2-3电路的对偶性
电路的对偶
引言：对偶是自然界中普遍存在的一种特殊现象。
在分析和研究自然规律中，利用对偶现象，可以有效地揭示元素之间一些相似或相对的内在联系，简化认知事物的过程。
一、电路的对偶现象在纯电阻电路中，串联总电阻与各电阻的关系为：总电阻R S =R 1+R 2+R 3+…+R n ；同样在纯电阻电路中，并联总电导与各电导的关系为：总电导G S =G 1+G 2+G 3+…+G n 。
它们的数学表达形式很相似，这种相似性表现为对偶。
又如电容元件的电流与加在它两端的电压关系为：i=Cdu/dt ；而电感元件的电压与流经它的电流关系为：u=Ldi/dt 。
这两种元件的电流电压关系表达式也呈现对偶现象。
二、电路的对偶关系电路中某些元素之间的关系（或方程），用它们的对偶元素对应地置换后，所得的新关系（新方程）也一定成立，后者与前者互为对偶。
[1]电路元素之间的一些对偶关系如下表：（一）电路元件的对偶组成电路的元件中，两者之间互为对偶的元件有电阻R 与电导G 、电容C 与电感L 、电压源U S 与电流源I S 等。
下图是电源的对偶：图1和图2是电压源和电流源的模型，其对应的电压和电流表达式分别如下：U=U S -R S I ，I=I S -G S U ，它们互为对偶。
（二）电路的结构对偶由电路元件组成的不同结构之间的对偶有串联与并联、开路与短路、回路与节点等。
（三）电路的定律对偶基尔霍夫定律包含电流和电压两个定律，这两个定律互为对偶。
KCL 指出：任一时刻，流入电路中的任一节点的各支路电流代数和恒等于零，即Σi=0。
而KVL 指出：任一时刻，沿电路中的任一回路绕行一周，所有支路电压代数和恒等于零，即Σu=0。
KCL 与KVL 是对偶关系。
它的子元素如电流与电压、节点与回路、串联与并联也互为对偶。
（四）电路参数的对偶二端口网络是具有2个端口的电路，端口与电路内部网络相连接。
图3是反映二端口网络的阻抗参数的等效电路。
阻抗参数Z 的矩阵方程形式为：Z 11Z 12Z 21Z 22[]图4是反映二端口的导纳参数的等效电路。
6.4电路的对偶性
☐如果电路的节点方程与电路的网孔方程不仅形式相同，各项系数以及激励的数值相同，那么电路方程的解也分别相等，称这样的两个电路互为对偶电路(dual circuit)。
☐在电路理论中，电路的结构、连接方式、定律、元件、参数、名词、变量及其关系式等都存在互相对偶性。
2
5
方程比较：
136
63
1666246
426634
34535m S m S m S R R R R R i R i R R R R R i R i R R R R R i u ++---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++-=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
136636616
2464
2663534345ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆS n n S n S G G G G G G u u G G G G G u G u u i G G G G G ⎡⎤⎡⎤++---⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥-++-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
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电压电流
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☐电压源的极性沿着顺时针方向升高时,对偶电流源的电流方向指向该网孔对应的节点方向.
☐电压源的极性沿着逆时针方向升高时,对偶电流源的电流方向指向该网孔对应的节点的反方向.
☐电流源的电流与网孔电流的方向相同时,对偶电压源的正极性落在该网孔对应的节点上.
☐电流源的电流与网孔电流的方向相反时,对偶电压源的负极性落在该网孔对应的节点上.
13。
电路的对偶性
对偶，是大自然中最为广泛存在的。
一一对应，成双成对出现的事物称为对偶事物。 在电路中，对偶现象普遍存在。 回顾前面学过的内容，我们会发现，电路分 析中某些变量、元件、电路定律、分析方法及定 理等之间存在某一规律或具有某种关系。
2.9 电路的对偶性 2.9.1 对偶原理(Dual Principle)
G1 G 2 u n1 G 2 u n 2 is1
G 2 u n1 G 2 G 3 u n 2 i s 2
2.9 电路的对偶性 2.9.3 电路中的对偶原理应用
以上所述只是电路对偶性(Duality)的几个例子，认识到这 种对偶性有助于掌握电路的规律，由此及彼，举一反三，一举 两得，事半功倍。
2.9 电路的对偶性 2.9.2 电路中的对偶原理
电路的对偶特性是电路的一个普遍性质，电路中存在大量 对偶元素，表2-1中列出了一些常用的互为对偶的元素。 表2-1 互为对偶的元素
2.9 电路的对偶性 2.9.2 电路中的对偶原理
对偶关系：
基本定律 U=RI U=0 分析方法 对偶结构 网孔法 串联 网孔 I=GU I=0 节点法 并联 节点 Y 对偶结论 对偶元件 R L G C
+
-
uS1 im1
im2
+
立电压源，串联电阻电路换为并
对关系式作适当的更换就可得出 另一相对应关系式的情况。
uS2 联电导电路，
网孔电阻阵
CCVS T形
节点导纳阵 VCCS
形
两个电路互为对偶电路。
2.9 电路的对偶性
R1 + R3
R2
un1 G2 un2
+
-
uS1 im1
对偶原理_电路实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解电路对偶原理的基本概念和原理。
2. 掌握如何通过电路对偶原理分析电路的特性。
3. 应用对偶原理解决实际电路问题。
二、实验原理电路对偶原理是指在电路中，如果将电压源与电流源、短路与开路、串联与并联、电阻与电导、电容与电感等元件进行对偶替换，电路的输入输出特性将保持不变。
对偶原理在电路分析中具有重要作用，可以简化电路的复杂度，提高分析效率。
三、实验仪器与设备1. 电路实验箱2. 电阻3. 电容4. 电感5. 电压表6. 电流表7. 电源四、实验步骤1. 搭建电路：根据实验要求，搭建相应的电路，如串联电路、并联电路、电阻分压电路等。
2. 测量数据：使用电压表和电流表测量电路中各个元件的电压和电流值，记录实验数据。
3. 对偶替换：根据对偶原理，将电路中的电压源替换为电流源，电阻替换为电导，电容替换为电感，进行对偶替换。
4. 重新测量数据：对对偶替换后的电路进行测量，记录电压和电流值。
5. 对比分析：对比对偶替换前后的实验数据，分析电路对偶原理在实际电路中的应用。
五、实验结果与分析1. 串联电路对偶替换：- 原电路：电压U = IR，其中R为电阻，I为电流。
- 对偶替换后：电流I = UR，其中U为电压，R为电导。
通过对偶替换，我们可以发现，电路的输入输出特性并未改变，只是元件的参数发生了变化。
2. 并联电路对偶替换：- 原电路：电压U = I1R1 + I2R2，其中R1、R2为电阻，I1、I2为电流。
- 对偶替换后：电流I = UR1 + UR2，其中U为电压，R1、R2为电导。
同样地，对偶替换后的电路输入输出特性并未改变，只是元件的参数发生了变化。
3. 电阻分压电路对偶替换：- 原电路：电压U = I1R1 + I2R2，其中R1、R2为电阻，I1、I2为电流。
- 对偶替换后：电流I = UR1 + UR2，其中U为电压，R1、R2为电导。
通过对偶替换，我们可以发现，电阻分压电路的输入输出特性并未改变，只是元件的参数发生了变化。
电路的量纲模型与相似性原理和对偶性原理
电路的量纲模型与相似性原理和对偶性原理
朱明;朱嘉慧
【期刊名称】《电工技术》
【年(卷),期】2024()9
【摘要】宇宙量纲模型的思想适用于任何系统,物理系统适用,电路系统也同样适用。
系统地分析总结了电路运行的基本原理,确定了电路系统的量纲,提出了电路的量纲
模型、相似性原理和对偶性原理及规律拓展性原理等概念,并给出了相似性原理和
对偶性原理的一些应用实例。
【总页数】10页(P7-15)
【作者】朱明;朱嘉慧
【作者单位】上海大学机电工程与自动化学院;加拿大·多伦多大学
【正文语种】中文
【中图分类】TM11;TM133;TM135
【相关文献】
1.相似性原理和工程分解原理在船舶建造中的应用
2.结构相似性原理在半导体集成电路检验中的应用
3.基于对偶性原理的三相多芯柱变压器暂态模型
4.基于对偶性
原理的配电变压器高频电磁暂态模型5.基于对偶性原理的配电变压器高频电磁暂
态模型
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数电课后习题及答案
题1.1 完成下面的数值转换：（1）将二进制数转换成等效的十进制数、八进制数、十六进制数。
①（0011101）2 ②（11011.110）2 ③（）2解： ① （0011101）2 =1×24+ 1×23+ 1×22+ 1×20=(29)10 （0011101）2 =(0 011 101)2= (35)8 （0011101）2 =(0001 1101)2= (1D)16 ② (27.75)10，(33.6)8，(1B.C )16； ③ (439)10，(667)8，(1B7)16；（2）将十进制数转换成等效的二进制数（小数点后取4位）、八进制数及十六进制数。
①（89）10 ②（1800）10 ③（23.45）10 解得到：① (1011001)2，(131)8，(59)16； ② ) 2，(3410) 8，(708) 16③ (10111.0111) 2，(27.31) 8，(17.7) 16；（3）求出下列各式的值。
①（54.2）16?=（）10 ②（127）8?=（）16 ③（3AB6）16?=（）4 解 ① (84.125)10；② (57)16；③ (3222312)4； 题1.2 写出5位自然二进制码和格雷码。
题1.3 用余3码表示下列各数①（8）10 ②（7）10 ③（3）10 解（1）1011；（2）1010；（3）0110题1.4 直接写出下面函数的对偶函数和反函数。
解题1.5 证明下面的恒等式相等1、(AB+C)B=AB+BC=AB ( C+C')+ ( A+A')BC=ABC +ABC'+ABC + A'BC= ABC+ABC'+ A'BC 2、AB'+B+A'B=A+B+A'B=A+B+B=A+B3、左=BC+AD ， 对偶式为(B+C)(A+D)=AB+AC+BD+CD右=(A+B)(B+D) (A+C)(C+D)，对偶式为： AB+AC+BD+CD 对偶式相等，推得左=右。
分压电路和分流电路
练习题1 求图示电路中的电压u1和u2 。 练习题2 求图示电路中的电流i1和i2 。 练习题3 求图示电路中的电流i2，iS和电压u 。
二、电阻分流电路 图 2－7表示一个电流源向两个并联电阻供电的电路，下
面对这个电阻并联电路进行分析，得出一些有用的公式。
图 2－7
对图 2－7所示分流电路列出KVL方程
列出KCL方程
列出VCR方程 将电阻元件的欧姆定律代入KCL方程，得到电压u的计
算公式
将它代入电阻元件的欧姆定律，得到计算电阻电流的 分流公式
例2－3 电路如图2－8所示，计算各支路电流。
图2－8
解: 根据两个电阻并联分流公式得到3和6电阻中的电流 根据两个电阻并联分流公式得到12和6电阻中的电流
图2－8
根据结点a的KCL方程计算出短路线中的电流i5
也可以根据结点b的KCL方程计算出短路线中的电流i5
读者应该注意到，短路线中的电流i5=1A与总电流 i=3A是不相同的。
例2－1 电路如图2－3所示，求R=0,4,12，∞时的电压Uab。
图2－3
解: 利用电阻串联分压公式可以求得电压Uac和Ubc
将电阻R之值代入上式，求得电压Ubc后，再用KVL求得 Uab，计算结果如下所示：
R
0
4
12
∞
Uac
6V
6V
6V
6V
Ubc
8V
6V
4V
0V
Uab ＝Uac－Ubc
-2 V
1
0.889
0.75
0.64
0.556
0
根据以上数据可以画出电压、电流和功率随负载电阻变化
的曲线，如图2－6所示。
由此可见：
电子电路中的对偶原理分析
电子电路中的对偶原理分析【摘要】电子电路是我国当前所有电气设备的基础，没有电子电路这一基础构造，先进的电气设备自然也就无从谈起，因此可以说，详细的了解电子电路中的相关理论和具体构成，对于电子电路的完善起到了基础性作用，对于我国工业技术的发展也将产生极大的推动作用。
正因如此，本文对于电子电路在正常运行中存在的对偶现象进行了分析，阐述其理论结构，并且探讨这一理论在实践中进行电路分析时的具体应用，以期能够为学界和业界提供相应的借鉴和思路。
【关键词】电子电路；对偶原理；电气设备；拓扑结构随着人类科学技术的不断发展，当今工业实践中所采取的电子电路结构日益复杂，其内部的拓扑结构种类日益繁多，在电子电路中起到了基础性的作用，在理论上，所有的电路结构都可以说是多个基础性电子拓扑结构的总和。
因此，若想能够真正的了解电子电路的结构及其作用，就必须对于电子电路的拓扑结构进行详细的研究，因此，采取对偶原理是最为有效地方式方法。
实践中，只有在平面电路中才能应用对偶原理，但是随着社会科学技术的不断发展，当今人们所应有的绝大多数不是平面的电子电路。
因此，对偶原理在应用中受到了极大地限制，尤其是如何在非平面结构的电路中应该对偶原理便成为当今学界和业界所共同关注的重要问题，比如在1946年是，学者Block便对于这一问题进行了详细的研究，认为应当发展一种最大程度能够适用于各种非平面电路的变压器，以期来实现简便的对偶更换[1]。
但是，在当今的实践中，这种设想中的变压器并没有得到出现和应用，对于非平面电路的变压器，我们仍然需要依照对偶原理进行详细、深入的分析和研究。
一、对偶原理基础结构对偶原理是存在于自然界的一种客观规律，简而言之，其本质就是在自然世界中，两类客观变量存在着同样的性质和地位，其中，如果这两类客观变量中的某一变量定理得以成立，那么其对偶元素的对偶定理也成立。
因此可以说，采取对偶原理，可以非常便捷、方便、准确的对于客观事实进行分析和研究，几乎所有的人类自然科学领域都应用到对偶原理，在电力学中自然也不例外[2]。
电路(第二章 网孔分析与节点分析)
(1)i1 u 5V (2)i 2 u 10V
补充方程
i1 2i2 5A i1 i2 7 A
i1 i 2 7A
1
求解以上方程得到： i
3A
返 回
i2 4A
u 2V
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电路分析基础
例4 电路如下图所示，试求流经30Ω（R3）电阻的电流i3。 已知：us=40V，is=2A，R1=20Ω，R2=50Ω，R3=30Ω。 解：假定两网孔电流iM1和iM2都为顺时针方向。
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电路分析基础
整理为
5i1 2i 2 i3 12A 2i1 11i 2 6i3 6A i1 6i 2 10i3 19A
解得：
i1 1A i2 2A
i3 3A
i4 i3 i1 4A i5 i1 i2 3A i6 i3 i2 1A
电路分析基础
小结
网孔电流是一组独立的电流变量，具有 完备性和独立性，其个数为m=b-(n-1)<b;
网孔电流方程根据电路可以直接写出， 所以网孔电流法比1b法更方便；网孔方程 的实质就是关于网孔的KVL方程 含电压源支路多且网孔数少的电路宜用 网孔电流分析法。
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电路分析基础
解：选定各支路电路的参考方向。
R1 i1 i3 R3
R2
+
假定两网孔电流iM1、iM2都是 + us1 顺时针方向。
i2 u s2
自电阻： R11 R1 R3 5 20 25， R22 R2 R3 10 20 30。 互电阻：R12 R21 R3 20
《电路分析基础》_第2章-1
US1
+
i1
i2 R3
_
US2
_
_
R2 0 i1 U S1 U S 2 R1 R 2 R i U R R R 2 2 3 3 2 S2 R3 R3 R4 0 i3 US4
－
2 i1
1 + 10V
－
5 i3 3 i3 4A
i2 2 i 2
i1=2A
i2=－1A
b).若电路中存在电阻与电流源并联单口，则可先等效变 换为电压源和电阻串联单口，将电路变为仅由电压源和电
阻构成的电路，再建立网孔方程的一般形式。
2 i1 + 4V
－
4 + 10V
－
2 i1 + 4V
7 15 0 5 5 10 0 10 13 i2 ? 7 5 0 5 21 10 0 10 13
15 5 10 i1 7 5 0
5 0 21 10 10 13 ? 5 0 21 10 10 13
110 11 10 5 5 10 7 1 7 0 10 13 10 13 i2 7 5 0 122 7 5 0 11 10 122 7 1 7 5 21 10 0 10 10 13 7 0 10 13 0 10 13
R11 R21 R 31
R12 R22 R32
R13 i1 u S 11 R23 i2 u S 22 i u R33 3 S 33
其中：
RKK称为网孔K的自电阻，它们分别是各网孔内全部 电阻的总和，恒为正号。 例如 R11= R1+ R4+ R5 ,
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解：将两个电位用两个电压源 替代，得到图(b)所示电路。 当电位器滑动端移到最下 端时，a点的电位为
1k 24V 12V 10V 1k 10k 1k 当电位器滑动端移到最上端时，a点的电位为 Va U cd 12V
10k 1k Va U bd 12V 24V 12V 10V 1k 10k 1k 当电位器滑动端由下向上逐渐移动时，a点的电位将从
ik Gk i
k
分压公式
uk
Rk
Rk
k 1
n
u
分流公式
G
k 1
n
当两个电阻并联时，常常用电阻参数表示的分流公式：
R2 i1 i R1 R2 ＋
R1 i2 i R1 R2 ＋
注意：当电流i1或i2的参考方向改变时，上面两个公式中 应该增加一个负号。
例1-12 图(a)所示电路为双电源直流分压电路。 试求电位器滑动端移动时，a点电位Va的变化范围。
i
k 1
n
k
0
3．基尔霍夫电压定律(KVL)陈述为：对于任何集总参数电
路，在任一时刻，沿任一回路或闭合结点序列的各段电 压的代数和等于零。其数学表达式为
u
k 1
n
k
0
4．一般来说，二端电阻由代数方程f(u,i)=0来表征。线性 电阻满足欧姆定律(u=Ri)，其特性曲线是u-i平面上通过 原点的直线。 5．电压源的特性曲线是u-i平面上平行于i轴的垂直线。电 压源的电压按给定时间函数uS(t)变化，其电流由uS(t)和 外电路共同确定。
Rb=Rg+R5+R4+R3=2k+5.4k+540+54=7994。 当电表指针满偏转的电流 Ig=37.5A时，万用电表的电 流 I=50mA。 对图(b)所示电路，用两个电阻并联时的分流公式
Rb Ia I Ig I Ra R b
求得
Ra R1 R 2 Ig I Ig Rb
对偶电路的电路方程是对偶的，由此导出的各种公式和结果 也是对偶的。例如对图(a)和(b)电路可导出以下对偶公式
u ( R1 R2 )i u i R1 R2 R1 u1 u R1 R2 R2 u2 u R1 R2
i (G1 G2 )u i u G1 G2 G1 i1 i G1 G2 G2 i2 i G1 G2
§2－3电路的对偶性
本节通过对分压电路和分流电路的讨论，介绍电路对 偶性概念。
分 压 电 路
分 流 电 路
KCL:
KVL: VCR:
i=i1=i2
u=u1+u2 u1=R1i1 u2=R2i2 u＝uS
KVL:
KCL: VCR:
u=u1=u2
i=i1+i2 i1=G1u1 i2=G2u2 i=iS
代入数值
37.5 10 6 R1 R2 7994 6 3 6 50 10 37.5 10
电表工作在500 mA量程时的电路模型如图(c)所示，其
中Ra=R1以及Ra+Rb= R1+ R2+ R3+ R4+ R5+ Rg=8 000。用 分流公式
Ra R1 Ig I 500 mA 37.5μA Ra Rb 8000
求得
8000 R1 37.5μA 0.6 500 mA
最后得到 R1=0.6，R2=6-0.6=5.4。
摘
要
1．实际电路的几何尺寸远小于电路工作信号的波长时，可 用电路元件连接而成的集总参数电路(模型)来模拟。基
尔霍夫定律适用于任何集总参数电路。
2．基尔霍夫电流定律(KCL)陈述为：对于任何集总参数电 路，在任一时刻，流出任一结点或封闭面的全部支路电 流的代数和等于零。其数学表达式为
这两个电路的2b方程存在着一种对偶关系: 1. 拓扑对偶
如果将某个电路KCL方程中电流换成电压，就得到另
一电路的 KVL方程；将某个电路KVL方程中电压换成电 流，就得到另一电路的 KCL方程。这种电路结构上的相似 关系称为拓扑对偶。
2. 元件对偶 将某个电路VCR方程中的u换成i, i换成u，R换成G，G 换成R等，就得到另一电路元件的VCR方程。这种元件 VCR方程的相似关系，称为元件对偶。 3. 对偶电路 若两个电路既是拓扑对偶又是元件对偶，则称它们是 对偶电路。上图(a)和图(b)就是对偶电路。
-10V到+10V间连续变化。
例l-13 某MF－30型万用电表测量直流电流的电原理图如 下图 (a)所示，它用波段开关来改变电流的量程。 今发现线绕电阻器R1 和R2 损坏。问应换上多大数值
的电阻器，该万用电表才能恢复正常工作?
解: 电表工作在50mA量程时的电路模型如图(b)所示。
其中： Ra=R1+R2 以及
9．由电阻和电压源构成的电路，可以用b个支路电流作为 变量，列出b个支路电流法方程，它通常由(n-1)个结点 的 KCL方程和(b-n+1)个网孔的KVL方程构成。 10．两个电阻串联时的分压公式和两个电阻并联时的分流 公式为
uk
Rk
R
k 1
n
u
ik
Gk
k
G
k 1
n
i
k
6．电流源的特性曲线是u-i平面上平行于u轴的水平线。电 流源的电流按给定时间函数iS(t)变化，其电压由iS(t)和
外电路共同确定。 7．对于具有b条支路和n个结点的连通电路，有(n-1)个线
性无关的 KCL方程，(b-n+1)个线性无关的KVL方程和 b个支路特性方程。 8．任何集总参数电路的电压、电流都要受KCL、KVL和 VCR方程的约束。直接反映这些约束关系的2b方程是 最基本的电路方程，它们是分析电路的基本依据。