运动学自然坐标系
2-6自然坐标.曲线运动
(3) a n R 2 2 (6 )a a n at
2
(8 ) a
2 2 an at
9
例.一质点沿半径为R的圆周按规律 s
为正常数.求:
（1）t时刻的总加速度；
v ds dt
v0t
1 2
bt 运动，v
2
0
,b
v 0 bt
t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:
s v0t bt /2
2
v0 /2 b
2
它与圆周长之比即为圈数：
n
s 2R
v0
2
4Rb
12
[例题1] 汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车
开始阶段的运动学方程为 s 20 t 0 . 2 t 3 (单位：m，s). 求汽车在t=1s时的加速度.
[解] 加速度
a an en a tet
积分
d
2
d
dt R tg
得
1
1
0
t Rtg
0
2
t
dt R tg
6
0
三、任意曲线运动中的 法向和切向加速度
质点的曲线轨迹可视作由无限多个圆组合而成
a a et an en
dv v a et en ——曲率圆半径 dt
m 1169 m 2 2
16
aτ b 2 dt dt 2 2 v (v0 bt ) a n R R
dv
d s
2
a
aτ an
2 2
理论力学(第7版)第五章 点的运动学
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y
1-2自然坐标系
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
DUT 常葆荣
6
例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
10
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t
j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
7自然坐标系
University ຫໍສະໝຸດ hysics三. 角加速度（描述质点转动角速度变化快
慢的物理量）
o
t : t t :
r
P
lim
(t t ) (t )
dt
角加速度的方向与 dω 的方向相同
t 0
d d 2 k k 2 k dt dt
aτ
aτ
思考 求抛体运动过程中的曲率半径？ 对B 点
a
y
2 2 2
aτ 0, an g , v B v 0cos
vo
B
vB (v 0cos ) xm ρ B an g 8 ym
o
C x
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
法向加速度
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
2 2 v d v d s ds 2 1 a an n aτ τ n τ 2 τ ( ) n dt dt dt 2 v 对匀速率圆周运动 a 0 an an n n r 加速度的正交分解 a an n aτ τ Pv • a an a aτ 2 an 2 , tg n
两类问题（圆周运动的角量描述） 1. 第一类问题 已知运动学方程， (t ) 求 ,
P
aτ v
d ω k dt
d d d 2 k 2 k dt dt dt
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t
θ=θ(t)
X
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
d lim t 0 t dt
9
4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
12
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
自然坐标系的加速度公式推导详解
自然坐标系的加速度公式推导详解在物理学中，加速度是描述物体运动状态的重要物理量。
加速度可以通过自然坐标系的公式进行推导和计算。
本文将详细解释自然坐标系的加速度公式的推导过程。
我们需要明确什么是自然坐标系。
自然坐标系是一种用来描述物体运动的参考系，它的基底与物体的运动方向一致。
在自然坐标系中，我们可以使用一组向量来表示物体的位置、速度和加速度。
假设一个物体在自然坐标系中的位置为P，其位置矢量为r。
我们可以将r表示为r = xi + yj + zk，其中i、j、k分别表示坐标轴x、y、z的单位向量。
当物体运动时，其位置会随时间发生变化。
假设物体在t时刻的位置为P(t)，则其位置矢量r(t)也会随时间变化。
我们可以通过求导的方式来描述物体的速度和加速度。
首先我们求解速度。
速度是位置矢量对时间的导数，即v = dr/dt。
由于位置矢量r = xi + yj + zk，我们可以将速度v表示为v = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k。
这就是自然坐标系中的速度公式。
接下来，我们求解加速度。
加速度是速度对时间的导数，即 a = dv/dt。
我们已经知道速度v = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k，因此我们需要对速度进行求导。
对速度的各个分量进行求导，得到加速度的公式：ax = d²x/dt²ay = d²y/dt²az = d²z/dt²这就是自然坐标系中的加速度公式。
根据这个公式，我们可以计算物体在自然坐标系中的加速度。
需要注意的是，自然坐标系中的加速度公式是基于时间的二阶导数计算得到的。
因此，在实际应用中，我们需要通过测量物体的位置随时间的变化来计算加速度。
可以使用传感器或者运动学实验来获取位置和时间的数据，从而计算出加速度。
总结一下，自然坐标系的加速度公式是通过对速度进行求导得到的。
加速度是描述物体运动状态的重要物理量，可以通过测量物体的位置随时间的变化来计算。
质点运动的自然坐标描述
a R x s i it y i n j R z k c o t j s h 2 k
R 2 ct i o R s 2 st j in
§1-5 质点运动的自然坐标描述
v x 2 y 2 z 2R 2 ( h 24 π 2 ) 常量
切向加速度
at vt 0
§1-5 质点运动的自然坐标描述
利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、法线方 向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自然坐标法.
1. 弧长方程
在轨道上取一点 作原O点, 规定沿轨道的某一方向为弧
长的正方向, 质点位置可由原点 到质点间的一段O弧长 来
确定, 称为弧坐s标.
s
s s(t)
弧长方程和轨道方程一起与 质点的运动学方程等价.
ebeten
§1-5 质点运动的自然坐标描述
3. 速度和加速度表达式
速度 加速度
v a v sddetvte tt dsds tde d (etsttet)
dsd
d d e tt s1d d t ve tn e n s e n
§1-5 质点运动的自然坐标描述
切向加速度
法向加速度
a
set
s2
en
在自然坐标描述中, 需要已知质点运动的轨道, 而对轨道 的数学描述又需要一个坐标系, 所以必须掌握自然坐标描述
中联有的系不物的同理基的a量本表与依达其据形他 是 式:,坐速 但标度 它系们中和的的加大物速小理度和量方在之向不间是同的惟的联一描系确述. 建定方立的法v这.中个
§1-5 质点运动的自然坐标描述
弧坐标为可正可负的标量,与恒正的路程是不同的.
§1-5 质点运动的自然坐标描述
2. 相关的微分几何知识
自然坐标法求行动轨迹
对于自然坐标系，我个人的理解是在对于某些曲线运动，可能我们并不太关注这个运动的位置矢量，亦或者说我们对于这个曲线的轨迹已经非常清楚了。
但是我们更关注于这个质点运动的速度和加速度。
那么利用自然坐标系就可以很大程度上简化对曲线运动的分析。
我们在高中学习圆周运动时，在对其列牛顿运动学方程时，其实已经在使用自然坐标系。
对于某个时刻，我们在物体上建立坐标系，x轴沿速度方向，y轴指向圆心方向，横平竖直列出两个方向的牛顿定律方程。
如图所示。
只是我们现在把x轴和y轴方向的名字稍微改一下，x 轴称为切线方向，其单位矢量为τ，y轴称为法线方向,其单位矢量为n。
显然，这种坐标轴的原点建立在这个圆周运动轨迹上，或者就在这个质点身上，第一坐标轴X建立在速度方向（轨迹的切线方向），这样这个质点速度、加速度的表达可以简单很多。
对于一般的曲线运动，我们也可以这么去建立这种坐标系，这种由法向和切向构成的正交坐标系就可以称为自然坐标系，也可以叫内禀坐标系。
1、自然坐标系下质点的速度某个质点在作曲线运动，从A点运动到B点。
其中O为笛卡尔坐标系的原点。
A，B的位置矢量分别为r t与r t+Δt ,位移为Δr ,AB段的弧长为Δs。
由速度的定义v=limΔt→0ΔrΔt=drdt=drdsdsdt显然，当AB非常接近的时候dr=ds，则drds=τ。
其中τ为与AB弧相切的方向。
得v=dsdtτ=s˙τ=vtτ可得，曲线运动的速度为弧长随时间的变化率，方向沿切线方向。
现在我们以速度方向为第一坐标轴，建立正交坐标系，沿速度方向为切线方向，单位矢量为τ。
垂直于切线方向并指向凹陷的方向为法线方向，单位矢量为n。
显然这个坐标系是跟随质点运动的，所以两个坐标轴的单位矢量会随时间改变方向。
2、自然坐标系下质点的加速度我们现在以新建立的坐标系去看加速度。
直接求导：a=dvdt=d(vτ)dt=v˙τ+vdτdt其中，dτdt=dτdsdsdt其中，dsdt=v。
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例1、 质点沿 x 轴作直线运动，加速度a=2t 。t
=0时，x=1，v=0，求任意时刻质点的速度和位置。
解：质点作非匀加速的运动
a dv dt dv 2tdt
积分:
v
dv
t
2tdt
0
0
v t2
即有: dx t 2
x
dx
t t 2dt
dt
1
0
可得: x 1 1 t 3 3
这类问题要应用积分的方法来求，在计算上较为 复杂一些。
dv adt ,
vv0 dv
t adt
t0
dr vdt ,
rr0dr
t vdt
t0
r(t) 求导 vv(t) 求导 a(t)
积分
积分
质点在三维空间运动时，位矢、位移、速度、 加速度是三维矢量；在平面上运动时，是二维矢量； 沿直线运动时，是一维矢量，此时可以取轨道直线 为坐标轴，规定原点和坐标轴的正方向后，可用正 负号表示这些物理量的方向。
υ0
,
2 0
kx2
x 0 (舍去)
k
k
这类问题我们可以根据速度和加速度的定义用求
导的办法求出质点在任意时刻（或任意位置）时的速
度和加速度。
r rt
v dr dt
a dv d 2r dt dt2
第二类： 已知速度或加速度以及初始条件， (积分问题) 求质点运动方程。
初始条件---t=0（或t=t0）时刻质点运动的状 态值。
切向加速度：a
dv dt
法向加速度：an
v2
a at2 an2
nv
nv' v' v
讨论
当质点作直线运动时，ρ→∞，an→0
当质点作圆周运动时，ρ为圆轨道的半径 这时若 v 为常量，则 at = 0 ，
合加速度指向圆心。 称为向心加速度(centripetal acceleration ) 这时若 v 不为常量，则 at ≠ 0 ， 合加速度不指向圆心。
nv
nv' v' v
dv大方小向：：ndvv v d v 1
v' v
v
ar dv v v dv
dt
dt
dv大方小向：：ndvv v d
则
dv
dt
d
dt
nv
d ( ) nv dt
1
ds dt
nv
v
nv
ar dv v v2 nv dt
kx (k为正常数)。t = 0时, x = 0, v = v0 ，在什么位置质 点停止运动?
解： a d d dx d
dt dx dt dx
积分
x
d kxdx
0
0
可得
1 2
(
2
02
)
1 2
kx2
2 02 kx2
质点停止运动时 0 x
二.自然坐标系的运用
1.自然坐标系
有一类曲线运动是在已知轨道上进行的。
v
o nv
这类运动方程可表为： s s(t)
规定：切向单位矢量 v ， 指向运动方向
法向单位矢量 nv ， 指向轨道的凹侧
用这样一对正交的切向、法向单位矢量构成坐标 系统称为自然坐标系。
o
v
v
nv
nv
笛卡尔坐标系是静坐标系 自然坐标系是动坐标系
v 25 (15 10t)2
dv a dt
10(3) 2t 1 (3 2t)2
v2 1(m)
an
t=1s a 5 2(m/ s2)
例2：质点作半径为R的圆周运动，其速率满足v kRkt
为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大 小。
解： 切向加速度
dt dt
由微分法则
r a
dv
v
v
dv
dt
dt
第一分量 dv ˆ 纯由质点速率变化所致。
dt
第二分量v dv 是由 vr 的方向即 v 的变化所致。
dt
第二分量v dv 是由 vr 的方向即 v 的变化所致。
dt
其切向单位矢量v 由于方向的改变过渡到v, 。
增量 v是矢量，当 t 0 时， 其方向变得垂直于v ，且指向圆心。
R
dv at dt
R dω Rβ dt
an v2 R Rω2
3.匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 匀速率圆a周t 运0动：速率avv和an角nv速r度2nv都为常量 .
2 匀变速率圆周运动
常量
如 t0 时, θθ0,ωω0
ωω0αt
θ
θ0ω0t
(v, nv)大小虽然不变，但它们的方向是变化的。
2.位矢、速度、加速度在自然坐标系的表示
（1） 运动方程： s s(t)
（2） 速度矢量： o
vr ds v vv
dt
v v v
nv
nv
（3） 加速度矢量：
ar dvr d (vv)
dt dt
ar dvr d (vv)
lim Δ s Δt 0 Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
Δt
v = rω
r Δs
Δθ
Δ s = rΔθ
角加速度(angular acceleration )
β
=
Δω Δt
β
lim
Δt 0
Δω Δt
dω dt
d 2
dt 2
（2）线量与角量关系
ds
R
d
x
O
ds Rd
v ds R dθ dt dt
例2、质点沿x轴作直线运动，速度v=1+2x，初始时刻 质点位于原点，求质点的位置和加速度。
解：
v
dx
1 2x
dt
x
dx
t
dt
0 1 2x 0
1 ln(1 2x) t 2
x 1 (e2t 1) 2
a
d2x dt 2
2e2t
例3、 质点沿x轴正向作直线运动，加速度a = -
由角坐标 确定；运动方程
可用角坐标表示。
(t)
r Δs
t 时间内，质点转过角度 ,
---- 角位移(angular displacement )
角速度(angular velocity )
ω
=
Δθ
Δt
B
Δθ A
lim d t0 t dt
0θ x
1αt 2
2
ω2 ω022α(θθ0)
对比匀变速率直线运动：
x x0 v t
x
x0
v0t
1 2
at 2
v v0 at
2
2 0
2a( x
x0 )
1.4 两类运动学问题
运动方程是运动学问题的核心
第一类： 已知质点的运动方程，求质点在任 (求导问题) 一时刻的位矢、速度和加速度；
a
dv dt
kR
法向加速度
v2 an R
(kRt )2 k 2Rt 2 R
加速度 a
a 2
a
2 n
kR 2 k 2Rt 2 2
三.圆周运动(circular motion )的角量描述
线量： r r v a
B
A
1. 角量
θ
0
x
半径R 不变，质点位置可
例1 已知质r点在5t水i平面(1内5t运动5t，2 )运j动方程为：
求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。
解：
r
5ti
(15t
5t
2
)
j
dr
v 5i (15 10t) j
dt
a
dv
10 j
dt
an a2 a 2 5 2