第七章 响应面设计法
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第七章 响应面回归设计
二次回归正交设计
应用二次回归正交设计法，所得的 回归系数的估计之间相互独立，因 此删除某些因子时不会影响其它的 回归系数的估计，从而很容易写出 所有系数为显著的回归方程。 二次回归正交设计的试验点由正交 点、主轴点和中心点组成。
二次回归正交设计
两个变量的试验点组合方案
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M n x1 1 1 −1 −1 x2 1 −1 1 −1 0 0 3 2 用 L 4 ( 2 ), m c = 2 = 4 星号点 , 2 p = 4 中心点 m 0
Ey H0： ： 假设： 假设： Ey H1： ： = β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
≠ β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
统计量： 统计量：
FLf =
S Lf / f Lf Se / fe
当拒绝H 需要寻找原因， 当拒绝 0时，需要寻找原因，改变模型 否则认为线性回归模型合适，可以将S 否则认为线性回归模型合适，可以将 e 合并作为S 检验方程是否显著。 与SLf合并作为 E检验方程是否显著。
回归设计
回归设计概述 回归模型 因素水平编码 Box－Benhken设计 － 设计 二次回归正交设计
概述
回归设计也称为响应面设计。 是一种通过少量试验，获得数据， 估计参数，有效地建立试验指标和 连续变量之间的定量关系的方法。 它是由英国统计学家G.Box在20世 纪50年代初真对化工生产提出的， 后来这一方法得到了广泛的应用。
(
)
Y —响应变量；xj —第j个自变量； ε—正态随机误差；β0 —回归截距； βj βjj’βjj —回归系数；
响应面设计的基本步骤
响应面设计的基本步骤
嘿，咱今儿就来说说这响应面设计的基本步骤哈。
你想啊，响应面设计就像是搭积木，得一块一块稳稳地往上垒。
首先呢，得确定咱要研究的因素，这就好比选好要搭的积木种类。
这些因素可不能瞎选，得是对咱要研究的事儿有重要影响的才行。
然后呢，要确定因素的水平范围。
这就像给积木定个大小范围，不能太大也不能太小，得合适才行。
不然，要么搭出来歪歪扭扭，要么根本搭不起来。
接下来，就该设计实验方案啦。
这就如同规划怎么把积木搭出个漂亮的形状来。
这可得好好琢磨，不同的设计方法就像不同的搭积木技巧，得选个最适合的。
再之后，就是做实验啦。
这可不像小孩子玩积木那么轻松哦，得认真仔细，不能有一点儿马虎。
每一个数据都得像宝贝似的收集起来。
做完实验，就得分析数据啦。
这就像是检查搭好的积木稳不稳，有没有哪里需要调整。
通过分析，咱能看出哪个因素最重要，哪个因素不太起作用，就像知道哪个积木是关键的，哪个是可以替换的。
最后呢，根据分析结果优化方案。
这就好比把搭好的积木再修饰修饰，让它更完美。
你说这响应面设计是不是挺有意思的？就跟搭积木似的，一步一步来，最后就能搭出个漂亮的“城堡”。
咱可不能小瞧了这些步骤，每个步骤都得认真对待，不然这“城堡”可就搭不起来咯。
咱得有耐心，有细心，就像对待最心爱的宝贝一样对待响应面设计。
你想想，要是随随便便弄一下，那能有好结果吗？肯定不能呀！所以呀，咱得好好琢磨这每一步，让响应面设计发挥出最大的作用，给咱带来好的成果。
你说是不是这个理儿？。
响应面方法PPT课件
• Plackett–Burman(PB)、Central Composite Design
• (CCD)、Box-Behnken Design(BBD)是最常用的实验设计 方法。
• 以BBD为例说明Design-Expert的使用，CCD，PB与此类 似。
-
16
打开design expert软件， 进入主界面，然后点击 file，点击new design选 项卡创建一个新的试验 设计工程文件。
295.9 363.3 361.7
325.3 336.3 381.0
320.5 353.7 369.5
286.9 322.5 345.9
219.9 278.0 319.1
15 301.4 368.4 345.4 362.4 388.2 344.6 290.5
18 270.3 335.1 351.5 382.2 355.3 353.5 281.2
• 通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍）， 以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；
• 求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的响应为Ｚ坐标作出三 维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）。
• 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即， 计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系数的最小二乘估计 后，应进行检验。
为：yij=b0+b1Ni+b2Pj+b4Ni2+b5P-j2+ εij
11
• 使用该模型分析的结果为表3，从表3中可以看出b1、 b4、b5达到极显著水平，b2接近达到显著性，只有b3 达不到显著水平。
表 3 二元二次多项式回归的方差分析(缩减模型)
• (CCD)、Box-Behnken Design(BBD)是最常用的实验设计 方法。
• 以BBD为例说明Design-Expert的使用，CCD，PB与此类 似。
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打开design expert软件， 进入主界面，然后点击 file，点击new design选 项卡创建一个新的试验 设计工程文件。
295.9 363.3 361.7
325.3 336.3 381.0
320.5 353.7 369.5
286.9 322.5 345.9
219.9 278.0 319.1
15 301.4 368.4 345.4 362.4 388.2 344.6 290.5
18 270.3 335.1 351.5 382.2 355.3 353.5 281.2
• 通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一般认为至少应是它的３倍）， 以最小二乘法估计模型各参数，从而建立模型；
• 求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以相应的响应为Ｚ坐标作出三 维空间的曲面（这就是２因素响应曲面）。
• 应当指出，上述求出的模型只是最小二乘解，不一定与实际体系相符，也即， 计算值与试验值之间的差异不一定符合要求。因此，求出系数的最小二乘估计 后，应进行检验。
为：yij=b0+b1Ni+b2Pj+b4Ni2+b5P-j2+ εij
11
• 使用该模型分析的结果为表3，从表3中可以看出b1、 b4、b5达到极显著水平，b2接近达到显著性，只有b3 达不到显著水平。
表 3 二元二次多项式回归的方差分析(缩减模型)
响应面法的理论与应用
引言
引言
在生物技术迅猛发展的时代，生物过程的优化对于提高产物的产量、质量和 生产效率具有至关重要的意义。响应面法是一种通过对生物过程各个参数进行优 化，实现目标产物高效合成的数值模拟方法。本次演示将介绍响应面法的基本原 理及其在生物过程优化中的应用案例，同时分析其局限性和未来发展方向。
响应面法的基本原理
应用响应面法进行试验设计与优化的步骤
4、执行实验：按照设计好的实验方案进行实验，并收集数据。 5、数据分析：使用统计方法对实验数据进行拟合，得到输入与输出之间的数 学模型。
应用响应面法进行试验设计与优化的步骤
6、模型验证：使用独立的数据集来验证模型的准确性，以确保它能够准确地 预测未来的实验结果。
响应面法的局限性和未来发展方 向
响应面法的局限性和未来发展方向
虽然响应面法在生物过程优化中取得了显著成果，但仍存在一些局限性，如 对模型的过度拟合和对实际生物过程的简化等。为了克服这些局限性，未来研究 方向包括：
响应面法的局限性和未来发展方向
1、完善模型的可信度和鲁棒性：通过对模型进行交叉验证和敏感性分析等方 法，提高模型的预测能力和稳定性。
参考内容
引言
引言
在科学研究和工业生产中，试验设计与优化是一项至关重要的任务。好的试 验设计可以有效地减少误差、提高效率，从而帮助我们更好地理解并优化复杂的 系统。响应面法是一种常用的试验设计方法，它通过构建一个数学模型来描述输 入参数与输出结果之间的关系。在许多领域，如化学、生物、工程等，响应面法 都得到了广泛的应用。本次演示将探讨响应面法在试验设计与优化中的应用。
总结与展望
3、考虑非线性关系：在现实世界中，许多现象之间的关系可能是非线性的。 未来的研究可以更多地非线性关系的处理方法，以提高响应面法的适用性和解释 力。
响应面方法
二因素响应面分析
• 在化学量测实践中，一般不考虑三因素及三因素以 上间的交互作用。因此假设二因素响应（曲）面的 数学模型为二次多项式模型。
• 通过ｎ次测量试验（试验次数应大于参数个数，一 般认为至少应是它的３倍），以最小二乘法估计模 型各参数，从而建立模型；
• 求出模型后，以两因素水平为Ｘ坐标和ｙ坐标，以 相应的响应为Ｚ坐标作出三维空间的曲面（这就是 ２因素响应曲面）。
磷肥
0 7 14 21 28 35 42
0 86.9 110.4 134.3 162.5 158.2 144.3 88.7
表1
3 162.5 204.4 238.9 275.1 237.9 204.5 192.5
大麦氮磷肥配比试验结果
氮肥
6
9
12
216.4 274.7 274.3
276.7 342.8 343.4
误差
总变异
DF
SS
MS
F
5
332061.25 66412.25 352.08** F F = 0.05(5,43) 2.44; =3.49 0.01(5,43)
• 前提：设计的实验点应包括最佳的实验条件，如果实验点的
选取不当，使用响应面优化法是不能得到很好的优化结果的。
因而，在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的各
因素与水平。
a
2
• 响应面即回归的正交试验设计，考虑了实验随机误差；可以在因素的试 验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高，统计性质 好的回归方程，并能解决试验优化问题。
• 例如农作物产量与N、P、K的施肥量有关，可以 通过回归分析建立产量与施肥要素间的回归关系， 从而求得最佳施肥配方。
响应曲面设计
1、如何选择全因子设计部分
一般选择全因子设计（因子数在2-4之间），因子数>5时考虑采用部分因 子设计。
2、如何确定(quèdìng)星号点的位置（多考虑旋转性）
F=K2 或 F=1/2K2(>5个因素） α=(F)1/4
F为因子试验点的总数 ，K为因子的个数 即可满足旋转性，又可满足序贯性，称为中心复合贯序设计（CCC）。 α=2K/4
响应(xiǎngyìng)曲面设计适用范围: ①确信或怀疑因素对指标存在非线性影响
②因素个数2-7个，一般在4个以内 ③所有因素均为计量值数据 ④试验区域已接近最优区域 ⑤基于2水平的全因子正交试验
精品文档
一、响应曲面设计(shèjì)概论 响应曲面设计的方法分为(fēn wéi)两类：
中心复合试验设计（CCD）
需要考虑的问题如1如何选择全因子设计部分2如何确定星号点的位置即确定值3如何确定中心点的个数中心复合设计实验方案的确定1如何选择全因子设计部分一般选择全因子设计因子数在24之间因子数5时考虑采用部分因子设计
Youth
RSM LIULI 精品文档
关于(guānyú)《RSM》
RSM是利用合理(hélǐ)的实验设计方法并通过实 验的到一定的数据，采用多元二次回归方程来 拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对 回归方程的分析来寻求最优的工艺参数，解决
精品文档
中心复合(fùhé)设计实验方案的确定
3、中心点个数的选择
在满足旋转性的前提下，适当的选择中心点数，可以使整个试验区域内的 预测值具有一致均匀(jūnyún)精度。一般至少选2-5次。
因子数 2 3 4 5 5
立方点 4 8 16 32 16
星号点 4 6 8 10 10
一般选择全因子设计（因子数在2-4之间），因子数>5时考虑采用部分因 子设计。
2、如何确定(quèdìng)星号点的位置（多考虑旋转性）
F=K2 或 F=1/2K2(>5个因素） α=(F)1/4
F为因子试验点的总数 ，K为因子的个数 即可满足旋转性，又可满足序贯性，称为中心复合贯序设计（CCC）。 α=2K/4
响应(xiǎngyìng)曲面设计适用范围: ①确信或怀疑因素对指标存在非线性影响
②因素个数2-7个，一般在4个以内 ③所有因素均为计量值数据 ④试验区域已接近最优区域 ⑤基于2水平的全因子正交试验
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一、响应曲面设计(shèjì)概论 响应曲面设计的方法分为(fēn wéi)两类：
中心复合试验设计（CCD）
需要考虑的问题如1如何选择全因子设计部分2如何确定星号点的位置即确定值3如何确定中心点的个数中心复合设计实验方案的确定1如何选择全因子设计部分一般选择全因子设计因子数在24之间因子数5时考虑采用部分因子设计
Youth
RSM LIULI 精品文档
关于(guānyú)《RSM》
RSM是利用合理(hélǐ)的实验设计方法并通过实 验的到一定的数据，采用多元二次回归方程来 拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对 回归方程的分析来寻求最优的工艺参数，解决
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中心复合(fùhé)设计实验方案的确定
3、中心点个数的选择
在满足旋转性的前提下，适当的选择中心点数，可以使整个试验区域内的 预测值具有一致均匀(jūnyún)精度。一般至少选2-5次。
因子数 2 3 4 5 5
立方点 4 8 16 32 16
星号点 4 6 8 10 10
响应面法实验设计步骤
响应面法实验设计步骤
嘿，咱今儿来聊聊响应面法实验设计步骤哈！这响应面法啊，就好比是你要去一个陌生的地方找宝藏。
第一步呢，就是确定你要找宝藏的范围，这就像是确定你的因素和水平。
你得想好哪些因素可能会影响到你的宝藏呀，比如是走这条路还是那条路，是白天去找还是晚上去找。
然后给这些因素设定不同的水平，就像给每条路设定不同的难度级别一样。
第二步，那就是要开始设计实验啦！这就像你规划好怎么去走这些路，怎么去尝试不同的组合。
你得选好合适的实验点，可不能瞎选哦，不然就像无头苍蝇一样乱撞啦！
第三步呢，就是真刀真枪地去做实验啦！这可不能马虎，得认真对待，就跟你真的踏上找宝藏的路途一样，每一步都得走稳咯。
第四步，收集数据呀！这就好比你沿途做标记，记住你走过的路和遇到的情况。
这些数据可都是宝贝呀，能帮你找到宝藏的线索呢！
第五步，拟合模型！哎呀呀，这就像是把那些标记和线索串起来，看看能不能找到宝藏的大致方向。
第六步，对模型进行分析。
这时候你就得好好瞅瞅这个模型靠不靠谱啦，有没有把你带偏呀。
第七步，优化！哈哈，这就是要找到那个最有可能藏着宝藏的地方
啦！要精确定位哦！
你说这响应面法是不是很有趣呀？就像一场刺激的寻宝之旅！你得有耐心，还得有智慧，可不能瞎折腾。
不然，宝藏可就跟你擦肩而过咯！
总之，响应面法实验设计步骤就是这么一套厉害的法宝，能帮你在科研的道路上找到属于你的“宝藏”！好好用它，肯定能有大收获！。
响应面方法
• ������������������ො������=31.63-2.28N=0； N=13.87（kg） • ������������������ො������=8.21-0.38P=0；P=21.61（kg） • 因而由回归方程估计得尿素施用量为13.87kg，
过磷酸钙施用量为21.61kg时产量最高。
295.9 363.3 361.7
325.3 336.3 381.0
320.5 353.7 369.5
286.9 322.5 345.9
219.9 278.0 319.1
15 301.4 368.4 345.4 362.4 388.2 344.6 290.5
18 270.3 335.1 351.5 382.2 355.3 353.5 281.2
76.70 31.63
8.21 -1.14 -0.19
标准误
6.06 1.17 0.50 0.06 0.01
t
12.66** 27.02** 16.37** -18.22** -16.45**
图1 大麦产量 对于氮、磷肥 的响应面图
• 分别对回归方程求对 N 和 P 的偏导数，并令偏 导数等于0，可求得极值：
• 正交试验设计所得到的优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试 验范围内的最优方案；回归分析可以对结果进行预测和优化，但只能被 动的处理和分析。两者的优势结合起来，有合理的试验设计和较少的试 验次数，建立有效的数学模型。
• 许多试验设计与优化方法，特别是在做回归分析过程中，都未能给出直 观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但 难以直观地判别优化区域。
• 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法。对于非线性体系 可作适当处理化为线性形式。
过磷酸钙施用量为21.61kg时产量最高。
295.9 363.3 361.7
325.3 336.3 381.0
320.5 353.7 369.5
286.9 322.5 345.9
219.9 278.0 319.1
15 301.4 368.4 345.4 362.4 388.2 344.6 290.5
18 270.3 335.1 351.5 382.2 355.3 353.5 281.2
76.70 31.63
8.21 -1.14 -0.19
标准误
6.06 1.17 0.50 0.06 0.01
t
12.66** 27.02** 16.37** -18.22** -16.45**
图1 大麦产量 对于氮、磷肥 的响应面图
• 分别对回归方程求对 N 和 P 的偏导数，并令偏 导数等于0，可求得极值：
• 正交试验设计所得到的优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试 验范围内的最优方案；回归分析可以对结果进行预测和优化，但只能被 动的处理和分析。两者的优势结合起来，有合理的试验设计和较少的试 验次数，建立有效的数学模型。
• 许多试验设计与优化方法，特别是在做回归分析过程中，都未能给出直 观的图形，因而也不能凭直觉观察其最优化点，虽然能找出最优值，但 难以直观地判别优化区域。
• 建模最常用和最有效的方法之一就是多元线性回归方法。对于非线性体系 可作适当处理化为线性形式。
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• 2因素的等径设计(Equiradial design for 2 factors)
• 大于2因素的等径设计(Equiradial design for more than 2 factors)
一、2因素等径设计
• 按单纯形形状可以分为：三角形Triangle、正方形square、正五 边形pentagon和正六边形hexagon四种。
• 往往采用最小二乘法获得方程，然后进行统 计检验。
RSM的数学模型
• 泰勒展开式：所有的数学关系式均可以 展开
• 线性、二次多项式，三次以上少见 • 线性的极值往往在边界 • 二次可以采用优化技术
线性和二次模型预测的简单方法
• 例：某药物采用胆酸盐和卵磷脂增溶，中心点为胆酸 盐0.1M, 磷脂/胆酸盐的摩尔比例为1。三种设计的图 如下：
No. X1 X2
X3
X4
X5
X6 X7 X8
1 -0.5 -0.289 2 0.5 -0.289
-0.2041 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833 -0.2041 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
3 0 0.577 -0.2041 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
• X1、X2分别可以用下式表示：i=0,...N-1
N是边数
x1 sin 2i / N, x2 cos 2i / N
2因素等径设计
No 三角形 X1 X2
10 1 2 -0.866 -0.5 3 0.866 -0.5 4 5 6
正方形 正五边形 正六边形
X1 X2 X1 X2 X1 X2
二、2因素以上单纯形设计
• 可以选择析因设计或分式析因设计 前j行的xj=-1/[2j*（j+1）]1/2 • 可以采用单纯形设计：试验次数少，k=n-1 j+1行=j/[2j*（j+1）]1/2
• 基于等边三角形的基础上组成（不明白）R=j/[2j*（j+1）]1/2(下
页)j为x的下标【但是否应该为下页的公式？】
y 0
1x1 ...... k xk
11x12
......
k
k
x
2 k
........
12x1x 2 ..... x x k1,k k-1 k
..........
e
p (k d )!/(k!d!)
总系数项数p与方程幂次d和变量数间的关系
多项式系数项数
第六章 响应面设计法
• 第一节 概述 • 第二节 线性模型的RSM实验设计 • 第三节 球面设计和二次模型 • 第四节 均匀设计
第一节 概述
• Response surface method: RSM • RSM的目的：1）建立效应与各个变量
间的数学关系：Y=f(x1,….,xn)+e，其中 期望值记h， h=f(x1,….,xn), 此称为效应 面；2）在试验区域内或近边界附近进 行效应预测；3）继而进行优化。
• 22析因设计 • CCD正方 • CCD球面
ห้องสมุดไป่ตู้学模型
• 线性： y 0 1x1 2x2 e
• 二次多项式：多通过CCD或星点设计获
得： y
0
1x1
2x2
11x12
22
x
2 2
12x1 x 2
e
• 可以通过线性回归或非线性回归获得
RSM的数学通式
• 实验范围：RSM设计的边界可以是球形、 正方体或混合（圆柱体）的；RSM水平 数：可以根据实际情况选择。
第二节 线性模型的RSM设计
• 采用前面已经叙述的2k析因设计或分式析因设 计：试验次数多。
• 单纯形设计：k维空间中有k+1个顶点的等边 图形。由于涉及的数学模型中的参数较少， 故常常可以采用单纯形法设计。
幂
k
次2 3 4 5 6 7
1345678
2 6 10 15 21 28 36
3 10 20 35 56 84 120
常用响应面设计方法
• 如何通过一定的实验设计使获得的试验 结果可以有效地使响应面数学模型近似 真实的设计方法。
• 序贯法：爬山或落底法，分为数步走， 先找出最优区域，然后进一步找出该区 域的响应面曲线，直至优化。
RSM设计的必要性及地位
• 1）优化的需要；2）进行模型方程模拟 的需要；3）为放大工艺、处方时设计 各参数作准备；4）可以描绘效应面。
• 处于第二阶段
效应面模型的获得
• 在一定的范围内可以是线性的： • 但是更多的情况下，特别是在优化区域内，
往往是二次以上的：
• 获得完全真实的数学模型是不可能的，但在 一定的区域内可以获得近似真实。
• 分别按数学模型是线性或二次多项式而 分
常用响应面设计方法
• 必须是可以旋转的：可以保证各方向的精度 • 拟合一阶模型的设计
析因设计 单纯形设计 • 拟合二阶模型的设计 中心复合设计 Box-Behnken设计
RSM设计的策略
• 数学模型的推论：线性模型比二次模型 简单，需要的试验次数少，所以一般可 以先假设为线性，如果出现弯曲再用二 次多项式RSM设计。
40
0
0.6124 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
50
0
0 0.6325 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
60
0
0
0 0.6455 -0.1091 -0.0945 -0.0833
70
0
0
0
0 0.6547 -0.0945 -0.0833
80
0
0
0
0
0 0.6614 -0.0833
90
0
0
0
0
0
0 0.6667
R
0.577 0.6124 0.6325 0.6455 0.6547 0.6614 0.6667
2-8因素单纯形表格的形成及衍生
• Xj列中第j+1行元素取 j/ 2 j(j1)
• Xj列中第1行至第j行元素取- 1/ j 2 j(j1)
-0.707 -0.707 1
0
1
0
0.707 -0.707 0.309 0.951 0.5 0.866
-0.707 0.707 -0.809 0.588 -0.5 0.866
0.707 0.707 -0.809 -0.588 -1 0
0.309 -0.951 -0.5 -0.866
0.5 -0.866
• 大于2因素的等径设计(Equiradial design for more than 2 factors)
一、2因素等径设计
• 按单纯形形状可以分为：三角形Triangle、正方形square、正五 边形pentagon和正六边形hexagon四种。
• 往往采用最小二乘法获得方程，然后进行统 计检验。
RSM的数学模型
• 泰勒展开式：所有的数学关系式均可以 展开
• 线性、二次多项式，三次以上少见 • 线性的极值往往在边界 • 二次可以采用优化技术
线性和二次模型预测的简单方法
• 例：某药物采用胆酸盐和卵磷脂增溶，中心点为胆酸 盐0.1M, 磷脂/胆酸盐的摩尔比例为1。三种设计的图 如下：
No. X1 X2
X3
X4
X5
X6 X7 X8
1 -0.5 -0.289 2 0.5 -0.289
-0.2041 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833 -0.2041 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
3 0 0.577 -0.2041 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
• X1、X2分别可以用下式表示：i=0,...N-1
N是边数
x1 sin 2i / N, x2 cos 2i / N
2因素等径设计
No 三角形 X1 X2
10 1 2 -0.866 -0.5 3 0.866 -0.5 4 5 6
正方形 正五边形 正六边形
X1 X2 X1 X2 X1 X2
二、2因素以上单纯形设计
• 可以选择析因设计或分式析因设计 前j行的xj=-1/[2j*（j+1）]1/2 • 可以采用单纯形设计：试验次数少，k=n-1 j+1行=j/[2j*（j+1）]1/2
• 基于等边三角形的基础上组成（不明白）R=j/[2j*（j+1）]1/2(下
页)j为x的下标【但是否应该为下页的公式？】
y 0
1x1 ...... k xk
11x12
......
k
k
x
2 k
........
12x1x 2 ..... x x k1,k k-1 k
..........
e
p (k d )!/(k!d!)
总系数项数p与方程幂次d和变量数间的关系
多项式系数项数
第六章 响应面设计法
• 第一节 概述 • 第二节 线性模型的RSM实验设计 • 第三节 球面设计和二次模型 • 第四节 均匀设计
第一节 概述
• Response surface method: RSM • RSM的目的：1）建立效应与各个变量
间的数学关系：Y=f(x1,….,xn)+e，其中 期望值记h， h=f(x1,….,xn), 此称为效应 面；2）在试验区域内或近边界附近进 行效应预测；3）继而进行优化。
• 22析因设计 • CCD正方 • CCD球面
ห้องสมุดไป่ตู้学模型
• 线性： y 0 1x1 2x2 e
• 二次多项式：多通过CCD或星点设计获
得： y
0
1x1
2x2
11x12
22
x
2 2
12x1 x 2
e
• 可以通过线性回归或非线性回归获得
RSM的数学通式
• 实验范围：RSM设计的边界可以是球形、 正方体或混合（圆柱体）的；RSM水平 数：可以根据实际情况选择。
第二节 线性模型的RSM设计
• 采用前面已经叙述的2k析因设计或分式析因设 计：试验次数多。
• 单纯形设计：k维空间中有k+1个顶点的等边 图形。由于涉及的数学模型中的参数较少， 故常常可以采用单纯形法设计。
幂
k
次2 3 4 5 6 7
1345678
2 6 10 15 21 28 36
3 10 20 35 56 84 120
常用响应面设计方法
• 如何通过一定的实验设计使获得的试验 结果可以有效地使响应面数学模型近似 真实的设计方法。
• 序贯法：爬山或落底法，分为数步走， 先找出最优区域，然后进一步找出该区 域的响应面曲线，直至优化。
RSM设计的必要性及地位
• 1）优化的需要；2）进行模型方程模拟 的需要；3）为放大工艺、处方时设计 各参数作准备；4）可以描绘效应面。
• 处于第二阶段
效应面模型的获得
• 在一定的范围内可以是线性的： • 但是更多的情况下，特别是在优化区域内，
往往是二次以上的：
• 获得完全真实的数学模型是不可能的，但在 一定的区域内可以获得近似真实。
• 分别按数学模型是线性或二次多项式而 分
常用响应面设计方法
• 必须是可以旋转的：可以保证各方向的精度 • 拟合一阶模型的设计
析因设计 单纯形设计 • 拟合二阶模型的设计 中心复合设计 Box-Behnken设计
RSM设计的策略
• 数学模型的推论：线性模型比二次模型 简单，需要的试验次数少，所以一般可 以先假设为线性，如果出现弯曲再用二 次多项式RSM设计。
40
0
0.6124 -0.1581 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
50
0
0 0.6325 -0.1291 -0.1091 -0.0945 -0.0833
60
0
0
0 0.6455 -0.1091 -0.0945 -0.0833
70
0
0
0
0 0.6547 -0.0945 -0.0833
80
0
0
0
0
0 0.6614 -0.0833
90
0
0
0
0
0
0 0.6667
R
0.577 0.6124 0.6325 0.6455 0.6547 0.6614 0.6667
2-8因素单纯形表格的形成及衍生
• Xj列中第j+1行元素取 j/ 2 j(j1)
• Xj列中第1行至第j行元素取- 1/ j 2 j(j1)
-0.707 -0.707 1
0
1
0
0.707 -0.707 0.309 0.951 0.5 0.866
-0.707 0.707 -0.809 0.588 -0.5 0.866
0.707 0.707 -0.809 -0.588 -1 0
0.309 -0.951 -0.5 -0.866
0.5 -0.866