麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组
麦克斯韦电磁场理论的基本思想是：相对时间变化的磁 场会激发感生电场，而相对时间变化的电场会激发磁场.根据 这一思想，如果在空间某一区域内有变化的电场(如电荷做加 速运动)，那么在邻近区域内就会产生变化的磁场.这个变化的 磁场又会在较远处产生变化的感生电场.这样产生出来的电场 也是随着时间变化的，它必然要产生新的磁场.这样，在充满 变化的电场空间，同时也充满变化的磁场，两者相互联系、 相互转化.电场和磁场的统一体称为电磁场.前面讨论的静电场 和稳恒磁场都只不过是电磁场的两种特殊表现形式.
麦克斯韦方程组
这样，无论选择S1或S2作为以L为边界的曲面来计算H 的环流都得到相同的确定值，不会出现图10-26所示的矛盾 结果了.
对于任何电路，全电流永远是连续的.对图10-26中由S1 和S2组成的封闭曲面S来说，传导电流I流入S1而等量的位移 电流Id流出S2，所以
（10-24） 式（10- 24）就是全电流连续性方程.
激发磁场，位移电流也激发磁场.虽然两种电流的性质不同，但激发磁
场的性质却完全相同.
引入全电流定律，上述非稳恒电路中的矛盾就得到了解决.穿过图
10-26中以L为边界的曲面S1和S2的电流都应为全电流.在S1处位移电流 几乎为零，只剩下传导电流；而在S2处不存在传导电流，只有位移电 =I全=I
麦克斯韦方程组
图10- 27 电容器充、放电电路
麦克斯韦方程组
由此可见，导线中的传导电流I虽然在电容器极 板间中断了，可以替换它，可以等价地替换传导电 流密度j.若将电流的概念扩大，那么就解决了图1026所示电路中电流的连续性问题.
麦克斯韦提出，就电流的磁效应而言，变化的 电场也应该是一种电流.这种电流密度与电位移矢量 相联系，所以称为位移电流.
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组
二、 全电流定律
引入位移电流的概念后，在电容器极板处中断的传导电流I被位
移电流使电路中的电流保持连续不断.麦克斯韦提出，一般情况下电
流由传导电流和位移电流两部分组成，称为全电流，即
续的.
I全=Ic+Id
(10- 21)
在上述非闭合、非稳恒电流的电路中，全电流Ic+Id是保持连
安培环路定理应修正为
麦克斯韦方程组
通过某曲面的位移电流强度等于通过该曲面的电位移通量对 时间的变化率，即
(10- 19) 位移电流密度为
(10- 20) 位移电流与传导电流在磁效应方面是等价的，但物理含义却 不同.传导电流起源于自由电荷的定向运动，而位移电流与变化的 电场相联系；传导电流一般在导体中存在，而无论在导体、介质 还是真空中，只要有变化的电场就存在位移电流；传导电流通过 导体时有焦耳热产生，而位移电流没有这种热效应.
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三、 麦克斯韦方程组的积分形式
人类对电和磁现象的认识可以追溯到公元前6世纪.但是 两千多年以来，一直处于定性的初级阶段，电磁学形成一门 完整的学科，是在18世纪制作出一些较精密的仪器后，经过 大量科学实践，才总结出库仑定律、安培安律、电磁感应定 律等一系列规律. 又推动了生产力的发展，为技术革新创造 了条件.在这种历史背景下，麦克斯韦在总结前人成就的基 础上，着重从场的观点研究了电磁现象的内在统一性，极富 创见地提出了关于感生电场和位移电流的假说，建立了完整 的宏观电磁场理论.
麦克斯韦方程组
电流(或运动电荷)激发磁场，揭示磁场与电流之间关系 的基本规律是磁介质中的安培环路定理.磁场强度H沿闭合 回路的线积分等于穿过以L为边界的曲面的传导电流的代数 和，即
现在把此式应用于一个含有电容器的回路，如图10-26 所示.设电容器充电过程中某一瞬间的电流为I，其随时间而 变化.在正极板附近，选择一个环绕导线L的回路，作以L为 边界的曲面S1和S2，S2在两极板之间.
极板上传导电流密度的大小为
麦克斯韦方程组
而平行板电容器极板间电场的电位移矢量的大小等于极板 上的电荷面密度，即
D＝σ 则有
10- 17） 再考虑一下方向，由图10-27（a）可以看到，当电容器充 电时，极板上的电荷面密度σ增大，但仍然与极板上的jc同向.所 以，式(10-17)可以写为矢量式
(10- 18)
麦克斯韦方程组
图10- 26 电容器的充电过程
对于曲面S1来说， ∮LH·dl=I
对于曲面S2来说， ∮LH·dl=0
麦克斯韦方程组
由于传导电流不连续造成电容器极板上的电荷面密度随时间变 化，充电时增加，放电时减少，因而两极板间形成变化的电场.
设电容器极板的面积为S，其上的电荷面密度为σ，由于单位时 间内通过导线横截面的电量即是极板上电荷的变化率，因此极板上 的电量随时间的变化率与导线中的电流强度相等，即
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组
一、 位移电流
前面讨论了麦克斯韦关于随时间变化的磁场要在周围空间激发感 生电场的理论，按照对称性的思想，随时间变化的电场也应该在空间 激发磁场.麦克斯韦在研究这个问题的过程中提出了位移电流假说.
既然变化的磁场可以产生电场，那么变化的电场会给我们一些什 么新的启发呢?与变化的电场有联系的，就是电容器的充、放电过程. 下面具体研究平行板电容器的充电过程.利用这一过程不但可以研究变 化的电场，还可以直接把电场与电流联系起来.
麦克斯韦方程组
由静电场与稳恒磁场性质的规律，可知静电场与稳恒磁场分别从 高斯定理和环路定理的角度描述了场的性质.
（1）静电场的高斯定理SD·dS=VρdV=q，说明静电场是有源场.
（2）静电场的环路定理∮LE·dl=0，说明静电场为保守力场、无旋 场、有势场.
（3）磁场的高斯定理SB·dS=0，说明磁场是涡旋场、无源场. （4）安培环路定理∮lH·dl=Ic，说明磁场是非保守场、有旋场.
(10- 22)
或
(10- 23)
麦克斯韦方程组
在式(10- 23)中，S为以L为边界的曲面.此式的物理含义是，H沿
任意闭合回路的环流等于通过此闭合回路所围面积的全电流，称为全
电流安培定律，简称全电流定律.这个定律比安培环路定理更具有普遍
性，它是麦克斯韦方程组中的方程之一.这个规律揭示出不仅传导电流
麦克斯韦方程组解释
麦克斯韦方程组解释
麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程组,描述了电磁场的运动规律和相互作用。
这个方程组由四个方程组成,包括:
1. 电场线方程:高斯定理,即电场中的垂直于电荷分布方向的电场线密度必须相等。
2. 磁场线方程:法拉第电磁感应定律,即当一个闭合电路的一部分与一个磁体相互作用时,磁体周围会出现磁场。
3. 光速方程:洛伦兹变换,即光速在任何参考系中保持不变。
4. 散度方程:麦克斯韦方程,描述了电场和磁场的散度和动量张量之间的关系。
这些方程描述了电磁场的运动规律和相互作用,包括电场、磁场、光速和动量这四个维度的相互作用。
这些方程在很多领域都有广泛应用,如无线通信、光学、电磁场计算等。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。
它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。
它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程中，我们可以推断出光波是电磁波。
麦克斯韦方程和洛伦兹力方程构成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了由20个方程和20个变量组成的原始方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。
它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。
它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
详细介绍
麦克斯韦方程是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场和磁场的四个基本方程。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程
微分形式的方程通常称为麦克斯韦方程。
在麦克斯韦方程组中，电场和磁场是一个整体。
方程组系统而完整地推广了电磁场的基本规律，预测了电磁波的存在。
核心理念
麦克斯韦的旋涡电场和位移电流假说的核心思想是:变化的磁场激发旋涡电场，变化的电场激发旋涡磁场;电场和磁场不是彼此孤立的，而是相互联系，相互激发，形成统一的电磁场(这也是电磁波的形成原理)。
麦克斯韦进一步整合了电场和磁场的所有定律，建立了完整的电磁场理论体系。
电磁理论体系的核心是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组
一.麦克斯韦方程组的积分形式
磁场
静电场 电 场 感生
电场
一般 电场
高斯定理
SBdS0
环路定理
Hdl
L
S(j D t )dS
SD (1)dSS内 q0V dV
D(2)dS0 S
D D (1 )D (2)
SDdSVdV
E(1)dl 0 L
E(2)dl
B dS
L
t
E E (1 )E (B 2)
解：1） E72 si0 1n50 t ,
D7200 si1n5 0t
jD d d D t 7 2 15 0 00 c1 o50 s t (A m -2)
2）作如图r＝0.01m的环路，
由安培环路定理：
L HdlSjDdS
r
L jD
H2rjD r2 Hj2 D r3.6 0150 0co 15 s0 t
变化电场和极化 电荷的微观运动
无焦耳热， 在导体、电介质、真空 中均存在
共同点
都能激发磁场
P334 问题：比较导体、介质中 j0 ,数jD量级
三. 安培环路定理的推广
1. 全电流 I全I0ID
对任何电路，全电流总是连续的
D
(j )dS0
S1S2
t
I S1
S 2
S
L
2 1K
2. 推广的安培环路定理
大家好
1
§ 11.3 位移电流
对称性
随时间变化的磁场 感生电场（涡旋电场） 随时间变化的电场 磁场
麦克斯韦提出又一重要假设：位移电流
一.问题的提出
稳恒磁场的安培环路定理：
Hdl L
I0
（L内）
麦克斯韦方程
D D H J ( H ) ( J )0 t t D D (J ) 0 J 0 J 0 t t t D
• 无源麦克斯韦方程组
H J D t D H t
麦克斯韦方程组的限定形式
在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在 线性、各向同性媒质中：
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得 E H E t H E 麦克斯韦方程组限定形式 t H 0 注：麦克斯韦方程组限定形 ( E ) 式与媒质特性相关。
• 物理意义：
D H J t
• 什么是传导电流？ • 什么是位移电流？
– 表示磁场的“漩涡源”是由传 D 导电流 J 和位移电流 t ； – 由电荷的定向运动形成的电流 – 电场随时间变化形成的“电流” – Maxwell对位移电流的认识
Maxwell 认为：电流由两个部分组成，一部分为传导 电流，另一部分他称之为位移电流 ，即总电流密度：
Faraday电磁感应实验定律表明： 变化的磁场可以产生感应电场，该电场与静 电场都对电荷有力的作用，所不同的是感应 电场沿闭合回路的积分不为零，具有涡旋场 的性质，变化的磁场是其旋涡源。 （变化）磁场 电场
第三项和第四项
B 0
D
第三项指的是不存在独立的磁荷（磁单极子），磁力线 是闭合的（即连续） 第四项指的是存在独立的电荷，无旋电场的电力线是起 于正电荷，止于负电荷 旋度的散度恒 为零 电流连续性原理：
2.
实验表明，各向同性的媒质中，本构关系可以描述为：
、 和 分别称为介电常数、磁导率和媒质的电导率， D E 它们的单位分别为F/m、H/m和S/m; B H 数值与媒质的类型有关, J E 真空中 0 1 109 F / m, 0 4 10 7 H / m 36
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组维基百科，自由的百科全书麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。
它含有的四个方程分别为：电荷是如何产生电场的高斯定理；论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律；电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律，以及变化的磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程共同形成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程，由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
当代使用的数学表达式是由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的。
概论麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的。
它们分别为▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成的。
更详细地说，通过任意闭合表面的电通量与这闭合表面内的电荷之间的关系。
▪高斯磁定律表明，通过任意闭合表面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。
换句话说，类比于电荷的磁荷，又称为磁单极子，实际并不存在于宇宙。
▪法拉第电磁感应定律描述含时磁场怎样生成电场。
许多发电机的运作原理是法拉第电磁感应定律里的电磁感应效应：机械地旋转一块条形磁铁来生成一个含时磁场，紧接着生成一个电场于附近的导线。
▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项目）。
这个定律意味着一个含时磁场可以生成含时电场，而含时电场又可以生成含时磁场。
这样，理论上允许电磁波的存在，传播于空间。
▪一般表述在这段落里，所有方程都采用国际单位制。
若改采其它单位制，经典力学的方程形式不会改变；但是，麦克斯韦方程组的形式会稍微改变，大致形式仍旧相同，只有不同的常数会出现于方程的某些位置。
麦克斯韦方程组的4个方程组
麦克斯韦方程组的4个方程组：麦克斯韦方程组是一套数学方程，可以用于描述物理系统行为而得到簡單的解決方案。
麦克斯韦方程组实际上是一组由腓力波亚斯不变式分解而成的偏微分方程组，其属于常微分方程，即当变量在单个连续的区间中，其导数是连续的时，就可以使用常微分方程来描述物理系统。
麦克斯韦方程组是一个4个方程的系统，下面就分别给出这4个方程组。
1.比热系数估计方程：$$\rho c_V \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla\cdot(\kappa \nabla T) + q_e$$其中，ρ为物质密度，cV为比热容，T为温度，t为时间，Κ为热传导系数，qe为加热来源。
这个方程关系质点温度的变化与时间的变化，也就是说，当物质质点的温度发生变化时，它的一阶导数随着时间的变化而变化。
2.脉冲行为方程：$$\frac{\partial A}{\partial t}+c\frac{\partial A}{\partialx}=0$$这是一个简单的方程，它对应着某种脉冲性的行为。
当某个物质质点的变化和时间的变化满足这个方程式时，它的形成就是一个脉冲式的变化，也就是说，它会一直保持相同的速度，当它运动到一定距离时，它的变化就会停止。
3.热传导方程：$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2T}{\partial x^2}$$这个方程对应着温度在空间上的变化，也就是温差产生在空间之间，其变化是一种二阶导数式的变化，即当某个物质质点温度发生变化的时候，它的二阶导数会随着它的变化而发生变化。
α为热传导系数。
4.动量方程：$$\rho \frac{d\mathbf v}{dt}=-\nabla p+\mathbf f$$这个方程用于研究物体的动力学，换句话说，它可以用于描述物体的加速度和受力的变化与时间的变化。
Ρ为物质密度，∂v/∂t表示加速度，p为静压，f为外力。
麦克斯韦方程组
㈠麦克斯韦方程组描述无源情况下，变化电场与变化磁场之间关系的两个方程分别是t B E ∂-∂=⨯∇/t D H ∂∂=⨯∇/ （4-3-1）如果交变电磁场是时谐场，即电矢量和磁矢量可以写成如下形式：jwt r E t r E )(),(=jwt r H t r H )(),(= （4-3-2）则（4-3-1）式在无源，无损耗和各向同性的非磁介质的情况下可以写成H j E ωμ-=⨯∇E j H ωε=⨯∇ （4-3-3）式中，ε和μ分别是介质的介电常数及磁导率。
20n εε=；n 是介质的折射率；磁导率0μμ≈。
在平面波导中，存在着沿z 方向的一个行波，而在xy 平面内，由于宽度（y 方向）远大于厚度（x 方向），平板波导的光只在一个方向上（x 方向）受到限制，波导的几何结构及折射率沿y 方向是不变的。
因此，相应的光场的电矢量和磁矢量不沿y 方向变化。
上面的),(t r E 和),(t r H 可以分别写成)(),(),(z t j y x E t r E βω-=)(),(),(z t j y x H t r H βω-= (4-3-4)式中β是沿z 方向的传播常数。
将（4-3-4）式的E 与H 代入（4-3-3）式中，并展开运算，注意到0/=∂∂y ，就可以得到电磁场中各分量之间的关系x y H E ωμβ-=y z x H j x E E j ωμβ=∂∂+/z y H j x E ωμ-=∂∂/x y E H ωεβ=z y E j x H ωε=∂∂/ (4-3-5)y z x E j x H H j ωεβ-=∂∂+/以上6个方程，包含了两组独立的方程组，一组含有y E ，x H ，z H ，另一组含有y H ，x E ，z E 。
第一组因为电场只有横向分量，所以称为TE 波，第二组则是磁场只含有横向分量，所以称为TM 波。
根据这些分量的相互关系，只要知道部分分量就可以将其他分量求出。
麦克斯韦方程组详解
麦克斯韦方程组详解
1麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是一组常微分方程，用于描述物体的运动行为。
该方程组的解取决于初始条件，其解可以用来解释物体的速度和加速度，以及所受外力的大小、方向和方向。
该方程组一般由两个方程组成：动量定理和动量法则。
2动量定理
动量定理是一种物理定理，主要用于说明物体质量的变化和受力的关系。
动量定理简要的表达为：物体的动量的变化等于受力的大小×作用时间。
即受力F与时间t的乘积就是物体动量变化的量级。
以此，可以用动量定理来描述物体受力后的运动状态变化。
3动量法则
动量法则是一种物理定理，用于说明物体受到外力时，物体的动量、速度和加速度等变化的规律性。
动量法则简要表达为：物体受外力F时，物体的动量p变化等于外力F和受力时间t的乘积，即Ft。
因此，可以用动量法则来描述物体受力后的变化情况。
4麦克斯韦方程的解
麦克斯韦方程组的解是对于物体的运动情况的描述，主要由动量定理和动量法则组成。
解得麦克斯韦方程组可以得到物体受到外力F 后，物体的动量、速度和加速度等变化情况。
其解又是由物体的初始
条件求得的，通过解麦克斯韦方程组，可以得到物体的运动参数，从而研究物体的运动行为。
麦克斯韦方程组
Idl
dF
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
例 求 如图不规则的平 面载流导线在均匀磁场中所受 的力，已知 B 和 I . 解 取一段电流元 Idl
y
dF
Idl
B
I dF Idl B o dFx dF sin BIdl sin dFy dF cos BIdl cos
0 di 0dr di dq dr , dB 2 2 a b 2r 4r 0 a b 0 ln B dB dr 4 a 4r a
（2）磁矩 m ，dq旋转 产生的磁矩
1 dm r di r 2 dr 2 a b 1 1 2 (a b) 3 a 3 m dm r dr 6 2 a （3）若 a >> b, 求 Bo 及 m 。 若 a>>b , AB 可看成点电荷i 2 q 2 b 1 2 0i 0b 2 a b. B0 , m a i 2 2a 4a
利用安培环路定理求无限长均匀密绕载流直螺线管 的磁场
例 5 有一无限长圆柱形导体和一无限长薄圆筒形导
体，都通有沿轴向均匀分布的电流，它们的磁导率都 为 0, 外半径都为R。今取长为 l，宽为 2R的矩形平面 ABCD 和 A`B`C`D`， AD及A`D` 正好在圆柱的轴线上。 问通过ABCD的磁通量大小是多少？通过A`B`C`D的磁 通量是多少?
（x R ）2 2
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I
B
dB
麦克斯韦方程组
D=εE
B=μH
对于正弦时变场，可以使用复矢量将电磁场定律表示为复数形式。 麦克斯韦方程组复数形式：
▽·������ = −������������������（9） ������ =εE（10） B =μH（11） ������ = ������������ +������′（12）
在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数， 在求解时，不必再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面 采用复数形式的电磁场定律是较为方便的。 麦克斯韦方程组的意义： (一)经典场论是 19 世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学 模型进行类比的基础上创立起来的。 但麦克斯韦的主要功绩恰恰使他能够跳出经 典力学框架的束缚：在物理上以"场"而不是以"力"作为基本的研究对象，在数学 上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。 这两条是发现电磁波方程的基础。 这就是说， 实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是 由于当时的历史条件， 人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁 场理论。 (二) 我们从麦克斯韦方程组的产生，形式，内容和它的历史过程中可以看到： 第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所掌握， 所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的， 一种新的具有认识意义的公理体 系的建立才是科学理论进步的标志。第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不 同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对象的“存在” 。第 三， 我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物 理事实,，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。 (三) 麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美， 这种优美 以现代数学形式得到充分的表达。但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式 才能充分展示经验方法中看不到的整体性(电磁对称性)；另一方面，我们也不应 当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。因此， 我们应当认识到应在数学的表达方式中"发现"或"看出" 了这种对称性， 而不是从 物理数学公式中直接推演出这种本质。