4.1.2 乘法公式与全概率公式 导学案- (人教B版 高二数学选择性必修第二册)
4.1.1条件概率教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册
1. 教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，即2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册。教师需提前检查教材的完整性，确保学生能够跟随教学进度。
2. 辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。例如，可以准备一些关于条件概率的实例，如疾病与症状之间的关系、判断事件的独立性等，以帮助学生更好地理解概念。此外，还可以准备一些实际问题，让学生在课堂上进行讨论和解决。
5. 条件概率的应用：
条件概率在实际生活中有着广泛的应用，例如判断疾病的症状与疾病之间的关系、判断事件的独立性、求解概率的最大值等。通过条件概率的学习，学生可以更好地理解和解决实际问题。
七、教学反思与总结
今天讲授的是条件概率，这个概念对学生来说相对抽象，且与之前学习的概率知识有较大的区别。在教学过程中，我尝试采用了多种教学方法和策略，以提高学生的理解和应用能力。
8. 教学反思表：准备一份教学反思表，让学生在课后对自己的学习情况进行评估，以便教师了解学生的学习效果，调整教学方法和策略。
9. 作业布置：根据教学内容，布置相应的作业，让学生巩固所学知识。作业应包括习题和实际问题，以培养学生的应用能力。
10. 课后辅导：为那些在课堂上没有完全理解的学生提供课后辅导机会，可以安排课后答疑时间，或者建立线上辅导群，以便学生随时提出问题，教师及时解答。
3. 学生可能遇到的困难和挑战：在学习条件概率时，学生可能对全概率公式和贝叶斯公式的理解有困难，不知道如何正确运用这些公式。此外，学生可能对如何将实际问题转化为条件概率模型感到困惑，不知道如何从实际问题中提取关键信息。还有，学生在解决实际问题时，可能不知道如何判断事件的独立性，以及如何求解概率的最大值等。这些都是学生在学习本节课时可能遇到的困难和挑战。
20-21版：4.1.2 乘法公式与全概率公式（步步高）
4.1.2 乘法公式与全概率公式学习目标 1.会应用乘法公式计算概率.2.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率．知识点一 乘法公式1．公式：P (BA )＝P (A )P (B |A )．2．意义：根据事件A 发生的概率，以及已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，可以求出事件A 与B 同时发生的概率． 知识点二 全概率公式1．全概率公式：一般地，如果样本空间为Ω，A ，B 为事件，则BA 与B A 是互斥的，且B ＝BΩ＝B (A ＋A )＝BA ＋B A ，从而P (B )＝P (BA ＋B A )＝P (BA )＋P (B A )，当P (A )>0且P (A )>0时，有P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )．2．定理1：若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，…，A n 满足： (1)任意两个事件互斥，即A i A j ＝∅，i ≠j ，i ，j ＝1,2，…，n ； (2)A 1＋A 2＋…＋A n ＝Ω； (3)P (A i )＞0 ，i ＝1,2，…，n .则对Ω中的任意事件B ，都有B ＝BA 1＋BA 2＋…＋BA n ， 且P (B )＝∑i ＝1nP (BA i )＝∑i ＝1nP (A i )P (B |A i )．思考 在全概率公式的推导过程中，用到了哪些概率公式？ 答案 互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式． 知识点三 贝叶斯公式一般地，当1>P (A )>0且P (B )>0时，有P (A |B )＝P (A )P (B |A )P (B )＝P (A )P (B |A )P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A ).1．P (AB )＝P (A )P (A |B )．( × )2．全概率公式中样本空间Ω中的事件A i 需满足的条件为∑i ＝1nA i ＝Ω.( × )3．贝叶斯公式是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率．( √ )一、乘法公式例1 某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 答案 0.4解析 记“射中第一个目标”为事件A ，“射中第二个目标”为事件B ， 则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.5.所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.5＝0.4， 即这个选手过关的概率为0.4. 反思感悟 应用乘法公式的关注点(1)来源：乘法公式是条件概率公式的变形式．(2)用途：已知事件A 发生的概率和事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，求事件A 与B 同时发生的概率．(3)拓广：设A ，B ，C 为三个事件，且P (AB )＞0，则有P (ABC )＝P (C |AB )P (AB )＝P (C |AB )P (B |A )·P (A )．跟踪训练1 一批彩电共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取2次，每次抽一台，则第2次才抽到合格品的概率为________． 答案111解析 设A i (i ＝1,2)为第i 次抽到合格品的事件，则有 P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2|A 1)＝10100×9099＝111. 二、全概率公式命题角度1 两个事件的全概率问题例2 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解 如果用A 1，A 2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥，B ⊆Ω， 由题意可知，P (A 1)＝58，P (A 2)＝38，且P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝13.由全概率公式可知P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＝58×35＋38×13＝12.(学生)反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A 1，A 2(或A 与A )． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．(3)求和：所求事件的概率P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)．跟踪训练2 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为350，乙厂每箱装120个，废品率为120，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．解 记事件A ，B 分别为甲、乙两厂的产品，事件C 为废品，则Ω＝A ∪B ，且A ，B 互斥， (1)由题意，得P (A )＝3050＝35，P (B )＝2050＝25，P (C |A )＝350，P (C |B )＝120， 由全概率公式，得P (C )＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B )＝7125. (2)P (A )＝30×10030×100＋20×120＝59，P (B )＝20×12030×100＋20×120＝49，P (C |A )＝350，P (C |B )＝120， 由全概率公式，得P (C )＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B )＝59×350＋49×120＝118.命题角度2 定理1的应用例3 某射击小组共有20名射手，其中一级射手5人，二级射手8人，三级射手7人．一、二、三级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5.求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率．解 设事件A 表示“射手能通过选拔进入比赛”． 设事件B i 表示“射手是第i 级射手”(i ＝1,2,3)， 显然，Ω＝B 1＋B 2＋B 3.且P (B 1)＝520＝14，P (B 2)＝820＝25，P (B 3)＝720，P (A |B 1)＝0.9，P (A |B 2)＝0.7， P (A |B 3)＝0.5.由全概率公式得到P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)·P (B 2)＋P (A |B 3)P (B 3)．＝0.9×14＋0.7×25＋0.5×720＝0.68.反思感悟 “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P (B )＝ i ＝13P (A i )P (B |A i )．(2)已知事件B 的发生有各种可能的情形A i (i ＝1,2，…，n )，事件B 发生的可能性，就是各种可能情形A i 发生的可能性与已知在A i 发生的条件下事件B 发生的可能性的乘积之和． 跟踪训练3 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解 (1)从甲箱中任取2个产品的样本点有C 28＝8×72＝28(个)， 这2个产品都是次品的样本点有C 23＝3(个)， ∴这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1、事件B 2、事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝23，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，∴P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)·P (A |B 3)＝514×23＋1528×59＋328×49＝712.三、贝叶斯公式的应用例4 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．解 记事件A 1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A 2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A 3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B ＝“该产品是次品”．则Ω＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3两两互斥，由题设，知P (A 1)＝45%，P (A 2)＝35%，P (A 3)＝20%，P (B |A 1)＝4%，P (B |A 2)＝2%，P (B |A 3)＝5%. (1)由全概率公式得P (B )＝∑i ＝13P (A i )P (B |A i )＝3.5%.(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得 P (A 1|B )＝P (A 1B )P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)P (B )＝1835. 反思感悟 条件概率的内含(1)公式P (A 1|B )＝P (A 1B )P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)P (B )反映了P (A 1B )，P (A 1)，P (B )，P (A 1|B )，P (B |A 1)之间的互化关系．(2)P (A 1)称为先验概率，P (A 1|B )称为后验概率，其反映了事情A 1发生的可能在各种可能原因中的比重．跟踪训练4 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 解 设事件A 表示取到的产品为正品，B 1，B 2，B 3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B 1∪B 2∪B 3，且B 1，B 2，B 3两两互斥， 由已知P (B 1)＝0.2，P (B 2)＝0.3，P (B 3)＝0.5， P (A |B 1)＝0.95，P (A |B 2)＝0.9，P (A |B 3)＝0.8.(1)由全概率公式得P (A )＝∑i ＝13P (B i )P (A |B i )＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.(2)由贝叶斯公式得 P (B 1|A )＝P (B 1)P (A |B 1)P (A )＝0.2×0.950.86＝1986，P (B 2|A )＝P (B 2)P (A |B 2)P (A )＝0.3×0.90.86＝2786，P (B 3|A )＝P (B 3)P (A |B 3)P (A )＝0.5×0.80.86＝4086＝2043.由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．1．第一个袋中有黑、白球各2只， 第二个袋中有黑、白球各 3 只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球．则第一、二次均取到白球的概率为( )A.17B.27C.12D.47 答案 B2．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是( ) A.275 B.7300 C.7375 D.9731 000 答案 C解析 设A i ＝“任意取出一个零件是第i 台机床生产的”，i ＝1,2，B ＝“任意取出一个零件是合格品”．则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥，∴P (B )＝ i ＝12P (A i )P (B |A i )＝23(1－0.03)＋13(1－0.02)＝292300＝7375.3．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是( )A ．0.013B ．0.04C ．0.002D ．0.003 答案 A解析 设事件A 为“任取一件为次品”，事件B i 为“任取一件为i 厂的产品”，i ＝1,2,3，则Ω＝B 1∪B 2∪B 3，且B 1，B 2，B 3两两互斥，易知P (B 1)＝0.3，P (B 2)＝0.5，P (B 3)＝0.2，P (A |B 1)＝0.02，P (A |B 2)＝0.01， P (A |B 3)＝0.01.∴P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＋P (A |B 3)·P (B 3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 4．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________． 答案1325解析 设A ＝“从乙袋中取出的是白球”，B i ＝“从甲袋中取出的两球恰有i 个白球”，i ＝0,1,2.由全概率公式P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)·P (A |B 2)＝C 22C 25·410＋C 13C 12C 25·12＋C 23C 25·610＝1325.5．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%.则：(1)某人化验结果为阳性的概率为________；(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．答案 (1)1.47% (2)95294解析 A ＝“呈阳性反应”，B ＝“患有此种病”． (1)P (A )＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%. (2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.5%×95%1.47%＝95294.1．知识清单： (1)乘法公式及应用． (2)全概率公式及应用． (3)贝叶斯公式及应用．2．方法归纳：化整为零、转化化归． 3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．。
4.1.2 乘法公式与全概率公式 教学设计- (人教B版 高二数学选择性必修第二册)
4.1.2 乘法公式与全概率公式本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第二册》，第四章《概率与统计》，本节课主要学习乘法公式与全概率公式学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型、几何概型）已经有所了解。
刚刚学习了条件概率，乘法公式和全概率公式是计算较为复杂概率问题的有力工具。
公式的理解重在在具体的问题情境中进行运用。
同时注意运用集合的观点理解公式。
重点： 会用乘法公式和全概率公式计算概率. 难点：理解乘法公式和全概率公式多媒体例3.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为例3也可以这样来理解:假设参加活动的甲班人数5n,为3n，而且甲班中有女生3n人,乙班中有女生n人。
从而可知参加活动的总共有5n+3n=8n人，而女生有3n+n=4n率为4n=1.例4.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息，如下表所示，在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.解:用A1, A2, A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则依据已知条件可得学生分析和解决问题的能力，并发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
()四、小结五、课时练本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。
为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标。
进一步发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第4章 概率与统计 4.1.2 乘法公式与全概率公式
3
7
P(A1B)=P(A1)P(B|A1)= ×
10 9
=
7
.
30
7
P(B|A1)=9,所以
规律方法
乘法公式求概率的关注点
(1)来源:乘法公式是条件概率公式的变形式.
(2)适用情境:求P(AB)时可用乘法公式.
变式训练1[北师大版教材习题]甲、乙两人参加面试,每人的试题通过不放
2
据相互独立事件的概率公式可得所求概率为
1 2 3 4
.
1
P=
2
×
16
31
=
8
.
31
4.[人教A版教材习题]袋子中有10个大小相同的小球,其中7个白球,3个黑
球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.求:
(1)在第一次摸到白球的条件下,第二次摸到白球的概率;
(2)两次都摸到白球的概率.
解 设 Ai 表示“第 i 次摸到白球”(i=1,2),则
3
(1)由全概率公式,得
1
P(A)= ∑ P(Bi)P(A|Bi)= ×(5×6%+7×5%+8×4%)=4.85%.
20
=1
1×6%
P(B1 )P(A|B1 )
30
4
(2)由贝叶斯公式,得 P(B1|A)=
=
= .
P(A)
4.85%
97
学以致用·随堂检测促达标
1.两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
课时作业6：4.1.2 乘法公式与全概率公式第2课时 全概率公式、贝叶斯公式
4.1.2 乘法公式与全概率公式第2课时 全概率公式、贝叶斯公式A 组 基础巩固练一、选择题1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为( )A ．0.72B ．0.96C ．0.86D ．0.842．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )A ．0.8B ．0.832 5C ．0.532 5D ．0.482 53．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产12，乙、丙两厂各生产14，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )A ．0.025B ．0.08C ．0.07D ．0.1254．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为13，而乱猜正确的概率为23.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )A.13B.23C.34D.145．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )A.29B.38C.112D.58二、填空题6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A －|C －)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P (C )＝0.005, 则P (C |A )＝______.(精确到0.001)7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．8．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“–”时失真的概率为13，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________． 三、解答题9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率；(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．B 组 素养提升练11．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为________．(精确到0.001)12．8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8; 用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．13．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%, 则该支股票将上涨的概率为________．14．(一题两空)某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为110，114，118.现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)C组思维提升练15．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？参考答案A组基础巩固练一、选择题1．【答案】C【解析】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P (B )＝0.4，P (C )＝0.6，P (A |B )＝0.8，P (A |C )＝0.9. 由全概率公式得P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (C )P (A |C )＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选C.]2．【答案】D【解析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A 1，A 2，A 3，A 4，则它们构成样本空间的一个划分．设B ＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：P (B )＝∑4i ＝1P (A i )P (B |A i ) ＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.故选D.3．【答案】A【解析】设A 1，A 2，A 3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B 表示次品，则P (A 1)＝0.5，P (A 2)＝P (A 3)＝0.25，P (B |A 1)＝0.02，P (B |A 2)＝0.02，P (B |A 3)＝0.04，∴P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.4．【答案】B【解析】设A ＝“考生答对”，B ＝“考生知道正确答案”，由全概率公式：P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B －)P (A |B －)＝13×1＋23×14＝12. 又由贝叶斯公式：P (B |A )＝P (B )P (A |B )P (A )＝1312＝23.故选B. 5．【答案】B【解析】用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用B k 表示丢失的一箱为k ，k ＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P (A )＝∑3k ＝1P (B k )P (A |B k )＝12·C 24C 29＋15·C 25C 29＋310·C 25C 29＝836.P (B 1|A )＝P (B 1)P (A |B 1)P (A )＝12·C 24C 29P (A )＝336÷836＝38.故选B. 二、填空题6．【答案】0.087【解析】由题设，有P (C －)＝1－P (C )＝0.995，P (A |C －)＝1－P (A －|C －)＝0.05，由贝叶斯公式，得P (C |A )＝P (A |C )P (C )P (A |C )P (C )＋P (A |C －)P (C －)≈0.087. 7．【答案】5285 915【解析】设A ＝“第二次取出的均为新球”，B i ＝“第一次取出的3个球恰有i 个新球”(i ＝0,1,2,3)．由全概率公式P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝C 36C 315·C 39C 315＋C 19C 26C 315·C 38C 315＋C 29C 16C 315·C 37C 315＋C 39C 315·C 36C 315＝5285 915. 8．【答案】34【解析】设A ＝收到“·”，B ＝发出“·”，由贝叶斯公式P (B |A )＝P (B )P (A |B )P (B )P (A |B )＋P (B －)P (A |B －)＝58×3558×35＋38×13＝34. 三、解答题9．解：(1)设A 1＝从甲盒取出2个红球；A 2＝从甲盒取出2个白球；A 3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B ＝从乙盒取出2个红球．则A 1，A 2，A 3两两互斥，且A 1＋A 2＋A 3＝Ω，所以P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝C 22C 25×C 23C 27＋C 23C 25×0C 27＋C 13C 12C 25×C 22C 27＝370. (2)P (A 1|B )＝P (A 1B )P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)∑3i ＝1P (A i )P (B |A i )＝170370＝13.10．解：设A 表示枪已校正，B 表示射击中靶．则P (A )＝35，P (A －)＝25，P (B |A )＝0.9， P (B －|A )＝0.1，P (B |A －)＝0.4，P (B －|A －)＝0.6.(1)P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝35×0.9＋25×0.4＝0.7. (2)P (A －|B －)＝P (A －)P (B －|A －)P (A －)P (B －|A －)＋P (A )P (B －|A )＝25×0.625×0.6＋35×0.1＝0.8. B 组 素养提升练11．【答案】0.998【解析】设A ＝任取一产品，经检查是合格品，B ＝任取一产品确是合格品，则A ＝BA ＋B －AP (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B －)P (A |B －)＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.942 8，故所求概率为P (B |A )＝P (B )P (A |B )P (A )＝0.96×0.980.942 8≈0.998 12．【答案】4049【解析】设B 1＝{使用的枪校准过}, B 2＝{使用的枪未校准}, A ＝{射击时中靶}，则P (B 1)＝58，P (B 2)＝38， P (A |B 1)＝0.8，P (A |B 2)＝0.3.由贝叶斯公式， 得P (B 1|A )＝P (A |B 1)P (B 1)P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＝4049. 所以， 所用的枪是校准过的概率为4049. 13．【答案】64%【解析】记A 为事件“利率下调”， 那么A －即为 “利率不变”， 记B 为事件“股票价格上涨”. 依题设知P (A )＝60%，P (A －)＝40%，P (B |A )＝80%，P (B |A －)＝40%，于是P (B )＝P (AB )＋P (A －B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.14．【答案】(1)0.083 (2)0.287【解析】(1)设A ＝{取得一个产品是次品}，B 1＝{取得一箱是甲厂的}，B 2＝{取得一箱是乙厂的}，B 3＝{取得一箱是丙厂的}．三个厂的次品率分别为110，114，118， ∴P (A |B 1)＝110，P (A |B 2)＝114，P (A |B 3)＝118. 12箱产品中，甲占612，乙占412，丙占212， 由全概率公式得P (A )＝∑3k ＝1P (A |B k )P (B k )＝612×110＋412×114＋212×118≈0.083. (2)依题意，已知A 发生，要求P (B 2|A )，此时用贝叶斯公式：P (2|A )＝P (B 2)P (A |B 2)P (A )≈412×1140.083≈0.287. C 组 思维提升练15．解：设A i ＝“第i 次接通电话”，i ＝ 1,2,3， B ＝“拨号不超过3次接通电话”，则事件B 的表达式为B ＝A 1∪A －1A 2∪A －1A －2A 3.利用概率的加法公式和乘法公式P (B )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＋P (A －1)P (A －2|A －1)P (A 3|A －1A －2)＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 若已知最后一位数字是奇数，则P (B )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＋P (A －1)P (A －2|A －1)P (A 3|A －1A －2)＝15＋45×14＋45×34×13＝35.。
7.1.2+++全概率公式+2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和
0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率；
发送0(A)
接收0(B)
解：
发送1(A)
接收1(B)
设A=" 发送的信号为0",B=" 接收的信号为0",则A=" 发送的信号为1", B=" 接收的信号为1". 由题意得 P(A)=P(A) =0.5,
一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率 为0.6; 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。
由全概率公式，得
代公式
P(B)= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)
=0.5×0.6+0.5 ×0.8 =0.7
B年
3
I
=P(A)P(B|A)+P(A )P(B|A )
十
引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个 球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6, 那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?
假设A1=“第一次摸到红球” A2=“第一次摸到黑球” B=“第二次摸到红球” B
易知，A₁UA₂=Ω, 且互斥，
引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个 球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6, 那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?
易 知 ，P(A)=
5
0
9
A₁
10
B
6
9
4
A2 10
新教材2020-2021学年数学人教B版选择性必修第二册课件：4.1.2 乘法公式与全概率公式
2
3
9
3
【解析】选B.由条件概率的计算公式，可得：P(AB) P(B | A)P(A) 2 1 1 .
32 3
主题2 条件概率的性质 有三个箱子，分别编号为1，2，3.1号箱中装有1个红球4个白球，2号箱中
装有2个红球2个白球，3号箱中装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，从中任 意摸出一球.
【解析】记Ai={第i次取得正品}，i=1，2，则A2=A1AA2+1 A2， 所以P(A2)=P(A1A2)+PA(1 A2) =P(A1)P(A2|A1)+PA(1 )P(A2A| 1 )
65 26 3. 87 87 4
【延伸探究】 本题条件不变，现不放回地从中取产品三次，每次一件，求第三次取得正品 的概率.
B3
0.03 0.05 0.012 5
0.12.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.已知某同学在高二期末考试中，则A题答对的概率为 3 ，
4
在A题答对的情况下，B题也答对的概率为 8 ，A和B两道
选择题同时答对的概率为
9
()
A. 2B. 3C. 1D. 7
3
4
2
9
【解析】选A.设事件A：答对A题，事件B：答对B题，P(A) 3，P(B | A) 8 .
【解析】设A表示事件“第一次取得白球”，B表示事件“第二次取得
白球”，则(1)P(A)= 6 =3 0.6.
10 5
(2)P(AB)=P(A)P(B|A)=6 5 1 .
10 9 3
(3)P( AB)=P( A)P(B| )=A
4 6 4 . 10 9 15
【跟踪训练】 在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取
4.1.2乘法公式与全概率公式习题课课件-高二下学期数学人教B版选择性
解析 设事件 A：该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过 1 万人次．
设事件 B：随后一天的接纳顾客量超过 1 万人次．
根据条件有：P(A)＝290，P(B|A)＝79，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝270.故答案为270.
答案
7 20
人教B版高中数学选择性必修二
12．袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球(只有颜色不同)，不放回抽取，每次任取一 球，取两次，求：
率分别为 5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3
B．0.023 4
C．0.034 5
D．0.045 6
解析 由全概率公式易知在这批产品中任取一件，它是次品的概率为 0.25×0.05 ＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
答案 C
人教B版高中数学选择性必修二
的概率为190，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( )
2
27
9
A.3
B.50
C.10
3 D.10
解析 设某地区每年七月份刮台风为事件 A，每年七月份下大雨为事件 B，则该地 区七月份既刮台风又下大雨为事件 AB，由题得 P(A)＝35，P(B|A)＝190，
所以 P(B|A)＝190＝PPAAB＝PA3B，所以 P(AB)＝190×35＝2570.故选 B. 5
答案 A
人教B版高中数学选择性必修二
9．设 A，B 为两个事件，若事件 A 和事件 B 同时发生的概率为130，在事件 A 发生的 条件下，事件 B 发生的概率为12，则事件 A 发生的概率为________．
解析 根据题意知 P(AB)＝130，P(B|A)＝PPAAB＝12，则 P(A)＝2P(AB)＝35.
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4.1.2 乘法公式与全概率公式1.结合古典概型,会用乘法公式计算概率.2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.3.了解贝叶斯公式.重点：会用乘法公式和全概率公式计算概率. 难点：理解乘法公式和全概率公式1.乘法公式：乘法公式:由条件概率的计算公式P (B|A )=P （BA ）P （A ）可知P (BA )=P (A )P (B|A ),这就是说,根据事件A 发生的概率,以及已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率,可以求出A 与B 同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式.2.全概率公式:一般地,如果样本空间为Ω,而A ,B 为事件,则BA 与B A 是互斥的,且 B=BΩ=B (A+A )=BA+B A ,如图所示, 从而P (B )=P (BA+B A )=P (BA )+P (B A ). 更进一步,当P (A )>0且P (A )>0时, 因为由乘法公式有P (BA )=P (A )P (B|A ),P (B A )=P (A )P (B|A ),所以P (B )=P (A )P (B|A )+P (A )P (B|A ).这称为全概率公式.定理1 若样本空间Ω中的事件A 1,A 2,…,A n 满足 (1)任意两个事件均互斥,即A i A j =⌀,i ,j=1,2,…,n ,i ≠j ; (2)A 1+A 2+…+A n =Ω; (3)P (A i )>0,i=1,2,3,…,n.则对Ω中的任意事件B ,都有B=BA 1+BA 2+…+BA n ,且P (B )=∑i=1nP (BA i )=∑i=1nP (A i )P (B|A i ).上述公式也称为全概率公式.*3.贝叶斯公式:一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).这称为贝叶斯公式.定理2若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,A n满足:(1)任意两个事件均互斥,即A i A j=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+A n=Ω;(3)1>P(A i)>0,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意概率非零的事件B,有P(A j|B)=P(A j)P(B|A j)P(B)=P(A j)P(B|A j)∑i=1nP(A i)P(B|A i).上述公式也称为贝叶斯公式.1.已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,则P(BA)=.一、问题导学学校的“我为祖国献计献策” 演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序，不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样，张明的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第2个抽签的人抽到1号的概率是否相等，为什么？（1）在P（B|A）, P(BA) (即P(B∩A) 下同)，P(A)这三者中，如果已知P(A)与P（B|A），能不能求出P(BA) ？（2）某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了，因此决定随机拨号进行尝试，你能用（1）中所得的结论，得出该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率吗？二、典例解析例1.已知某品牌的手机屏幕从1米高的地方掉落时，第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机屏幕从1米高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率.例2. 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖卷，其中共有5张写有“中奖” 字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再出抽，求： （1）甲中奖而且乙也中奖的概率； （2）甲没中奖而且乙中奖的概率.你能用排列组合的知识求解吗？（1）在例2中，如果想求乙中奖的概率P(B) ，该怎样计算？ （2）一般地，如果已知P(BA)与P(BA )，能否求出P(B) ？ 如果已知P （B|A ） ， P （A ）, P （B|A ）, P(A )能否求出P(B) ？例3.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，集中甲班中女生占35，乙班中女生占13.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.例4.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息，如下表所示，在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率.用适当的符号表示出下列描述中的已知与未知，并探索问题的解法：尝试与发现 已知某厂生产的食盐优质品率为90%，而且优质品中包装达标的占95%；非优质品中，包装达标的占80%.如果从该厂生产的食盐中，随机取了一袋，发现包装是达标的，那么这袋食盐是优质品的概率为多少？（精确到0.1% ）例5. 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%，而且，当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%，否则，第一件产品合格的概率为60%，某天生产线启动时生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率（精确到0.1% ）.1. 设A，B为两个事件，已知P(A)=23，P(B|A)=12，则P(AB)= ()1122A. B. C. D.23932.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为()A.0.625B.0.75C.0.5D.03.某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为________.4.两批相同的产品各有12件和10件，每批产品中各有1件废品，现在先从第1批产品中任取1件放入第2批中，然后从第2批中任取1件，则取到废品的概率为________.5.有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率.6.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？参考答案：知识梳理1.已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,则P(BA)=.学习过程尝试与发现：中的（2），如果设A 表示第一次没有拨对，B 表示第二次没有拨对，则P (A )易求，即总共有10种可能，拨不对电话号码的情况有9种，因此P （A ）=910.而且， P (B|A )易得： 如果第一次拨不对，那么第二次会从第一次尝试的数以外的数中随机选一个进行尝试，共有9种可能，拨不对电话号码的情况有8种，因此P (B|A ) =89.从而根据乘法公式可知，两次都拨不对电话号码的概率为P (BA )=P (A )·P (B|A )=910×89=45.另解：借助排列组合问题可转化为“用10个数字排成数字不重复的2位数，求某个特定数字不出现的概率” ，总共有A 102种排法，特定数字不出现的排法有A 92，因此所求概率是A 92A 102=9×810×9=45第（1）个问题中，可以看出所求概率为P(A) =1830=915；第（2）个问题中，因为事件B 发生了，就相当于是从男生中任意抽取了一人.要使得事件A 发生，必须抽取AB （即）中的样本点，因此所求概率为814=47，这里47的称为已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，记作P （A|B ）， 即：P （A|B ）=47.例1.解：设A i 表示第i 次掉落手机屏幕没有碎掉， i =1,2, 则由已知可得P （A 1）=0.5 ， P （A 2|A 1）=0.3,因此由乘法公式P （A 2A 1）=P （A 1）P （A 2|A 1）=0.5×0.3=0.15.即这样的手机屏幕从1米高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率为0.15 例2. 解：设A ：甲中奖，B ：乙中奖，则P （A ）=550=110.（1）因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中只有4张 写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P （B|A ）=449 根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为 P （BA ）=P （A ）P （B|A ）=110×449=2245.（2）因为P （A ）+P(A )=1 ,所以P(A )=910 ,因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P （B|A ）=549根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为P （B A ） =P(A )P （B|A ）=910×549=998.你能用排列组合的知识求解吗？例3.解：如果用A 与A 分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的， B 表示是女生.则根据已知，有P （A ）=55+3=58，P(A )=38, 而且P （B|A ）=35，P （B|A ）=13，题目所要求的是P （B ） 由全概率公式可知P （B ） =P （A ） P （B|A ）+ P(A ) P （B|A ）=58×35+38×13=12例3也可以这样来理解:假设参加活动的甲班人数5n,为则乙班人数为3n ，而且甲班中有女生3n 人,乙班中有女生n 人。
从而可知参加活动的总共有5n +3n =8n 人，而女生有3n +n =4n 人，因此所求概率为4n8n =12.在上述记号下，我们还可以利用P(B̅) =P （A ） P （B ̅|A ）+ P(A ) P （B ̅|A ） 来得到该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率，从而例3中的信息可借助如图所示的数形图来理解.利用全概率公式，可以解决情境与问题中的抽签问题，如果设A i 表示第i 个抽签人抽到1号， i =1,2.则可以看出P （A 1）=120 ， P(A 1̅̅̅) =1920.如果第1个抽签人抽到1号，那么第2个人抽到1号的概率为0，即P （A 2|A 1）=0;如果第1个抽签人抽到的不是1号，那么第2个人抽到1号的概率为119，即P （A 2 | A 1̅̅̅）=119.因此P （A 2）=P （A 1） P （A 2|A 1）+ P(A 1̅̅̅) P （A 2 | A 1̅̅̅）=120×0+1920×119=120.这就是说P（A1）=P（A2）因此抽签是公平的例4.解:用A1, A2, A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则依据已知条件可得P（A1）=50%，P（A,2）=30%，P（A3）=20%，且P（B|A1）=95%，P（B|A,2）=90%，P（B|A,3）=70%.因此由全概率公式有P（B）=P（A1）P（B|A1）+ P（A,2）P（B|A,2）+ P（A3）P（B|A,3）= 50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%.尝试与发现中的描述中，可以用A表示是优质品，B表示包装达标，则A表示不是优质品，而且有P（A）=90%，P（B|A）=95%，P（B|A）=80%;问题中所要求的是P（A|B）由条件概率可知P（A|B）=P（AB）P（B），不过，已知中并没有直接给出P（AB）与P（B）的值，但由乘法公式和全概率公式可得P（AB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）= 90%×95%+(1−90%)×80%=93.5%.因此一袋包装达标的食盐是优质品的概率为；P（A|B）=85.5%93.5%≈91.4%.例5. 解：用A表示生产线初始状态良好，B表示生产产品为合格品，则由已知有有P（A）=80%，P（B|A）=95%，P（B|A）=60%;从而P（A）=20%，因此由贝叶斯公式可知P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P（B|A）P（A）=95%×80%95%×80%+60%×20%≈86.4%.达标检测1. 【解析】选B.由条件概率的计算公式，可得：211P(AB)P(B|A)P(A).323==⨯=2.【解析】选A.用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，用表示“考生不知道正确答案”，则P(B)=0.5，P( )=0.5，P(A|B)=100%，P(A|B)=0.25，则P(A)=P(AB)+P(A B)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=1×0.5+0.25×0.5=0.625.3.【解析】设B 表示“该小组比赛中射中目标”， A i(i=1，2，3，4)表示“选i 级射手参加比赛”，则P(B)=4i 1=∑P(A i )P(B|A i)= 220×0.85+ 620 ×0.64+ 920 ×0.45+ 320×0.32=0.527 5.答案：0.527 54.【解析】设A 表示“取到废品”，B 表示“从第1批中取到废品”，有P(B)= 112，P(A|B)= 211 ，P(A| )= 111，所以P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| ) 5.【解析】设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”，其中i=0，1，2. 事件B 表示“从乙袋中取到的是白球”.显然A 0， A 1， A 2构成一个完备事件组，根据题意得P(A0)=2225C 1C 10= ，P(A1)=113225C C 3C 5⨯=， P(A2)=2325C 3C 10= ；P(B|A0)= 42105= ，P(B|A1)= 51102= ， P(B|A2)=63.105=由全概率公式得P(B)=P(B|A 0)P(A 0)+P(B|A 1)P(A 1)+P(B|A 2)P(A 2)21133313.5102551025=⨯+⨯+⨯=6. 【解析】设A 表示“取到的是一只次品”，B i(i=1，2，3)表示“所取到的产品是由第i 家工厂提供的”.则B 1，B 2，B 3是样本空间的一个划分，且P(B 1)=0.15，P(B 2)=0.80，P(B 3)=0.05，P(A|B 1)=0.02，P(A|B 2)=0.01，P(A|B 3)=0.03.(1)由全概率公式得P(A)=P(A|B 1)P(B 1)+P(A|B 2)P(B 2)+P(A|B 3)P(B 3)=0.012 5.BB B1211113.12111211132=⨯+⨯=(2)该元件来自制造厂1的概率为：P(B 1|A)()()()11P A |B P B 0.020.150.24,P A 0.012 5⨯===该元件来自制造厂2的概率为： P(B 2|A)=()()()22P A |B P B 0.010.80.64.P A 00.012 5⨯==该元件来自制造厂3的概率为： P(B 3|A)=()()()33P A |B P B 0.030.050.12.P A 0.012 5⨯==。