第26讲 巧解竞技数学问题
七年级数学上册《竞赛得分问题》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.理解并掌握竞赛得分问题的计算方法和解题策略。
2.能够运用方程、不等式等数学工具解决实际问题，建立数学模型。
3.培养学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力。
4.提高学生的团队合作意识和竞争意识。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用情境教学法，以生活中的竞赛为例，引入竞赛得分问题，激发学生学习兴趣。
七年级数学上册《竞赛得分问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解竞赛得分问题的基本概念，掌握竞赛得分规则及计算方法。
2.学会运用基本的算术运算解决竞赛得分问题，提高运算速度和准确性。
3.能够根据实际问题建立数学模型，运用方程、不等式等方法解决竞赛得分问题。
4.掌握分析问题的方法，培养逻辑思维能力和解决问题的策略。
5.能够运用所学的知识与技能，解决生活中的竞赛得分问题，提高数学应用能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重以下过程与方法：
1.创设情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与竞赛得分问题的探究。
2.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现、提出问题，培养问题意识。
3.通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
-通过示例，展示如何运用方程、不等式等方法解决竞赛得分问题。
-结合实际案例，讲解数学建模的过程和方法。
2.教学实施：
-教师以篮球比赛为例，讲解得分规则和计算方法。
-学生跟随教师思路，学习如何建立数学模型，解决竞赛得分问题。
-教师通过示例，逐步引导学生掌握解题策略。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-新课内容：讲解竞赛得分规则，引导学生掌握计算方法和解题策略。
2023年初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全配版四边形的趣味问题
第十章四边形旳趣味问题第一节四边形旳分类与鉴定【知识点拨】1.四边形旳性质: 四边形旳内角和等于3600。
2、四边形旳旳分类: （1）对边平行；（2）对边不平行。
本节研究是对边不平行旳四边形。
没用措施是转化为三角形进行研究。
【赛题精选】例2.如图: 求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F旳度数。
（1999年重庆市竞赛题）【阐明】探索存在型问题是指在一定条件下, 判断与否存在某个结论。
解答此类问题, 先假设结论存在, 从假设出发, 根据题设条件及有关性质进行推理论证, 若推出矛盾, 则不定假设, 若推出合理旳成果, 则阐明假设对旳。
这种措施叫“假设法”。
【阐明】对于四边形, 作对角是常用旳辅助线！【针对训练】第二节平行四边形旳问题【知识点拨】1.平行四边形性质: 对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。
2.矩形性质: 矩形除具有平行四边形旳性质外, 还具有对角线相等、四个角是直角。
3、菱形性质：除具有平行四边形旳性质外, 尚有四条边相等、对角线互相垂直、且每一条对角线平分一组对角。
4、平行四边形问题旳处理措施:（1）转化为三角形问题来处理；（2）常用平行四边形旳性质来处理。
【赛题精选】例2.凸四边形ABCD中, AB∥CD, 且AB＋BC＝CD＋AD求证: ABCD是平行四边形。
（1990年芜湖市竞赛题）例3.平面上有三个正△ABD.△ACE、△BCF, 两两共有一种顶点。
求证: CD与EF互相平分。
（1990年芜湖市竞赛题）例4.在Rt△ABC中, ∠ACB＝900, CD⊥AB于D, AE平分∠BAC, 交CD于K, 交BC 于E、, F是BE上一点, 且BF＝CE。
求证: FK∥AB。
（大连市第八届“育英杯”竞赛题）例6.矩形ABCD中, AB＝20cm, BC＝10cm, 若在AC.AB上各取一点M、N, 使BM＋MN旳值最小, 求这个最小值。
（1998年北京市竞赛题）例7、设P为等腰三角形ABC斜边AB上任意一点, PE⊥AC于点E, PF⊥BC于点F, PG⊥EF于G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD＝PC。
怎样解函数竞赛题
怎样解函数竞赛题
湛飞福
【期刊名称】《初中生》
【年(卷),期】2002(000)036
【摘要】@@ 函数是数学中的重要概念,也是数学竞赛的重要内容.在数学竞赛中,常见的函数有一次函数、二次函数、正比例函数和反比例函数.要正确解答函数相关的竞赛题,必须熟练掌握这些函数的概念,具备较强的数形转化能力和计算能力.现以竞赛题为例,说明这类问题的解法.
【总页数】4页(P24-27)
【作者】湛飞福
【作者单位】无
【正文语种】中文
【相关文献】
1.函数单调性助解高中数学竞赛题
2.巧用构造函数解竞赛题
3.用求多元函数最值的一般方法解一道竞赛题
4.利用函数的单调性简解两道竞赛题
5.巧用反比例函数的性质解竞赛题
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2020高中 数学竞赛—基础微积分(联赛版) 26常微分方程课件(共35张PPT)
dy dy dt dy 1 dx dt dx dt x
d2y dx2
d dx
( dy dt
1) x
d2y dt2
1 x2
dy dt
1 x2
2020/4/23
24
x dy dy dx dt
x2
d2y dx2
d2y dt2
dy dt
代入欧拉方程，得
a(
d2 dt
y
2
dy) b dy cy dt dt
则 y*'( x) Q( x)erx rQ( x)erx y*''( x) Q( x)erx 2rQ( x)erx r 2Q( x)erx
代入方程, 约 去 公 因 子erx, 并 整 理 得 到
Q( x) (2r a)Q( x)
(r 2 ar b)Q( x) Pm ( x) ()
设
y( x) xke x[Qm(1) ( x) cos x Qm(2) sin x]
其 中 m max(l, n)
k
0, 1，
i不 是 特 征 根 i是 特 征 根
2020/4/23
23
二、欧拉方程
欧拉方程是一种变系数方程
ax2
d2y
dy
dx2 bx dx
cy
f (x)
作变量代换 令 x et ( x 0) 或t ln x
利用初始条件，求出特解
x(t)
et
( x0
at
cos
t
v0
x0
sin
t)
e 2m A sin( t ) 衰减振动
2020/4/23 以上均属于自由振动,即无外力！ 31
强迫振动 (有外力)
人教版九年级数学下册竞赛专题26 分而治之.doc
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】专题26 分而治之——分类讨论阅读与思考在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法．运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类．正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行．初中数学分类讨论问题的常见形式有：1．一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；2．题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；3．一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；4．一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；5．对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论．例题与求解【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．（北京市宣武区中考试题）解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．【例2】解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对x的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①x≤－3；②－3＜x≤2；③x＞2．【例3】若关于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有___________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确．【例4】如图，已知△ABC 中，AB =5，BC =3，AC =4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上（与点A ，C 不重合），Q 在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形P ABQ 的面积相等时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长． （福州市中考试题）解题思路：对于(3)，使△PQM 为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ 为直角边，二是以PQ 为斜边．【例5】证明：每个大于6的自然数n 都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．【例6】设a 和b 是相异实数，证明：存在整数m 和n ，使得0>+bn am ，0<+an bm ． （加拿大中学生竞赛试题）解题思路：a ，b 为相异实数，则必有a －b >0或a －b <0两种情况．能力训练1．已知a +b =－8，ab =8，化简b abaa b= ． （内江市中考试题） 2．已知实数a ，b 满足以a 2－7a +2=0，a 2－7b +2=0，则b aa b+的值为 ． （淮阴市中考试题）3．在△ABC 中过A 作△ABC 的高，垂足为D ．若∠BAD =55°，∠CAD =25°，则∠BAC = ． 4．在平面直角坐标系内，已知点A (2，2)，B （2，－3），点P 在y 轴上，且△APB 为直角三角形，5．平面上A，B两点到直线l的距离分别是2－3与2+3，则线段中点C到直线l的距离是．6．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆圆周上的一点，且OC2=AC·BC，则∠CAB= ．（全国初中数学联赛试题）7．如图，在两直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2．当AB= 时，这两个直角三角形相似．AB E第7题图第10题图第11题图8．已知方程m2x2－(2m－3)x+1=0的两个实数根的倒数和是S，则S的取值范围是．（天津市中考试题）9．关于x的方程x2+4mx+ 4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中，至少有一个方程有实数根，则m 的取值范围是( )A．－32＜m＜－14B．m≤－32或m≥－14C．－14＜m＜21D．m≤－32或m≥21（四川省选拔赛试题）10．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为( )A．3个B．6个C．7个D．9个（武汉市四月调考试题）11．如图，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的点，使以F，A，D为顶点的三角形和以F，B，E为顶点的三角形相似，则这样的点F有( ) （绍兴市竞赛试题）A．1个B．2个C．3个D．4个12．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：①若x2=a2，则x=a．②方程2x(x－1)=x－1的解为x=0．③若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边长为 5 ．其中答题完全正确的题目个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个（重庆市中考试题）13．在半径为5cm 的圆内有长为53 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )A ．60°或120°B ．30°或120°C ．60°D ．120°14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB =7，AD =2，BC =3．如果边AB 上的点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个O B ADBCAD第14题图 第15题图15．如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2+(2m －1)x +m 2+3=0的根，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．5或－3 C ．5 D ．－5或3（吉林省中考试题） 16．已知：关于x 的函数()()4112322+++++=x a x a a y 的图象与x 轴总有交点，求a 的取值范围．（十堰市中考试题）17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数xky =（x >0，k ≠0）的图象经过线段BC 的中点D ． (1) 求k 的值； (2) 若点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动（不与点D 重合），过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形COPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围．y xDOB CA18．已知△ABC 中，BC =6 cm ，CA =8 cm ，∠C =90°，动点P 从点C 出发，以每秒1 cm 的速度沿CA ，AB 运动到B 点．(1)设P 从C 开始运动的距离为x cm ，△BCP 的面积为y cm 2，把y 表示成x 的函数；(2)从C 出发几秒时，S △BCP =14S △ABC ? （荆州市中考试题）19．如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点O ，以直线O 1O 2为x 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，直线AB 切⊙O 1于点B ，切⊙O 2于点A ，交y 轴于点C (0，2)，交x 轴于点M ；BO 的延长线交⊙O 2于点D ，且OB ：OD =1：3．(1) 求⊙O 2的半径长； (2) 求直线AB 的解析式；(3) 在直线AB 上是否存在点P ，使△MO 2P 与△MOB 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．（吉林省中考试题）yxCMAOO 1O 2BD20．已知抛物线l 1：y =ax 2－2amx +am 2+2m +1(a >0，m >0)的顶点为A ，抛物线l 2的顶点B 在y 轴上，且抛物线l 1和抛物线l 2关于点P (1，3)成中心对称．(1) 当a =1时，求l 2的解析式和m 的值；(2) 设l 2与x 轴正半轴的交点是C ，当△ABC 为等腰三角形时，求a 的值．（浙江省竞赛试题）21．已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数，”试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．（全国初中数学联赛试题）22．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明：(1) 2a，2b都是整数；(2) a，b，c都是整数，并且c是平方数．反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2+bx+c的值都是平方数？（全国初中数学竞赛试题）23．2 007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，…，P2007．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若不能，请说明理由，、（浙江省竞赛试题）24．甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2人，甲队最少，丙队最多．同一球队的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场．统计员作了记录：参加比赛的共有13人，进行的比赛共有54场．求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由．（江苏省竞赛试题）中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
高中数学竞赛辅导课件(十一)-探索法(二)
6
cos )2
≥
1 8
8
由此想到解析几何知识来求解,转化为
点 (3 2sin cos , a sin a cos ) 到直线 y x 的距离的平
方大于 1 ,故原不等式可化为 3 2sin cos a sin a cos ≥ 1 ,
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2024/11/15
思考二:用数解形 几何问题用坐标法是典型的用数解形的例子,
1,
3 2
2,
△ABC 中 , C 90 ,B 30 , AC 2 , M 是 AB 的 中 点 , 将
△A─ACBMCM沿的C体M积折等起于,_使__A2_、__B_.2两点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥 4.(2004 年 IMO 中国国家队3集训选拔赛题)设XOY 90 , P 为
所以这种例子是举不胜举的.这里我们来品味一道 平面几何问题. 例 4 .(2004 年全国高中数学竞赛题)在锐角△ABC 中, AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H ,以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点, FG 与 AH 相交于点 K ,已知 BC 25, BD 20 , BE 7 , 求 AK 的长.
2024/11/15
例3
例 3(1996 年全国高中数学联赛题)
求实数
a
的取值范围,使得对于任意
0,
2
,
恒有 ( x 3 2sin cos )2 ( x a sin a cos )2 ≥ 1
分析:令 y x ,
则
x y 0
x (3
2 sin
a
cos
≥
)2
7
六年级奥数第26讲：最值应用题问题
最值应用问题生产和生活中有许多最值问题，需要我们结合实际，灵活地选择方法进行解答。
常用解题方法有：①逆推，②列表，③比较等。
例1、有10位小朋友，其中任意5人的平均身高不小于1.5米，那么，其中身高小于1.5米的小貊了多有几人？做一做：有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？例2、5个空瓶可以换一瓶汽水。
某班同学共喝了161瓶汽水，其中有些是用喝完的汽水瓶换来的，那么，他们至少要买多少瓶汽水？做一做：5个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了120瓶汽水，那么，他们至少要买多少瓶汽水？例3、某县农机厂金工车间共有77个工人。
已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个，或乙种部件4个，或丙种部件3个。
每个甲种部件、1个乙种部件和9个丙种部件恰好配成一套。
问：分别安排多少个工人加工甲、乙、丙三种部件时，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？做一做：车过河交渡费3元，马过河交渡费2元，人过河交渡费1元。
某天过河的车、马数目的比为2：9，马、人数目的比为3：7，共收得渡费945元。
问：这天渡河的车、马、人的数目各是多少？例4、小朋友们排成一行，从左面第一人开始，每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始，每隔绝人发一个橘子，结果有10人小朋友苹果和橘子都拿到了。
那么，这些小朋友最多有多少人？做一做：有2008个小朋友排成一排，王老师从左面第一人开始发一张卡片，然后每隔2人发一张卡片；李老师从右面第一人开始发一朵红花，然后向左每隔4人发一朵红花。
问：有多少个小朋友卡片和红花都拿到了？例5、某金工工厂生产铁箱子，箱子是由一个铁框和两块铁板做成的。
这次任务由老李和小张承担，他们的技术情况不同，老李每小时生产9个铁框，或生产12块铁板；小张只能生产铁板，每小时生产10块。
现要生产63个箱子，问：至少要用多少小时？做一做：完成一套零件需要一个大零件和三个小零件组成。
新机床每小时加工8个大零件，或加工12个小零件；旧机床只能加工小零件，每小时加工10个。
初中数学竞赛精品标准教程及练习26选择题解法
初中数学竞赛精品标准教程及练习26选择题解法数学竞赛是学生在学习数学知识的基础上，通过不同形式的竞赛进行实践和应用的一种活动。
对于初中生而言，参加数学竞赛不仅可以加深对数学知识的理解和应用能力，还可以培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
在初中数学竞赛中，选择题是比较常见的题型。
本文将针对初中数学竞赛中的选择题给出一种解题思路和方法，希望对初中生参加数学竞赛有所帮助。
首先，解题思路是非常重要的。
在解题过程中，要根据题目的要求和给定的条件，进行逻辑推理和思考。
同时，要扎实掌握基础的数学知识，如代数、几何和概率等，以便能够灵活运用到解题中去。
其次，解题方法需要灵活运用。
在选择题的解题过程中，可以运用到许多数学技巧和方法。
如等式变形法、逆向思维法、代入法、排除法等。
在解题时，可以灵活选择不同的方法来解决问题，以便达到最快、最准确的解题效果。
接下来，需要进行练习和巩固。
解题是需要实践和巩固的过程。
通过大量的练习，可以熟悉不同类型的题目，掌握解题技巧，提高解题速度和准确性。
在解题过程中，可以结合教材、习题册以及相关竞赛试题进行练习。
最后，需要进行总结和反思。
在解题过程中，会遇到一些难题和困惑。
在解题结束后，可以进行总结和反思，找出解题中的问题和不足之处，以便改正和提高。
同时，要保持对数学竞赛的热情和兴趣，坚持不懈地进行学习和练习。
综上所述，通过解题思路和方法的学习，以及大量的练习和总结，能够帮助初中生提高数学竞赛的成绩和能力。
希望对初中生在数学竞赛中取得好成绩有所帮助。
福州市数学奥林匹克竞赛解题方法大全
福州市数学奥林匹克竞赛解题方法大全数学奥林匹克竞赛是一项针对中小学生的竞赛活动，旨在培养学生的数学思维能力、发展数学创造力和解决问题的能力。
在福州市的数学奥林匹克竞赛中，学生们需要展示他们的数学才能，并在一系列复杂的问题中找到解题的方法。
下面将介绍一些在福州市数学奥林匹克竞赛中常用的解题方法：1.简化问题：在解决问题之前，要先理解问题的关键，确定所给条件、所求或者要证明的结论，并对问题进行逐步简化。
可以通过等价转化或者引入适当的变量等方式将问题转化为更简单的形式，从而降低解题难度。
2.利用数学工具：在解题过程中，充分运用各种数学知识和工具。
例如，可以使用代数、几何、组合数学等相关知识，结合计数原理、概率、不等式等方法，来解决具体的问题。
3.创造性思维：数学奥林匹克竞赛注重培养学生的创造性思维能力。
要善于发现规律、找到问题的特殊性质，从而使用一些独特的方法解决问题。
有时候，需要一些灵感和直觉，以及一定的数学洞察力。
4.构造反证法：反证法是一种常用的证明方法，也可以用来解决问题。
设想所要解决的问题不成立，从而推导出一个矛盾的结论，进而排除这种情况。
通过反证法，可以推断出满足条件的唯一解或者结论的正确性。
5.分析条件和限制：解决数学竞赛问题时，不能仅仅是按照题目的要求机械地套用公式或方法。
学生们应该深入分析问题的条件和限制，理解其背后的数学原理，并根据这些限制条件提出解题思路。
6.逆向思维：有时候，在解决数学竞赛问题时，很难直接从已知信息出发找到解题方案，这时可以考虑逆向思维。
即从所求结果出发，逆向推导出一些可能的条件或者结论，从而找到解题的线索。
7.综合运用：在解决问题时，往往需要综合运用多个不同的数学知识点和解题技巧，或者将不同的方法进行组合，以达到解决问题的目的。
在福州市的数学奥林匹克竞赛中，能够灵活地综合运用各种方法是非常重要的。
总之，福州市数学奥林匹克竞赛解题方法包括简化问题、利用数学工具、创造性思维、构造反证法、分析条件和限制、逆向思维以及综合运用等。
小学数学奥数基础教程(六年级)30讲全
1小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
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第26讲巧解竞技数学问题
【例1】A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两位都要比赛一局，到现在为止，A已经赛了4局，B赛了3局，C塞了2局，D赛了1局，问：此时E同学赛了几局？
【模仿】A、B、C、D四支足球队进行足球比赛，每两个球队都要比赛一场，如果A队二胜一负，B 队二胜一平，C队一胜二负，那么D队的成绩是几胜几负几平？
【例2】A、B、C、D、E五人进行了分胜负的乒乓球单循环比赛，结果是：
①A胜3场；②E胜1场；③B、C、D各胜2场，且他们三人中有1人胜了其他两人；
④除B外，其他四人之间均有胜有负；⑤C胜E
他们五人之间的胜负关系是：A胜（）、B胜（）、C胜（）、D胜（）、E胜（）
【模仿】有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，共需比赛几场？全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一，C队第二名，D队第三名，则C队最多得多少分？（胜一场得2分，平得1分，负得0分）
【例3】有A、B、C、D、E共五人进行乒乓球循环比赛，即每两人都要赛一场，规定胜者得2分，负者不得分。
现在，A、B并列第一，D比C的名次高，每个人都至少胜一局（注意在有两个并列第一时就不再有第二名，下一个名次规定为第三名）。
求每人胜的局数及得分。
【模仿】A、B、C、D、E共五人参加乒乓球比赛，每两人都要赛一局，并且只赛一局，规定胜者得2分，负者不得分。
现在，A、E并列第一，B是第三名，C与D并列第四名。
求B的得分？
【例4】甲、乙、丙、丁四人进行八项体育比赛，每项比赛第一、第二、第三、第四名依次得5，3，2，1分。
赛后统计发现，四人总分各不相同，并且丁总分最少，他们每一个人都得三种名次，但是甲无第一名，乙无第二名，丙无第三名，丁无第四名。
问总分最高的人是谁？他得了多少分？
【模仿】八名选手进行象棋循环赛，每两人赛一场，共赛28场。
规定胜一场得2分，平局各得1分，负者得0分.已知，每一位选手所得到的总分各不相同，并且第二名总分等于后面四名总分之和，问第四名总分至少是多少？
【例5】在一次射击训练中，甲、乙、丙三位战士各打了四发子弹，全部中吧，命中情况如下：（1）每人四发子弹命中的环数各不相同；（2）每人四发子弹所命中的总环数均为17环；
（3）乙有两发命中的环数分别与甲的两发一样，乙另两发命中的环数与丙的两发一样；
（4）甲与丙只有一发环数相同；（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
求：甲与丙命中的相同环数是多少环？
【模仿】甲乙丙三名运动员囊括了全部比赛的前三名，他们的总分分别是，8分、7分和17分，甲得了一个第一名。
已知各个比赛项目分数相同，且第一名的得分不低于第二名、第三名得分的总和，那么，比赛共有多少个项目？甲的每项得分分别是多少？
【例6】一场足球比赛有A、B、C、D四队参加，每两队都赛一场。
按规则，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。
比赛结果：B队得了5分，C队得了3分，A队得了1分。
所有场次共进了9个球，B队进球最多，共进了4个球；C队共失了3个球；D队一个球也没有进。
A队与C队的比分是2:3。
问，A队于B队的比分是多少？
【例7】六个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场。
如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。
现在比赛已经进行了四轮（每队都已经与四个队比赛过），其中四场球赛踢成平局，并且各队四轮的得分之和互不相通。
已知总分居第三位的队共得7分。
求：居第五位的队最多踢了几场平局？
【模仿】四名棋手每两名选手都要比赛一局，规则规定，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，比赛结果没有人全获胜，且每人的总分都不相同，那么，最多有多少局平局，
温故知新
A级
1、德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球比赛，每一队和另外两队各赛一场。
现知道：
（1）意大利队进球数是0，并且有一场打成了平局；
（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且它恰好胜了一场。
按照规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么德国队得了多少分？
2、10名选手参加象棋比赛，每两名选手之间都要比赛一盘。
记分办法是，胜一盘得1分，平一盘得0.5分，负一盘得0分。
比赛结果是选手们所得到的分数各不相同，第一名和第二名一盘都没输，前两名的总分比第三名多10分，第四名与最后四名得分总和相等。
问，第三名得了多少分？
3、某班学生在运动会上进入前三名的有10人次。
已知获得第一名可得9分，获第二名可得5分，获第三名可得2分，其他名次不记分，该班总共得了61分，问，其中获第一名的最多有几人次？
4、10个队进行循环比赛，胜对到2分，负队得1分，无平局。
其中有两队并列第一，两队并列第三，还有两队并列第五，以后五并列情况。
请计算出各队得分。
5、10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次。
比赛结果表明，选手们所有分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等。
问：前六名的分数各是多少？（胜得2分，和得1分，负得0分）
B级
6、12个队参加一次足球比赛，每两个队都要比赛一场。
每一场比赛中，胜得3分，负得0分，平局则各得1分。
比赛完毕后，获得第3名和第4名的两个队的得分最多可相差几分？
7、五个选手进行象棋比赛，每两个人之间都要赛一盘。
规定胜一盘得2分，平一盘各得1分，输一盘不得分。
已知比赛后，其中四位选手共得16分，则第5位选手得几分？
C级
8、8人参加一个象棋循环赛（即两人都要比一盘），并且他们的得分都不相同。
比赛计分规则是，胜得1分，负得0分，平则双方各得0.5分。
已知第2名的得分是最后四名得分的和，则第2名得分是多少分？
9、甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分分别是，8分，7分和17分，甲得了一个第一名，已知各个比赛项目分数相同，并且第一名的得分不低于二、三名得分的和，那么比赛共有多少项目？甲的每个项目的得分分别是多少？
10、四支足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场。
如果赛和，每队各得1分；否则胜队得3分，负队得0分。
比赛结果是，胜队恰好是四个连续的整数，问输给第一名的队得了几分？
11、甲乙丙丁四个足球队进行循环比赛，每两个队之间都要比一场，胜得3分，负得0分，平各得1分。
比赛结束后，甲队共得6分，乙队共得4分，丙队共得2分，那么丁队共得多少分？
12、有A、B、C、D、E五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场，当比赛快结束时，统计
13、世界杯足球赛，每个小组有4支球队，每两支球队之间各赛一场，胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分，每个小组总分最多的两支球队出线。
如果在第一小组比赛中出现了一场平局，问在第一小组中，一支球队至少得多少分一定能够出线？。