线性系统理论作业
《线性系统理论基础》第三章作业及答案
第三章作业及答案3.1 判断下列系统的能控性和能观测性。
2） []x y u x x 111,100041020122-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=解：2C 012000101Q bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，2c rankQ n =<∴ 系统是状态不完全能控的2111101121o c Q cA cA -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，o 2rankQ n =<∴ 系统是状态不完全能观测的。
3.2 判断下列系统的能控性和能观测性。
1） []x y u x x 101,101300040002=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2） x y u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01011000,1110000130000200001000113） []x y u x x 101,110200020012=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=4） x y u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=610321,029331100050005解：由系统能控和能观测性判据：1）A 为对角标准型，且对角元素互不相同，B 阵有全零元素的行，所以系统是不完全能控；C 阵中有全零元素的列，故系统是不完全能观测的。
2）1100100100000001A B C=0020011010000311⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 为约旦标准型，且各约旦块对角元素不相同，第一个约旦块最后一行对应到B 阵中的相应行为全零元素行，所以系统是不完全能控的；而各约旦块第一列对应到C 阵无全零元素列，所以系统是完全能观测的。
3）A =210020002⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ B =011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C =[]101A 为约旦标准型，但两个约旦块元素相同，课本上给出的由标准型判定系统能控、能观测的定理不再适用，因此要采用能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵来判断。
线性系统理论大作业2
摘要：本文主要讨论线性系统解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。
这一关系从两个方面来说明，第一部分讲述系统解集几何结构与特征值和特征向量之间的关系，通过Matlab 仿真例子说明这一关系；第二部分分别讲述特征值和特征向量与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系，并讲述了能观性，能控性以及稳定性的定义和判据，通过以约旦标准型为例来讲述相同特征值和不同特征值情况下的能观性，能控性，最后在Simulink中仿真一定特征值条件下系统的稳定性。
从以上两个方面来说明解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。
>1. 零输入响应解集与特征值和特征向量之间的关系线性定常系统状态方程x Ax Buy Cx Du=+⎧⎨=+⎩，0(0),0x x t =≥的解为()00()(),0t At A t x t e x e Bu d t τττ-=+≥⎰。
为了研究线性定常系统状态方程解集的几何结构与线性系统的特征之间的关系，将系统简化，只考虑系统为零输入的状态响应，即x Axy Cx=⎧⎨=⎩，0(0),0x x t =≥的解为0()At x t e x =。
所有的零输入状态响应组成了一个线性空间，且该线性空间中有n 个独立的元素，它们的线性组合决定了所有零输入响应。
所以可以通过选择一组线性独立的初始条件得到一组零输入响应集中的基底。
下面先考虑最简单的零输入状态响应集的基底。
若12,,...n λλλ是A 的两两互异的特征值，且12,,...n v v v 是相应的单位特征向量，即,1,2,...i i i Av v i n λ==。
选0,1,2,...i x v i n ==，则0()(...)......i At At i2233i 2233i i i i 2233i i i i i i i t i x t e x e v 11I +At +A t +A t +v 2!3!11v Av t A v t A v t 2!3!11v v t v t v t 2!3!e v λλλλ====++++=++++=-所以取01122...n n x v v v ααα=+++时，相应的零输入响应为121122()...n t t t n nx t e v e v e v λλλααα=+++由此可以看出线性定常系统的零输入响应解集的几何结构可以由系统矩阵A 的特征值和特征向量来表征。
华电线性系统理论大作业
而前文已经得出导轨的动能 Tw ，因此两式相加得系统的动能 T 为：
2 2 2 2 1 x T Tb Tw m x x2 a Ib I w a 2 R
是导轨相对于水平线的倾斜角。
图 1.球杆系统简图
2.2 拉格朗日法建模
为了对球杆系统进行研究， 我们先对其进行建模， 一般来说， 这种球杆系统， 运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便，拉格朗日方程如下：
d T T V R U t dt q q ' q ' q
v v' w r
其中 v ' 是小球相对于导轨的线速度，其数值等于 x ，负号是指方向与规定 的正方向相反， 指的是导轨的角速度，即 a ，r 是小球的质心在坐标系中的位 置向量，计算式如下：
R x 0 x x a v 0 0 R xa a 0 0 0
其中 T 为系统的动能，包括小球的转动的动能，导轨转动的动能等，V 为系 统的势能， 包括重力势能弹性势能等等， 能量耗散函数为 R ，q
q1 , q2 ....qk
T
1
为广义坐标向量，其中 k 代表系统的自由度，即完全描述系统运动特性需要的坐 标数目，关于自由度在下文会具体分析， u 为作用于系统的外力。 以下为各个变量所表示的物理意义，M：导轨的质量，g：重力加速度 r：小 球的半径 I b ：球的惯性力矩， I w ：杆的惯性力矩，x：球的相对横坐标，y：球 的相对纵坐标， ：小球相对于导轨的转角，a：导轨与水平线的夹角，球杆系 统受力分析如下：
(完整word版)《线性系统理论》试卷及答案
R C 2《线性系统理论》试卷及答案1、（20分）如图所示RLC 网络,若e(t ）为系统输入变量r （t)，电阻R 2两端的电压为输出量y(t),选定状态变量为 x 1（t)=v 1（t ），x 2(t ）=v 2(t)，x 3（t)=i （t)要求列写出系统的状态空间描述。
2、(15分)求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。
y （4)+4y （3）+3y （2）+7y （1）+3y=u (3）+ 2u （1）+ 3u3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。
[]210X 13101X y -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=4、(10分）分析下列系统的能控性.0111X X u a b •⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦5、（10分）分析下列系统的能观性。
[]1110a X X y Xb •⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦6、（15分)判断下列系统的原点平衡状态x e 是否大范围渐近稳定。
12221123x x x x x x==--7、（15分）已知系统的状态方程为221012000401X X u •--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦试确定一个状态反馈阵K,使闭环极点配置为λ1*=—2、λ2*=-3、λ3*=—4.答案：1、（20分）如图所示RLC 网络，若e （t ）为系统输入变量r （t ）,电阻R 2两端的电压为输出量y （t ），选定状态变量为 x 1(t)=v 1（t)，x 2(t ）=v 2（t ）,x 3（t)=i （t ）要求列写出系统的状态空间描述。
2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。
列出向量表示形式解出解出解出r x x x L R x x x rx LR x x x xx x C R x x x C xC x r x R x L L LL⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=-=+=+==++1321113211311132122222112211333113000xy x xLy （4）+4y (3）+3y （2)+7y (1）+3y=u （3）+ 2u （1)+ 3u[]得出了状态空间表达式列出向量表示形式，就求导，有选取状态变量令有令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----=========⎩⎨⎧++==++++++++=++++++===43211025233375y ~y ~x y ~x y ~...y ~x y ~x y ~3y ~2y ~y ~3y ~7y ~3y ~4y ~u 3734p 1y ~3734p 32p y d/dtp 4214321(4)43(2)22(1)1(3)4(1)21(1)(3)(1)(2)(3)(4)2342343x x x x x x x y u x x x x x x x x y u p p p u p p p p(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案3、(15分）计算下列线性系统的传递函数.[]Xy u X 10103112X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=[][][]计算得出传递函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=----1021131)3)(2(110)()(21131)3)(2(13112)()()(1010311210103112X 1111s s s s B A Is C s G s s s s s s A Is BA Is C s G CB A Xy u X(完整word 版)《线性系统理论》试卷及答案4、（10分）分析下列系统的能控性。
线性系统理论 仿真作业(倒立摆模型)
线性系统理论课后设计报告一、题目倒立摆模型如下：xAx Bu y Cx =+=01000000.490500.51000,,0001000100020.60101A B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦当(0)0.1,(0)=0,(0)=0,z(0)=0θθ=z 1、 求系统输出响应2、 要求输出在6s 内达到稳定，如何处理？二、解答1、系统输出响应根据题中状态方程，取状态变量：1=, 2=z, 3,4=x x x x θθ=z ，根据题中给出的倒立摆模型，我们可以在matlab 中建立空间状态模型并得出零输入状态响应输出，matlab 代码如下：仿真结果如下：注：蓝色曲线代表z(t)，绿色曲线代表θ(t)由上图可知，从图中可以看到，系统输出响应曲线发散，输出不稳定。
2、要求输出在6s内达到稳定，如何处理？第一步：由于系统输出响应发散，所以该系统中有特征根中在极平面右半平面，一般都需要进行极点配置。
所以首先我们需要判断系统是否完全可控。
代码如下：结果n=4，即秩为4，系统是完全可控的，可以使用线性状态反馈法配置零极点。
第二步：极点配置，即选取期望极点并进行极点配置校正，本例中将阻尼比设置为0.707时可以去期望极点为：P=（-2-2j，-2+2j，-10-j，-10+j）；根据期望极点可以在matlab中计算出增益矩阵K，具体代码如下：得出增益矩阵K为：第三步：将状态反馈极点配置后的闭环系统在matlab中建立描述模型，并将输出响应表示成曲线，代码如下：校正后的仿真曲线如下：其中蓝色曲线为z(t)，绿色为θ(t)，在2.8s时系统即可进入稳定状态，完全满足6s内稳定的性能指标。
线性系统控制理论作业精简版
X 和模态矩阵 M。
4、求
2 0 A= 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
的特征值λ，特征向量 X 和模态矩阵 M。
5、将二次型 Q(Z)= 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 化为标准型。 6、将 Q= X
T
AX X 1
X2
2 5 X 1 8 X 3 2 11 2 X 2 5 2 8 X3
= 8 X 12 11X 22 8 X 32 4 X 1 X 2 10 X 1 X 3 4 X 2 X 3 化为标准型。 7、用求矩阵秩的程序，验证题 1、2
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4、用叠加法对下图电路列状态方程。
第七、八章 习题 1、已知状态方程的系数矩阵 A(t)＝ 2、求离散系统状态方程齐次解
t 1 （级数取三项即可） ，求 (t ,0) 。 1 t
X 1 ( K 1) 1 5 1 X 1 ( K ) 2 , 其中X (0) 。 1 X 2 ( K 1) 12 1 5 X 2 ( K )
第九章 习题 1、一连续系统中 A= 和可观测性。 2、判断下图电路的能控性和能观性。
2 5 1 ，B= ，C= 1 4 0 1
1 ，试判断该系统的可控性
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第十一章 习题 1、已知 X X ，用李氏第一方法和二次型法确定其稳定性。 1 1 2、用 LYAPUNOV 两种方法判断下面系统在原点的稳定性。已知系统方程 为：
4.求
2 X 1 X 2 3X 3 2
X1 2X 2 X 3 1
华工线性系统作业
图 3.2 未改进的 LQR 控制输出 从图3.2可以看出，此时系统输出响应的鲁棒性很好，但是响应过程太慢， 且存在较大的稳态误差，所以需要进一步调整Q, R值来是动态响应性能更优。经 过反复调整Q, R的取值可以发现，当Q取值比较小、R取值比较大时，系统的响应 时间很长，而当逐渐调大Q值，或者调小R值时，系统的响应时间迅速变小，到 达稳态所需时间也变小，而且系统的过渡过程没有超调，一直比较平稳。但系统 的稳态误差一直比较大，很难满足要求。所以为了减小稳态误差，这里在反馈环 中引入一个比例环节K p ，其比例系数可以根据跟踪节约输入的需要进行调整。 修改后的结构图如图3.3所示。
图 3.1 LQR 控制器反馈系统结构图 图中 r 为给定信号，u 为控制信号，Y 为输出信号，A、B、C 分别是状态矩 阵、输入矩阵、输出矩阵，在∆1 = ∆2 = 0时，它们分别为 0 1 0 0 ������ = 0 0 1 、������ = 0 、������ = 20000 0 0 0 −30000 −60 1 K 为通过 LQR 算法算得的反馈增益阵，下面编程具体求 K。 3.3.3 仿真及结果分析 根据LQR方法编写Matlab程序，进行仿真分析，其中lqr()函数的调用格式 如下 ������, ������, ������ = ������������������(������, ������, ������, ������) 式中，K是返回的状态反馈矩阵，P为黎卡提代数方程（3-9）的解，E闭环 系统零极点。这里方便起见，先令Q = diag 1 1 1 1 ，R = 1。在仿真时，先使 用∆1 = ∆2 = 0时的状态空间对象，逐步调整Q、R，根据其输出响应曲线，求出使 系统动态响应性能最优的参数。然后，在要求范围内改变∆1 、∆2 的值，考查参数 不确定性对闭环系统的影响。 （1）∆1 = ∆2 = 0的情况 此时易知系统的模型是确定的，可以直接输入相关参数编程仿真，需要注 意的是Q、R的选取。当Q = diag 1 1 1 ，R = 1时，系统的输出响应如图3.2所 示。 3.1
第一篇线性系统理论习题答案
9－7 设有三维状态方程
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
1 s + s +1 s 2 s + s +1
2
0
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡0 ⎤ s 2 + 2 s 1⎥ = 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ s −1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ s − 1⎥ ⎦
⎡ R M ⎤ ⎡ R −1 ∵⎢ ⎥×⎢ ⎣0 T ⎦ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎡ R −1 ⎥=⎢ T− ⎦ ⎣ 0
⎡R M ⎤ ∴⎢ ⎥ ⎣0 T ⎦
9－10 解
−1
⎡ R −1 =⎢ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎥ T −1 ⎦
−1
对可控标准形 A 和 b ，计算 ( sI − A) b
+
v2
& 2 = x1 + y = x1 − C 2 x
写成矩阵形式为
1 1 x2 + U R2 R2
图 9－1 RLC 网络
⎡ R1 − & x ⎡ 1 ⎤ ⎢ L1 ⎢x ⎥=⎢ ⎣ &2 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ x ⎡ ⎤ ⎢ L ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥U − 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ R2 C 2 ⎥ ⎦ ⎣ R2 C 2 ⎥ ⎦
x1 ， x 2 有下列关系存在 x1 = x1 + x 2 x 2 = − x1 − 2 x 2
试求系统在 x 坐标中的状态方程。 解 ①
&1 = x & = x2 x &2 = & & = −2 x1 − 3 x 2 + u x x
《线性系统理论》作业参考答案6
可控可观，
>
5-9(2) 解：由题得系统的传递函数为
2 G (s) 0 s 3 1 1 0 2 1 0 1 s 1 0 1 s 1
1
0 1 0
2 0 s 5s 2 2 0 ( s s 1)( s 3 ) 2s 3 1 2 s s 1
注：本题也可以按照课本上介绍的方法做，答案不唯一。
注：本题也可以按照书上提供的第一种方法做。
-82 -40.5 128 62
( s5
2 2
d1 1 1 0 d2 1 1 0 经计算得 ， E lim sG 1 ( s ) 1 1 E 2 lim sG 2 ( s ) 2 s 1 s
1 1 3 x 2 1 3 1 3 v 。 1 3
2 1 1 u Kx Hv E Fx E v 4
注：这只是其中一种方法，不唯一。 （3）在第二问的基础上做，由于 等于-1，-2， -3，即可配置。 5-11 本题中，系统有耦合，p+q -1=2+2-1=3<n=4，故不能用静态反馈来配置系统极点，本题 只能用设计动 态输出反 馈补偿器的 方法， 设 计一个一 维的动态输 出反馈补 偿器，使得 p+q+2l-1=5>4 式成立。对此五维系统，可增设一个需要配置的极点（如 -5 或-6）用待定系数 法解 K 的各参数。以上只是大体思路，本题计算繁琐且 K 阵不唯一。 ，故只需令以上三个根
1 1 E 为非奇异阵，所以系统可以用反馈解耦。 2 1
1
C1 A d 1 1 6 F d 2 1 C A 2 0
《线性系统理论》作业参考答案
x 11 e t x 21 , 21 0 , x
x11 ( t 0 ) 1 x 21 ( t 0 ) 0
，
x 12 e t x 22 , 22 0 , x
x12 ( t 0 ) 0 x 22 ( t 0 ) 1
解得
x12 e t e t 0 x11 1 ， x 21 0 x 21 1 1 (t ) x 0 e
( sI A )
1
s ( s 1) 0 2 det( sI A ) s ( s 1) 0 adj ( sI A ) 1
s 1 ( s 1) 0
2
s ( s 1) 1 s ( s 1) 1 s 1 1
2
所以 e
。
可以看出， f ( i ) 是 f ( A ) 的一个特征值。
1-3 解：(1) 特征多项式为 1 ( ) ( 1 ) .
4
验证
A 1 I 0 , ( A 1 I ) 2 0 , ( A 1 I ) 3 0 , ( A 1 I ) 4 0
At
e t 1 1 L [( sI A ) ] 0 0
e 1 1 0
t
t t 1 e te t e 1 。 t e
1-5 证明：因为 D 1 存在，所以由 D R p p
A det C B IA det D 0 BD A I D C
c
k 0
k
A
k
设 x 是属于 i 的一个非零特征向量，故
A x i x
.
2 2 因此 A x A Ax A i x i Ax i i x i x .
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一、现代控制理论与经典控制理论的差别：
研究方法不同：经典控制理论主要以传递函数为基础，研究线性系统的稳定性、时间域和频率域中系统的运动特性、控制系统的设计原理和校正方法。
现代控制理论主要以状态空间为基础，在时间域中分析系统的动态行性能和稳定性。
研究对象不同：经典控制理论的研究对象是单输入、单输出的自动控制系统，特别是线性定常系统。
现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。
研究工具不同：经典控制采用的是拉普拉斯变换，现代控制是线性代数矩阵
设计方法不同：经典控制PID控制和校正网络，现代控制状态反馈和输出反馈
其他：经典控制理论频率法的物理意义直观，实用，难实现最优控制，现代控制理论易于实现实时控制和最优控制。
二、经典控制理论主要研究：
经典控制理论是自动控制理论中建立在频率响应法和根轨迹法基础上的一个分支，他的研究对象是单输入、单输出的自动控制系统，特别是线性定常系统。
经典控制理论的特点是以输入输出特性（主要是传递函数）为系统数学模型，采用频率响应法和根轨迹法这些图解分析方法，分析系统性能和设计控制装置。
经典控制理论主要研究系统运动的稳定性、时间域和频率域中系统的运动特性、控制系统的设计原理和校正方法。
三、为什么用传递函数来描述问题：
在经典控制理论中所研究的问题一般都是线性系统，而现行系统在时域中的描述为输入与输出变量各阶微分的线性相加。
用传递函数来描述问题不仅降低个输入输出变量的阶数，简化了计算，而且将所研究问题每一个部分或整个系统的输入变量与输出变量之间的关系，而不必考虑问题内部结构之间的关系。
四、系统的描述方法有哪些：
1.控制系统的微分方程
这种方法比较直观，特别是借助于计算机，可以迅速而准确地求得结果。
但是，如果系统结构形式改变，便需要重新列写并求解微分方程，因此不便于对系统进行分析和设计。
2.传递函数
传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
3.动态结构图
结构图既补充了原理图所缺少的变量间的定量关系，又避免了抽象的纯数学描述；既把复杂原理图的绘制简化为方框图绘制，又能直观了解每个元部件对系统性能的影响，可以对系统特性进行全面的描述
4.原理图
一种物理的、原始的系统原理描述方框图，是理想元件(如电阻、电容等)的连接图或文字说明方框图等
5.信号流程图
信号流图符号简单，便于绘制和运用。
但是，信号流图只适用于线性系统，而结构图也可用于非线性系统。