎰(i)1,1.
p p 数在时收敛时发散>≤3d (ii),,(ln )(lnln )
p x x x x 对于考察反常积分同样可+∞⎰1p ≤推得级数(ii) 在p > 1时收敛, 在时发散. ()()()22d ln d ln ln p p x x x x x +∞+∞=⎰⎰ln 2d p
u u +∞=⎰时发散，时收敛，当11≤>p p 根据积分判别法得级
复习思考题
数学分析第十二章数项级数
1.设n u ∑为收敛的正项级数，则一定存在收敛的正n v ∑lim 0n n n
u v →∞=项级数,使得. 也就是说没有收敛得最慢的级数.1,1n n u u +<有n u ∑n N >2.如果正项级数满足对一切(1),?
n n n u u <∑或能否得出收敛4.总结判别法使用规律.
3.如果对每个正整数p ，正项级数都有?n u ∑能否得出收敛12lim()0n n n p n u u u +++→∞
+++= ，是否存在发散得最慢的级数？。