[课件]定积分在医学中的应用PPT
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第七讲定积分的应用35页PPT
图形之面积。
解 (i)求交点
y2 x x0 x1 yx2 y0 y1
(ii)相应于[0,1]上任一小区间[x,x+dx]的小窄条
面积的近似值，即面Y积元素
dA( xx2)dx y
y x2 y x
2
(iii)所求面积
1
A (
xx2)dx
1
o x x+dx
0
3
x
例２ 求由抛物线 y2 2x 与直线 xy4
y
Aa b21co2 std t
0
2
b
ab(t 1sin2t)2
22
0
-a o
ax
-b
ab
练习 1 .求由曲线 xaco3t,syasi3nt 所围图 形面积。
2.求由曲线 r3acos及 r1cos所围
图形的公共部分的面积
y a
-a o a x -a
Y
1 S1
0.5
S2
0.5 1 1.5 2 -0.5
x
-1
答案
1.所求面积
A4
a 0
ydx4
0
asin3 td(ac
o3st)
2
12a2 2 sin4 tco2stdtY12a2 2 sin4 t(1sin2 t)dt
0
0
12a2(3 1 5 3 1) 3a2
422 6422 8
2.所求面积
A2(S1S2)
解方 rr程 1 3 cc组 o o s得 s A 点 的极 (2 3坐 , 3) 标
x
A A 1A 20 2 3d1A 2 3 3 d2 A 9 4
y(x2)21
二、极坐标情形
3.3 定积分的应用医学高等数学课件
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为
r dV x dx h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V
h
0
h r hr x dx . 0 2 h 3 3 h
2
r 2 x3
2
类似地，如果旋转体是由连续曲线
1 2
3
1
情形3 我们如图做出面积微元，这时我 们所求阴影部分的面积即为
f1(x)
dA1
dA 1 f1 ( x) f 2 ( x)dx dA2 f 2 ( x) f1 ( x)dx
a
c
dA2
f2(x)
c
b c
b
A A1 A2 f1 f 2 dx f 2 f1 dx
b
b x
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a , b]分成 n个长度为 x i 的小区间， 相应的曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形的面积为 Ai ，则 A Ai .
n i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
i [ xi 1, xi ]
i 1 n
直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x ) (a x b) ，其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a , b ] 上任取小区间[ x , x dx ]，
y
dy
o a x x dx b
x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx )2 (dy )2 1 y 2 dx
人教课标版《定积分的应用》PPT
汽车在这 1 min 行驶的路程。
v/m/s
30 A
B
O 10
C t/s
40 60
例4、A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站 开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段的 速度为1.2t(m/s),到C点的速度为24m/s,从C点到 B点前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经ts 后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车,试求 （1）A、C间的距离;（2）B、D间的距离;（3） 电车从A站到B站所需的时间。
b
a [ f2(x) f1(x)]dx
yf2(x)
a
yf1(x)
b
平面图形的面积
b
Aa[f2(x)f1(x)]dx
特别注意图形面积与定积分不一定相等,
如函数ysin x x ［,2 ０ ］ 的图像与 x
轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
课题：定积分的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
用
S＝b| a
h1(y)－ h2(y)|dy求
a
课题：定积分的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
变式引申
4、求曲线 ylog2 x与曲线ylo2g(4x)
x 以及 轴所围成的图形面积。
略解：如图由 ylog2 x得
x f(y)2y 由 ylo2g (4x)
得 xg(y)42y 当 y (0 ,1 )时， g (y ) f(y )
解 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
( 0 ,0 )( , 2 ,4 )( ,3 ,9 ).
y x2
0
A12
(x36xx2)dx
3
第五章定积分的应用0128476页PPT
设 函 数 y f( x ) 在 区 间 a ,b 上 连 续 ,且 f( x ) 0 ,求 以 曲 线
y f( x ) 为 曲 边 ,以 a ,b 为 底 的 曲 边 梯 形 的 面 积 A .
( 1 ) 分 割 将 a , b 任 意 分 成 n 个 子 区 间 x i 1 ,x i ,( i 1 ,2 , L ,n ) ,相
( 3 ) 求 和 曲 边 梯 形 面 积 A 的 近 似 值 为 A n A i n f ( i ) x i
i 1
i 1
( 4 ) 取 极 限 = m a x { x 1 , x 2 , L , x n } , 于 是
n
b
Ali m 0 i 1f(i) xi af(x)dx
y x2
图形面积为
1
A (
0
xx2)dx 2 3x3 21 3x3 1 01 3
O
x
图5-5 例2示意图
例 3 求 由 抛 物 线 y 2 2 x 与 直 线 y x 4 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 .
思考题 1 . 使 用 定 积 分 微 元 法 要 满 足 哪 些 条 件 ?
答案
2 . 请 用 定 积 分 表 示 由 曲 线 y = 1 ,y x ,x 2 所 围 图 形 的 面 积 S . x 答案
3 . 应 用 微 元 法 解 决 实 际 问 题 , 最 重 要 的 一 步 是 什 么 ? 答案
a,b上任取一代表性区间x, x dx
如图17 1所示,区间x, x dx上的小
dA
曲边梯形的面积A可近似以数f (x)为
高,dx为底的小矩形面积f (x)dx,即 Af(x)dx
O a x xdx b x 图 5 1微 元 法 图 形
3.3 定积分的应用
面图形①绕������轴, ②绕������轴旋转一周所得旋转体的体积.
解： ②取������为积分变量，������ ∈ [������, ������]
V
V1
b [ f (x)]2 dx
a
y
r2h
4
[
y ]2 dy
0
22 4
4
ydy
−2 O
解决方法：通过分割和近似代替，将每个小区间上 的曲边用直边来代替，每个小区间上的变力用恒力 来代替！
思想：以直代曲，以恒代变！
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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3.3.1 微元法
y
1.微元法
以计算曲边梯形面积为例：
分割： 区间分割成n个小区间
O
近似：
求和：
取极限：
������ ������
y f2(x)
形面积
A
b
a
f2(x)
f1 ( x) dx
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
y f1( x)
������ ������
������ ������
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3.3.2 定积分在几何上的应用 1.求平面图形的面积
解: 由
得交点(������, ������),(������, ������)
在 [������, ������ + ������������]上的面积微元： d A ( x x2) dx
y
y2 xx (1,1)
1
AdA (
x x2)dx
0
1 3
《医用高等数学》(第二版)4-3定积分的计算
高等数学
1
例 计算 2 arcsinxdx 0
04-03-16
高等数学
2
例 计算 4 sin xdx 0
04-03-17
高等数学
例
计算
1
e
x dx
0
04-03-18
高等数学
04-03-19
课堂讨论题 求下列函数的定积分
（1）
2 x2 cos xdx 0
定理（定积分的分部积分法） 设函数 u(x) 和 v(x) 在区间 [a,b]
上具有连续的导数 u(x) 和 v(x)，则
b u
a
dvu
vb aabvd
u
这就是定积分的分部积分公式。
高等数学
2
例 计算 x ln xdx 1
04-03-14
高等数学
例 计算 1 x e x d x 0
04-03-15
e1
（3）0 ln(1 x)dx
高等数学
04-03-20
小结：定积分的换元法 定积分的分部积分法
作业： P112 习题四 11(4)(6)(7) 12(1)(6)(8)
高等数学
04-03-01
第三节 定积分 的计算
高等数学
例 计算 2 co5sxsinxdx 0
04-03-04
高等数学
例 计算 ln2ex(1ex)2dx 0
04-03-05
高等数学
04-03-06
例 计算 a a2x2dx(a0) 0
高等数学
04-03-07
定理（定积分的换元法）
设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，函
数 x=(t) 满足条件： （1）()=a，()=b；
医药卫生工作中微元法的应用举例
（ ） 是一个 与变量 的变化 区间 ［ ， ］ １ 口 ｂ 有关
的量 ；
（） ２ Ｕ对区间［ ，］ 口 ｂ 具有可加性 ， 就是说 ， 如果
把 区间 ［ ｂ 分成 许 多 部分 区 间 ， ｎ，］ 则 相应 地 分 成 许多 部分 量 ， 而 等于所 有部 分量之 和 ； （ ） 分量 ＡＵ的近 似值可 以表示 为 ： ３部
解： 根据 “ 染料 稀 释法” 的原 理 ， 在时 问 ［ Ｔ 内 ０，］ 取 一小 时间 区 间 ［，＋ ］ 由于 ｄ 变化 不 大 ， 时 ｔｔ ， ｚ 此
间 内染 料 的浓 度 近似等 于 ｔ 时刻 的浓 度 Ｃ ｆ ， 染 （） 则
料量 的微元 为 ｄ Ｄ：Ｃ（） ｄ， 料 总量 为 ： ｔＲ ｔ则染
ｚＵ－ （ △ ａ － ） 戈 ｆ
为：
维方法 。在 处理 问题 时 ， 对 事 物 的极 小 部 分 （ 从 微 元） 分析 人手 ， 到解 决 事 物 整体 的 方法 ， 是 一 种 达 这 深刻 的思 维方法 ， 先 分 割 逼 近 ， 是 找到 规 律 ， 累计 再 求 和 ， 到 了解 整 体 的 目地 。微元 法 在 几何 、 理 、 达 物 力学 、 工程技 术和 医学 等 方 面 都 有着 极 其 广 泛 的应
社 ，０ ０ ２ １．
［ ］ 施培成 ．微 小元素 法种极富 唯物辩证 哲理 的数学方 ３ 法 ［ ］ 科技信息 ， ０ （ ） Ｊ． ２ ９ ３． ０ ［ ］ 吕效 国， ４ 陈康康 ．关于积分微元法的注记 ［ ］ 科技 资 Ｊ．
讯 ， ０ （９ ． ２ ６１） ０
开 始 ， 期 取 血 样 （ 每 隔 １ ） 测 ，经 过 时 间 定 如 ｓ监 （ ｉ） ａ ｒ ｎ 全部 染 色 通 过 取样 点 ， 定 血 样 中含染 料 的 测
第四节定积分的应用0882428页PPT
m 1inaxi
3
一、微元法（曲边梯形的面积A）
由连续曲线y=f(x)≥0与直线 x=a、x=b、y=0
围成的平面图形，称为曲边梯形．
y f (x)
面积微元 dAf(x)dx
o a xxdx b x
x
b
A a f (x)dx
微元法
4
二、平面图形的面积
由曲线 y f 1 ( x ) ， y f 2 ( x ) f 1 ( x ) （ f ２ ( x ) ） 和直线
解：(1)求交点作图
y
yx4
y22x y2，x2 yx4y4，x8
(2)求面积
4 (2,2) 2
o2
2 (2,2)
(8,4)
8x
y2 2x
2
8
A0[ 2x( 2x)]dx 2[ 2x(x4)]dx
或A
4
[(
y
4)
1
y2]dy
2
2
9
以 dx为高的小圆柱体的体积，故所求体积微元为
dx V y2d xf2(x)dx
10
三、旋转体的体积
同理，由曲线 x(y)和直线 yc， yd（ cd）
及直线 x0围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成
的旋转体的体积为
y
Vycdx2dy cd2 (y)dy
d
y dy
422 22 dy
0
4
((
0
yy))22dy 4(4y)dy8. 0
13
三、旋转体的体积（例题）
例3.由曲线 x2(yb)2a2（ 0ab） 围成的图形
绕 x 轴旋转一周所得体积.
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r
r+dr
Q v ( r ) S 2( r v r ) d r P P 1 2 2 2 d Q 2 r v ( r ) d r 2 ( Rrr ) d r 即 4 L
医用高等数学
于是
P P 2 2 2 Q d Q 2 ( Rrr ) d r 0 0 4 L
定积分在医学中的 应用
医用高等数学
定积分？？？医学？？？ 二者会有什么关联？？？
医用高等数学
在医药学领域中，有许多指标 具有一定的累加性。因此，通过 定积分的计算来研究具有累加 性的指标问题，是非常重要的 ！
❶血药浓度—时间曲线下的面积 ❷药物有效度的测定 ❸血液中胰岛素的平均浓度的测定
Байду номын сангаас
医用高等数学
_
6 0 15 2 k ( t 5 ) ( ( 1 0 t t) d t 2 5 e d t ) 5 6 00
0 1 2 1 3 5 5 kt ( 5 )6 ( 5 t t) e 5 6 0 3 01 2 k
1 1 . 6 3 ( 单 位 / m l )
R R 1
R P P 2 3 1 2 ( R r r ) d r 2 L 0
P P 1 22 14 R 1 2 ( R r r) 2 L 2 4 0
P 1P 2 R4 8 L
P1 P2 4 R 因此,单位时间内血管稳定流动的血流量为 8 L
取血管的一个横截面来讨论单位时间内的血流量Q.
1 p
r
p
2
L 医用高等数学
解 血液量等于血流流速 截面积的,由于血液流 速随流层而变化,故在横截面上任取一个内半径为 r,外 半径为 r dr 的小圆环. 小圆环面积
sd s2 r d r
在该小圆环上血液流速可近 似认为是相等的,所以单位时间内 通过该小圆环的血流量
2 4 3 2 1 8 1 0 t 4 0 t 4 5 3 t ( 1 0 2 6 t ) 3 3 04 3 2
2 1 0 1 . 5 9 3 7 5 3 4 0 2 (1 3 7 9 . 2 5 ) 3 0
因此
2 M 25 Q _ 6 . 2 7 5 ( L / m i n ) . 5 9 3 7 5 c () t 1
例3- 59 胰岛素平均浓度的测定
由实验测定患者的胰岛素浓度,先让病人禁食,以降低 体内血糖水平,然后通过注射给病人大量的糖.假定由实验 测得患者的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为
t 5 1 0 t t 0 Ct () k ( t 5 ) t 5 25 2 5 e
医用高等数学
五、定积分在医学上的应用
例3-60 染料稀释法确定心输出量
心输出量是指每分钟心脏泵出的血量,在生理学实验
中常用染料稀释法来测定.把一定量的染料注入静脉,染
料将随血液循环通过心脏到达肺部,再返回心脏而进入动
脉系统. 假定在时刻 t=0 时注入 5mg 的染料，自染料注入后
便开始在外周动脉中连续 30 秒监测血液中染料的浓度,它
医用高等数学
数学是有用的，我们在书本上学习 它的知识，在生活中探寻它的无限 魅力。身为医学生的我们，走进微 积分，走进微积分中的医学故事
谢谢！
医用高等数学
医用高等数学
例3- 61 单位时间内血管稳定流动时血流量
设有一段长为L,截面半径为R的血管,其左端动脉端的 血压为 1 p ,右端相对静脉的血压为 p 2 ( p1 p2 ) ,血液黏滞系 数为 .假设血管中的血液流动是稳定的,由实验可知,在 血管的横截面上离血管中心 r 处的血液流速为
p p 2 2 1 2 Vr ( ) ( R r ) 4 L
2
c
r r (t )
ln 2 其中 k ,时间 t 的单 20 位是分钟.求血液中的胰岛素在一 o 小时内的平均浓度 C ( t ) .
医用高等数学
5
t
解 由积分中值定理可知:
60 1 c (t) c(t )dt 60 0 6 0 1 5 ( ctd () t ctd () t ) 5 6 00
_
注入染料的量M与在30秒之内测到的平均浓度 C ( t ) 的 比值是半分钟里心脏泵出的血量,因此,每分钟的心输出量 Q是这一比值的2倍,即 2M
Q
c (t)
试求这一实验中的心输出量Q
医用高等数学
_
0 1 3 () t C () td t 解 C 3 0 00 _
1 8 1 3 2 2 ( t 4 0 t 4 5 31 t 0 2 6 ) 1 0 d t 3 3 0
是时间
t
的函数 C(t):
0 0 t 3 或 1 8 t 3 0 c ( t ) 3 2 ( t 4 0 t 4 5 3 t 1 0 2 6 ) 1 0 3 t 1 8
医用高等数学
6 5 4 3 2 1
O
C(mg/l)
C(t)
3
8
13
18
30
t(s)