材料力学能量法第3节 卡式定理
合集下载
材料力学能量法第3节 卡式定理
q 2 M ( x) (l x) M e 2
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M q 2 1 M ( x) (l x) M e M e 2 M ( x) M ( x) Bq M e dx EI M e 1 l q 2 [ ( l x ) M ] ( 1 ) d x e EI 0 2 3 l ql 顺时针转向 Me EI 6 ql 3 顺时针转向 B 令 Me 0 6 EI
2
1 dFi dyi U dFi yi 2
(3)
比较(2)(3)式
1 dFi dyi U dFi yi (3) 2 U ( F1 , F2 , Fn ) yi i 1,2,3,... Fi
U U dFi Fi
(Hale Waihona Puke 2)梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于 在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理， 也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚 诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他 线弹性结构也是适用的。
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 y2 ， ， yn 。 F1， F2 ， ， Fn ，其相应位移分别为 y1， 在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形 能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f ( F1, F2 ,, Fn )
若 Fi
(1) ( 2)
Fi dFi ， 则 U
U U dFi Fi
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序 (1)先施加 dFi ：在施加 dFi 时，其作用点沿 dFi 方向的 1 dF dy 位移为 dyi ，梁的变形能为 i i；
材料力学卡式定理
l
(2)
于是(1)式改写为
y / l
(3)
3
梁内任一点处的比能
u
1 2
E 2
1 2
E 2
l2
y2
(4)
梁的应变能
l
U VudV 0 (AudA)dx
l 1 E 2
( 02
l2
y2dA)dx 1 EI 2
A
2l
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI (2 ) EIθ
(6)
2 lx)
2
dx
1 ( 5PL3 RC L3 ) 0
EI 48
3
RC
5P 16
能量法求解超静定结构，适 用任意荷载作用下、线性或 非线性弹性杆系、刚架或曲 杆等超静定系统。
14
2.求 wB
① 求内力
M
AB ( x)
5P 16
(L
x)
P(0.5L
x)
M BC ( x)
5P 16
Px L EI Px
1 EI
x 0
P(L
x1 ) ( x1
x)dx1
P
x3 [
(L
x)x2
Lx 2 ]
EI 3
2
12
例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。
P 0.5 L
B
A
L
解：1.依 wC 0 求多余反力，
卡氏定理解 ① 取静定基如图 C 超静定结构
② 求内力
M AB ( x) RC (L x) P(0.5L x)
L x1
O
x
w
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1) M BC ( x1) P(L x1)
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
材料力学下册第三章能量法
σ2
σ3
∫ ∫ ∫ Vε =
V vε dV =
( σ ε1 dε )dV
V0
∫ ∫ ∫ Vc =
V vc dV =
( σ1 ε dσ )dV
V0
Mechanics of Materials
三、应变能的计算
F
原理： W = Vε
线弹性体
1. 基本变形形式 F
轴向拉（压）杆
F
Vε
=W
=
1 2
FΔl
Δl = FN l EA
最终值——简单加载。
Clapeyron’s theorem (克拉贝依隆原理)
Vε
=
1 2
FwC
+
1 2
Meθ A
=
F 2l3 96EI
+
M
2 e
l
6EI
+
FMel 2 16EI
wC
=
Fl 3 48EI
+
Mel2 16EI
θA
=
Fl 2 16EI
+
Mel 3EI
Me
F
A
θθAAMF wCF C
wCM
T (x) + dT (x)
FN(x) M(x)
FN(x) ＋dFN(x) M(x) + dM(x)
dx
dVε
=
dW
=
1 2
FN
(
x
)
d
Δ
+
1 T( x)dϕ
2
+
1 2
M(x)dθ
= FN2 ( x)d x + T 2 ( x)d x + M 2 ( x)d x
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
卡氏定理材料力学
2Ma 3EI
（
）
DF FD
CD段:
M (x)
Mx , 2a
M (x) F
x,
MC
CB段: M (x) M ,
M (x) 2a x, a F
2a
C
M
AB段: M (x) 0,
M (x) x, F
a
B
A FAx
（4）带入卡氏定理求解。
Dx
l
M (x) M (x) d x EI F
FAy
2a
MC, 在D截面虚设一水平力F 。 MC
DF
C
（2）取刚架为研究对象， a
受力图如图所示。
M
FD
FAx F
B
a
A FAx
FAy
FD
F
1 2a
(M
MC)
FAy
（3）分段列出弯矩方程及偏导方程。
2a
CD段:
MC
M
( x1 )
[F
1 2a
(M
MC
)]x1
Cx aM 2
x
1
DF FD
M (x1) F
新位移 i 上也做功，系统的总的应变能为
V
Fi
i
1 2
Fi
i
（2）
由（1）＝（2），并忽略二阶小量，得
V Fi
i
V Fi
i
若将结构的应变能表示为载荷F1，F2， ，Fn 的 函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数，等于Fi作用
点沿Fi作用方向的位移 i ,称为卡氏第二定理。
说明 （1）卡氏定理只适用线弹性结构。
i
V Fi
FN (x) FN (x) d x L EA Fi
材料力学卡式定理
M
AB
(x)
P
11 x 3 L 16
M
BC
(x)
P
5( L x ) 16
③ 变形
wB U P
0
M ( x ) M ( x ) EI P
2
dx
L
L
1 EI
0 .5 L
P(
11 x 3 L 16
) dx
0 .5 L
P( ) ( L x ) dx 16 5
荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
用卡氏定理的注意事项
①U——整体结构在外载作用下的线
P1 P2
弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能
等都必须表示为 Pi的函数 ③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
dx M ( x ) M ( x ) EI Pn
L
M n ( x ) M n ( x ) GI
P
L
Pn
dx
L
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x ) xP A xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x ) PA x
(
1 E 2 l
2
2
0
y dA ) dx
2 A
1 EI 2 l
2
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI 2 l ( 2 ) EI θ l
AB
(x)
P
11 x 3 L 16
M
BC
(x)
P
5( L x ) 16
③ 变形
wB U P
0
M ( x ) M ( x ) EI P
2
dx
L
L
1 EI
0 .5 L
P(
11 x 3 L 16
) dx
0 .5 L
P( ) ( L x ) dx 16 5
荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
用卡氏定理的注意事项
①U——整体结构在外载作用下的线
P1 P2
弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能
等都必须表示为 Pi的函数 ③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
dx M ( x ) M ( x ) EI Pn
L
M n ( x ) M n ( x ) GI
P
L
Pn
dx
L
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x ) xP A xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x ) PA x
(
1 E 2 l
2
2
0
y dA ) dx
2 A
1 EI 2 l
2
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI 2 l ( 2 ) EI θ l
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例11-7 如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI， 试用莫尔定理计算自由端 B 截面的挠度 yB和转角B。 解：(1)计算 B 截面挠度 yB
首先在 B 截面处添加一
个力 F，在载荷F和 q 共
同作用下梁的弯矩方程
M
(x)
F
(l
x)
q 2
(l
x)
M F
(l
x)
yBqF
Fi
FN2 (x)dx 2EA
FN (x) FN (x) dx EA Fi
（b2 (x)dx
2GI p
T (x) GI p
T (x) Fi
dx
（c）弯曲
yi
U Fi
Fi
M 2 (x)dx 2EI
M (x) M (x) dx EI Fi
M (x) EI
M (x) F
dx
1 EI
[F (l
x)
q 2
(l
x)][(l
x)]dx
（1）计算 B 截面挠度 yB
yBqF
M (x) EI
M (x) Fi
dx
l3 EI
F 3
ql 8
向下
令 F 0
yB
ql 4 8EI
向下
（2）计算 B 截面转角 B
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 F1，F2 ，，Fn ，其相应位移分别为 y1，y2 ，，yn 。
在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形
能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f (F1, F2 ,, Fn )
(1)
若 Fi
Fi dFi ，则 U
U
U Fi
q 2
(l
x)2
Me ] (1)dx
l EI
ql 3 6
Me
令 Me 0
B
ql3 6EI
顺时针转向 顺时针转向
1 2
dFi
dyi
U
dFi
yi
(3)
yi
U (F1, F2 ,Fn ) Fi
i 1,2,3,...
结 论 梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于
在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理， 也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚 诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他 线弹性结构也是适用的。
同理，在 B 截面处添加
一 共同个作力用偶下M梁e，的在弯M矩e和方程q
M
(
x)
q 2
(l
x)2
M
e
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M
(x)
q 2
(l
x)2
M
e
M M e
1
BqMe
M (x) EI
M (x) M e
dx
1 EI
l
0 [
dFi
(2)
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序
(1)先施加 位移为
ddFyii，：梁在的施变加形dF能i 时为，12其dF作i 用dy点i ；沿
dFi
方向的
(2)再施加 F1，F2 ，，Fn 时，尽管梁上已有了dFi，但是
F1，F2，，Fn的效应并不因此而改变，n 个力所做的
功仍为式(1) 。不过，在施加 F1，F2，，Fn 过程中，
yi
U (F1, F2 , Fn ) Fi
i 1,2,3,...
说明
• 卡氏第二定理只适用于线性弹性体；
• 1Fi 为广义力，yi 为其相应的广义位移。
一个力 一个力偶 一对力 一对力偶
一个线位移 一个角位移 相对线位移 相对角位移
卡式定理的应用
（a）轴向拉伸与压缩
δi
U Fi
在 dFi 的方向（即Fi 的方向）上又发生了位移 yi，常
力 dFi 做功 dFi yi 。故在施加F1 ，F2 ，，Fn 时，总共
做功为 U dFi yi ；
(3)这种加载方式下梁的变形能为
1 2
dFi
dyi
U
dFi
yi
(3)
比较(2)(3)式
U
U Fi
dFi
(2)