8.3等差数列

例 2. 已 知 数 列 an 的 首 项 a1 3 , 通 项 an 与 前 n 项 和 S n 之 间 满 足 2an S n S n1 (n 2)
1 (1)求证: 是等差数列,并求公差; Sn (2)求数列 an 的通项公式;
(3)数列 an 中是否存在正整数 k,使得不等式 ak ak 1 对任意不小于 k 的正整数 都成立?若存在,求出最小的 k,若不存在,请说明理由
4、Sn的最值问题
a n 0 1、若a1>0，d<0时，满足 a n 1 0 an 0 2、若a1<0，d>0时，满足 a n 1 0
二 次 函 数
考点1
关于定义
1.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和
c 为15，偶数项之和为30，则其公差为_____
A.5 B.4 C. 3 D. 2
B
（A）40
（B）42
（C）43
（D）45
练习
已知等差数列 an 中，a7 +a 9 =16,
15 a 4 1,则a12的值是_______
考点3 关于公式 an am (n m ) d
等差数列 an 中，a15 10，
30 a60 40，则a45 __, ap+q =0
研究性问题
1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4 n=72
2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?
3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积为12，求此三数.
6，4，2或2，4，6
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)
【解题回顾】 本题若用通项公式将各项转化成a1、d关 系后再求，也是可行的，但运算量较大.
Sn 7n+2 4.等差数列 {an}, {bn} 中, 前 n 项和分别为 Sn, Sn, 且 S = n+4 , n a5 求 . b5 解: ∵{an}, {bn} 是等差数列, ∴它们的前 n 项和是关于 n 的二次函数, 且常数项为 0, ∴可设 Sn=kn(7n+2), Sn =kn(n+4), ∴a5=S5-S4=65k, b5=S5-S4 =13k. a5 65k ∴ b = 13k =5. 5 a1+a9 a1+a9 9 S a5 2 2 79+2 = 65 =5. 9 或 b = b +b = b +b = S = 9+4 13 1 9 9 1 9 9 5 2 2
例 2. 已 知 数 列 an 的 首 项 a1 3 , 通 项 an 与 前 n 项 和 S n 之 间 满 足 2an S n S n1 (n 2)
1 (1)求证: 是等差数列,并求公差; Sn (2)求数列 an 的通项公式;
(3)数列 an 中是否存在正整数 k,使得不等式 ak ak 1 对任意不小于 k 的正整数 都成立?若存在,求出最小的 k,若不存在,请说明理由
提示1:
2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)
2. 在等差数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35
提示： d=an+1—an= - 4
3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q
练习
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a4=18-a5 ，则S8 等 于（ D ） A.18 B.36 C.54 D.72
2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，
求a3+a13的值. ( -4)
3.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前 6项的和S6为( B )
(1）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8 (2)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，
求a14及公差d.
(3)a2 + a5 + a8 = 9, a3a5 a7 = - 21, 求an
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
4、前n项和公式
Sn n(a1 an ) n( n 1) d d 2 d na1 n ( a1 )n 2 2 2 2
二、等差数列的性质
在等差数列 n }中, 设其公差为 , 首项是a1 , 则有 {a d
an am 1、an am ( n m )d及 其 变 形 公 式 d : (n m ) nm
精彩例题 【例 1】等差数列 an 中,已知 a3 , a8 是方程
x 7 x 11 0 的两个根,求 a5 a6 的值.
2
变式： 两个数列 x, a1 , a2 , a3 , y 与 x, b1 , b2 , y 都成等差数列，
a2 a1 且 x y ，则 = b2 b1
解得 110A B 1
练 习
S110 110 A 110B 110(110A B) 110
2
100A 10B 100 则 10000A 100B 10
(a11 a100 ) 90 90 a11 a100 2 解法三： S100 S10 2 110(a1 a110 ) (a11 a100 ) 110 S110 110 2 2
已知an 为等差数列,前 10 项的和为 S10 100, 前 100 项的和 S100 10 , 求前 110 项的和 S110 .
S110
解法二: an 为等差数列,故可设 S n An2 Bn ,
1 110 a1 110 109 d 110 2
n( a 1 a n ) 由S n 390, 得n 13 2
例 2. 已 知 数 列 an 的 首 项 a1 3 , 通 项 an 与 前 n 项 和 S n 之 间 满 足 2an S n S n1 (n 2)
1 (1)求证: 是等差数列,并求公差; Sn (2)求数列 an 的通项公式;
4. 在等差数列{an}中, a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？
40
11 1 a1 50 10a1 2 10 9d 100 解法一:设 an 的首项为 a1 ,公差 d ,则 解得 : 1 1099 100a1 100 99d 10 d 2 100
∴由 a1+a2=2pa2 知: (2p-1)a2=a1=0. ∵a2a1, ∴a20, ∴p= 1. 2 (2)证: 由已知 Sn= 1 nan, a1=0. 2 当 n≥3 时, an=Sn-Sn-1= 1 nan- 1 (n-1)an-1, 2 2 an-1 n-2 an n-1 a3 2 ∴ an-1 = n-2 . 则 an-2 = n-3 , …, a = 1 . 2 an ∴ a2 =n-1. ∴an=(n-1)a2. ∴an-an-1=a2. 故数列 {an} 是以 a1 为首项, a2 为公差的等差数列.
(3)通项法: an a1 (n 1)d (4)前n项和法: S n An2 Bn 2．知三求二( a1 , d , n, an , S n ),要求选用公式要恰当 3．设元技巧: 三数: a d , a, a d 四数: a 3d , a d , a d , a 3d
108 ak ak 1 0 (3k 2)(3k 5)(3k 8) (3) 2 5 8 k 或k ,当k 3时, 有ak ak 1 3 3 3 所求最小 k=3.
【例 2】等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 已知 a10=30，a20 =50. （1）求通项{an}； （2）若 Sn=242，求 n.
例3.数列 {an} 的前 n 项和为 Sn=npan(nN*), 且 a1a2, (1)求 常数 p 的值; (2)证明数列 {an} 是等差数列. (1)解: 当 n=1 时, a1=pa1, 若 p=1, 则当 n=2 时有 a1+a2=2pa2=2a2. ∴a1=a2 与 a1a2 矛盾. ∴p1. ∴a1=0.
高三数学一轮复习课件
一、概念与公式
1、定义
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这 个常数称为等差数列的公差,公差通常用字母d表示．
2、递推公式
an an1 d 2an an1 an1
3、通项公式
an a1 (n 1)d
(3)数列 an 中是否存在正整数 k,使得不等式 ak ak 1 对任意不小于 k 的正整数 都成立?若存在,求出最小的 k,若不存在,请说明理由
解:(1)
a n S n S n1 1 1 1 1 1 当 n 2时, 2S n 2S n1 S n S n1 ,而 , S n S n1 2 S1 3 2a n S n S n1 1 1 1 是首项为 , d 的等差数列 . 3 2 Sn
补 充 例 题
(2)若一个等差数列前 3 项和为 34,后 3 项和为 146,且所有项的和为 390, 求这个数列项数.
解: a1 a2 a3 34, 又an an1 an2 146,