2007年重庆大学校内数学建模竞赛

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A 题．大规模集成电路中模块的定位

将n 个模块置入一个正方形集成电路板C 中，每个模块有几个接线端，这些接线端要与另外的某些模块的接线端连接，或者和C 的周界上的输入/输出（I/O ）端口连接，输入/输出端口的位置是固定的并且已知。可假设C={(x,y) | -1≤x ≤1, -1≤y ≤1}, 我们需要确定这些模块（假设不考虑模块的大小，即将其看作点）在C 中的位置，使连接线路的总长最小。图1给出了一个3个模块，6条连线，4个输入/输出端口的例子。

图1 正方形电路板中的3个模块和6条连线

就以下几种情况建立相应的确定n 个模块位置的数学模型。

1) 用模块间的欧几里得距离l 2作为其连线的长度；

2) 用模块间的曼哈顿距离l 1（直折线距离）作为其连线的长度；

11212l x x y y =-+-

3) 用模块间的修正曼哈顿距离d 作为其连线的长度；

1212()()d h x x h y y =-+-

其中h 为一个分段线性函数，h(z)=max{z,-z, γ}, γ是正常数

h(z) 的函数图如图2所示。

图2 分段函数h(z)

4) 如果用模块间的曼哈顿距离l 1（直折线距离）作为其连线的长度，但不是最小化

总长度，而是最小化最长连线的长度。

另外，为简便起见，考虑一维的情况，即将模块置入区间[-1, 1]. γ取为0.02。在Adata1.txt 中给出了实例1：50个模块，150条连线的数据，Adata2.txt 中给出了实例2：100个模块，300条连线的数据，两个实例中任选一个给出上述四个模型的解，并进行比较。要求

• 分别画出每个解中n 个模块的位置的直方图。

• 分别画出连线长度i j x x -的直方图。

• 计算四个模型得到的解的总长度和最长连线的长度

• 前面均未考虑模块的大小，实际上，我们必须考虑模块间的重叠，假设当模块间的距离小于0.01时，就认为两模块重叠。对四个模型得到的解分别计算其有多少对模块重叠以及占总对数n(n-1)/2的百分比。

进一步，考虑使连线的总长度和模块的重叠数尽可能小的问题。

B 题．银行网点的优化设计

随着我国金融市场的全面开放，金融管制的放松和市场竞争的加剧，银行网点（也包括ATM ，自助银行）设计合理有助于银行节约成本，提升服务价值和竞争力的重要手段之一。银行由大量铺设营业网点到集约化收缩调整营业网点，体现了银行的市场化进程。

银行从经济效益着眼,总是希望在一定的时间内,被服务的顾客数量越大越好,而顾客总是希望在银行业务窗口前不要排队等待,至少队列不能太长,除办理业务之外,停留时间越短越好。既考虑银行的经济效益,又照顾到顾客的接受程度,使网点处于最佳的利用状态,以便寻找银行网点的合理配置。

为了简化，假定每个银行网点都只有3个业务窗口，每个业务窗口都可办理相同业务，要求设置的业务窗口利用率至少在0.56以上,顾客在银行愿意等待的时间在5.0～9.0 分钟之间。顾客办理业务的时间为1. 5～4.5 分钟的均匀分布。顾客相继到达的时间间隔服从指数分布。

请根据给出的数据（见Bdata.xls ），回答以下问题：

1) 求出影响银行网点个数的主要因素，并解释原因。

2) 根据网点设计给出的标准，既考虑到银行的经济效益，又照顾到顾客的接受程度，判断

给出的各区县的网点个数是否合理？

3) 若某地区的银行网点个数不合理，应如何调整？

附1：

1) 银行的服务分为对公，对私和其他服务。通常对私储蓄服务（不包括贵宾服务）才会发

生排长队现象。本题中业务只指对私储蓄服务。

2) 顾客平均到达率指单位时间到达的顾客数λ；平均服务率（即平均服务时间的倒数）指

单位时间服务的顾客数μ。业务窗口利用率μλρ3=，本题为多服务台情形。