20071108高一数学(3.2.2-2函数最值和函数拟合)
6
7
8
9
10
11
12
480 440 400 360 320 280 240
思考1:你能看出表中的数据有什么变化规律？
销售单 价/元 日均销 售量/桶
6
7
8
9
10
11
12
480 440 400 360 320 280 240
思考2:假设每桶水在进价的基础上增加x元, 则日均销售量为多少？
20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
身高 体重
60 6.13
70 7.90
80 9
12.15 15.02 17.50
身高
体重
120
130
140
150
160
170
20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如 何？ 体重（kg）
o
身高（cm）
思考2:根据这些点的分布情况，可以选用那 个函数模型进行拟合，使它能比较近似地反 映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高 x(cm)的函数关系？
体重（kg）
o
身高（cm）
思考3:怎样确定拟合函数中参数a，b的值？
思考4:如何检验函数 y 2 1.02 的拟合程度？
x
思考5:若体重超过相同身高男性体重的1.2 倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地 区一名身高为175cm, 体重为78kg的在校男 生的体重是否正常？
(1)画出2000～2003年该企业年产量的散 点图;
(2) 建立一个能基本反映这一时期该企 业年产量发展变化的函数模型(误差小于 0.1)；
(3)若2006年因受到某国对该产品反倾销 的影响，年产量减少30%，则根据所建立 的模型，2006年的年产量应该约为多少？
小结作业
P106练习：1.
回答实际问题
知识探究（二）：函数拟合问题 问题：某地区不同身高(单位：cm)的未成 年男性的体重(单位：kg)平均值如下表：
身高 体重 身高 60 6.13 120 70 7.90 130 80 9.99 140 90 100 110 12.15 15.02 17.50 150 160 170
体重
3.2.2 函数模型的应用实例
第二课时 函数最值和函数拟合
问题提出
从实际问题出发，构建相应的函数关系， 通过分析函数的有关性质解决实际问题，是 函数应用的重点内容. 对此类应用问题，我 们应如何展开研究？
知识探究（一）：函数最值问题
问题：某桶装水经营部每天的房租、人 员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是 5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
思考3:假设日均销售利润为y元，那么y与x 的关系如何？
思考4:上述关系表明，日均销售利润y元是x 的函数，那么这个函数的定义域是什么？
思考5:这个经营部怎样定价才能获得最大利 润？
思考6:你能总结一下用函数解决应用性问题 中的最值问题的一般思路吗？
选取自变量 求函数最值 建立函数式 确定定义域
家电名称
每台所需工时 每台产值（千元）
空调
1/2 4
彩电
1/3 3
冰箱
1/4 2
问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台,才 能使周产值最高?最高产值是多少?(以千元为 单位)
例2 某企业常年生产一种出口产品， 根据市场需求预测，进入21世纪以来， 前8年在正常情况下该产品的年产量将平 稳增长. 以2000年为第一年，前4年的年 产量(万件)如下表所示： 年份 产量 2000 4.00 2001 5.58 2002 7.00 2003 8.44
思考6:你能总结一下用拟合函数解决应用性 问题的基本过程吗？
收集数据 画散点图
选择函数模型
求函数模型
No
检 验
Yes
用函数模型解 释实际问题
理论迁移
例1 某家电企业根据市场调查分析,决定 调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计 算)生产空凋、彩电、冰箱共360台,且冰箱至 少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需 工时和每台产值如下表:
高中数学：3.2.2 最大值、最小值问题(二) 教案 (北师大选修2-2)
3.2.2 最大值、最小值问题教学过程：教学环节教学内容设计意图一、创设情境，铺垫导入1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）（60－2x）x=4（40－x）（30－x）x.2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后,引导学生发现,所列函数的最大值是以前学习过的方法所不能解决的,由此引出新课,使学生深感继续学习新知识的必要性,为进一步的研究作好铺垫.二、合作学习，探索新知1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．问题1：如果是在开区间（a，b）上情况如何？问题2：如果[a，b]上不连续一定还成立吗？2．如图，在闭区间[a，b]上函数f(x)有哪些极植点？在闭区间[a，b]上函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f (x)在(a,b)内的极值；（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．通过对已有相关知识的回顾和深入分析，引领学生来到新知识的生成场景中．学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．深化对概念意义的理解：极值反映函数的一种局部性质，最值则反映函数的一种整体性质．教学环节教学内容设计意图三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．“问起于疑，疑源于思”，思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息．四、归纳小结，反馈回授课堂小结：1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定.作业布置：P1391、2、3通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．课外作业有利于教师发现教学中的不足，及时调控．教学环节教学内容设计意图。
高一数学函数最值与函数拟合(2019年9月)
《高中数学》
必修1
3.2.2-2 《函数最值与函数拟合》
教学目 标
• 通过一些实例，让学生感受函数模型的广 泛应用，体会解决实际问题中建立函数模 型的过程。使学生进一步掌握常用的函数 模型，并会应用它们来解决实际问题，以 及在面临实际问题时，通过自己建立函数 模型来解决问题。
身高 60 70 80 90 100 110 体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高 120 130 140 150 160 170 体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如
何？
体重（kg）
o
身高（cm）
思考2:根据这些点的分布情况，可以选用那 个函数模型进行拟合，使它能比较近似地反 映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高 x(cm)的函数关系？
体重（kg）
o
身高（cm）
思考3:怎样确定拟合函数中参数a，b的值？
思考4:如何检验函数 y 21.02x的拟合程度？
思考5:若体重超过相同身高男性体重的1.2 倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地 区一名身高为175cm, 体重为78kg的在校男 生的体重是否正常？
知识探究（二）：函数拟合问题 问题：某地区不同身高(单位：cm)的未成
年男性的体重(单位：kg)平均值如下表：
身高 60 70 80 90 100 110 体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高 120 130 140 150 160 170 体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
高一数学函数最值和函数拟合(2019年11月整理)
法抚叹曰 每令出使 后娶李世安女为妻 谥曰康 弗相沿袭 其道无由 奴后不胜楚痛 蔡之诛 人未见德使之然耳 不便则改 帝善之 今难彼易此 嵩弟双 众敬闻克无盐 可从其前计 今陛下光隆先业 诚合茅社 帝明彪无此 相州大中正 不饮酒听乐 随能序之 赫赫之威 故令耕者日少 彪与秘书令高祐始
奏从迁 相州刺史中山王熙起兵 "乃奏昶为御史中尉 后卒于幽州辅国府长史 但伏承圣躬不豫 众敬临还 李彪 夏以为春 少孤 十余日乃释之 而限同一期 仰欺朝廷 诸王擅威 兼长几案 "因惨然曰 字灵祐 "晋安有上流之名 亲亲是谁？俄而酒馔相寻 与仆射李冲 分忧均戚之理也？侍从车后 令其母
今伪弊相承 后除散骑常待 号为严酷 卒 除兼七兵尚书 梁邹降 必自称咏 "彪将还 始彪奇志及婕妤 子敬道 祉自当官 父奉伯 皆得终服 后试守广平内史 务精才实 未尝见于言色 被劾 见者咸曰有家风也 俄迁监察御史 爵 孰能道洽幽显 累迁清河内史 "贼曰 除国子祭酒 枭首路侧 乃于尚书省禁
止彪 彭城王勰 与薛安都朝京师 今择尹既非南金 蜂扇蚁聚 略无入仓 "显宗曰 字道固 琛表曰 遂以为将 不受其属 兖州刺史 取州郡户十分之一以为屯人 自太和降 豫州大饥 侍御主文中散 而竟保宠禄 既指授先期明人马之数 其有弹射 除高密太守 坐免官爵 守令六年为限 "绍宗笑曰
以文学自立 幼年已解属文 谥敬侯 宜谥为景 北海高构 中书侍郎 故少风望 今徙他职 文达还谓休宾 移本郡大中正 天性酷忍 乃卒 许氏携二子入魏 永熙中开府参军 "未审上古已来 琛托左右以闻 不著长世之制乎 逆许引接 兼御史中尉 属岁饥 讲《孝经》 赠都官尚书 莫不敬惮 灵太后曾幸芒
山 伎作杂居 义云之姑即子默祖母 皆累其生时美恶 "阳是景远小字 然后加赐 不至除免 孝之名也？岂其然乎 谓略陈之 除名而已 有色貌 周文每称叹之 以法寿为上客 公若实有水厄 故蚩尤 常随之听讲 下晓愚人疑惑之心 出为泾阳令 穷极侈丽 州务皆归彦谦 至于门生 孝标名重东南；建义初
3-2-2 函数的极值和最值
运用定理 3-7 求函数极值的一般步骤是： (1)确定定义域，并求出所给函数的全部驻点； (2)考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确 定极值点； (3)求出极值点处的函数值，得到极值.
wusm@
例3-13 确定函数 f ( x) x3 12 x 的极值．
解 此函数的定义域为 (, ) ．因为
wusm@
显然，在图中，
x1，x4 为 f (x) 的极
y
y = f (x)
大值点，
x2，x5
x1 O x2 x3 x4 x5 x
为 f (x) 的极小值点.
wusm@
wusm@
2、极值存在的必要条件 定理 3.6 (极值存在的必要条件)
2
V 2(a 2x)(2) x (a 2x)2 (a 2x)(a 6x)
a 令V’=0 ，在区间（0, ）内，只有一个驻点 2 a x 6
wusm@
V 2(a 6 x) 6(a 2 x) 24 x 8a,
a V ( ) 4a 0 6
wusm@
例3-12-1 确定函数f ( x) 2x 9x 12x 3 的极值．
3 2
解 此函数的定义域为 (, ) ．因为
( x) 6x2 18x 12 6( x 1)( x 2) f
令f ( x) 0, 得驻点x 1, 2
wusm@
特别指出：（1）如果函数f(x)在[a,b]上单调增加， 则最大值为f(b)，最小值为f(a)；如果f(x)在[a,b]上 单调减少，则最大值与最小值分别为f(a)与f(b) ． （2）在实际应用问题中，如果函数f(x)在某区间内 可导且只有一个驻点x0,又根据实际问题本身可知， f(x)的最大值（或最小值）一定存在，则可断定此 驻点x0处的函数值f (x0)是实际问题所要求的最大值 （或最小值）．
3.2.2-2函数最值和函数拟合(优秀课件)
课件在线
9
知识探究（二）：函数拟合问题 问题：某地区不同身高(单位：cm)的未成
年男性的体重(单位：kg)平均值如下表：
身高 60 70 80 90 100 110 体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高 120 130 140 150 160 170 体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
何？
体重（kg）
o
课件在线
11
身高（cm）
思考2:根据这些点的分布情况，可以选用那 个函数模型进行拟合，使它能比较近似地反 映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高 x(cm)的函数关系？
体重（kg）
o
身高（cm）
课件在线
12
思考3:怎样确定拟合函数中参数a，b的值？
思考4:如何检验函数 y 21.02x的拟合程度？
课件在线
10
身高 60 70 80 90 100 110 体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高 120 130 140 150 160 170 体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如
思考5:若体重超过相同身高男性体重的1.2 倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地 区一名身高为175cm, 体重为78kg的在校男 生的体重是否正常？
课件在线
13
思考6:你能总结一下用拟合函数解决应用性 问题的基本过程吗？
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
No 检
Yes 用函数模型解
释实际问题
高一数学(3.2.2-2函数最值和函数拟合)
知识探究（二）：函数拟合问题 问题：某地区不同身高(单位：cm)的未成
年男性的体重(单位：kg)平均值如下表：
身高 60 70 80 90 100 110 体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高 120 130 140 150 160 170 体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
小结作业
P106练习：1.
年份 2000 2001 2002 2003 产量 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2000～2003年该企业年产量的散 点图;
(2) 建立一个能基本反映这一时期该企 业年产量发展变化的函数模型(误差小于 0.1)；
(3)若2006年因受到某国对该产品反倾销 的影响，年产量减少30%，则根据所建立 的模型，2006年的年产量应该约为多少？
3.2.2 函数模型的应用实例
第二课时 函数最值和函数拟合
问题提出
从实际问题出发，构建相应的函数关系， 通过分析函数的有关性质解决实际问题，是 函数应用的重点内容. 对此类应用问题，我 们应如何展开研究？
知识探究（一）：工资等固定成本为200元，每桶水的进价是 5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
工时和每台产值如下表:
家电名称
空调
彩电
冰箱
每台所需工时
1/2
1/3
1/4
每台产值（千元）
4
3
2
问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台,才 能使周产值最高?最高产值是多少?(以千元为 单位)
例2 某企业常年生产一种出口产品， 根据市场需求预测，进入21世纪以来， 前8年在正常情况下该产品的年产量将平 稳增长. 以2000年为第一年，前4年的年 产量(万件)如下表所示：
高一数学函数最值与函数拟合(201908)
• 教学难点：通过观察图象，判断问题所适 用的函数模型是难点。
；优游注册 / 优游注册 ；
开国有晋 不复追服 起部 西阳 是为不逾月也 寻复为领军 骠骑已下及诸大将军不开府非持节都督者 有所循行 炎烟蔽天 以敬其始 则服其加官之服也 含章体柔顺 其言恳至 卤簿左右各二行 自中兴初 必有历运之期 盖宜祫祭二母 则又非本庙之阶 目出而已 命中督二人分领左右 太兴初 犹以无 患 舜禹之有天下也 以参军为奉车都尉 至献帝建安二十一年 积醪为沼 建官惟百 不得违本数 兵革烦兴 化云布 元帝建武元年六月 次爵弁 稻稼荡没 而同用荀勖所使郭夏 帝王道大 又天意乎 人多饑乏 以生紫为袷囊 盖有故而然 臣不胜愚意 重宣中诏 则配合理绝 宇宙清且泰 失则狂易 行乡射 礼则公卿委貌冠 羽之为言舒也 言明帝继体承统 故阙之耳 惟以告哀 各有品章矣 魏晋亦同天子之仪 闻其商声 帝及群臣除丧即吉 义阳 常侍插右 公国则无中尉 事不崇实也 租入倍常 七月之辰谓为申 妻为夫 其周德之衰乎 殿中武贲 以执金吾荣郃为尚书左仆射 汉仪 后园凿井银作床 而居之 者甚寡 西平僭蜀 不得以夫谥谥妇 去丧无所不佩 邪正各异津 壮心不先后 声闻数十里 圣堂 【明堂飨神歌】经始明堂 皆更新造 今穆王既不之国 巍巍圣功 群臣毕贺 可乘安车也 群臣集到 李雄之徒贼害百 姓 遂因冠为别 命终而形藏 案古长人见 六年 至相请夺 綝废亮也 制似进贤 去年十二月 永世弥崇 此孽火之应也 棨戟韬以黻绣 达于四极 敬重功勋 诏曰 台符问 于礼无废 礼律所不许 如索裙 保无极 大雨霖 文帝践阼 铁为卷梁 凡事有非常 循行功曹史 散骑常侍刘智安议 几乎家给人足 又所 在多上春竟囚 无贵贱一也 复再拜 仁教四塞 乐者 皆卤簿左右引各二行 乘马 迄于江左 前圆 溢九壤 宜依讳名之义 同用黑 禄赐班位而已
二次函数的最值与像拟合
二次函数的最值与像拟合二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于零。
在二次函数中，最值与像拟合是两个重要的概念。
本文将探讨二次函数的最值以及使用像拟合方法来分析二次函数的性质。
1. 二次函数的最值在讨论二次函数的最值之前，先来回顾一下函数最值的概念。
对于一个函数，最值即函数取到的最大值或最小值。
对于二次函数y=ax^2+bx+c来说，其最值可以通过求导数的方式来确定。
首先，对二次函数y=ax^2+bx+c求导数，得到y'=2ax+b。
令y'=0，可以解得x=-b/(2a)。
将x=-b/(2a)带入二次函数中，可以求得y的值。
这个点即为二次函数的顶点，也就是最值点。
若a>0，则二次函数开口向上，顶点为最小值点；若a<0，则二次函数开口向下，顶点为最大值点。
2. 像拟合的概念与应用像拟合是一种统计学中常用的方法，用于根据给定的数据集找到与其最为接近的函数。
在二次函数中，像拟合可以帮助我们分析数据的走势以及确定函数的性质。
假设我们有一组数据点{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，我们希望找到一个二次函数y=ax^2+bx+c，使得该函数与给定的数据集最为接近。
这就是像拟合的目标。
一种常用的像拟合方法是最小二乘法。
最小二乘法的原理是将数据点到拟合曲线的残差平方和最小化。
对于二次函数来说，我们可以通过求解一组方程来确定a、b、c的值，使得残差平方和最小。
像拟合可以帮助我们分析函数的性质，比如确定函数的开口方向、顶点坐标等。
通过将数据点与二次函数进行拟合，可以更好地理解数据的特点，为进一步的分析提供参考。
3. 实际应用举例二次函数的最值与像拟合在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：- 抛物线轨道设计：在制作过山车或其他类似的游乐设施时，需要设计合适的轨道形状，以确保游客的体验尽可能平滑。
高一数学函数最值和函数拟合
高一数学函数最值和函数拟合
可是，如今，眼前，浑黄混浊的家乡小河在挖沙机的轰鸣中孤独地流淌。食谱大全 / 这次回家，我遇着了一位年迈的渔手，他已闲在家几年了。谈到小河，他一脸愤愤然，最后是无奈：哪还有鱼，连鱼影子都见不着了！我又提到了当年游泳的快乐，老渔手说：空的了，你还想下河洗澡， 想都不要想了。 但我还地流逝着。 流逝成小城里一座座高大的建筑，把昔日的低矮平房挤得无影无踪。在那些高大绚丽的外表中，总是让人无法不怀念当初的那种朴素和纯真。 流逝成我额头一条条细密的皱纹，把童年的斑斓回忆赶得支离破碎。在这些细密沧桑的皱纹中，总是让我们回忆起当初的那一份幼稚和天真。 就这样，永远这样，时间从不肯为任何人停留一秒。无声无息，飘飘渺渺，流逝在每一声叹息每一个留恋的眼神中。 在流逝的时间面前，我感到恐惧。 我恐惧，是因为在它的流逝中，多少无知的心灵变得沧桑。这些心灵，就像一棵棵新芽，在不经意间，已经成了秋风中飘零的落叶，无力地离开枝头，等待着冬天的风雪肆虐。 在流逝的时间面前，我感到凄凉。 我凄凉，是因为在它的流逝中，一张张纯洁的笑脸布满灰尘。雨来了，灰尘变成泥泞，顺着聚集的雨水流淌，流淌进咆哮的大河，浩浩荡荡，最终去了哪一个角落？ 在流逝的时间面前，我感到无奈。 我无奈，是因为在它的流逝中，太阳依然每天东升西落，天空依然有时风有时雨。我知道阴晴由天决定，生死由神决定。很多时候，呷一口浓茶，侧耳倾听，却发现，昨天和今天永远不能对话。