曲线拟合与极值的问题
基于曲线拟合的PEBB单元散热优化设计
基于曲线拟合的PEBB单元散热优化设计陈国栋;刘宏;王江涛【摘要】散热优化是功率电子元组件(PEBB)设计的关键环节,良好的散热系统可充分提高PEBB的功率密度,最大限度地提高开关器件的利用率.文中详细计算了PEBB单元开关器件的各项损耗功率,并采用ICEPAK软件对该单元进行散热仿真分析.通过改变PEBB单元中散热器的翅片数目和基板厚度等参数,得出其对单元散热效果的影响,运用曲线拟合的方式确定了这些影响因素与散热效果的函数关系,并通过对函数式求极值给出了散热器结构优化方案,最终通过对比仿真结果与实验数据验证了热仿真设计方法和实验的一致性,证明了该仿真在系统散热优化设计中具有指导意义.【期刊名称】《电工技术学报》【年(卷),期】2016(031)004【总页数】8页(P71-78)【关键词】功率损耗;热仿真;ICEPAK软件;参数优化;曲线拟合【作者】陈国栋;刘宏;王江涛【作者单位】上海电气输配电集团技术中心上海 200042;上海电气输配电集团技术中心上海 200042;上海电气输配电集团技术中心上海 200042【正文语种】中文【中图分类】TM464上海市科技创新行动计划资助项目（13DZ1200200）。
近年来，电力电子设备逐渐小型化，其结构设计趋向紧凑，使得柜体内散热问题变得愈加严峻。
随着大功率电力电子器件的发展[1,2]，其容量不断得到提高，发热量也随之上升。
绝缘栅双极型晶体管（Insulated Gate Bipolar Transistor，IGBT）模块是功率电子组件（Power Electronics Building Block，PEBB）单元的主要热源，当其处于频繁开通、关断的工作状态时，由于电力电子器件本身对温度较为敏感，一旦温度超过其额定温升范围，在自身热量的长期作用下会产生失效，工作寿命和可靠性受到极大影响[3,4]，严重时将影响整个系统的正常运行。
因此有必要对电力电子设备中PEBB单元的散热情况进行深入研究。
高考数学总复习考点知识专题讲解27 逼近拟合与极值点偏移
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题27 逼近拟合与极值点偏移知识点一：和积型拟合原理我们在解决极值点偏移问题时，通常是单个极值点，两个零点的模型，我们通过极大值和极小值类型来分类，如下： 第一类：)(x f 极小值模型如果我们需要构造0212x x x <+以及2021x x x <，我们需要找到)(x f 极值点处的先大后小的拟合函数)(x g ，如左图，且)()(43x g x g =时，一定有0432x x x ≤+或者2043x x x ≤；如果我们需要构造0212x x x >+以及2021x x x >，我们需要找到)(x f 极值点处的先小后大的拟合函数)(x g ，如右图，且)()(43x g x g =时，一定有0432x x x ≥+或者2043x x x ≥； 第二类：)(x f 极大值模型如果我们需要构造0212x x x <+以及2021x x x <，我们需要找到)(x f 的先小后大的拟合函数)(x g ，如左图，且)()(43x g x g =时，一定有0432x x x ≤+或者2043x x x ≤；如果我们需要构造0212x x x >+以及2021x x x >，我们需要找到)(x f 的先大后小的拟合函数)(x g ，如右图，且)()(43x g x g =时，一定有0432x x x ≥+或者2043x x x ≥；知识点二：不偏移拟合函数选取如果要证明一个函数极值点偏移，那么最佳拟合方案就是构造一个极值点不偏移的函数与原函数进行拟合，即构造原函数先大后小或者先小后大的拟合函数.如果我们回看高考，就会发现很多高考题都能按照不偏移函数拟合原函数，比如和型不偏移函数就是二次函数020)()(y x x a x g +-=（)(00y x ，为极值点），因为极值点所在直线就是对称轴，而积型不偏移函数就是对勾函数a y xx x x a x g 2)()(000-++=（)(00y x ，为极值点），我们分别通过高考题来解读. 1,极值点和型偏移与二次函数构造若m x f y ==)(有两个零点1x 和2x ，其极值点为)(00y x ，，要证明0212x x x >+或者0212x x x <+，我们进行以下操作：①构建二次函数200()()g x a x x y =-+； ②设()()()h x f x g x =-,利用0()0h x ''=求出01()2a f x ''=； ③根据()h x 的正负，并通过3()g x m =和4()g x m =解出3x 和4x ； ④判断并证明得出120342x x x x x +>=+或120342=x x x x x +<+．注意：如果不找点，则根据()h x 的正负和12()()f x f x =得到12()()0g x g x ->或12()()0g x g x -<，二次函数因式分解可得：1202x x x +>或1202x x x +<．【例1】（2010•天津卷）已知函数x xe x f -=)(，如果21x x ≠且)()(21x f x f =，证明：221>+x x ．【例2】(2016•新课标Ⅰ理)已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围;(II)设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明:122x x +<.【例3】（2013•湖南卷）已知函数xe xx x f ⋅+-=211)(． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）证明：当)()(21x f x f =)(21x x ≠时，021<+x x ．2,极值点和型偏移与对勾函数构造若m x f y ==)(有两个零点1x 和2x ，其极值点为)(00y x ，，要证明2021x x x >或者2021x x x <，我们进行以下操作：①构建对勾函数a y xx x x a x g 2)()(000-++=； ②设()()()h x f x g x =-,利用0()0h x ''=求出200()a x f x ''=； ③根据()h x 的正负，并通过3()g x m =和4()g x m =解出3x 和4x ； ④判断并证明得出212034x x x x x >=或212034=x x x x x <．【例4】（2021年新高考I 卷改编）已知函数()(ln 1)f x x x =-．设a ，b 为两个不相等的正数，且b a b a a b -=-ln ln ，证明：1>ab ．【例5】（2022•甲卷）已知函数()xe f x lnx x a x=-+-．（1）若()0f x …，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．知识点三：涉及双零点偏移的x x ln 同构函数拟合关于x x x f ln )(=，有两个零点，分别为0=x 或1=x ，这类型题除了极值点偏移问题外，还涉及与两个零点的中点，即21的偏移问题，极值点偏移可以在极值点处构造拟合的二次函数，零点的偏移则需要通过两个零点和极值点进行三点的二次函数拟合构造. 零点和型偏移与二次函数构造： ①构建二次函数()()()g x n x a x b =--；②带入点))((00x f x ，，求出n ； ③设()()()h x f x g x =-,证明()h x 的正负； ④通过3()g x m =和4()g x m =解出3x 和4x ；⑤判断并证明得出1234x x a b x x +>+=+或1234x x a b x x +<+=+．注意：如果不找点，则根据()h x 的正负和12()()f x f x =得到12()()0g x g x ->或12()()0g x g x -<，二次函数因式分解可得：1202x x x +>或1202x x x +<．【例6】（2023•河北模拟）已知函数()ln f x x x =与直线y m =交于1122()()A x y B x y ，，，两点．（1）求证：12210x x e <<；（2）证明：1221x x e<+<．【例7】（2021年新高考I 卷）已知函数()(1ln )f x x x =-． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a b a a b -=-ln ln ，证明：e ba <+<112．【例8】（2022•武汉零诊）已知x x e x f ln )2()(-=． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若1x ，)10(2，∈x ，（21x x <），且)ln (ln 2ln ln 21212112x x x ex x x x x -=-，证明：1211221+<+<e x x e ．知识点四：指数对数函数的常见拟合函数我们都熟知的⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-<<->-<<+-)10(1)1(2ln )1(21)1)(1(21ln 1)1(2x x x x x x x xx x x x ，即把对数函数分别拟合为飘带函数)1(21x x -和帕德逼近112(1)()1x R x x -=+，，本文给予这两个式子的来龙去脉，虽然这两个式子都很好证明.我们根据泰勒展开， +++=212x x e x，同理 ++-=-212x x e x，我们可得221(0)21(0)2x x x e x x x e x x -⎧>++>⎪⎪⎨⎪<-+>⎪⎩①②两式相减，可得，当0>x 时，x e e x x 2>--，令t e x=，故)1(ln )1(21>>-t t t t ，同理，我们也可以推出221(0)21(0)2x x x e x x x e x x -⎧<++<⎪⎪⎨⎪>-+<⎪⎩③④，所以x e e x x 2<--，令t e x =，故)10(ln )1(21<<<-t t tt ，飘带拟合推导成功，其实很多时候会以⎪⎩⎪⎨⎧<<-->>--)0(012)0(01222x xe ex xe ex x xx或者⎪⎩⎪⎨⎧<<-->>--)0(01)0(0122x xe e x xe e xx x x形式出现，一切殊途同归.利用对数的泰勒展开 ++-=+32)1ln(32x x x x ，同理 +---=-32)1ln(32x x x x ，即22ln(1)(0)2ln(1)(0)2x x x x x x x x ⎧+>->⎪⎪⎨⎪-<-->⎪⎩①②，两式相减得：)0(211ln >>-+x x x x ，令)1(11>=-+t t x x ，则有11+-=t t x ，故)1(1)1(2ln >+->t t t t ，同理也能证明)10(1)1(2ln <<+-<t t t t . 我们得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-<><+-)10(1)1(2ln )1(ln 1)1(2t t t t t t t t ，不妨令t x ln =，则可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-+>>-+)0(22)0(22x e xx x e xx x x（x e 帕德逼近11()R x ，）关于极值点偏移，我们通常会出现两种不同极值点，第一类是参变分离后的极值点，第二类是含参的极值点，在极值点处构造先小后大或者先大后小的拟合函数，可以整体函数构造，也可以局部的x e 和x ln 构造，我们通过模特函数xxx f ln )(=为例来阐述拟合函数构造.【例9】已知函数xxx f ln )(=，若a x f =)(有两个不同的零点1x ，2x ，且21x x <，求证：（1）求a 的取值范围．第一类：常数的极值点（2）e x x 221>+; （3）212x x e >; （4）123e x x a -<+; （5）ae x x >21第二类：含参的极值点 （6）a ax x ln 121->+（7）221ln 2a a x x +>（8）122ln a x x a -+<; （9）1221x x a<;知识点五：差型构造与拟合函数 第一类：)(x f 极小值模型如果我们需要构造3412x x x x ->+，我们需要找到)(x f 的恒大的拟合函数)(x g ，如左图，且它们共极值点；如果我们需要构造3412x x x x -<+，我们需要找到)(x f 的恒小的拟合函数)(x g ，如右图，且它们共极值点； 第二类：)(x f 极大值模型如果我们需要构造3412x x x x ->+，我们需要找到)(x f 的恒小的拟合函数)(x g ，如左图，且它们共极值点；如果我们需要构造3412x x x x -<+，我们需要找到)(x f 的恒大的拟合函数)(x g ，如右图，且它们共极值点；【例10】已知函数()ln f x x ax =-.若1x ，2x （12x x <）是()f x 的两个零点，证明：（i ）122x x a +>；（ii ）21x x -（iii ）aa a x x 3ln 2ln 212-->-【例11】（2022•湖北新协作考试)已知函数()ln f x x x =，已知函数()|()|h x f x b =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x （123x x x <<）（i ）求证：221222x x e +>；（ii 32x x be -<（e ＝2.71828…是自然对数的底数）.【例12】（2023•宁波期末）已知函数()(0)x f x e ax x =+>． （1）讨论函数()y f x =的零点的个数；（2）若函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，证明：12||x x -<【例13】（2023•资阳月考）已知函数2()(1)xx f x a x e +=++． （1）若()f x 单调递增，求a 的取值范围；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <，求证：21x x e ea ->-知识点六：合理有效利用帕德逼近拟合函数 我们列举一些常见的帕德逼近，先看指数的：将)1ln(+x 向右平移一个单位后，得到x ln ，我们列举一下常见的帕德逼近：我们通过作图来分析逼近程度，我们发现，两个先大后小的逼近函数，显然222233()41x R x x x -=++，比112(1)()1x R x x -=+，的逼近效果更好，两个恒大于的，显然22145()42x x R x x +-=+，比12212(1)()85x R x x x -=-++，的逼近效果更好，帕德逼近出现在指对跨阶类型时，注意三点：第一，极值点统一，则指数平移构造，即0x x e-的帕德逼近，对数倍缩构造，即lnxx的帕德逼近；第二，帕德的阶位要统一，通常11()R x，和20()R x，（泰勒展开二阶）最多，最重要构造二次或者分式的可解方程.第三，共零点问题则构造一阶恒大或者恒小的不等式，比如含有x ex)1(-或者xx ln)1(-，涉及它们在1=x处的极值点构造，即x e和xln只能构造切线这类恒成立的不等式.【例14】（2022•甲卷）已知函数()lnxef x x x ax=-+-.用帕德逼近原理证明：若()f x有两个零点1x，2x，则121x x<.【例15】（2023•河北模拟）()ln1f x x x ax=-+有两不同的零点1x，2x（12x x<），证明：11231ax x e-+<-.【例16】（2023•浙江模拟）已知函数2()(1)ln (1)(2)f x x x a x x =-+--有两个零点 （1）求a 的取值范围；（2）记1x ，2x 为()f x 的两个零点，证明：12123x x a<+<-知识点七：高阶帕德逼近的应用通常帕德逼近都是到了0()R x 2，，1()R x 1，，现在考题越来越不讲“武德”，一步一步往高阶上靠近，我们接下来分析一下高阶的帕德逼近考题.【例17】（2023•柳州二模）已知2()22(1)f x x ax ax lnx =+-+，记()f x 的导函数为()g x ． （1）讨论()g x 的单调性；（2）若()g x 有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，证明：1233(1)x x x a ++>-．【例18】（2023•扬州期末）已知函数()()abf x x a b lnx x=-+-，a ，b R ∈． （1）若1b =-，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 不单调，且f （1）0<．()i 证明：f （a ）f +（b ）2lnab <-；()ii 若123()()()f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：132213116()()3()23ab a b x x ab a b x x b ab a ++++>+-++．【例19】（2022•浙江）设函数()(0)2ef x lnx x x=+>． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-（a ）1(1)2a e<-；（ⅱ）若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e ae e x x a e--+<+<-．（注: 2.71828e =⋯是自然对数的底数）同步训练1.（2023•黑龙江模拟）已知函数1()ln (f x x a R ax=+∈且0)a ≠． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，若关于x 的方程()f x m =有两个实数根1x ，2x 且12x x <，求证:121x x +>．2.（2023•百校联盟）1()x e f x e x a x-=-++（a ＞0），若()f x 有两个零点x 1，x 2，试证明：121x x <3.（2021•江淮十校联考导数压轴）若不等式1)1(ln +-≥x x k x 对于)1[∞+∈∀，x 恒成立； （1）求实数k 的取值范围； （2）已知x x x f ln )(=，若m x f =)(有两个不同的零点1x ，2x ，且21x x <．求证：e mx x ->+321（其中 71828.2=e 是自然对数的底数．）4.（2021•温州一模）已知函数ax x x f -=ln )(有两个不同的零点1x ，2x ，且21x x <，71828.2=e 是自然对数的底数．（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：①aae x --<111，②2122e a ex x ->-．5.（2023•湖北模拟）已知函数2()2ln(1)(1)af x x x =+-+有两个不同的零点1x ，2x . (1) 当112x -<<-时，求证：12ln(1)1x x +>-+； (2) 求证：2212122210x x x x ++++<.6.（2023•哈尔滨月考）已知函数2()(1)(1)()x f x x e a x a R =--+∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：120x x +<．7.（2023•湖北模拟）已知函数()ln f x x x =.设方程()210f x x -+=的两个根分别为1x ，2x ，求证：2122e x x e <+<.8.（2023•湖南开学）已知1()(1)ln x f x e a x -=++（1）若()f x 在定义域上单调递增，求a 的取值范围；（2）设函数()()g x f x ax =-，其中1a e≥，若()g x 存在两个不同的零点1x ，2x . ①求a 的取值范围； ②证明122x x +>9.（2023•长沙县模拟）已知221()1,()2f x x kxlnxg x ax xlnx x =--=-+．（1）不等式()0f x …对任意1x …恒成立，求k 的取值范围； （2）当()g x 有两个极值点1x ，212()x x x <时，求证：12(21)()2ae x x e -+<．10.已知()ln f x x x ax a =--，12()()f x f x =，求证：1123a x x e -+.11.（2023•河北月考）已知函数()a lnxf x x+=，a R ∈在x e =处取到极值． （1）求a ，并指出()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 与y b =有两个交点1x ，2x ，且12x x <，证明：21(41)(1)x x e be ->--．12.（2023•金华月考）已知函数21()(1)()2f x x ax ax lnx a R =+-+∈，记()()f xg x '=．（1）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若函数()g x 有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<． ①求a 的取值范围；②证明：131343x x x x a ++>．。
vba曲线拟合
VBA曲线拟合1. 什么是曲线拟合？曲线拟合是一种通过找到最佳适应给定数据集的数学函数来近似描述该数据的方法。
在实际应用中，我们经常遇到需要根据离散数据点来推断连续函数的情况，例如在科学研究、工程建模、金融分析等领域。
曲线拟合可以帮助我们理解数据的趋势、预测未知值以及优化决策。
2. VBA中的曲线拟合VBA（Visual Basic for Applications）是一种基于微软的Visual Basic语言的宏编程语言，在Microsoft Office系列软件中广泛应用。
VBA提供了丰富的函数和方法，可以用于各种数据处理和分析任务，包括曲线拟合。
在VBA中进行曲线拟合，通常需要使用数学库或自定义函数来实现。
下面我们将介绍一种基于最小二乘法的常见曲线拟合方法。
3. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的曲线拟合方法，其基本思想是通过最小化实际观测值与预测值之间的残差平方和来确定最佳适应函数。
在VBA中，我们可以通过以下步骤来实现最小二乘法曲线拟合：1.收集数据：首先，我们需要收集一组离散的数据点，这些数据点应该代表我们想要拟合的函数的大致形状。
2.选择适当的函数模型：根据数据点的特征和拟合目标，选择适当的函数模型。
常见的函数模型包括线性函数、多项式函数、指数函数等。
3.构建代价函数：代价函数是用来衡量实际观测值与预测值之间差异程度的指标。
在最小二乘法中，通常使用残差平方和作为代价函数。
4.求解最小二乘问题：通过求解代价函数的极值来确定最佳适应曲线。
对于简单的线性回归问题，可以使用解析法直接求解；对于复杂的非线性回归问题，则需要使用数值优化算法进行求解。
5.绘制拟合曲线：根据得到的最佳适应曲线参数，绘制出拟合曲线并与原始数据进行比较。
4. VBA中实现曲线拟合在VBA中实现曲线拟合可以借助Excel提供的功能和对象模型。
下面是一个简单的示例代码，演示了如何使用VBA进行线性回归拟合：Sub LinearRegression()Dim ws As WorksheetSet ws = ThisWorkbook.Worksheets("Sheet1") ' 修改为你的数据所在的工作表名称Dim xRange As Range, yRange As RangeSet xRange = ws.Range("A2:A11") ' 修改为你的自变量数据所在的列范围Set yRange = ws.Range("B2:B11") ' 修改为你的因变量数据所在的列范围Dim xData() As Double, yData() As DoubleDim i As IntegerReDim xData(xRange.Rows.Count - 1)ReDim yData(yRange.Rows.Count - 1)For i = 1 To xRange.Rows.CountxData(i - 1) = CDbl(xRange.Cells(i, 1).Value)yData(i - 1) = CDbl(yRange.Cells(i, 1).Value)Next iDim slope As Double, intercept As DoubleLinearRegressionFit xData, yData, slope, interceptMsgBox "斜率：" & slope & vbCrLf & "截距：" & interceptEnd SubSub LinearRegressionFit(xData() As Double, yData() As Double, ByRef slope As D ouble, ByRef intercept As Double)Dim nPoints As IntegernPoints = UBound(xData) + 1Dim sumX As Double, sumY As Double, sumXY As Double, sumX2 As DoubleDim i As IntegerFor i = 0 To nPoints - 1sumX = sumX + xData(i)sumY = sumY + yData(i)sumXY = sumXY + xData(i) * yData(i)sumX2 = sumX2 + xData(i) ^ 2Next islope = (nPoints * sumXY - sumX * sumY) / (nPoints * sumX2 - sumX ^ 2)intercept = (sumY - slope * sumX) / nPointsEnd Sub在以上示例代码中，我们首先指定了数据所在的工作表和列范围。
第5章曲线拟合
大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测
提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次 数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。
换句话说 :求一条曲线,使数据点均在离此曲线的 为此 ,我们希望从给定的数据 (xi,yi)出发,构造 上方或下方不远处 ,所求的曲线称为拟合曲线 ,它 一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所 ( x) ( x) 既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大 有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数 的波动,更能反映被逼近函数的特性 据的基本趋势，如图 5-7所示。 ,使求得的逼 近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方
（3）可化为线性拟合的非线性拟合
有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替
换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，
对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值 在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分 布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线 拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟
合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表
,
（4）超定方程组的最小二乘解 A (aij ) mn ,b是m维已知 设线性方程组Ax=b中， 向量，x是n维解向量，当m＞n，即方程组中 方程的个数多于未知量的个数时，称此方程组 为超定方程组。一般来说，超定方程组无解（ 此时为矛盾方程组),这时需要寻求方程组的一 个“最近似”的解. 记 r b Ax ,称使 r 2 ,即 r 最小的解 x * 为 方程组Ax=b的最小二乘解。
m F ( a 0 , a1 ) 2 ( a 0 a1 xi y i ) 0 a i 1 0 m F ( a 0 , a1 ) 2 ( a 0 a1 xi y i )xi 0 a1 i 1
离散数据的曲线拟合
按（2.5.3）有
5
2.5 1.875 a0 4.31
2.5 1.875 1.5625 a1 3.27
1.875 1.5625 1.3828 a2 2.7975
解此方程组得 a0* 0.1214, a1* 0.5726, a2* 1.2114。从而，拟合多项式为
n
ak* * ( x ) ,
使得
k 0
n
n
i [ yi
i0
* ( x)]2
min
( x )
i[ yi
i0
( x)]2
(2.5.1)
则称 *( x)为离散数据{ xi , yi }mi0在子空间 中带权 {i }mi0 的最小二乘拟合。
函数 ( x)在离散点处的值为
这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间 得基
函数为 k ( x) xk , k 0,1, , n。
例 2.13 用多项式拟合表2-7中的离散数据。
表2-7
i
0
1
2
3
4
xi 0.00 0.25 0.50 yi 0.10 0.35 0.81
0.75 1.09
1.00 1.96
此时，对应的法方程为
k0
k ,k ak y,k , k 0,1,, n。 它的解为ak y,k k ,k , k 0,1,, n。
由于按法方程2.5.3有
y,
j
n
ak
k
,
j
,
j
,
k0
第二章 插值与拟合
即 y , j 0, j 0,1,, n。因而平方误差为
曲线拟合方法及程序设计
摘要随着现代社会的发展，大量的统计数据和科学实验数据变得容易获得，数据变得越来越复杂，甚至还会有噪声等干扰信息。
曲线拟合就是找到一组数据点的内在规律，使用曲线近似的拟合这些数据，形成数学模型，对事务进行有效的预测和规划，来获得更大的效益，被广泛应用于社会各个领域，具有重要的实际应用价值。
本文旨在了解一些常用的曲线拟合方法及其原理，根据理解，设计并完成相应的曲线拟合程序，方便使用。
首先，对于有函数解析模型的曲线拟合，都是运用的最小二乘思想进行求解，根据模型种类分为三类：1，线性函数模型，举例一元线性函数的运算过程，通过正规方程求解得到拟合系数，最后根据这些原理，设计并完成了：从1阶到9阶的多项式拟合，幂函数拟合的线性最小二乘拟合程序；2，可线性化的非线性函数：通过变量变换将模型线性化，再进行线性最小二乘拟合；3，不可线性化的非线性函数，求解方法是将目标函数泰勒级数展开，迭代求解的方法有很多，本文实现的方法有3种：高斯牛顿法，信赖域—Dogleg法，LMF法。
最后通过五个实例计算，进行线性最小二乘拟合和非线性拟合，对比分析对于同一组数据，应用不同拟合方法或者不同模型所产生的结果，分析结果并结合实际发现，线性最小二乘拟合对于现实中的很多数据并不适用，将非线性函数线性化之后，有时会放大噪声，使得矩阵奇异，拟合不收敛或者没有非线性拟合准确。
进行非线性拟合时，对比三种方法，发现LMF法可以有效的避免矩阵为奇异值。
初始值只影响LMF法迭代的次数，对结果的影响并不大，而对于高斯牛顿法和信赖域—Dogleg法，很差的初始值会使得矩阵为奇异值或者接近奇异值，从而无法收敛，得不到拟合结果或者得到的结果拟合精度太差。
而当初始值良好的时候，高斯牛顿法的迭代求解速度最快。
而信赖域—Dogleg法，相较于另外两种方法，拟合精度和拟合速度都差了一些。
关键词：曲线拟合；最小二乘；高斯牛顿法；信赖域—Dogleg法；LMF法；对比分析1.绪论1.1.毕业论文研究的目的意义随着现代社会的发展，获取大量的数据将变得更加容易，在实际生活中，收集到的数据的复杂性将逐渐增加，并且会生成噪声，背景和其他干扰信息。
《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值
例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了 和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为
ap微积分abia要求
ap微积分abia要求AP微积分和AB微积分的要求AP微积分和AB微积分是高中数学课程中的一部分，它们是为那些想在大学修习科学、工程或数学专业而准备的学生而设计的。
这两门课程都涵盖了微积分的基本概念和技能，但它们之间还是有一些不同之处。
下面将详细介绍AP微积分和AB微积分的要求。
AP微积分AP微积分是由美国大学理事会（College Board）开发的一门高级课程，旨在为高中生提供更加深入的数学知识。
这门课程旨在帮助学生掌握微积分的基本概念和技能，并为他们未来在大学中修习科学、工程或数学专业打下坚实基础。
1. 课程内容AP微积分包括以下几个方面：- 函数、极限和连续性- 导数、导函数和应用- 积分、定积分和应用- 微积分基本定理- 微积分应用（例如：曲线拟合、极值问题、相关性等）2. 考试要求AP微积分考试由两部分组成：多项选择题和自由回答题。
考试时间为3小时，其中1小时45分钟用于多项选择题，1小时15分钟用于自由回答题。
考试的总分为5分，其中多项选择题占50%，自由回答题占50%。
考试的内容包括：- 函数、极限和连续性- 导数、导函数和应用- 积分、定积分和应用- 微积分基本定理- 微积分应用3. 考试准备为了成功地完成AP微积分考试，学生需要：- 熟练掌握微积分的基本概念和技能- 理解微积分的应用（例如：曲线拟合、极值问题、相关性等）- 熟悉并能够解决各种不同类型的微积分问题- 经常进行模拟考试，以便熟悉考试形式和时间限制AB微积分AB微积分是一门高中数学课程，旨在帮助学生掌握微积分的基本概念和技能，并为他们未来在大学中修习科学、工程或数学专业打下坚实基础。
1. 课程内容AB微积分包括以下几个方面：- 函数、极限和连续性- 导数、导函数和应用- 积分、定积分和应用2. 考试要求AB微积分考试由两部分组成：多项选择题和自由回答题。
考试时间为3小时，其中1小时45分钟用于多项选择题，1小时15分钟用于自由回答题。
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萤幕画面
附注 大部分学生将会 直观地会用二次 函数来做曲线拟 合(让这些数据在 此函数图形上) 这将会是一个很 好的机会来测试 学生的二次函数Menu→ 6:图像分析→ 3:最大 值) 使用“导航键” 来导航,
选择下界, 上界, 按
“enter”。 2.7
在这里有一个很棒的讨论，就 是如何更准确的找出上面的解 答。 我们将尝试着利用数理学习机 中，统计所提供的另一个曲线 拟合。 添加数据与统计页面 (Ctrl → doc → 5:添加数据与 统计)
萤幕画面
附注
教案 2：面积最大值问题 估计时间(20 分钟) 步骤 2.1 教学 到我的文档，开启档案名称 “最佳化范例.tns“。 （主画面→2：我的文档→选 取档案） 萤幕画面 附注 你将会被询问: 是 否保存”未保存的 文档” ? 使用“tab”键或 是“左/右”键来导 航你要的选择。 请选择“否“。 2.2
萤幕画面
附注
2.4
添加函数绘图页面，画出散布 图。 (Ctrl → doc → 2: 添加图形 → Menu→ 3:图形类型→ 4:散 布图→ 变数集合 选择变数 集合 x enter 航海键下键 (或”Tab”鍵) 变数集合选 择变数集合 a enter)
2.5
将资料缩放至合适的视窗 (Menu → 4:窗口/缩放→ 9: 缩 放-数据)
©魏兆姝, 新加坡华侨中学 1
步骤 1.4
教学 现在，我们要找出另一个喷泉 水路径的最适合曲线。 旁边的喷泉水路径的函数方程 与前一个喷泉水路径的函数方 程:此两个喷泉水路径的函数方 程仍然是相同的吗？解释你的 答案。 我们是否可以只使用一个函数 方程来表示所有的喷泉水路径 (例如: 旁边的,后面的喷泉水 路径)？解释你的答案。
请注意区分'减号' 和'负号'(一个是较 长，另一个是较 短.)
1.3
调整你的函数方程直到你得到 一个最适合曲线。 注意: 我们要此函数表示的形 式为顶点式 f(x)=a(x+b)2+c a, b 和 c 之值有什么意义吗？
要改变函数曲线 的颜色：(将你的 游标移到曲线附 近 Ctrl menu →B: 颜色) 要改变函数曲线 的粗细：(将你的 游标移到曲线附 近 Ctrl menu → 3: 属性 右/ 左)
从这里，学生们 应该了解有一个 解答是可以从曲 线上，找出最大 值
©魏兆姝, 新加坡华侨中学 3
步骤 2.6
教学 改变函数图形类型： (Menu→ 3:图形类型→ 1:函 数) 二次函数拟合： 使用基本函数的(抓取和拖拉) 变换功能先找出一个合适的二 次函数，然后重复此动作，看 能不能再来找出更适合的二次 函数。 学生们应该可以从函数图形上 的点座标，能够读出最大面积 值和相关的 x1 值。 (Menu→ 5:跟踪→ 1:图形跟 踪) 使用“左/右”键来导航。
©魏兆姝, 新加坡华侨中学 5
教案 1：曲线拟合 估计时间(10 分钟) 步骤 1.1 教学 首先，开启一个存在的档案 (主画面→2：我的文档)，向下 找到“曲线拟合.tns”文件，打 开此文件。 我们要找出喷泉水路径的最适 合曲线。我们将利用 6 个点来 找出适合路径的曲线。 萤幕画面 附注
1.2
在函数输入列 f(x)，键入–x2. 注意出现的曲线，显然并不是 一合适的曲线。
请注意，这还不 是散布图最或者 是点图，你看到 的这个画面完全 是随机的。 这些位置上的点 是不具任何意义 的。
©魏兆姝, 新加坡华侨中学 4
步骤 2.8
教学 画出点状图： (使用 “Tab” 键导航键来选择 横轴(x-轴) 和纵轴(y-轴) 的变 数集合。 执行二次迴归： (Menu→ 4:分析→ 6: 迴归→ 4: 显示二次迴归) 使用图形跟踪找最大值: (Menu→ 4: 分析→ A:图形跟 踪) 使用“左/右”键来导航。
到 1.2 页 （CTRL→导航键的右键） 调动滑轴来找到一个最大面积 的估计值和相对应控制项 X1 的值
最大面积大约为 1.122 相对应 X1 之值约 为 0.71 学生们应该可以 告诉大家此方法 只是一个近似值
©魏兆姝, 新加坡华侨中学 2
步骤 2.3
教学 抓取 x1 和 Area 的数值放在序 列及试算表 (Ctrl + “.”来抓取数值放入序列 及试算表在 1.3 页）
萤幕画面
附注 在二次函数上， 通过不同的方法 或是配方法(顶点 式)，学生将能得 到更加准确的答 案。
备注：另一种方法是让学生直接推导出 x1 和矩形面积的关系式(这是在计算工具页面 2.1) 这将使他们能够看到，曲线并不是二次的, 直接将关系式微分： A A 2 x sin x d dx 2sin x ( 2 x) cos x 可能的讨论：什么方法是最正确地将问题给解决？ 其它的迴归模型呢？
如果时间允许:
估计时间(10 分钟)
问题 1: (听说你们刚刚完成了“不等式”, 我们应当有一个小小的测验。祝你好运!) 解: √(1+ x) > x-1 问题 2: 已知曲线 和直线 相切, 如果曲线 和直线 , i) 有一个以上的交点, 那么， 是取什么值? ii) 至少有一个交点, 那么， 是取什么值? 问题 3: 曲线:和 , 之间, 最多有几个交点?