指数函数学案
学案3：4.1.2 指数函数的性质与图像(一)
4.1.2指数函数的性质与图像（一）学习目标核心素养1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质．(重点)1.通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助指数函数图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.【自主预习】[新知初探]1．指数函数的定义一般地，函数称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.思考：指数函数中为什么规定a>0且a≠1?2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图像和性质a>10<a<1图像定义域R值域性质过定点过定点函数值的变化当x>0时，；当x<0时，当x>0时，；当x<0时，单调性在R上是在R上是3．比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的的变化规律来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过来判断．[初试身手]1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图像如图所示，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．若2x ＋1＜1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)4．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．【合作探究】类型一指数函数的概念【例1】 (1)下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝a xB ．y ＝x a (a >0且a ≠1)C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[思路探究] (1)观察函数解析式的形式，看是否满足指数函数的定义，然后下结论． (2)根据指数函数的定义建立关于a 的关系式求解． [规律方法]1．判断一个函数是指数函数的方法指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点： (1)底数是大于0且不等于1的常数．(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上．(3)a x的系数必须为1.(4)指数函数不会是多项式，如y＝a x＋1(a>0且a≠1)不是指数函数．2．已知某函数是指数函数求参数值的方法(1)令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程．(2)解不等式与方程求出参数的值．提醒：要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件．[跟踪训练]1．(1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________.(2)已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．【例2】(1)求下列函数的定义域和值域：指数函数[思路探究](1)函数式有意义―→原函数的定义域――――→原函数的值域的值域(2)指数函数的图像与性质及复合函数的单调性与值域⇒用换元法将其化为指数函数．[规律方法]1．函数y＝a f(x)的定义域、值域的求法(1)函数y＝a f(x)的定义域即y＝f(x)的定义域．(2)函数y＝a f(x)的值域的求法如下：①换元，令t＝f(x)．②求t＝f(x)的定义域x∈D.③求t ＝f (x )的值域t ∈M .④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域． 2．复合函数的单调性与指数函数有关的单调性问题，求出内函数的单调区间结合外函数的单调性，结合复合函数的单调性确定其单调性．提醒：利用指数函数的单调性时要注意对底数的讨论． [跟踪训练]2．已知定义在R 上的奇函数f (x )＝2x －a 2x ＋b .(1)求a ，b 的值；(2)判断并证明f (x )在R 上的单调性； (3)求该函数的值域．[探究问题]1．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像过哪一定点？函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像又过哪一定点呢？2．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像可能在第三或第四象限吗？为什么？3．从左向右，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凸？【例3】(1)下列几个函数的图像如图所示：①y＝a x；②y＝b x；③y＝c x；④y＝d x.则a，b，c，d与0和1的关系是()A．0<a<b<1<c<d B．0<b<a<1<d<cC．0<b<a<1<c<d D．1<a<b<c<d(2)已知函数f(x)＝a x－1(a>0，且a≠1)满足f(1)>1，若函数g(x)＝f(x＋1)－4的图像不过第二象限，则a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(2,5]C．(1,2) D．(1,5](3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[规律方法]1．处理函数图像问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0,1)．(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．2．指数型函数图像过定点问题的处理方法求指数型函数图像所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图像所过的定点．[跟踪训练]3．(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图像，可能正确的是()(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像( ) A ．向右平移3个单位 B ．向左平移3个单位 C ．向右平移8个单位 D ．向左平移8个单位 (3)函数y ＝a－|x |(0＜a ＜1)的图像是( )【课堂小结】1．本节课的重点是掌握指数函数的概念、指数函数的图像与性质，难点是指数函数的图像与性质．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)掌握指数函数的三个特征．(2)与指数函数有关的函数图像及处理方法．3．本节课的易错点是对指数函数理解不够深刻，在解与指数函数有关的函数定义域和值域时致错．【当堂达标】1．思考辨析(1)函数y ＝－2x 是指数函数．( ) (2)函数y ＝2x＋1是指数函数．( )(3)函数y ＝(－2)x 是指数函数．( ) (4)指数函数的图像一定在x 轴上方．( )2．不论a 取何正实数，函数f (x )＝a x ＋1－2恒过点( ) A ．(－1，－1)B ．(－1,0)C．(0，－1) D．(－1，－3)3．已知a＝23.5，b＝22.5，c＝33.5，请将a，b，c按从小到大的顺序排列________．4．求函数y＝的定义域和值域．【参考答案】【自主预习】[新知初探] 1． y ＝a x思考：[提示] (1)如果a ＝0，当x >0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义；(2)如果a <0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义；(3)如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1. 2．(0，＋∞) (0,1) y >10<y <10<y <1y >1增函数 减函数3．(1)单调性 (2)图像 (3)中间值 [初试身手]1．D [只有选项D 符合指数函数的定义．]2．C [函数y ＝a x 的图像是下降的，所以0<a <1；函数y ＝b x 的图像是上升的，所以b >1.] 3．D [不等式2x ＋1＜1＝20，因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以x ＋1＜0，即x ＜－1.]4．12 [因为y ＝⎝⎛⎭⎫13x在[－2，－1]上为减函数，所以m ＝⎝⎛⎭⎫13-1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13-2＝9，所以m＋n ＝12.]【合作探究】【例1】(1)C (2)C [(1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝⎛⎭⎫12x显然是指数函数；D 中只有a －2＝1，即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.][跟踪训练]1．(1)3x (2)⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) [(1)由题意设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f (2)＝a 2＝9，又因为a >0，所以a ＝3，所以f (x )＝3x .(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)．]【例2】[解] (1)①要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30， 因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1.所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． ②要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0， 所以函数y ＝的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以y ＝＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝的值域为{y |y ＝1}．③因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义， 所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)．(2)令t ＝2x －x 2，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，而t ＝－(x －1)2＋1≤1， 所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≥12，故所求函数的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 因为＝⎝⎛⎭⎫12t，由于二次函数t ＝2x －x 2的对称轴为x ＝1，可得函数t 在(－∞，1]上是增函数，函数y 在(－∞，1]上是减函数， 故函数y 的减区间是(－∞，1]．函数t 在(1，＋∞)上是减函数，函数y 在(1，＋∞)上是减函数， 故函数y 的增区间是(1，＋∞)． [跟踪训练]2．[解] (1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a1＋b＝0，12－a12＋b＝－2－a2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)f (x )在R 上是增函数，证明如下：由(1)知f (x )＝2x －12x ＋1.设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2＋1)－(2x 2－1)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1). 因为y ＝2x 是R 上的增函数，且x 1＜x 2， 所以2x 1－2x 2＜0.又因为(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在R 上是增函数． (3)f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1.由2x ＞0，得2x ＋1＞1，所以0＜22x ＋1＜2，所以－1＜1－22x ＋1＜1，即－1＜f (x )＜1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[探究问题]1．[提示] 法一：(平移法)∵y ＝a x 过定点(0,1)，∴将函数y ＝a x 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y ＝a x －1＋2，此时函数图像过定点(1,3)．法二：(解方程法)指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)；在f (x )＝a x －1＋2中，令x －1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像过定点(1,3)．2．[提示] 不可能．因为指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图像只能在第一象限和第二象限．3．[提示] 当0<a <1时，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像从左向右呈下降趋势；当a >1时，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像从左向右呈上升趋势．指数函数的图像下凸．【例3】(1)B (2)B (3)[－1,1] [(1)由指数函数图像得到当底数大于1时为增函数，并且底数越大增加的越快，因此得到c >d >1，反之，1>a >b >0，所以0<b <a <1<d <c .(2)因为f (1)>1，所以a －1>1，即a >2，因为函数g (x )＝f (x ＋1)－4的图像不过第二象限，所以g (0)＝a 1－1－4≤0，所以a ≤5，所以a 的取值范围是(2,5]．(3)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图像如图所示，由图像可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．][跟踪训练]3．(1)D (2)A (3)A [(1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增，又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减， A 中，从图像上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条； B 中，从图像上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图像上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图像符合以上两条，故选D.(2)因为y ＝23－x ＝⎝⎛⎭⎫12x －3，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝⎛⎭⎫12x －3，即y ＝23－x 的图像． (3)y ＝a －|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.]【当堂达标】1．(1)×(2)×(3)×(4)√[(1)×.因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．(2)×.因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．(3)×.因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．(4)√.因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图像一定在x轴的上方．]2．A[令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝－1，所以函数f(x)＝a x＋1－2的图像恒过点(－1，－1)．]3．b＜a＜c[由指数函数y＝2x知，因为2.5＜3.5，所以22.5＜23.5，即b＜a，又c＝33.5＞a＝23.5，故b＜a＜c.]4．[解]要使函数y＝有意义，只需2x－4＞0，解得x＞2；令t＝12x－4，则t＞0，由于函数y＝3t在t∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y＝312x－4的定义域为{x|x＞2}，值域为{y|y＞1}．。
《指数函数》的优秀教案最新9篇
《指数函数》的优秀教案最新9篇高一数学《指数函数》优秀教案篇一我本节课说课的内容是高中数学第一册第二章第六节“指数函数”的第一课时——指数函数的定义，图像及性质。
我将尝试运用新课标的理念指导本节课的教学。
新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。
我将以此为基础从教材分析，教学目标分析，教法学法分析和教学过程分析这几个方面加以说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用：函数是高中数学学习的重点和难点，函数的贯穿于整个高中数学之中。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，同时也为今后研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。
因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
2、教学的重点和难点：根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况，我将本节课教学重点定为指数函数的图像、性质及其运用，本节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。
二、教学目标分析基于对教材的理解和分析，我制定了以下的教学目标：1、知识目标（直接性目标）：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用。
2、能力目标（发展性目标）：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论，增强学生识图用图的'能力。
3、情感目标（可持续性目标）：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。
三、教法学法分析1、教学策略：首先从实际问题出发，激发学生的学习兴趣。
第二步，学生归纳指数的图像和性质。
第三步，典型例题分析，加深学生对指数函数的理解。
2、教学：贯彻引导发现式教学原则，在教学中既注重知识的直观素材和背景材料，又要激活相关知识和引导学生思考、探究、创设有趣的问题。
3、教法分析：根据教学内容和学生的状况，本节课我采用引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学。
学案6：2.1.2指数函数及其性质
2.1.2指数函数及其性质学习目标1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)知识梳理教材整理1指数函数的定义阅读教材，完成下列问题．指数函数的定义一般地，函数(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.练一练1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．()(2)函数y＝2x＋1是指数函数．()(3)函数y＝(－2)x是指数函数．()教材整理2指数函数的图象和性质阅读教材，完成下列问题．R练一练2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(2)当a>1时，对于任意x∈R，总有a x>1.()(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．()类型一：指数函数的概念例1 (1)下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝a x B ．y ＝x a (a >0且a ≠1) C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3 D ．a >0且a ≠1名师指导1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1；2．求指数函数的解析式常用待定系数法．跟踪训练1 (1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________. (2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 类型二：指数函数的定义域和值域 例2 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝√1−3x ； (2)y ＝(23)√−|x|； (3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. 名师指导1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．2．函数y＝a f(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．跟踪训练2 求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x−3；(2)y＝221()2x x.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？探究2若函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b满足什么条件？例3(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()(2)函数y ＝a－|x |(0＜a ＜1)的图象是( )名师指导指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .跟踪训练3 定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥hhg <h ，已知函数f (x )＝2x ⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图象是( )课堂检测1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2x C.⎝⎛⎭⎫12xD.⎝⎛⎭⎫22x2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－89，8 B.⎣⎡⎦⎤－89，8 C.⎝⎛⎭⎫19，9D.⎣⎡⎦⎤19，93．已知1>n >m>0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )4．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0, 且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________． 5．设f (x )＝3x ，g(x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g(x )的图象；(2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m )与g(－m )的值，从中你能得到什么结论？参考答案知识梳理教材整理1 指数函数的定义 y ＝a x ； x 练一练1【答案】 (1)× (2)× (3)×【解析】 (1)由指数函数的定义形式可知(1)(2)(3)均错误． 教材整理2 指数函数的图象和性质 (0，＋∞) ；(0,1)；增函数；减函数；y 轴 练一练2【答案】 (1)√ (2)× (3)×【解析】 (1)因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方． (2)当x ≤0时，a x ≤1.(3)因为f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )＝2－x在R 上是减函数． 类型一：指数函数的概念 例1 【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝⎛⎭⎫12x 显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.跟踪训练1 【答案】 (1)3x (2) ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 则f (2)＝a 2＝9.又因为a >0，所以a ＝3. 所以f (x )＝3x .(2)由题意可知{ 2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 类型二：指数函数的定义域和值域例2 解：(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝ √1−3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1.所以√1−3x ∈[0,1)，即函数y ＝ √1−3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0， 所以函数y ＝ (23)√−|x|的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以y ＝ (23)√−|x| ＝(23)0＝1，即函数y= (23)√−|x|的值域为{y |y ＝1}．(3)因为对于任意的x ∈R ， 函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义， 所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R . 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2 ＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 跟踪训练2 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠3}． 令t ＝1x−3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t ≠1， 故函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2， 则t ＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)t ≥ (12)1＝12，故函数的值域为[12，+∞）.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1 【答案】 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(0,1)；在f (x )＝a x －1＋2中令x －1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)． 探究2 【答案】 如图，由图可知0<a <1，b ≤－1.例3【答案】 (1)D (2)A【解析】(1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增， 又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减，A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D. (2)y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.跟踪训练3 【答案】 B【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≥01x <0，∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥11x <1，∴其图象为B ，故选B.课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x . 2．【答案】 A【解析】 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.3．【答案】 C【解析】 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C. 4．【答案】 (0,1)【解析】 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1.5． 解：(1)函数f (x )，g(x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g(－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π， f (m )＝3m ，g(－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m＝3m.。
指数运算与指数函数(学案)
指数运算与指数函数高考要求知识梳理知识点一：有理数指数幂1. n 次方根概念与表示一般地，如果n x ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且*N n ．n2.根式概念式子a n叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．3.根式的性质①n a =.②||,a n a n ⎧=⎨⎩，为奇数为偶数； 4.分数指数幂正分数指数幂：a mn=√a m n(a >0,m,n ∈N ∗,n >1) 负分数指数幂：a − m n =1a m n=√a mna >0,m,n ∈N ∗,n >1)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (ab )r =a r b r (a >0,s ∈Q )知识点二：指数函数的图像和性质1.指数函数概念：形如0(>=a a y x且1≠a ）函数叫指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质R知识点三：指数函数性质的运用（比较大小）指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大考点解析典型习题一：指数幂(根式)的化简与计算例1、已知当27=x ,64=y 时，化简并计算例2、已知 01x <<，且13x x -+=，求1122x x --的值.典型习题二：指数函数的图像问题例1、已知函数2()x f x m-=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数||1()()x b g x a+=的图象为（ ）)65)(41(561312112132-----y x y x yx例2、函数221()2x xy -+=的值域是（ ）A.RB.1[,)2+∞ C.(2,)+∞ D.(0,)+∞例3、函数12y ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间是 ．例4、若21212()4xx +-≤，则函数2x y =的值域是（ ） A.1[,2)8 B.1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1(,]8-∞D.[2,)+∞例5、函数()()23201xx f x aa a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 ．典型习题三：指数函数性质的运用（比较大小）例1、已知3116=a，542=b ，325=c ，则（ ）A.c a b >>B.b c a >>C.a b c >>D.b a c >>达标训练1．若0a >，且m ，n 为整数，则下列各式中正确的是（ ） A ．m mnnaa a÷= B ．mn mn aa a ⋅= C ．()nm m n a a +=D ．01n n a a -÷=2．化简1260[()]()21---的结果为（ ）A ．9-B ．7C ．10-D ．93 A ．0B ．2()a b -C ．0或2()a b -D ．a b -4．下列函数中：①23xy =⋅；②13x y +=；③3x y =；④3y x =.其中，指数函数的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数xa y )1(-=在实数集R 上为减函数，则a 满足（ ） A ．1＜aB ．10＜＜aC ．21＜＜aD ．21＜＜a6．函数12+=x y 的大致图象是（ ）7．若102,104mn==，则3210m n-= ．8．化简并求值：（1）252008.0)949(827325.032⨯+--）（；（2）413322338(14a a b a b-÷-+9．已知函数()131xf x a =++为奇函数，则a 的值为 . 10．求下列函数的定义域与值域：（1）y =（2）2121x x y -=+；（3）y =11．已知函数)(x f 的定义域是)2,1(，则函数)2(xf 的定义域是（ ） A ．)1,0(B ．)4,2(C ．)1,21(D ．)2,1(12．化简625625++-=___________13．已知0a >，0b >，且baa b =，9b a =，求a 的值.14．已知13x x-+=,求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+15．设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞16．函数xak x f -⋅=)((a k ,为常数，10≠a a ，且＞)的图象过点)1,0(A ，)8,3(B ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数()1()()1f xg x f x -=+，试判断函数)(x g 的奇偶性，并给出证明．课后训练1．若21025x-=，则10x 的值为（ ）A ．15±B ．15 C ．15- D ．16252．已知22x x-+=，且1x >，则22x x --的值为（ ）A ．2或2-B ．2-C ．6D ．23．化简：10.5233277(0.027)2______1259-⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．设 1.20.80.4614,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 5．已知xa x f -=)((10≠a a ，且＞)，且)3()2(f f ＞-，则a 的取值范围是（ ） A ．0＞aB ．1＞aC ．1＜aD ．10＜＜a6．当10≠a a ，且＞时，函数3)(2-=-x a x f 的图象必过定点 .7.= ． 8.已知函数12log )(2--=x xx f 的定义域为集合A ，关于的不等式x a a --22＜的解集为B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．9.（11421()0.25(2-+⨯； （2）已知11223x x -+=，求22112x x x x --++++的值.10.是否存在实数a ，使得函数()()22101x x f x a a a a =+->≠且在区间[]1,1-上的最大值为14？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.11.12．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数13.求函数11()()142xxy =++的值域.14．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（–∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 .16．已知函数)10()(≠+=a a b a x f x，＞的定义域和值域都是]0,1[-，则ba += .。
指数函数图像与性质教学设计精选10篇
指数函数图像与性质教学设计精选10篇指数函数及其性质教学设计解读篇一《2.1.2 指数函数及其性质(2 》教学设计【学习目标】1.知识与技能①.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。
②.掌握指数函数的性质及应用。
③.理解指数函数的简单应用模型, 认识数学与现实生活及其他学科的联系。
2.情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
②培养学生观察问题，分析问题的能力。
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；3.过程与方法让学生通过观察函数图象，进而研究指数型函数的性质, 主要通过小组讨论、小组展示、及时评价完成整个导学过程【学习重点】熟练掌握指数函数的的概念，图象和性质及指数型增长模型。
【学习难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、指数型函数的图象，性质。
【导学过程】教学内容师生互动设计意图互查每组两名同学互查识记内容教师提问记忆方法，学生回答，其他同学可以相互借鉴。
复习指数函数的图象及性质，为本节课中的内容储备知识基础。
展系吗？→请用一句话概括下图是指数函数2x y =, 3xy =, 0.3x y =, 0.5x y =的图象，请指出它们各自对应的图象。
教师随时点评，引导，欣赏，鼓励。
每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。
其他同学可让学生从图象直观的理解指数函数，从变化中找到不变的规律，提高学生的总结归纳能示交流结论：针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。
力教学内容师生互动设计意图展示交流探究二：指数形式的函数定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(121 x y =+,(2y =,(3 1 4 2x y-=.首先提问给出的三个函数是否是指数函数，加深学生对指数函数概念的理解。
学生小组讨论，交流。
每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。
其他同学可针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。
所给函数虽然不是指数函数，但是由指数函数得到的复合函数，其性质与指数函数密切相关，通过训练能够培养学生的创造性思维能力。
学案8：2.1.2 指数函数及其性质(二)
2.1.2 指数函数及其性质(二)自主学习学习目标1．理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．基础自测1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x2. 指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1题型探究类型一 比较大小问题【例1】 比较下列各题中两个值的大小：(1)3π与33.14； (2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3.规律方法 比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．变式迁移1 比较⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412的大小．类型二 解简单的指数不等式【例2】 如果a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是____________．类型三 指数函数的最值问题【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值．规律方法 指数函数y ＝a x (a >1)为单调增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (0<a <1)为单调减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时，函数有最小值a t .变式迁移3 (1)函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值；(2)0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．课堂小结1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．当堂检测一、选择题1．下图分别是函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，a ，b ，c ，d 分别是四数2，43，310，15中的一个，则相应的a ，b ，c ，d 应是下列哪一组( )A.43，2，15，310B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43，2 2．已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a3．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12)4．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) A ．a a <a b <b a B ．a a <b a <a b C ．a b <a a <b a D ．a b <b a <a a5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x >14－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)二、填空题6．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是____________．7．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是____________．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是__________．三、解答题9．解不等式a x ＋5<a 4x －1 (a >0，且a ≠1)．10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.【参考答案】基础自测1．C 2.C 3.A 4.C题型探究【例1】 解 (1)构造函数y ＝3x .∵a ＝3>1，∴y ＝3x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵π>3.14，∴3π>33.14.(2)构造函数y ＝0.99x .∵0<a ＝0.99<1，∴y ＝0.99x 在(－∞，＋∞)上是减函数．∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11.(3)分别构造函数y ＝1.4x 与y ＝0.9x .∵1.4>1,0<0.9<1，∴y ＝1.4x 与y ＝0.9x在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数．∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，∴1.40.1>1>0.90.3，∴1.40.1>0.90.3.变式迁移1 解 将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412分成如下三类：(1)负数⎝⎛⎭⎫－233； (2)大于0小于1的数⎝⎛⎭⎫3412；(3)大于1的数⎝⎛⎭⎫4313，223.∵⎝⎛⎭⎫4313<413，而413＝223， ∴⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 【例2】 解 (1)当0<a <1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，x 的取值范围是：当0<a <1时，x ≥－6；当a >1时，x ≤－6.变式迁移2 (12，＋∞) 解析 a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1. ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数．∴x >1－x ，解得x >12. ∴x 的取值范围是(12，＋∞)． 【例3】 解 (1)①若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，最大值为a 2，最小值为a .∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去). ②若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，最大值为a ，最小值为a 2.∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)， 综上所述，所求a 的值为12或32. (2)设t ＝a x ，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，对称轴为t ＝－1.①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，∴0<1a≤t ≤a ； ∴y ＝(t ＋1)2－2当t ∈[1a，a ]时递增． 故当t ＝a 时，y max ＝a 2＋2a －1.由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去，∵a >1)．②若0<a <1，t ＝a x 在[－1,1]上递减，t ∈[a ，1a]， y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)． 综上，可得a ＝13或3. 变式迁移3 解 (1)∵f (x )＝a x 在[1,2]上是单调函数，∴f (x )在1或2时取得最值．∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3，∵a >0，∴a ＝2.(2)y ＝12·22x －3·2x ＋5＝12(22x －6·2x )＋5 ＝12(2x －3)2＋12. ∵x ∈[0,2]，1≤2x ≤4，∴当2x ＝3时，y 最小值＝12， 当2x ＝1时，y 最大值＝52. 当堂检侧1．C2．B 【解析】c <0，b ＝53>3,1<a <3，∴b >a >c .3．B 【解析】函数y ＝(12)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 4．C 【解析】由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .5．D 【解析】因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象知 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.6.⎣⎡⎦⎤－53，1 7．c >a >b 【解析】y ＝0.8x 为减函数，∴0.80.7>0.80.9，且0.80.7<1，而1.20.8>1，∴1.20.8>0.80.7>0.80.9.8．(－∞，－1)【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12得x ∈∅； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；因此当x <0时，由2x －1<－12得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．9．解 当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1.解得x >2；当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1.解得x <2.故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)； 当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)．10．(1)解 由2x －1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)解 由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12·(－x )3 ＝－⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3 ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明 当x >0时，12x －1>0，x 3>0， ∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.。
2023年高三数学指数学案
平陆中学高三年级理科数学学案《指数与指数函数》学习目标1. 能够准确熟练进行知识点梳理；2. 能够熟练进行指数运算，保证每一步骤的正确性；3. 会画指数函数及指数型函数的图象，并且会根据图象熟练总结指数函数的性质，进而可以运用性质解决几类问题；4. 能够分析与指数函数相关的复合函数的性质，达到解决问题的目的。
学习重点理解指数函数的图象和性质学习难点掌握指数函数的应用以及求解相关复合函数的性质的方法 学习过程一．知识梳理1．根式 (1)根式的概念①若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数． ②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒ x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝ ＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ．(2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． ②(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4（π－4）4＝π－4.( )(2)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( )(5)若a m >a n ，则m >n .( )(教材习题改编)有下列四个式子： ① 3（－8）3＝－8；②（－10）2＝－10； ③4（3－π）4＝3－π；④2 018（a －b ）2 018＝a －b .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2018·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )函数f (x )＝1－e x 的值域为________．(教材习题改编)若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．三．典例分析例题一. 化简下列各式：(1)0.027－13－⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab .【方法总结】例题二. 若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【方法总结】1.指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．2. 指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质． 例题三.(1) 比较指数幂的大小已知a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c(2) 解简单的指数方程或不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(3)研究指数型函数的性质函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0，4]D ．[4，＋∞) 【方法总结】四．巩固练习1. 化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.2. (1) 函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2) 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．3．已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________．五．课堂小结六．作业㈠.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． ㈡基础达标1．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a 3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab2．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数3．(2018·湖北四市联考)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )4．若2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )A ．[18，2)B ．[18，2]C ．(－∞，18]D ．[2，＋∞)5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．化简：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5＝________． 7．(2018·陕西西安模拟)若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝⎛⎭⎫x 0，13，则函数f (x )在[0，3]上的最小值等于________．8．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．1．(2018·河南濮阳检测)若“m >a ”是函数“f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．12．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) 3．若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．5．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 6．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．。
指数函数教案(精选多篇)
指数函数教案(精选多篇)第一篇：指数函数教案.doc一．思考题1.学来回答其变化的过程和答案2.通过ppt来讲解思考题二、问题1.直接说出指数函数2.同学来思考问题23.给出指数函数的概念三．例题1.念下题目，叫学生思考几秒钟，请学生来回答。
2.对学生的回答进行分析四．思考1.第一个思考，引导学生说出图像的做法，2.请学生来画出4个图像3.对图像进行补充4.从函数的三要素来分析图像的性质5.从图像上的到恒过的点及单调性6.进行底数互为倒数的函数图像的比较、得到对称的性质（换算）7.进行底数不同大小的比较，说明其大小的变化五．例题先思考，再请同学来回答，再进行点评六、总结七、布置作业第二篇：《指数函数概念》教案《指数函数概念》教案（一）情景设置，形成概念1、引例1：折纸问题：让学生动手折纸观察：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间的关系，得出结论ｙ=2x②对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间的关系（记折前纸张面积为1），得出结论ｙ=（1/2）ｘ引例2：《庄子。
天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
请写出取x次后，木棰的剩留量与y与x的函数关系式。
2、形成概念：形如ｙ=ax（a 0且a≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈r。
提出问题:为什么要限制a 0且a≠1？这一点让学生分析，互相补充。
分a﹤=0，a=1讨论。
1）a 0时，ｙ=(-3)x对于x=1/2，1/4，??(-3)x无意义。
2）a=0时，x 0时，ax=0；x≤0时无意义。
3）a=1时，a= 1=1是常量，没有研究的必要。
（二）发现问题、深化概念问题：判断(转载需注明来源：)下列函数是否为指数函数。
1）ｙ=-3ｘ2）ｙ=31/x3) ｙ=31+x4) ｙ=(-3)x5) ｙ=3-x=(1/3) x1、1）ax 的前面系数为1； 2）自变量x在指数位置； 3）a 0且a≠1。
2、问题中4）ｙ=(-3)x的判定，引出上面讨论的问题：即指数函数的概念中为什么要规定a 0且a≠1。
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1 ,
§第5课时
指数函数（学案）
•教学目标：理解有理数指数幕的含义；了解实数指数幕的意义，能进行幕的运算。
理解指 数函数的性质，会画指数函数的图象。
•教学重点：理解指数函数的性质，会画指数函数的图象。
•教学难点：理解指数函数的性质，会画指数函数的图象。
•教学过程： 一展示交流 1•预习案1---4题 二•合作探究：
3 ~7~
・ ---------------------------- 1
1
例 1.已知 a=l ,b=9.求： （1）；aVa 3 二 a 8 3 a 15 ；
（2）久一^
•
9
（ab ）
变式训练1 :化简下列各式（其中各字母均为正数）
x x
(1)
2 1 1 1
(a 3 b 1) 2 a 2
&
Va b
(2)
5 1
1 2
1
3 2 2 1 3 3 "2
a 3
b ( 3a b ) (4a b ). 6
例2.已知函数
「 a a a 0,a a 4
⑴判断f x的奇偶性；⑵若f x是R上的增函数，求实数a的取值范围。
1 ,
2
R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x€ (0,1)时，f(x)= l
例3.已知定义在
4 1
(1 )求f (x)在］-1 ,1］上的解析式;
(2)证明：f(x)在(0, 1)上是减函数
三•课堂小结：
1. b N = a, a b= N , log a N = b(其中N>0 , a>0, a丰1是同一数量关系的三种不同表示形式，
因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算•在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底
2•处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解
3 •含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以
“底”大于1或小于1分类•
4•含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.
四•当堂反馈：
1. 已知实数a、b满足等式(1)a (1)b，下列五个关系式：① 0v b v a;②a v b v 0;③0 v a v b;
④b v a v 0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有___________________ 个
2. y=( i)6x2x2;的单调递增区间为
2
3. 已知2x x』)x2，函数y 2x 2 x的值域为
4
1
4. 已知f(x) —— m是奇函数，则f( 1)
3x 1
5. 设函数y a" M-1 a 0, a 1 ,则函数图像恒过______________ 点，它的图像关于直线对称。
x
6. 设a> 0,f(x)= e是R上的偶函数.
a e
(1 )求a的值；
(2)求证：f(x)在(0, +s)上是增函数.。