行程问题与一元一次方程(相遇)
一元一次方程解路程问题
一元一次方程解路程问题在一元一次方程中，我们可以解决各种与路程相关的题目。
以下是一些常见的路程问题及其对应的方程：1.相遇问题两人从甲地出发，相向而行，途中相遇。
假设两人的行走速度分别为v1和v2，相遇时间为t，那么两人相遇时，行走的总距离可以表示为：x=(v1 v2)*t2.追及问题两人分别从乙地出发，同向而行，途中相遇。
假设两人的行走速度分别为v1和v2（其中v1>v2），相遇时间为t，那么两人相遇时，行走的总距离可以表示为：x=(v1-v2)*t3.列车相遇问题两列车从甲地出发，相向而行，途中相遇。
假设两列车的行走速度分别为v1和v2，相遇时间为t，那么两列车相遇时，行走的总距离可以表示为：x=(v1 v2)*t4.环形跑道问题一人从甲地出发，沿环形跑道跑步。
假设跑步的速度为v1，跑步的时间为t，那么跑步的总距离可以表示为：x=v1*t5.航行问题一人从甲地出发，划船沿河而下。
假设划船的速度为v1，划船的时间为t，那么划船的总距离可以表示为：x=v1*t6.渡河问题一人从甲地出发，游泳过河。
假设游泳的速度为v1，游泳的时间为t，那么游泳的总距离可以表示为：x=v1*t7.顺流逆流问题一人从甲地出发，逆流而上。
假设游泳的速度为v1，水流的速度为v2（其中v2<v1），游泳的时间为t，那么游泳的总距离可以表示为：x=(v1-v2)*t或x=(v1 v2)*t（此公式根据上下文水流方向可能正负相反）8.变速直线运动问题一人从甲地出发，做变速直线运动。
假设变速直线运动的速度为v1，运动的时间为t，那么运动的总距离可以表示为：x=v1*t（注：此处的变速直线运动默认是匀加速或匀减速直线运动）9.简单的行程问题x=VT（其中V是速度，T是时间）在很多情况下可以解决简单的行程问题。
但是较复杂的问题可能需要一元一次方程的其他形式。
例如：逆向问题：这种情况下需要用到减法（如果两个物体向相反的方向移动）。
一元一次方程(行程问题)
一元一次方程(行程问题）考点1、相遇问题：【基础知识回顾】相遇问题是行程问题的一种典型应用题,也是相向运动的问题.无论是走路,行车还是物体的移动,总是要涉及到三个量--------路程、速度、时间。
相遇问题的核心就是速度和。
路程、速度、时间三者之间的数量关系,不仅可以表示成:路程= 速度×时间,还可以变形成下两个关系式:速度= 路程÷时间, 时间= 路程÷速度.一般的相遇问题: 甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在A地到B地之的某处相遇,实质上是甲,乙两人一起走了AB这段路程,如果两人同时出发,那有:(1) 甲走的路程+乙走的路程= 全程(2) 全程= (甲的速度+乙的速度) ×相遇时间= 速度和×相遇时间相遇问题的基本题型1、同时出发（两段）2、不同时出发（三段）相遇问题的等量关系S甲+S乙=S总（全程）S先+S甲+S乙=S总（全程）【典型例题】1、电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车的5倍还快20千米/时，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？[变式训练]1、甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？考点2、追及问题【基础知识回顾】两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。
这样的问题一般称为追及问题。
有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差×时间=追及（或领先的）路程。
追及问题的核心就是速度差。
追及问题追及问题的基本题型1、不同地点同时出发2、同一地点不同时出发追及问题的等量关系1、追及时快者行驶的路程－慢者行驶的路程＝相距的路程2、追及时快者行驶的路程＝慢者行驶的路程或慢者所用时间=快者所用时间+多用时间追击问题的等量关系：1）同时不同地：慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离2）同地不同时：甲行距离=乙行距离或慢者所用时间=快者所用时间+多用时间【典型例题】1. 跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？[变式训练]1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为________________.2、某人从家里骑自行车到学校。
一元一次方程应用行程问题含答案
（1）求甲从A到B地所需要的时间．
10．一列火车匀速行驶经过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需45 s，而整列火车在隧道内的时间为33 s，火车的长度为180 m，求隧道的长度和火车的速度．
11．东南中学租用两辆小轿车（设速度相同）同时送二名带队老师及 名七年级的学生到育才中学参加数学竞赛，每辆车限坐 人（不包括司机）．其中一辆小轿车在距离育才中学 的地方出现故障，此时距离竞赛开始还有 分钟，唯一可利用的交通工具是另一辆小轿车，且这辆车的平均速度是 ，人步行的速度是 （上、下车时间忽略不计）．
8．双“11”期间，某快递公司的甲、乙两辆货车分别从相距335km的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2h时，甲车先到达配货站C地，此时两车相距35km，甲车在C地用1h配货，然后按原速度开往B地；乙车继续行驶0.5h时，乙车也到C地，但未停留直达A地．
（1）乙车的速度是_____km/h，B、C两地的距离是____km．
5．小明爸爸带着小明和小明弟弟去离家66千米的外婆家，小明爸爸有一辆摩托车，只坐一人时速度为50千米/小时，坐两人时速度为40千米/小时（交通法规定：摩托车最多只能坐两人）。小明和小明弟弟如果步行速度均为10千米/小时，为尽快达到外婆家，出发时，小明步行，小明爸爸将小明弟弟载了一段路程后让其步行前往外婆家，并立即返回接步行的小明，再到外婆家，结果与小明弟弟同时到达外婆家，则小明从家到外婆家步行的时间为___________.
一元一次方程行程问题
行程问题。
要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。
相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。
追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。
环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。
航行问题：速度关系是：①顺水速度＝静水中速度＋水流速度；②逆水速度＝静水中速度－水流速度。
飞行问题、基本等量关系：①顺风速度＝无风速度＋风速②逆风速度＝无风速度－风速行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。
1 .一队学生去学校外进行军事训练,他们以每小时5千米的速度行进,走了18分钟,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去,通讯员需要多少时间可以追上学生队伍?2.某桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到过完桥共用60秒。
而整列火车完全在桥上的时间是40秒，求火车的速度和长度3 .甲,乙二人在400米的环形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方出发，同向跑，则3分20秒，相遇一次，若反向跑，则40秒相遇，求甲跑步的速度每秒跑多少米？4.从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，车速平均每时增加了20千米，只需5个小时即可到达，求甲、乙两地的路程.5 .一队学生去校外进行训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员需多少时间可以追上学生队伍？6 .在高速公路上，一辆长5m，速度为110km/h的轿车准备超越一辆长为15m，速度为100km/h 的大车，轿车能超过大车吗？若能，用多长时间？7. 甲、乙两地相距240千米，从甲站开出来一列慢车，速度为每小时80千米;从乙站开出一列快车，速度为每小时120千米。
一元一次方程应用题公式大全
一元一次方程应用题公式大全一、行程问题。
1. 基本公式。
- 路程 = 速度×时间（s = vt）。
- 速度=s÷ t，时间=s÷ v。
2. 相遇问题。
- 公式：s_总=v_1t + v_2t=(v_1+v_2)t（s_总表示总路程，v_1、v_2分别表示两者的速度，t表示相遇时间）。
- 例题：甲、乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲的速度是3千米/小时，乙的速度是2千米/小时，几小时后两人相遇？- 解析：设t小时后两人相遇。
根据相遇问题公式s_总=(v_1+v_2)t，这里s_总 = 20千米，v_1=3千米/小时，v_2=2千米/小时。
则(3 + 2)t=20，5t = 20，解得t = 4小时。
3. 追及问题。
- 公式：s_追及=v_1t - v_2t=(v_1-v_2)t（s_追及表示追及路程，v_1表示快者速度，v_2表示慢者速度，t表示追及时间）。
- 例题：甲、乙两人相距5千米，甲以6千米/小时的速度追赶乙，乙以4千米/小时的速度逃跑，甲几小时能追上乙？- 解析：设甲t小时能追上乙。
根据追及问题公式s_追及=(v_1-v_2)t，这里s_追及=5千米，v_1=6千米/小时，v_2=4千米/小时。
则(6 - 4)t=5，2t = 5，解得t = 2.5小时。
二、工程问题。
- 工作总量 = 工作效率×工作时间（W = p× t）。
- 工作效率=W÷ t，工作时间=W÷ p。
通常把工作总量看成单位“1”。
2. 合作问题。
- 公式：1=(p_1+p_2)t（p_1、p_2分别表示两者的工作效率，t表示合作时间）。
- 例题：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作需要几天完成？- 解析：设两人合作需要t天完成。
甲的工作效率p_1=(1)/(10)，乙的工作效率p_2=(1)/(15)。
根据合作问题公式1 = ((1)/(10)+(1)/(15))t，(1)/(10)+(1)/(15)=(3 +2)/(30)=(1)/(6)，则(1)/(6)t = 1，解得t = 6天。
一元一次方程应用题——行程问题
行程问题【基本关系式】（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）基本类型①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。
常见的还有：相背而行；环形跑道问题。
【经典例题】例1．甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？例2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。
A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
【专项训练】一、行程（相遇）问题A．基础训练1.小李和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60米，小刚每分走90米，几分钟后两人相遇？2.小明和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，5分钟后两人相遇，小刚每分走80米，小明每分走多少米？3.王强和赵文从相距2280米的两地出发相向而行，王强每分行60米，赵文每分行80米，王强出发3分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？4.两辆车从相距360千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇？5.两村相距35千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行了多长时间？6.甲乙二人从相距45千米的两地同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后二人相遇，求两人的速度。
一元一次方程应用题,相遇及追击问题
追者路程＝被追者路程＋相隔距离
甲的路程＋乙的路程＝总路程
全效学习 P90、91
作业：
家
学 校
追 及 地
400米
80x米
180x米
例2、小明每天早上要在7:50之前赶到距离家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上他。 （1）爸爸追上小明用了多少时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？
精讲 例题
分 析
线段图分析：
甲
乙
A
B
80千米
第二种情况： A车路程＋B车路程-相距80千米= 相距路程
路程角度：甲的路程 ＋ 乙的路程 =AB之间的距离
问题二：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，相遇时，甲行走的路程是多少？
数学在生活、经济、科技中的应用
(1)学会借助线段图分析等量关系; (2)在探索解决实际问题时,应从多角度思考问题.
问题一：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，问他俩几小时可以相遇？ 解：设他俩 小时后相遇， 由题意得 答：他们 小时后相遇。
问题二：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，相遇时，甲行走的路程是多少？
A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。 （1）若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后与A车相遇？
Байду номын сангаас
分 析
路程角度： 乙先行路程 ＋ 乙后行路程 =甲的路程
一元一次方程经典行程问题
一元一次方程经典行程问题行程问题一、相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程=总路程二、追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程=前者走的路程＋两地间的距离三、环形跑道问题：1、甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。
2、甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人第一次相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。
四、航行问题1、飞行问题，基本等量关系：顺风速度=无风速度＋风速逆风速度=无风速度－风速顺风速度－逆风速度=2×风速2、航行问题，基本等量关系：顺水速度=静水速度＋水速逆水速度=静水速度－水速顺水速度－逆水速度=2×水速练：一、追及问题1.甲乙两人相距40千米，甲在后乙在前，两人同向而行，甲先出发1.5小时后乙再出发，甲的速度为每小时8千米，乙的速度为每小时6千米，甲出发几小时后追上乙？2、一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，知道与其他队员会和。
1号队员从离队开始到与队员重新会和，经过了多长时间？3.在3点钟和4点钟之间，钟表上的时针和分针什么时间重合？4.甲步行上午7时从A地出发，于下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，问乙在什么工夫追上甲的？分析:设A，B两地间的距离为1，根据题意得:甲步行走全程需要10小时，则甲的速度为_______.乙骑车走全程需要5小时，则乙的速度为_______.2、相遇问题1.甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行45千米，途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇。
乙车每小时行多少千米？。
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——相遇问题
运用方程解决实际问题的一般过程是:
1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系; 2.设元:选择一据相等关系列出方程; 4.解方程:求出未知数的值; 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际 情形,并写出答案.
问题引入
甲
450km
乙
先行路程
慢车路程
＋
快车的总路程
练习
1. 甲乙两人骑自行车同时从相距65千米 的两地相向而行，经过2小时相遇。已 知甲比乙每小时快2.5千米，求乙每小 时行多少千米？
2x+2(2.5+x) =65 x =15
练习
2. 甲、乙两地相距1 500千米，一辆吉普 车从甲地出发，每小时行60千米，当 它行了100千米后，一辆客车才以每小 时40千米的速度从乙地相向而行，几 小时后两车相遇？此时吉普车行了几 千米？
思考 本节课你有什么收获？学会了列方程解 决哪些问题？
相遇问题的等量关系： ☺甲走的路程+乙走的路程=甲乙出发点 的距离 ☺甲先走的路程+甲后走的路程+乙走的 路程=甲乙出发点的距离
作业
习题 练习册
解：（1）设两车同时开出，相向而行，x小时 相遇。根据题意，得
65x＋85x ＝ 450 合并同类项，得
（1）两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？ （2）快车先开1个小时，两车相向而行，慢车行 驶了多少小时两车相遇？
讨论
（1）两车同时开出，相向 而行，多少小时相遇？
甲
450km
乙
慢车的路程
快车的路程
相等关系：总路程＝慢车的路程＋快车的路程
讨论
（2）快车先开1个小时，两 车相向而行，慢车行驶了多 少小时两车相遇？
答：快车先开1个小时，两车相向而行，慢车行驶了 2.5小时两车相遇。
100+60x+40x =1500 x =14 940千米
思考：相遇问题的题型和等量关 系有哪些？
一、相遇问题的基本题型
1、同时出发（两段） 2、不同时出发 （三段 ）
二、相遇问题的等量关系
s先 s甲 s乙 s总
s甲 s乙 s总
甲、乙两人从相距为180千米的 A、B两地同时出发相向而行，已知 甲的速度为每小时15千米，乙的速 度为每小时45千米。问何时甲、乙 两人相距60千米？
计算下列各题 （1）甲每小时行4公里，行走了2小时， 一共走了多少公里？ （2）乙每小时行6公里，行走了8小时， 一共走了多少公里？
行程问题中的基本关系量有哪些？它们有什么关系？ 基本关系量：路程，速度，时间 关系： 路程＝速度时间
例题讲解
例1：甲乙两站的路程为450千米，一列
慢车从甲站开出，每小时行驶65千米， 一列快车从乙站开出，每小时行驶85 千米。
15X A
相距60km
45X B
180km 解：设x小时后，甲、乙两人相距60千米。 （1）当两人相遇前相距60千米时。根据题意，得： 15x+45x+60=180 移项，得 15x+45x＝180-60 合并同类项，得 60x＝120 系数化为1，得 x＝ 2
15X A
相距60km
45X
B
180km （2）当两人相遇后相距60千米时。根据题意，得： 15x+45x-60=180 移项，得 15x+45x＝180+60 合并同类项，得 60x＝240 系数化为1，得 x＝ 4 答： 在2小时或4小时后，甲、乙两人相距60千米。
150x =450
系数化为1，得
x =3
答:两车同时开出，相向而行，3小时后相遇。
（2）设快车先开1个小时，两车相向而行，慢车行 驶了x小时两车相遇 。根据题意，得
65x+ 85×0.5＋85x ＝ 450 移项，得 150x =450-85×1 合并同类项，得
150x =375
系数化为1，得
x =2.5