8_电路的对偶

电路的对偶
摘要：电路的元件、参数、结构和定律等均具有对偶现象，利用电路的对偶关系，为分
析电路提供一种便捷的方法。
s 引言：
对偶是自然界中普遍存在的一种特殊现象。在分析和研究自然规律中，利用对偶现象，可
以有效地揭示元素之间一些相似或相对的内在联系，简化认知事物的过程。
一、电路的对偶现象
在纯电阻电路中，串联总电阻与各电阻的关系为：总电阻RS=R1+R2+R3+…+Rn；同样在
纯电阻电路中，并联总电导与各电导的关系为：总电导GS=G1+G2+G3+…+Gn。它们的数学表
达形式很相似，这种相似性表现为对偶。又如电容元件的电流与加在它两端的电压关系为：
i=Cdu/dt；而电感元件的电压与流经它的电流关系为：u=Ldi/dt。这两种元件的电流电压关系表
达式也呈现对偶现象。
二、电路的对偶关系
电路中某些元素之间的关系（或方程），用它们的对偶元素对应地置换后，所得的新关系
（新方程）也一定成立，后者与前者互为对偶。
[1]电路元素之间的一些对偶关系如下表：
（一）电路元件的对偶
组成电路的元件中，两者之间互为对偶的元件有电阻R与电导G、电容C与电感L、电压
源US与电流源IS等。下图是电源的对偶：
图1和图2是电压源和电流源的模型，其对应的电压和电流表达式分别如下：U=US-RSI，
I=IS-GSU，它们互为对偶。
（二）电路的结构对偶
由电路元件组成的不同结构之间的对偶有串联与并联、开路与短路、回路与节点等。
（三）电路的定律对偶
基尔霍夫定律包含电流和电压两个定律，这两个定律互为对偶。KCL指出：任一时刻，流
入电路中的任一节点的各支路电流代数和恒等于零，即Σi=0。而KVL指出：任一时刻，沿电
路中的任一回路绕行一周，所有支路电压代数和恒等于零，即Σu=0。KCL与KVL是对偶关系。
它的子元素如电流与电压、节点与回路、串联与并联也互为对偶。
（四）电路参数的对偶
二端口网络是具有2个端口的电路，端口与电路内部网络相连接。图3是反映二端口网络
的阻抗参数的等效电路。
阻抗参数Z的矩阵方程形式为：
Z11 Z12Z21 Z22
图4是反映二端口的导纳参数的等效电路。
导纳参数Y的矩阵方程的形式为：
Y11 Y12Y21 Y22
以上二端口网路的开路阻抗参数Z和短路导纳参数Y互为对偶。
（五）电路结论的对偶
电路中某些结论存在对偶，如开路电流为零与短路电压为0互为对偶的结论；又如数字电
路运算中A?A=A与A+A=A这两个结论也互为对偶。
三、电路对偶的分析
由于电路对偶的存在，运用它来分析电路，可同时获得电路及它的对偶电路的解，一举两
得。
（一）无源网络的对偶
在单相交流电路中，分析R-L串联电路（图5）和它的对偶电路（图6）的电压、电流的关
系。
图5中RL串联电路的等效阻抗为Z=R+jωL；端电压U与电流I的关系为U=ZI。图6并联
电路的等效导纳为Y=G+jωC。
端电流I与电压U的关系为I=YU。若参数R与G、C与L在数值上相等，且接在频率相
同的正弦交流电路中，则两个电路的U与I数值相等。这个关系也可以用矢量图来表示：R-L
串联电路的矢量关系为图7；G-C并联电路的矢量关系为图8。
两矢量对应重合，即两电路互为对偶关系。
（二）有源网络电路的对偶分析
如图9是一个有源网络的平面电路，对它进行求解，可使用网孔法，方程组为：
（R1+R2）IL1-R2IL2=us-（R2-rm）IL1+（R2+R3）IL2=0
根据对偶原理，将对偶量相应地置换后，可以转换成另一个电路（图10），它的节点方程
组：
（G1+G2）VN1-G2VN2=is-（G2-gm）VN1+（G2+G3）VN2=0
电路分析方法的对偶是电路多种元素对偶的综合体现。上述对偶电路的对应元素有：（1）
回路电压法与支路电流法的对偶；（2）电阻串联与并联的对偶；（3）电压源与电流源的对偶；
（4）电流控制电压源（CCVS）与电压控制电流源VCCS的对偶。若对偶元素数值相等，则在
数值上两个电路同解：IL1=VN1；IL2=VN2。
小结：
1.根据对偶原理，如果导出电路中某一关系和结论，就等于解出了与它相对偶的另一关系
和结论。例如，含源一端口电阻网络的两种等效：（UOC，Ri）和（isc，Gi）互为对偶，只要
论证了戴维南定理的正确性，它的对偶――诺顿定理自然也成立。
2.互为对偶电路的特征方程和特征值相同，由对偶方程导出的各种公式和结果也是对偶的。