3.1.5 空间向量运算的坐标表示_4ab87de2c5d74f79bc0249219f46bdc0

3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．向量()2,4,4,a =-(2,,2)b x =- ，若a b ⊥ ，则x 的值为（ ）
A ．3-
B ．1
C ．1-
D ．3
2．已知()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- ，若a 与b 为共线向量，则（ ）
A ．1,1x y ==
B ．11,22
x y =
=- C ．13,62x y =-= D ．13,62x y ==- 3．已知()1,2,1A -，()5,6,7B ，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是（ ）
A ．()0,1,1
B ．()0,1,3-
C ．()1,0,3-
D ．()1,0,5--
4．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体OABC D A B C ''''-，A C '的中点E 与AB 的中点F 的距离为（ ）
A B
C ．a
D ．12a 5．若向量a 、b 满足()()2,1,2,4,3,2a b a b +=---=-- ，则a b ⋅ 等于（ ） A ．5 B ．5- C ．7 D ．7-
6．空间四边形ABCD 中，若向量()3,5,2AB =- ，()7,1,4CD =--- ，点,E F 分别
为线段,BC AD 的中点，则EF 的坐标为（）
A ．()2,3,3
B ．()2,3,3---
C ．()5,2,1-
D ．()5,2,1-- 7．已知向量()2,1,2a =- ，()2,2,1b = ，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A ．2
B C ．4 D ．8
8．如图，4BC =，原点O 是BC 的中点，点1,02A ⎫⎪⎪⎝⎭，点D 在平面yOz 上，且
90,30BDC DCB ∠=︒∠=︒，则AD 的长度为（ ）
A B
C D
二、填空题
9．已知点()2,3,5A ，点()3,1,4B ，那么,A B 两点间的距离为_______.
10．已知{}
,,i j k 为单位正交基底，且3,232a i j k b i j k =-++=-- ，则向量2a b - 的坐标是_____________.
11．已知三点()1,2,3A ，()2,1,2B ，()1,1,2P ，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB
⋅ 取得最小值时，Q 点的坐标是________________．
三、解答题
12．已知()()1,5,1,2,3,5.a b =-=-
（1）若()()
3ka b a b +- ，求实数k 的值； （2）若()()3ka b a b +⊥- ，求实数k 的值．
13．已知棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是
BC 的中点，F 为11A B 的中点.
（1）求证：1DE C F ⊥；
（2）求异面直线1AC 与1C F 所成角的余弦值.
14．已知向量()()4,2,4,6,3,2.a b =-=--
（1）求||a ；
（2）求向量a 与b 夹角的余弦值.
参考答案
1．D
【解析】由a b ⊥ ，可得4480a b x ⋅=-+-= ，解得3x =，故选D.
考点：空间向量坐标形式的运算.
2．D
【解析】因为a 与b 为共线向量，所以存在实数λ使得a b λ= ，所以2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得
13,62
x y ==-，故选D. 考点：空间向量坐标形式的运算，共线定理.
3．D
【解析】设直线AB 与平面xOz 交点的坐标是(),0,M x z ，
则()1,2,1AM x z =--+ ，又()4,4,8AB = ，AM 与AB 共线，∴存在实数λ使得
AM AB
λ= ，即14,24,18,x z λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩
解得1,5,x z =-=-∴()1,0,5M --. 考点:求空间坐标系中点的坐标.
4．B
【解析】由图易知()()()(),0,0,,,0,0,,0,,0,A a B a a C a A a a '，则,,02a F a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，,,.222a a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴EF ===. 考点：空间点的坐标表示，空间两点间的距离.
5．B 【解析】因为()()2,1,2,4,3,2a b a b +=---=-- ，所以()()1,2,0,3,1,2a b =-=- ，所
以()()132120 5.a b ⋅=⨯-+-⨯+⨯=-
考点：空间向量数量积的坐标运算.
6．B
【解析】取AC 中点M ，连接,ME MF ，则135,,1222ME AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，
171,,2222MF CD ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭
，从而()2,3,3EF MF ME =-=--- ，故选B. 考点：空间向量的坐标表示.
7．B 【解析】依题意得3,a b == 则4cos ,9a b a b a b
⋅==
，所以sin ,9a b =
边形的面积sin ,S a b a b ==
考点：空间向量模的运算，平行四边形的面积公式．
8．D
【解析】因为点D 在平面yOz 上，所以点D 的横坐标为0，又4BC =，原点O 是BC 的中点，90,30BDC DCB ∠=︒∠=︒，
所以点D
的竖坐标4sin 30sin 60z =⨯︒⨯︒
纵坐标()24sin 30cos 601y =--⨯︒⨯︒=-．
所以(0,D -． 所以
AD ==，故选D ．
考点：空间点的坐标表示，空间两点之间的距离.
9【解析】由两点间的距离公式可知
AB =
= 考点：空间两点间的距离.
10．()5,7,7-
【解析】由3,232a i j k b i j k =-++=-- 得()()
232232a b i j k i j k -=-++--- ()()(
)()()34644634577i j k i j k i i j j k k i j k =-++---=--++++=-++ ，则()25,7
,7a b -=- . 考点：空间向量的坐标运算.
11．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】由点Q 在直线OP 上可得存在实数λ使得OQ OP λ= ，则有(),,2Q λλλ，
所以()1,2,32QA λλλ=--- ，()2,1,22QB λλλ=--- ，
所以()()()()()()()2122132222385QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+ ， 根据二次函数的性质可得当43λ=时，取得最小值23-， 此时Q 点的坐标为448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
考点：空间向量数量积的坐标运算. 12．（1）13k =-（2）1063k =
【解析】（1）∵()()1,5,1,2,3,5a b =-=- ， ∴()()2,53,5,37,4,16ka b k k k a b +=-+--=-- ，
又()()3ka b a b +- ，25357416
k k k -+-∴==--， 解得13k =-． （2）∵()()3ka b a b +⊥- ，∴()()
30ka b a b +⋅-= ， 即()()()724531650k k k --+--=，解得106.3k =
考点：空间向量的数量积运算．
13．（1）详见解析（2
【解析】（1）证明：以D 为原点，以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标
系，则()()10,0,0,,,0,0,,,,,22a a D E a C a a F a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,,02
a D E a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，1,,02a C F a ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ ，所以10DE C F ⋅= ，所以1DE C F ⊥． （2）()()1,0,,0,,0A a a C a ，则()1,,AC a a a =-- ，又1,,02a C F a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，
2
11
11
11
3
cos,
a
AC C F
AC C F
AC C F
-
⋅
===
⋅
所以异面直线
1
AC与
1
C F所成角的
．
考点：空间向量的坐标运算，垂直的证明，异面直线所成角．
14．（1）6
a=
（2）
11
21
【解析】（1）因为()
4,2,4,
a=-
所以
6
a===
.
（2）因为()()
4,2,4,6,3,2
a b
=-=--
，
所以()()
4,2,46,3,2246822
a b⋅=-⋅--=+-=
，
又因为
6,7
a b
===
，
所以
2211
cos,.
6721
a b==
⨯
故a
与b
夹角的余弦值为
11
.
21
考点：空间向量的坐标运算，数量积.。