(完整版)《高数》积分判别法
积分判别法证明
积分判别法证明
积分判别法是数学中的一种重要方法，用于证明函数的收敛性和发散性。
本文将介绍积分判别法的证明方法。
首先，我们考虑一个正函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的积分，即
∫a^b f(x)dx。
如果该积分收敛，那么我们可以按照以下步骤证明：
1. 对于任意 x∈[a,b]，由正函数的定义可知 f(x)≥0。
2. 我们设 g(x) 为一个小于 f(x) 的正函数，即 g(x)<f(x)，
且在区间 [a,b] 上连续。
3. 根据积分的定义，我们有∫a^b g(x)dx≤∫a^b f(x)dx。
由于 f(x) ≥ 0，所以∫a^b f(x)dx ≥ 0。
因此，如果∫a^b g(x)dx 发散，那么∫a^b f(x)dx 也一定发散。
4. 根据积分的比较判别法，如果∫a^b g(x)dx 收敛，那么∫a^b f(x)dx 也一定收敛。
综上所述，我们通过对积分的比较来判断一个函数的收敛性或者发散性。
需要注意的是，在使用积分判别法时，我们需要选择一个适当的小于原函数的正函数 g(x)。
如果我们选择的 g(x) 过于简单，那么
可能无法得到正确的结论；如果选择的 g(x) 过于复杂，那么证明的过程会变得非常复杂。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的 g(x)，并且灵活运用各种积分技巧，以便更好地应用积分判别法。
- 1 -。
积分判别法证明
积分判别法证明积分判别法是一个在高等数学中广泛使用的重要工具，其可以用来判断一些无穷级数的敛散性。
本文将针对积分判别法进行证明。
首先，我们先讲一下积分判别法的基本思想。
对于一个正项级数∑an，如果存在一个单调递减的正函数f(x)，使得∫f(x)dx从1到正无穷收敛，则∑an也收敛；反之，如果∫f(x)dx从1到正无穷发散，则∑an也发散。
证明的思路是：我们对于一个正项级数∑an，假设它满足上述条件，即存在一个单调递减的正函数f(x)，使得∫f(x)dx从1到正无穷收敛。
我们希望能够证明，这个级数也收敛。
我们可以将∑an拆分成很多个部分，即∑an = ∑(2^n-2^(n-1))an。
显然，对于每一个固定的n，∑(2^n-2^(n-1))an 也是一个正项级数，并且∑an和∑(2^n-2^(n-1))an的敛散性是等价的。
因此，我们只需要证明，对于每一个固定的n，∑(2^n-2^(n-1))an 都收敛，就可以证明原级数∑an也收敛。
我们将∑(2^n-2^(n-1))an记为Sn，那么Sn的前n项和为An = 2^n-1。
我们将f(x)拆分成很多个部分，即f(x) =f(1)+f(2)+...+f(n)+...，其中f(n)(x) = f(2^n-1-x)，即f(n)(x)是f(x)在区间[2^(n-1),2^n]上的反函数。
由于f(x)单调递减且正，因此f(n)(x)也单调递减且正。
我们可以通过变量代换和分部积分，得到∫f(n)(x)dx从2^(n-1)到2^n的值为Anf(An) - ∫f(n-1)(x)dx从2^(n-2)到2^(n-1)。
因此，我们可以得到∑(2^n-2^(n-1))an = Sn = ∫f(n)(x)dx从2^(n-1)到2^n ≤ Anf(An) - ∫f(n-1)(x)dx从2^(n-2)到2^(n-1)。
注意到f(n-1)(x)在区间[2^(n-2),2^(n-1)]上的值都比f(n)(x)在区间[2^(n-1),2^n]上的值大，因此∫f(n-1)(x)dx从2^(n-2)到2^(n-1)≥∫f(n)(x)dx从2^(n-1)到2^n。
08第八讲 积分判别法
数学分析第十二章数项级数积分判别法第八讲数学分析第十二章数项级数定理12.9（积分判别法）积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞⎰同时收敛或同时发散.证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑数学分析第十二章数项级数-≤≤-=⎰1()()d (1),2,3,.nn f n f x x f n n 依次相加可得11221()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰若反常积分收敛,有111()(1)()d (1)()d .m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑⎰⎰根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛.则由(12)式左边, 对任何正整数m ,数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有-≤≤=∑⎰11()d ().(13)mm f x x S f n S 10()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+⎰因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑⎰是同时发散的.11221()()d (1)().(12)m mm m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞⎰根据定理反常积分收敛用同样方数学分析第十二章数项级数例12 讨论1.p p n级数的敛散性∑1(),0[1,)p f x p x当时在=>+∞解函数上是非负减函时发散.是发散的.数，1d 1p x p x+∞>⎰反常积分在时收敛，.1时发散≤p 故1()p f n n=∑∑由积分判别法得01p <≤当≤0p 的情形, 则可由收敛的必要条件知它也至于1p >当时收敛，数学分析第十二章数项级数例13 讨论下列级数的敛散性.∞∞==∑∑2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )p p n n n n n n n 解2d ,(ln )p x x x 研究反常积分由于+∞⎰(i)1,1.p p 数在时收敛时发散>≤3d (ii),,(ln )(lnln )p x x x x 对于考察反常积分同样可+∞⎰1p ≤推得级数(ii) 在p > 1时收敛, 在时发散. ()()()22d ln d ln ln p p x x x x x +∞+∞=⎰⎰ln 2d pu u +∞=⎰时发散，时收敛，当11≤>p p 根据积分判别法得级复习思考题数学分析第十二章数项级数1.设n u ∑为收敛的正项级数，则一定存在收敛的正n v ∑lim 0n n nu v →∞=项级数,使得. 也就是说没有收敛得最慢的级数.1,1n n u u +<有n u ∑n N >2.如果正项级数满足对一切(1),?n n n u u <∑或能否得出收敛4.总结判别法使用规律.3.如果对每个正整数p ，正项级数都有?n u ∑能否得出收敛12lim()0n n n p n u u u +++→∞+++= ，是否存在发散得最慢的级数？。
(完整word版)无穷积分的性质与收敛判别法(word文档良心出品)
§ 2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质; 别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。
教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。
掌握收敛的 Cauchy 准则、比较判教学内容: 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 f f (xdx 收敛与否，取决于函数」a极限。
因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。
定理11.1 无穷积分f f (X dx 收敛的充要条件是：任给 」a uF (u ) = t f (X dx 在U7 + s 时是否存在Z >0,存在G >a ,只要比、u 2>G ,便u 2 u 2 W . 【a f (X )dX - J a f (X )dX = J u f (X )dX -be u证明：由于 J a f(xdx=li m ( f(xdx =li mF(u),所以 u _ 耘 ,U2[f (X dx 收敛二 limF(u)存在 ng >0^G > a ，只要 5、u 2> G ，便有 I u 2 Wf (X Jdx 4 J f (X )dx - J f (X )dx =1 F (u ?) -F (uj |< &aa此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。
性质1(线性性质) 说a■—梧f^xdx 与J f2(xdx 都收敛，k i 、k 2为任意常数，贝U a 广k i f i (X )+k 2 f2(x )dx 也收敛，且a -be |- ] -be -bef k 1 f ^^+ k 2 f 2(X )ax = k^ f 1(xdx + k 2j f ^x dx 。
(1)a"a&af.a^^0 r则『k i fi (x )+k 2auu(X d X=|i m [ fNxHx , J 2 珂 f2(XdX = |i m J af2(x)dx= lim [k i fi (x )+k 2f2(x )]dxuu= lim [k i 〔 f i (x)dx % J a f 2(x)dx]uu= k i|iml f i (x)dx+k 2|imi f 2(x)dx-be -be=k 1J 1 +k 2J 2 = k 1J f 1(x)dx +k 2j f 2(x)dx.f2(x)dx.u —J性质2若f 在任何有限区间［a , u ］上可积，av b则］f (x dx 与［f(xdx 同敛态(即同时收 敛或同时发散)，且有-be b-bef f (X dx = I f (X dx + f f (X dx ,a a b其中右边第一项是定积分。
柯西积分判别法
柯西积分判别法柯西积分判别法是指在微积分领域，借助柯西不等式的广义方法，根据函数的性质判断函数是否可以经由积分来求得它的积分值。
它是一种根据某一函数及它的衍生物来判断该函数是否可以用积分求取它的积分值的快速方法。
柯西积分判别法是计算定积分的一种非常有用的方法，可以根据函数的特性直接判断该函数是否可以由柯西不等式求取其积分值。
考虑函数f(x)在区间[a,b]上可导，在任意区间[c,d]上有：F(d)-F(c)=∫bacf(x)dx即：F'(x)=f(x),其中F(x)为f(x)的某一积分。
如果能找出一种方法，可以根据函数f(x)的性质就可以知道F(x)是否可以由F(x)=∫bacf(x)dx求取，则可以大大减轻求积分时负担。
这就是柯西积分判别法的基本思想。
根据柯西积分判别法，可以将函数f(x)划分为正交系统的三类，即：自变量的多项式系统（P）、对数函数系统（L）和指数函数系统（E）。
首先介绍自变量的多项式系统，即P类：P类的函数的形式为P(x)=aoxn+a1xn-1+···+an-1x+an，其中n≥0，此系统的积分值可以由P(x)=∫bacaxn+a1xn-1+···+an-1x+an dx求取，F(x)=∫bapow(x)dx。
接着介绍对数函数系统，L类：L类函数的形式为L(x)= (bx+c)alog(ax+d)，其中a,b,c,d＞0，在此系统中，函数的积分值可以由L(x)= ∫bac (bx+c)alog(ax+d)dx求取，F(x)=∫balog(ax+d)dx+cpow(x)dx。
最后介绍指数函数系统，E类：E类函数的形式为e（x) = ain（x+b），其中a ＞0，在E类函数中，积分值可以由e（x) = ∫b acin（x+b）dx求取，F(x)＝∫bacin （x+b）dx。
柯西积分判别法为快速求得定积分提供了一种有用的方法，它可以帮助我们快速识别函数f（x）是否可以由积分求取，减轻了求积分时的负担。
积分的级数敛散判别法
积分的级数敛散判别法在数学中，级数是由一个无穷多的项按顺序相加所得到的无穷和。
而积分就是连续函数在一定区间内的面积，很多时候需要进行级数求和或者积分运算。
那么如何判断级数和积分是否收敛呢？接下来我们将通过讨论级数的敛散判别法，来回答这个问题。
一、收敛级数的判别法1. 比较判别法比较判别法是通过将要求的级数与另一个已知收敛或发散的级数进行比较，以此来判断级数的敛散性。
比较判别法分为比较判别法之一、比较判别法之二和极限比较判别法。
比较判别法之一是如果对于级数的每一项，都有它的绝对值小于等于另一个已知收敛的级数，那么该级数也收敛。
比较判别法之二是如果对于级数的每一项，都有它的绝对值大于等于另一个已知发散的级数，那么该级数也发散。
极限比较判别法是通过比较级数的项和与另一个已知级数的项和的极限，来判断级数的敛散性。
通常情况下，这个“另一个已知级数的项和”往往是一个比较容易判断敛散状态的级数。
2. 比值判别法比值判别法是通过求级数的项与其后一项的商的极限来判断级数的敛散性。
如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则该判别法无法确定级数的敛散性。
3. 根值判别法根值判别法是通过求级数的项的绝对值的n次方根的极限来判断级数的敛散性。
如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则该判别法无法确定级数的敛散性。
二、收敛积分的判别法1. 牛顿—莱布尼茨公式牛顿—莱布尼茨公式是连续函数的积分和原函数之间的关系式。
即原函数F(x)是连续函数f(x)的积分，根据牛顿—莱布尼茨公式，如果连续函数f(x)在有限区间[a,b]上有界，那么它的定积分也一定存在。
但是，如果函数f(x)不连续，那么它的积分就不能由牛顿—莱布尼茨公式得到。
2. 柯西准则柯西准则是判断积分收敛性的经典准则之一。
柯西准则是指如果函数f(x)在[a,b]内连续，并且对于任意的ε>0，都存在正数M和a的某个点c，使得当x在(a,c)内时，有|f(x)|≤M|(x-a)^(-1/2+ε)|；那么a到b的定积分就收敛。
高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
- 10 -
b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-
a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法
积分判别法
积分判别法生活中的选择题一般很难做，往往把一些事情弄得非常复杂。
而运用积分判别法就能够迅速作出正确的判断，从而做出正确的选择。
例如：去市场买西红柿和土豆，两者都是3元/斤，它们各有10斤，如果同时买，共需18元，若卖者称了6斤，则可以便宜到5元，假设卖者在先前给你看过的几次称重中总是超出1斤，那么他今天也许只给你看1斤，明天也许会少给，而且不止一次。
但最可能的情况是一开始给你看的1斤比较多，逐渐减少，直到最后少于6斤。
因为小学生们的计算水平还不高，所以难免会碰上这种棘手的问题。
在日常生活中我们应该学会积分判别法，灵活地处理好这类问题。
要想解决这个问题，我们首先要知道，有关质量的“斤”，一般用“千克”表示，而1千克= 2斤。
即1kg=2斤。
所以我们可以用以下方法来进行判断：每天放学回家后，我们都要测量一下今天吃饭用的碗有多重。
因为这些碗大多都比较轻，可以准确测量。
但是要想将碗全部装满的话，那就太沉了。
所以，我们必须找出一个合适的标准。
其实，家里经常用的米袋子，就是最合适的标准。
不信，你可以拿起一个米袋子对着光照一照，你会发现，它的透明度差不多。
另外，因为它是装米的袋子，所以密度应该和米一样，重量也应该与之接近，就是说， 1千克的米袋子，应该大约和1千克的米相当。
这样，我们就可以把10个1千克的米袋子叠在一起，再称量一下总重量，然后除以10，就得到大米的重量，那就是1千克。
用这个办法，我们可以称出许多东西，如一斤猪肉、两斤大米等。
由此，我们得知1kg=2斤。
所以说，在日常生活中，我们碰到了类似问题，首先要做的是把握住问题的核心，换个角度思考，找出合适的标准，然后再利用积分判别法，对问题进行分析。
然后根据具体的情况进行处理，这样，我们就能够将问题解决得更加妥善。
因此，我们学习了积分判别法后，在以后的学习或生活中碰到类似的问题时，就不会茫然无措了。
所以，让我们充分运用积分判别法吧！你的积分判别法掌握得怎么样呢？希望大家通过练习后，都能熟练地使用它。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
积分判别法 若在[1,∞)上f 减, 非负, 则∑f (n )收敛⇔⎰∞1f 收敛.
此时⎰∞1f ≤∑f (n )≤⎰∞1f + f (1). 证 ⎰21f ≤f (1) = f (1), ⎰32f ≤f (2)≤⎰21f , … ,⎰+1n n f ≤f (n )≤⎰-n n f 1, 相加得⎰+11n f
≤∑-n k k f 1)(≤⎰n f 1+ f (1). 令n →∞得证.
注. 条件可改为x 充分大时f 减, 非负. 例1(p 级数)∑p n
1当且仅当p > 1时收敛. 证一. p > 0时用积分判别法; p ≤0时由必要条件.
证二 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散, p >1时用积分判别法.
*证三 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散. p > 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由1141447141,21223121--=<++=<+p p p p p p p p , … 及比较判别法知加括号后的级数收敛, 故p 级数也收敛. △∑∑∞=∞
=32ln ln 1 ,ln 1n p n p n
n n n n , … . 备考. 设f (x ) = (x ln p x )-1 (x ≥2), 则p ≥0时显然f 减. 而p < 0时对充分大的x , f 仍减[p < 0时f ' (x ) = - (x ln p x )-2 ln p -1x (ln x + p )< 0 (x > e -p ), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln p n )-1当p > 1时收敛, p ≤1时发散. △∑)1(~ )1(23n n n +. △)1(~ 1n n n ∑-.△)1(~ )1(q q p p n n n ∑++.△∑sin n 1 (~n 1). △∑n n 1 (n n a =n 1→0, 或n n 1<n 21或21n ). △∑n
n )(ln 1(n n a →0). △∑! n a n (a >0) (n n a a 1+=1+n a , 或n n a =n n a ! →0). △∑n n n ! (n n a a 1+→e 1或n n a →e
1(上 册p.40.4(5)). △∑)2()1(n n n n +(n n a a 1+= (1 +n 1)n 4)22)(12()1(2e n n n →+++<1). △∑n ln 1(n ln 1>n 1或1-n a n →∞). △∑p n )(ln 1(1
-n a n →∞). △∑p n n ln (p ≤1时1-n a n →∞,发散; p >1时取q 使p >q >1,, 则q n n a -→0或a n ≤n -q , 收敛). △∑(n a - 1) (a >1) (由
x a x 1-→ln a (x →0)知n a - 1 = O(n
1). p.16.1 (9)类似). *△∑2121)1ln 2(+-++n n n n n (≤n n n n n 21)2(2121≤+-). *△∑n n ln ln )(ln 1(∵x x ln )ln (ln 2→0(x → ∞), ∴n 充分大时(ln n ) ln ln n = exp(ln ln n )2 < e ln n = n , 发散). 例2. 证明: 若a n > 0, ∑a n 收敛, 则∑1+n n a a 与∑a n a n +1收敛. [与∑a n 比较]. 例3(p.16.9(4). 考察∑∞=3)ln (ln )(ln 1n q
p n n n 的收敛性.
解 设f (x ) = x (ln x )p (ln ln x ) q , 则f ' (x ) = ln p -1 x (ln ln x ) q -1((ln x + p ) ln ln x + q ), x 充分大时∀p , q , f ' (x ) > 0, 故可用积分判别法. ⎰⎰∞∞==3ln 3ln )(u
u du x f dx I q p . p >1时取r 使p >r >1, 由u r
u u q p ln 1→0知I 收敛. p =1时I =⎰∞3ln ln q t dt , 当且仅当q >1时收敛. p <1时由u u
u q p ln 1
→∞, I 发散. 由积分判别法, 所给级数当p > 1或p =1, q > 1时收敛, 在其它情形发散.
*例4 (p.16.10) a n ↓, 非负, 则∑a n 收敛⇔∑2m m a 2(=2a 2 + 4a 4 + …)收敛.
证 设∑2 m m a 2= s . 因为n s 2= a 1 + a 2 + … +n a 2= a 1 + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + … + a 7 ) + … +
(+++--)1221n n a a n a 2≤a 1 + 2a 2 + 4a 4 + … = a 1 + s , 故∀n s n <n s 2≤a 1 + s , 由收敛原理
得∑a n 收敛.
设∑a n = s , 则由a 2 ≤ a 1 + a 2 , 2 a 4 ≤ a 3 + a 4等得∑=n
m m m a 1
2221≤ (a 1 + a 2 ) + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + …+ a 8 ) + … = s . 因此∑2m m a 2的部分和有界, 从而收敛.
应用: ∑
p n 1收敛⇔∑2m mp 21=∑2(1-p )m 收敛⇔21-p < 1⇔p >1 . ∑∑∑∑⇔=⇔p p p m p m m p m m n n 12ln 12ln 212ln 1收敛收敛收敛⇔p >1. *例5 (Raabe 判别法) 若lim n (1 -n n a a 1+) = l , 则l >1时∑a n 收敛, l < 1时∑a n 发散, l = 1时不定.
证 l >1时取p 使l >p >1,则n 充分大时n (1-n n a a 1+)>p ,n n a a 1+<1-p p p n n n n p ---=-≤)
1()11(. 由比较法, 收敛. l <1时对充分大的n 有n (1 -n n a a 1+)<1, n n a a 1+>1-11)1(1---=n n n。