反证法的一般步骤例子
反证法(上课用)
2
∴n2 也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
假设不成立， 2是无理数。
2.已知x，y 0，且x y 2.试证： 1 x 1 y ， 中至少有一个小于2. y x • 证明：假设两个数都不小于2，则
因为 所以
1 x 1 y 2, 2 y x x 0, y 0
2 x y 2( x y )
练习
2、“已知: △ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”. 下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四 个推理步骤. (1)所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和 定理相矛盾. (2)所以∠B<90°. (3)假设∠B≥90°. (4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即 ∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是( C ) A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1) C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)
一、反证法的一般步骤：
（1）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）； （2）归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；（2）与公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
注意：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析， 洞察矛盾。
反证法
综合法: 综合法一种由因导果的证明方法。
直 接 证 明
从条件出发， 推理、接近、直到 利用定义、公 理、定理等
要证明的结论
分析法: 分析法一种执果索因的证明方法。
推理、接近、直到
从要证明的结 论出发
已知的数学 定义、公理、 定理
反证法的一般步骤
反证法的一般步骤反证法是一种重要的数学证明方法，也是逻辑推理中常用的一种推理方法。
通过对假设的否定进行论证，以此证明所要证明的命题成立。
本文将介绍反证法的一般步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一推理方法。
第一步：明确所要证明的命题在使用反证法证明一个命题之前，首先需要明确所要证明的命题是什么。
这个命题可以是一个数学定理、一个命题、一个推论等。
第二步：假设反命题成立在使用反证法证明一个命题时，我们首先假设反命题成立。
也就是假定所要证明的命题是错误的。
第三步：推理求矛盾在假设反命题成立的前提下，推理出一个矛盾的结论。
这个矛盾可以是逻辑矛盾、数学矛盾等。
第四步：得出结论由于假设的反命题推理出了一个矛盾的结论，根据逻辑的原理，这意味着假设的反命题是错误的。
换句话说，所要证明的命题是正确的。
通过以上四个步骤，我们可以使用反证法证明一个命题。
下面我们来通过一个简单的例子来说明反证法的应用。
例子：证明根号2是无理数。
要证明根号2是无理数，我们可以运用反证法。
第一步：明确所要证明的命题所要证明的命题是：“根号2是无理数”。
第二步：假设反命题成立假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，且两个整数没有公因数。
第三步：推理求矛盾假设根号2是有理数，那么可以表示为a/b的形式，其中a和b是整数，且没有公因数。
根据这个假设，我们可以得到以下等式：根号2 = a/b将两边的平方，可以得到：2 = (a/b)²进一步变形得到：2b² = a²由于a²是偶数，那么a也是偶数（假设 a = 2k）。
将其代入上面的等式中，可以得到：2b² = (2k)²2b² = 4k²b² = 2k²同理，由于b²是偶数，那么b也是偶数。
所以，我们可以得出结论：如果根号2是有理数，那么a和b都是偶数。
然而，这与我们最初的假设矛盾，我们假设a和b没有公因数，但事实上a和b都是偶数，它们至少有2这个公因数。
反证法
归 纳
假设“不是妈妈打破 的”
因妈妈和妹妹在厨房洗碗，应是 妹妹打破，妈妈会大发雷霆
反 证 法
总 与已知条件 “然后一片寂静”产生矛 盾
的 步
结 假设 “不是妈妈打破”不成立
骤
所以“是妈妈打破了 碗”.
你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?
否定结论
（假设结论的 反面成立）
推出矛盾
（从假设出发，得 出与已知、定义、 公理、定理相矛盾）
这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
所以，李子是苦的
走进生活
妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷 霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和 妈妈在厨房洗碗。突然,“啪”的一声，有碗 打碎了，然后一片寂静。
请你思考，是谁打破了碗呢？
“妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一 次，我和爸爸在看电视，妹妹和妈妈在厨房洗碗。 突然,‘啪’的一声，有碗打碎了，然后一片寂静。” 求证：是妈妈打破了碗.
肯定结论
（假设不成立， 原命题成立）
1.请说出下列各结论的反面：
（1）a≠0
a=0
（2）b是正数
b是0或负数
（3）a⊥b ( 4 ) 至少有一个
a不垂直于b
一个也没有
快乐尝试
2、用反证法证明命题“三角形中最多有 一个是直角”时，应如何假设？ __假__设__三__角__形__中__有__两__个__或__三__个__角__是__直__角___
由于直线a∥b ， 那么c与a平行， 这与已知“c与a相交”矛盾.
因此假设不成立
∴ c与b也相交
当一个命题 不易直接证 明时，可以 考虑反证法
否定结论 推出矛盾
肯定结论
例2 已知：如图有a、b、c三条直线，
介绍反证法及举例
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.” 这就充分肯
定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,
素数有无穷多个, 2 是无理数的证明等.
( 课本例5)
(自学课本例5)例2.求证： 2 是无理数.
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
分线。但是，OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同
时是 AOB和 AOC的平分线，产生矛盾.∴ PO .
已知 f ( x) x2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有
一个不小于 1 。 2
分析：设| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 1 ， 2
解：略。说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况 也只有一种可能，所以属于归谬反证法。
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
练习1,2
练习1.设0 < a, b, c < 1， 求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4
反证法
推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
上空还悬浮着一块高五米、宽二米的飞美色的峨然绸布……这次理论实践的内容不但要按顶级指标把贪官转换制做成蛔虫，还要在完全的相同时间内写出四篇具有超级水准的 ！！随着三声礼炮的轰响，灿烂熠熠、五颜六色的蝶角猫拖着三缕淡紫色的彩烟直冲天空……这时一个戴着老虎似的兔子梦天巾，穿着紫罗兰色馅饼神光服的主监考官站起
证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
∴a+b+c= (x2 - 2y +
π 2
)+(y2
Hale Waihona Puke -2z+π 3
)+
(z2
-
2x+
π 6
)
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3.
∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾,
∴ a,b,c中至少有一个大于0.
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式 出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0, ∴ a < b a a < a b 且 a b < b b a<b, a = b a=b. 这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.
介绍反证法及举例
选做作业: 1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内 引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . 求证： PO . P
A E O H B
2.已知 f ( x ) x 2 px q ，
a
C
F
1 求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 。 2
你能举出一个类似故事路边苦李》中的推理 的例子吗？
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要 改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难 解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的 间接解法中的一种——反证法. (又比如课本的思考)
走进生活
妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷 霆。有一次，我和爸爸在看电视，妹妹和 妈妈在厨房洗碗。突然,“啪”的一声，有碗 打碎了，然后一片寂静。 请你思考，是谁打破了碗呢？
D
B
反证法是一种重要的数学思想方法，对于那些含有否 定词的命题， “至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛 顿说： “反证法是数学上最精良的武器之一 .” 这就充分肯 定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。 数学上很多有名的结论都是用反证法得证的. 比如说, 素数有无穷多个 , 2 是无理数的证明等.
所以假设不成立，2是有理数成立。
练习1,2
练习1.设0 < a, b, c < 1， 求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4
1 1 1 证：设(1 a)b > , (1 b)c > , (1 c)a > 4 4 4 1 ① 则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a >
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式 出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
；
等级森严，对市场反应迟钝，韦尔奇的举措是改革内部管理体制，减少管理层次和冗员，并撤换了部分高层管理人员。最终，他成功了。 韦尔奇之所以能重振“通用”，并且自己不被人际关系所伤，无非是因为主动回避不必要的复杂关系，以自己扎实的工作和明确的目标告诉员工，他所做的 一切绝无私心。这让人想起一个故事，一位老船长长年在河上驾船，从未发生过事故。有人问他是不是对河中的暗礁险滩全部了然于心。老船长说：“不是，我只要把船开进深水区就行了，暗礁险滩就会与我无关。” 人的一生有太多的暗礁和险滩，你根本无法一一了解，也根本不必去记住。 你所要做的，只是把船开进深水区就行了。 39、留住幸福的种子 从前有个孤儿，过着贫穷的日子。这年刚刚进入初冬，他的全部口粮就只剩下父母生前为他留下的一小袋豆子了。他强忍饥饿，把那一小袋豆子藏了起来。之后，他全靠拾破烂勉强糊口。尽管如此，在他心中总有一株株绿油 油的诱人豆苗在旺盛地生长，他在梦中也似乎真的看见了来年那些可爱的豆荚。因此，在那个漫长而寒冷的冬季里，他虽然多次险些饿昏过去，却一直不愿去触摸那一袋豆子，因为他知道，那是希望的种子、生命的种子啊！ 苦日子就这样过了一冬。第二年春天来了，孤儿把那一小袋豆子播种 到地里，再经过一个夏天的辛勤耕耘，到了秋天，他果然收获了数十倍的种子。孤儿并没有就此满足，他还想获得更多的豆子、更多的幸福。于是，他把收获的豆子又留下来，继续播种、耕耘、收获……后来，孤儿告别了贫困，并成为远近闻名的富裕户。不久，他娶妻生子，过上了人人羡慕的幸福 生活。再后来，他和妻子一面继续种豆，一面学做豆制品，不到40岁，他成了声名显赫的大富豪。 人生有了幸福还需要什么？还需要留住幸福；人生没有了幸福还需要什么？还需要留住幸福的种子。 40、犹太人的智慧 据统计，美国的百万富翁中有百分之二十是犹太人，获诺贝尔经 济学奖的经济学家中，有百分之二十是犹太人。因而历来犹太人被公认为是最会赚钱的民族，被誉为“世界第一商人”。 然而，犹太人并不以赚钱为人生目的，他们认为人生的目的就在于热情地享受生活。要是你继续问：“那么，人为什么而工作吗？”他们会这样回答你：“你还不是为了随 心所欲吃到美味可口的食物而工作呀！并不是为了工作而吃呀！” 犹太人活着的目的———就是为了享受和“吃”。说到吃，不能不赞叹犹太人的健康教育。他们珍惜生命，保护自然。犹太人为使最神圣的耶路撒冷清洁、美丽，实行十个特殊的规定。其中包括：在城里不得堆粪堆；不得建砖 窑；除了早期先知们留下来的玫瑰园以外，不得耕种其他花园或果园；不得养鸡；死人不能在城里过夜。 此外，犹太人特别注重卫生，保持身体的清洁被称之为一种宗教责任。值得一提的是，犹太人把饮食的节制，作为健康体格的先决条件。犹太人有一个“饮食基本法”：吃（胃的容量）三分之 一，喝三分之一，留下三分之一的空。这其实颇有科学根据，吃得太饱，非长寿之道。 ? 41、学学乔丹的爱国 篮球上帝乔丹在日前的中国之行中，拒绝乘坐主办方为他提供的奔驰、宝马，而是点名要了美国的道奇山羊。原来乔丹有一条重要的商业原则，那就是“做广告从来只做美国货”，所 以，座驾事件与“爱国精神”息息相关。 从某种意义上说，球场外的乔丹给崇拜他的那些青少年们上着很好的思想品德教育课，这才是一个“星”真正的道德良知和社会责任。相反，我们的各种“星”们，同样作为青少年们顶礼膜拜的偶像，他们的表现又如何呢？我们知道有的歌星歌唱得不 怎么样，却热衷于把奇形怪态遁入极端；有些影星表演够差，却总走不出绯闻缠身的怪圈；还有那些所谓的足球明星，球踢得极烂，可酗酒、打架等丑闻从来不绝于耳。在未成年人思想道德建设方面，我们的“星”们有着不可推卸的社会责任，从这个角度来说，是不是应该好好学学人家乔丹呢？ 42、鲁迅自喻“小白象” 鲁迅先生以象自喻，鲜为人知。 在他和许广平的通信中，经常署名“小白象”，或是“你的小白象”。比如1925年5月鲁迅在北平写给在的许广平的第二封信(5月15日夜)，署名的地方赫然画着一只高高举起鼻子的小象。(《鲁迅手稿全集?书信?第三册》第105页) 而《两地书》在公开出版时，署名“EL”，就是Elephant(象)的缩写。 鲁迅先生为什么要以象自喻呢？从《柔石日记》中，我们可以看到这样的记述：“鲁迅先生说，人应该学一只象。第一，皮要厚，流点血，刺激一下了，也不要紧。第二，我们强韧地慢慢地走去。我很感谢他的话，因为我 的神经末梢是太灵动得像一条金鱼了。”这给我们解开谜底提供了一些线索。鲁迅先生欣赏的正是象的宽厚和强韧的精神。 43、名人教子 家教：包拯为官公正清廉，被老百姓尊称为包青天。他担心家人子弟利用权势贪污腐化，因而自述家训：“后世子孙仕宦，有犯赃者，不得放归本家； 亡疫之后，不得葬与大茔之中。不从吾志，非吾子孙。” 铭教：宋代诗人苏东坡的长子苏迈赴任县太尉时，苏东坡送给他一个砚台，上有他亲手所刻的砚铭：“以此进道常若渴，以此求进常若惊；以此治财常若予，以此书狱常思生。” 鞭教：岳云12岁参军作战，一次骑马下坡，没注意地 形，人也栽进沟里。岳飞喝令按军法鞭打岳云，众将求情不允，责打百鞭。此后岳云刻苦训练，勇猛作战。1134年攻打随州时，挥舞80斤重的铁锤，首当其冲第一个登城。岳飞教子的原则是：受罪重于士卒，作战先于士卒，受功后于士卒。 名教：1945年，革命老前辈林伯渠6岁的小儿子要读书 上小学了。林老对儿子说：“上学，该有个地道的名字，我看你就叫‘用三吧！”儿子疑惑不解，林老解释说：“用三者，三用也，即用脑想问题，用手造机器，用足踏实地！” 联教：无产阶级革命家吴玉章曾撰写一幅对联挂在堂前。上联“创业难，守业亦难，明知物力维艰，事事莫争虚体 面”，教育子孙后辈要艰苦创业，勤俭持家，切不可铺张浪费，追求虚荣；下联：“居家易，治家不易，欲自我以身作则，行行当立好楷模”，指出做长辈的要时时刻刻以身作则，身教重于言教，处处做出好样子，成为后辈们效仿的楷模。 章程教：老舍先生的教子章程：一是不必非考一百分 不可；二是不必非上大学不可；三是应多玩，不失儿童的天真烂漫；四是要有健全的体魄。总之，老舍先生认为，孩子不必争做“人上人”，虚荣心绝对不可有。 44、感悟“国际一流大学” 日前看到一个发生在英国牛津大学的故事：苏格兰北部边远地区一个教育相对不发达的郡，有一位 女学生的毕业考试成绩达到了全A，符合牛津大学的录取标准。这是近百年来当地第一个达到牛津录取线的毕业生，当地政府对此极为重视。但牛津大学录取学生必须经过面试，教授在面试后认为该学生不具备牛津大学要求的创造潜质，拒绝了她的入学申请。当地议会将此事反映给英国中央议会， 议员们就找到教育大臣，请他出面说情，希望给予破格录取。在被牛津大学婉言拒绝之后，教育大臣又找到副首相前去求情，还是遭到拒绝。无奈之下，副首相只得请布莱尔首相出面疏通。虽然首相动之以情，晓之以理，但牛津大学仍然表示不能接收，理由就是一个：在招生问题上，任何人无权更 改学院教授的面试结论，这是牛津大学几百年来的传统。布莱尔当然觉得很没有面子，在此后的一个私人场合，当提到牛津大学的时候，他不自觉地说了一句牢骚话：牛津大学真是太古板了，要与时俱进，必须进行改革。牛津大学的师生得知后，极为愤慨，学校立即取消了授予布莱尔荣誉博士学位 的原定计划，并对政府行政干预学校事务的这一严重事件提出抗议。 这个故事实在耐人寻味。 据说，在牛津的学子中，先后出现了46位诺贝尔奖获得者。此外，英国历史上的41位首相中，有30位毕业于牛津大学。真不愧是“国际一流大学”！ 我们国家也提出了创建××所“国际一 流大学”的目标，一些名牌大学也跃跃欲试，试图在短时间内跻身于“国际一流大学”之列。姑且不论我国的高水平大学在办学理念、管理体制、师资队伍、学科水平、办学条件、资金投入等方面仍有相当大的差距，仅就招收有“创造潜力”的优秀生和捍卫“独立精神”这两点上，其差距简直就是 无法比拟的。 我们的高水平大学也想招收最有创造潜力的优秀生，但目前的“应试教育”已经将学生与生俱来的个性和“创造潜质”扼杀殆尽。 我们在很大程度上还处于“人情社会”、“熟人社会”、“权力社会”之中，即使名牌大学恐怕也不能幸免，招生、考试中的不正之风、种种违 规现象屡禁不止。不要说高级别领导人出面说话，就是某级教育行政部门、招生部门，乃至其它可以制约大学的部门和权势者，都会让学校难于捍卫自己的“独立精神”。 我们都很羡慕像哈佛、牛津、斯坦福、耶鲁等“国际一流大学”，也很想创建几所这样的“国际一流大学”。但我觉得， 仅在“寻求超常规的发展和跨越”上下功夫是远远不够的。发生在牛津大学的故事，实在是有着深刻的启示意义，值得我们好好思索和玩味。 45、 不留退路才有出路 古希腊著名演说家戴摩西尼年轻的时候为了提高自己的演说能力，躲在一个地下室练习口才。由于耐不住寂寞，他时不时 就想出去遛达遛达，心总也静不下来，练习的效果很差。无奈之下，他横下心，挥动剪刀把自己的头发剃去了一半，变成了一个怪模怪样的“阴阳头”。这样一来，因为羞于见人，他只得彻底打消了出去玩的念头，一心一意地练口才，一连数月足不出室，演讲水平突飞猛进。经过一番顽强的努力， 戴摩西尼最终成为了世界闻名的大演说家。 一个人要想成功，就必须心无旁骛、全神贯注地扑下身去，持之以恒、锲而不舍地追逐既定的目标。但人都是有不小惰性、有太多欲望的动物，要做到这一点实在不易，常常就难免战胜不了身心的倦怠，抵御不住世俗的诱惑，割舍不下寻常的享乐。 一些人因此半途而废，功亏一篑。那么，当惰性膨胀、欲望汹涌，追求的脚步踯躅不前时，应该怎么办呢？不妨学学戴摩西尼，他的办法固然有些极端，但唯其如此，才能管用。他剃掉了一半头发，就彻底斩断了向惰性和欲望妥协的退路。而一旦没有退路可逃，就只能一门心思地朝前奔了。
初二数学反证法
a b c A
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相 交于点P. 求证: l3与l2相交. l3 l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
b
●
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
已知：如图有a、b、c三条直线， 且a//c,b//c. 求证：a//b
例5
证明：假设a与b不平行，则 可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直 线a、b与直线c平行，这与 “过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行矛盾, 假设不成立。 ∴a//b.
例2
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
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反证法的一般步骤例子
反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。
下面将以反证法的一般步骤为题，列举一些具体的例子来说明。
一、反证法的一般步骤
反证法的一般步骤包括以下几个步骤：
1. 假设待证命题的反命题为真；
2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论；
3. 由此得出结论，待证命题为真。
二、具体例子
1. 证明根号2是一个无理数
假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号2=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
由此可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。
根据整除的性质可知，a^2必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。
设a=2k，则可得到4k^2=2b^2，化简得到2k^2=b^2。
同样地，可知b也是2的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号2是一个无理数。
2. 证明素数有无穷多个
假设存在有限个素数，记为p1、p2、p3、…、pn。
考虑数M=p1p2p3…pn+1，显然M大于任何一个已知的素数。
根据素数的定义，M必然是一个合数。
而根据合数的定义可知，M必然可以被某个素数pi整除。
然而，pi不能整除M，因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。
这与假设相矛盾，因此假设不成立，素数有无穷多个。
3. 证明根号3是一个无理数
假设根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
由此可得3=a^2/b^2，即3b^2=a^2。
根据整除的性质可知，a^2必然是3的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是3的倍数。
设a=3k，则可得到9k^2=3b^2，化简得到3k^2=b^2。
同样地，可知b也是3的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号3是一个无理数。
4. 证明根号5是一个无理数
假设根号5是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号5=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
由此可得5=a^2/b^2，即5b^2=a^2。
根据整除的性质可知，a^2必然是5的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是5的倍数。
设a=5k，则可得到25k^2=5b^2，化简得到5k^2=b^2。
同样地，可知b也是5的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号5是一个无理数。
5. 证明勾股数不存在
假设存在勾股数a、b、c，其中a、b、c互质。
则根据勾股定理可得a^2+b^2=c^2。
将其化简可得a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)。
由于a、b、c互质，所以c+b和c-b也互质。
根据整除的性质可知，a^2必然是(c+b)(c-b)的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是(c+b)(c-b)的倍数。
然而，由于c+b和c-b的差为2b，所以a 的平方必然是2b的倍数。
这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，勾股数不存在。
6. 证明根号2+根号3是一个无理数
假设根号2+根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号2+根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
将等式两边平方可得2+2根号6+3=a^2/b^2，即2根号6=a^2/b^2-5。
根据整除的性质可知，a^2/b^2-5必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。
设a=2k，则可得到2根号
6=4k^2/b^2-5。
化简得到根号6=2k^2/b^2-5/2。
这与根号6是一个无理数的事实相矛盾，因此假设不成立，根号2+根号3是一个无理数。
7. 证明根号2+根号8是一个无理数
假设根号2+根号8是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。
设根号2+根号8=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。
将等式两边平方可得2+2根号16+8=a^2/b^2，即2根号16=a^2/b^2-10。
根据整除的性质可知，a^2/b^2-10必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。
设a=2k，则可得到2根号16=4k^2/b^2-10。
化简得到根号16=2k^2/b^2-5。
这与根号16是一个有理数的事实相矛盾，因此假设不成立，根号2+根号8是一个无理数。
8. 证明根号2×根号3是一个无理数。