函数的基本性质习题
4.函数的基本性质
1.(2016·北京)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝
1
1－x
B.y ＝cos x
C.y ＝ln(x ＋1)
D.y ＝2－x
2.(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ? ????x ＋12＝f ? ????
x －12，则f (6)＝( )
A.－2
B.－1
C.0
D.2
3.(2016·全国Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m
x i ＝( )
A.0
B.m
C.2m
D.4m
4.(2016·北京)函数f (x )＝
x
x －1
(x ≥2)的最大值为________. 5.(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 ，则f ? ?? ?? －52＋f (1)＝________. 6.(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝?????x ＋a ，－1≤x ＜0，??????25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ? ????－52＝f ? ????92，则f (5a )的值是________. 考点1 函数的单调性 1.(2015·湖南)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数 D.偶函数，且在(0，1)上是减函数 2.(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2 C.y ＝2－x D.y ＝log 0.5(x ＋1) 3.(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝x 12 B.f (x )＝x 3 C.f (x )＝? ?? ??12x D.f (x )＝3x 4.(2014·新课标全国Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.(－∞，－1] C.[2，＋∞) D.[1，＋∞) 5.(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________. 6.(2014·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 考点2 函数的奇偶性 7.(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln x D.y ＝x 2＋1 8.(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是() A.y＝x＋e x B.y＝x＋1 x C.y＝2x＋1 2x D.y＝1＋x 2 9.(2015·福建)下列函数为奇函数的是() A.y＝x B.y＝|sin x| C.y＝cos x D.y＝e x－e－x 10.(2015·山东)若函数f(x)＝2x＋1 2x－a 是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为 () A.(－∞，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，＋∞) 11.(2014·重庆)下列函数为偶函数的是() A.f(x)＝x－1 B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝2x－2－x D.f(x)＝2x＋2－x 12.(2014·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 13.(2014·广东)下列函数为奇函数的是() A.y ＝2x －1 2x B.y ＝x 3sin x C.y ＝2cos x ＋1 D.y ＝x 2＋2x 14.(2014·大纲全国)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1 15.(2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 16.(2014·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若?x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A.??????－16，16 B.?????? －66，66 C.???? ??－13，13 D.?????? －33 ，33 17.(2014·湖南)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 考点3 函数性质的综合应用 18.(2015·浙江)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A.f (sin 2x )＝sin x B.f (sin 2x )＝x 2＋x C.f (x 2＋1)＝|x ＋1| D.f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 19.(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2 ，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.? ?? ??13，1 B.? ? ???－∞，13∪(1，＋∞) C.? ?? ??－13，13 D.? ????－∞，－13∪? ?? ??13，＋∞ 20.(2014·湖南)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A.f (x )＝1x 2 B.f (x )＝x 2＋1 C.f (x )＝x 3 D.f (x )＝2－x 21.(2014·四川)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1).现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ? ???? 2x 1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |. 其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①② 22.(2014·湖南)已知函数f (x )＝x 2＋e x －1 2(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.? ????－∞，1e B.(－∞，e) C.? ?? ?? －1e ，e D.? ? ???－e ，1e 23.(2014·新课标全国Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 1.(2015·广东惠州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，1)上单调递减的函数为( ) A.y ＝1x B.y ＝lg x C.y ＝cos x D.y ＝x 2 2.(2015·山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln(x 2＋1－x ) C.y ＝e x D.y ＝ln x 2＋1 3.(2015·山东日照模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 3 5)的值为( ) A.4 B.－4 C.6 D.－6 4.(2016·湖北七校联考)已知函数f (x )＝???? ????12x ，x ≥4，f （x ＋2），x <4，则f (3)的值为________. 5.(2016·辽宁沈阳模拟)下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( ) A.y ＝2x B.y ＝2|x | C.y ＝2x －2－x D.y ＝2x ＋2－x 6.(2015·山东潍坊模拟)若函数f (x )＝?????lg x （x >0），x ＋??0a 3t 2d t （x≤0），若f(f (1))＝1，则a ＝ ________. 7.(2016·芜湖马鞍山一模)已知f(x)是R 上的奇函数，f (1)＝1，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 015)＋f (2 016)＝________. 8.(2015·辽宁沈阳模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ≤－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1 D.2 012 9.(2016·重庆模拟)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x 3 ＋3x 2 B.y ＝e x ＋e －x 2 C.y ＝x sin x D.y ＝log 2 3－x 3＋x 10.(2015·山东德州模拟)下列函数中，与函数y ＝??? e x ，x ≥0， ? ?? ??1e x ，x <0的奇偶性相同，且在 (－∞，0)上单调性也相同的是( ) A.y ＝－1 x B.y ＝x 2＋2 C.y ＝x 3－3 D.y ＝log 1 e |x | 11.(2016·湖北孝感期末)已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数f (x ＋8)为偶函数，则( ) A.f (6)>f (7) B.f (6)>f (9) C.f (7)>f (9) D.f (7)>f (10) 12.(2016·湖南雅礼中学模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 1 2a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________. 13.(2015·广东揭阳模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)、f (x －1)都是奇函数，则( ) A.f (x )是奇函数 B.f (x )是偶函数 C.f (x ＋5)是偶函数 D.f (x ＋7)是奇函数 14.(2016·云南昆明七校联考)已知函数f (x )＝x － 1 x ＋1 ，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0，1]，存在x 2∈[1，3]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________. 15.(2016·广东汕头模拟)已知函数①f 1(x )＝lg （1－x 2）|x 2－2|－2 ；②f 2(x )＝(x －1)· x ＋1 x －1 ；③f 3(x )＝log a (x ＋x 2 ＋1)，(a >0，a ≠1)；④f 4(x )＝x ·? ????12x －1＋12，(x ≠0)，下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是( ) A.都是偶函数 B.一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数 C.一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数 D.一个奇函数，三个偶函数 16.(2016·河南八市模拟)如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点.设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2，3]上单调递减；④??02f (x )d x ＝π＋1 2.其中判断正确的序号是________. 17.(2015·山东菏泽模拟)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意x ∈R ，都有f (x ＋1)＝ 1 f （x ） ；②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，且x 1 32，f (2)，f (3)从小到大 排列是________. 18.(2016·江西赣中南五校模拟)有下列4个命题： ①若函数f (x )定义域为R ，则g (x )＝f (x )－f (－x )是奇函数；②若函数f (x )是定义在 R 上的奇函数，?x ∈R ，f (x )＋f (2－x )＝0，则f (x )图象关于x ＝1对称；③已知x 1和x 2是函数定义域内的两个值(x 1 其中，正确命题是________(把所有正确结论的序号都填上). 19.(2015·杭州七校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |. (1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1； (2)若函数f (x ) 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)若a <1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 20.(2015·四川乐山模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≥0时， f (x )＝? ????12x －x ＋1. (1)求f (－1)的值； (2)设f (x )的值域为A ，函数g (x )＝－x 2＋（a －1）x ＋a 的定义域为B .若B ?A ，求实数a 的取值范围. 4.函数的基本性质 【三年高考真题演练】 [2016年高考真题] 1.D [y ＝ 1 1－x 与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上为增函数； y ＝cos x 在区间(－1，1)上不是单调函数；y ＝2－x ＝? ?? ??12x 在(－1，1)上单调递减.] 2.D [当x >12时，f ? ????x ＋12＝f ? ?? ?? x －12，即f (x )＝f (x ＋1)， ∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1， f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.] 3.B [由题f (x )＝f (2－x )关于x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于x ＝1对称，因此根据图象的特征可得∑i ＝1m x i ＝m ，故选B.] 4.2 [f (x )＝ x x －1＝1＋1x －1 ，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减，则f (x )最大值为f (2)＝2 2－1 ＝2.] 5.－2 [首先，f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)； 而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )， 所以：f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0， 又f ? ????－52＝f ? ????－12＝－f ? ????12，f ? ???? 12＝412＝2， 故f ? ????－52＝－2，从而f ? ?? ??－52＋f (1)＝－2.] 6.－25 [由已知f ? ????－52＝f ? ????－52＋2＝f ? ???? －12＝－12＋a ， f ? ????92＝f ? ????92－4＝f ? ????12＝??????25－12＝1 10. 又∵f ? ????－52＝f ? ???? 92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－2 5.] [两年经典高考真题] 1.A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x ) 为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ? ? ? ??－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.] 2.A [显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数；y ＝(x －1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y ＝2－x ＝? ?? ??12x 在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1， ＋∞)上是减函数.故选A.] 3.D [根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y ).又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确.] 4.D [因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1 x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1 x 在区间(1，＋∞)上恒成立.因为x ＞1，所以0＜1 x ＜1，所以k ≥1.故选D.] 5.? ???? －22，0 [由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即? ??f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22 7.A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点.] 8.A [令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.] 9.D [由奇函数定义易知y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.] 10.C [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(1－a )(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋1 2x －1＞3，化简得(2x －2)(2x －1)＜0， ∴1＜2x ＜2，∴0＜x ＜1.] 11.D [函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数，故选D.] 12.C 13.A 14.D 15.C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.] 16.B [由题意得，若a ＝0，f (x )＝x ，显然成立； 若a ≠0，当x ≥0时，f (x )＝???x －3a 2，x >2a 2， －a 2，a 2 作出x ≥0的图象，利用f (x )是奇函数 作出整个定义域上的图象如图： 而f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位得到的，要满足对任意实数x ，都有f (x －1)≤f (x )，至少应向右平移6a 2个单位，所以6a 2≤1，解得－66≤a ≤66，且a ≠0. 综上，实数a 的取值范围是?????? －66 ，66.] 17.－32 [由题意得f (－x )＝ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln 1＋e 3x e 3x －ax ＝ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)－(3＋a )x ，而f (x )为偶函数，因此f (－x )＝f (x )，即ax ＝－(3＋a )x ，所以a ＝－3 2.] 18.D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π 2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)， 而|x 1＋1|≠|x 2＋1|， ∴C 不对，故选D.] 19.A [由f (x )＝ln(1＋|x |)－1 1＋x 2 ，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|). 当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－ 11＋x 2，得f ′(x )＝11＋x ＋2x （1＋x 2）2＞0，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得1 3＜x ＜1，故选A.] 20.A [由偶函数的定义知，A ，B 为偶函数.A 选项，f ′(x )＝－2 x 3在(－∞，0)恒大于0；B 选项，f ′(x )＝2x 在(－∞，0)恒小于0.故选A.] 21.A [f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故①正确；因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝ln 1＋x 1－x ，又当x ∈(－1，1)时，2x 1＋x 2∈(－1，1)，所以f ? ?? ?? 2x 1＋x 2＝ln 1＋ 2x 1＋x 21－ 2x 1＋x 2＝ln ? ????1＋x 1－x 2 ＝2ln 1＋x 1－x ＝2f (x )，故②正确；当x ∈[0，1)时，|f (x )|≥2|x |?f (x )－2x ≥0， 令g (x )＝f (x )－2x ＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x (x ∈[0，1))，因为g ′(x )＝ 11＋x ＋1 1－x －2＝2x 21－x 2>0，所以g (x )在区间[0，1)上单调递增，g (x )＝f (x )－2x ≥g (0)＝0，即f (x )≥2x ，又f (x )与y ＝2x 都为奇函数，所以|f (x )|≥2|x |成立，故③正确，故选A.] 22.B [由题意可得，当x >0时，y ＝f (－x )与y ＝g (x )的图象有交点，即g (x )＝f (－x )有正解，即x 2＋ln(x ＋a )＝(－x )2＋e －x －12有正解，即e －x －ln(x ＋a )－1 2＝0有正 解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－1 2，则F′(x)＝－e －x－ 1 x＋a <0，故函数F(x)＝e－x－ln(x ＋a)－1 2在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数 x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－1 2≥0，所以a≤ee－x－ 1 2－x，又y＝ee－x－ 1 2－x 在(0，＋∞)上单调递减，所以a 2－0＝e 1 2，选B.] 23.3[因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.] 【两年模拟试题精练】 1.C[首先y＝cos x是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)?(0，π)，故y＝cos x 满足条件.故选C.] 2.D[y＝sin x与y＝ln(x2＋1－x)都是奇函数，y＝e x为非奇非偶函数，y＝ ln x2＋1为偶函数，故选D.] 3.B[由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝1＋m＝0?m＝－1，f(－log3 5)＝－f(log3 5)＝－(3log3 5－1)＝－4，选B.] 4.1 32[f(3)＝f(5)＝? ? ? ? ?1 2 5 ＝ 1 32.] 5.C[A虽为增函数却是非奇非偶函数，B、D是偶函数，对于选项C，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在共定义域内是增函数(或y′＝2x ln 2＋2－x ln 2>0)，故选C.] 6.1[∵f(f(1))＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.] 7.－1[因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.在f(x＋6)＝f(x)＋f(3)中，令x＝－3得f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)?f(3)＝－f(3)＋f(3)＝0，知对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)成立，所以奇函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(2 015)＋f(2 016)＝f(6×336－1)＋f(6×336)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－1.] 8.B [f (x )为周期为6的周期函数，且f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1， 则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335＝338，故选B.] 9.D [依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数.对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e － x 2不是奇函数.对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π 2时，y ＝π 2，因此函数y ＝x sin x 不是奇函数.对于选项D ，由3－x 3＋x >0得－3 即函数y ＝log 2 3－x 3＋x 的定义域是(－3，3)，该数集是关于原点对称的集合， 且log 23－（－x ）3＋（－x ）＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即有log 23－（－x ）3＋（－x ）＝－log 23－x 3＋x ，因 此函数y ＝log 2 3－x 3＋x 是奇函数.综上所述，选D.] 10.B [因为函数y ＝??? e x ，x ≥0， ? ?? ??1e x ，x <0为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，故选B.] 11.D [∵f (x ＋8)为偶函数，∴f (x ＋8)＝f (－x ＋8)，即y ＝f (x )关于直线x ＝8对称.又∵f (x )在(8，＋∞)上为减函数，∴f (x )在(－∞，8)上为增函数.由f (2＋8)＝f (－2＋8)，即f (10)＝f (6)，又由6<7<8，则有f (6) 12，2 [∵f (x )为偶函数，∴f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，代入f (log 2a )＋f (log 1 2a )≤2f (1)得f (log 2a )≤f (1)，又∵f (x )为增函数，∴|log 2a |≤1，解得1 2≤a ≤2.] 13.D 14.[5，＋∞) [依题意得，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x － 1 x ＋1 单调递增，f (x )的最小值是f (0)＝－1，则要求存在x ∈[1，3]，关于x 的不等式x 2－2ax ＋4≤－1，即a ≥1 2? ???? x ＋5x 有解，所以a ≥??????12? ????x ＋5x min .注意到当x ∈[1，3]时， 12? ????x ＋5x ≥x · 5 x ＝5， 当且仅当x ＝5x ，即x ＝5∈[1，3]时取等号，此时?????? 12? ????x ＋5x min ＝5，所以a ≥5，则实数a 的取值范围是[5，＋∞).] 15.C [①f 1(x )定义域为(－1，0)∪(0，1)，对?x ∈(－1，0)∪(0，1)，f 1(－x )＝lg[1－（－x ）2]|（－x ）2－2|－2＝lg （1－x 2） |x 2－2|－2 ＝f 1(x )，故f 1(x )为偶函数.②f 2(x )定义域为[－1，1)， 故非奇非偶函数.③f 3(x )定义域为R ，对?x ∈R ，f 3(－x )＝log a (－x ＋（－x ）2＋1)＝log a (x 2 ＋1－x )＝log a （x 2＋1－x ）（x 2＋1＋x ）x 2＋1＋x ＝log a 1x 2＋1＋x ＝－ f 3(x )，∴f 3(x )为奇函数.④f 4(x )＝x ·? ????1 2x －1＋12＝（2x ＋1）x 2（2x －1）.f 4(x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对?x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f 4(－x )＝（2－x ＋1）（－x ） 2（2－x －1）＝ －（1＋2x ）x 2（1－2x ）＝（2x ＋1）x 2（2x －1）＝f 4 (x )，故为偶函数，故选C.] 16.①②④ [从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，且在区间[2，3]上随x 增大，图象是往上的，所以①②正确，③错误；又函数图象与直线x ＝0，x ＝2，x 轴围成的图形由一个半径为2、圆心角为π4的扇形，一个半径为1、圆心角为π 2的扇形和一个直角边长为1的等腰直角三角形组成，其面积S ＝18×π×2＋14×π＋12＝π＋1 2，④正确.] 17.f (3) 32 的周期为2. ②中因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移 一个单位即可得y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称. 根据③可知函数f (x )在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f (x )在[1，2]上为增函数.因为f (3)＝f (2＋1)＝f (1)，在区间[1，2]上，1<32<2，所以f (1) 2) ?? 32 18.①④ [对于①，g (x )的定义域为R ，则g (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，故①正确；对于②，取满足条件的函数f (x )＝sin πx ，令πx ＝π2＋k π，得其对称轴为x ＝1 2＋k (k ∈Z )，不包括直线x ＝1，故②错误；对于③，由函数单调性的定义，可知③错误；对于④，由条件，得f (－x )＝－f (x )①，f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)②，又由①f [－(x ＋2)]＝－f (x ＋2)③，结合②与③得f (－x ＋2)＝f (－x －2)?f (x －2)＝f (x ＋2)?f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )是以4为周期的周期函数，故④正确，综上，真命题的序号是①④.] 19.解 (1)当a ＝－1时，有f (x )＝???2x 2－1，x ≥－1， 1，x <－1， 当x ≥－1时，2x 2－1＝1，解得：x ＝1或x ＝－1， 当x <－1时，f (x )＝1恒成立， ∴方程的解集为：{x |x ≤－1或x ＝1}. (2)f (x )＝???2x 2－（a ＋1）x ＋a ，x ≥a ， （a ＋1）x －a ，x 若f (x )在R 上单调递增，则有?????a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得：a ≥13. (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)， 则g (x )＝? ??2x 2－（a ＋3）x ＋a ＋3，x ≥a ， （a －1）x －a ＋3，x 即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立 ∵a <1，