苏州市届高三上学期期中考试数学试题
2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3}，N ={x|log 2x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0，b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ，ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得b k<a k<b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N∗C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ，则n =______． 14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为______．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为______平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；若对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)≥1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD=2AD，求△ABC的面积．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．−alnx(a>0)．21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3]，N={x|log2x≤1}=(0,2]，则M∩N= (0,2]．故选：C．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a>0，b>0，⇒∵ab<1，令a=4，b=18，则a+b>1，∴充分性不满足．⇐当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，∴a>0，b>0，ab<1a+b<1的必要不充分条件，故选：B．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7． 故选：D ．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示，再求值即可．本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除选项C ；当0<x <√3时，3x −x 3>0，sinx >0，∴f(x)>0， 当√3<x <π时，3x −x 3<0，sinx >0，∴f(x)<0， 故选：A ．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0<x <√3和√3<x <π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18． 故选：C ．6.【答案】D【解析】解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ， 由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)， 则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0， 所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在性定理，α∈(1,e)． 另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s′(x)=3x 2−6x ， 令s′(x)>0得：x >2或x <0，令s′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值， 故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0，由零点存在性定理：β∈(3,4) 所以α<β． 故选：D ．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，得到答案．本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ， 令顶点为(m,A)，所以m −a 2k−1=T6， 所以a 2k−1到左边零点的距离为T12，将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比，确定1与A 两个最大值的比例， 当x ∈[0,π2]时，π2×T 12T 6+T 12=π6，所以1A =sinπ6sin π2=12，所以A =2，故选：B ．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ．本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，数列{b 5}：2，4，8，16，32，数列{a 4}：3，7，12，24， 因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1<a k+1<b k+2，所以b k<a k<b k+1<a k+1，故b k<b k+1，a k<a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4<2，则q=b4b3<0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故选：C．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=(−2i)2=−4，为实数，故选项B错误，∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确，∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2+4(b−1)=0，即a2=1−b≥0，∴b≤1，故选：AD．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，此时f(x)的最小值为1，当x∈(π2,32π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，此时f(x)的最小值为−1，当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 此时f(x)的最小值为−1，所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当x ∈[0,π2]时，f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π， 令f(x)=0，可得x =5π4，7π4， 又f(x)为偶函数，所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx|， 则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)， 当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误； 故选：ABC ．利用奇偶性定义可判断A ；由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B ；由于函数为偶函数，故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C ；确定(π2,π)上函数的解析式，可判断D ．本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D 正确．故选：BD ．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ．本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.【答案】−1【解析】解：由y =me x +xlnx ，得y′=me x +lnx +1， 则y′|x=1=me +1=3，即me =2， 又me =3+n ，∴3+n =2，即n =−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】10【解析】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，∵d<0，n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】400【解析】解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S=12θr²，由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又θr+2r≥2√2θr2，所以θr2+10√2θr2≤1200；设t=√2θr2，t>0，则t 22+10t ≤1200，解得−60≤t ≤40，所以当θr =2r =40时，面积S =12θr²的最大值为400． 故答案为：400．求出扇形的面积，得到关于θ，r 的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值． 本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解：因为f(1−x)=f(x)，且f(x)是定义在R 上的奇函数， 所以f(−x)=−f(x)， 则f(1−x)=−f(−x)，则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x)， 所以f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2， 故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2，故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，所以当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0， 令g(x)=sinπx ， 则y =sinπx −πx ， 因为y′=πcosπx −π≤0，所以y =sinπx −πx 是单调递减函数，当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0， 即当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ， 故f(x)≥g(x)，由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32]．利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f(2−x)=f(−x)，利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数，从而f(x)−πx≥0，令g(x)=sinπx，由y=sinπx−πx是单调递减函数，得到g(x)−πx≤0，从而f(x)≥g(x)，作出f(x)与g(x)的图像，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4))，b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx))，f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z)．【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f(x)的表达式； (2)由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.【答案】解：(1)选条件①时，数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2−a n }为常数列，所以a n 2−a n =a 12−a 1=2，解得a n =2或a n =−1；所以数列{a n }为2，−1，2，−1，2，−1，.......， 所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件②时，S n =12(a n +n +1)， 所以S n−1=12(a n−1+n −1+1)， 上面两式相减得：a n =12a n −12a n−1+12， 整理得a n =−a n−1+1(n ≥2)， 整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件③时，a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，转换为S n+1−S n−1=1(常数)，即a n+1+a n =1， 所以所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．(2)由(1)得：S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ，S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2， 所以：b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2)，所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34．【解析】(1)选条件①时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件②时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，∴S△BCD=12×4×4=8，又S△CDE=4=12S△BCD，∴E为CB中点．解：(2)作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF=12AB，在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF=12AB=32x，∴CD2=CF2+(AF−AD)2，∴42=(32x)2+(32x−x)2，解得x=4√105，则AB=12√105，CF=6√105，∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725．【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可，(2)设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．本题考察等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30∘=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．(2)解：由(1)知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为ℎ，因为BO=BC⋅sin60°=√32，又因为PB=3MB，所以ℎ=BO⋅23=√33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3，V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16．【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；(2)用等体积法求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′(x)=0，则ax2−ax+1=0，①当△=a2−4a≤0，即0<a≤4时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间；②当△=a2−4a>0，即a>4时，方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，f(x)递增，当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时，f′(x)<0，f(x)递减，综上，当0<a≤4时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>4时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a)；(2)若f(x)有两个极值点，由(1)知，a>4，且x1，x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根，∴x1+x2=1,x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am，∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am，∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am，即2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0，∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增，则ℎ(a)>ℎ(4)=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)对函数f(x)求导，令f′(x)=0，然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；(2)依题意，x1+x2=1,x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈(0,π)时，g′(x)=−2sinx−1x2<0，所以g(x)在(0,π)上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1>0，g(π2)=2π−1<0，所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α，即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α；(2)①由(1)可知，当x∈(0,α)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α，且α∈(π3,π2 )，所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0，所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点，又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0，所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点；②当x∈[π,2π)时，sinx≤0，f(x)≤lnx−x，设ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−1<0，故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0，故当x∈[π,2π)时，f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立，所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点；③当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤lnx−x+2，令m(x)=lnx−x+2，则m′(x)=1x−1<0，故m(x)在[2π,+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(2π)<0，则当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点．综上所述，f(x)有且仅有两个零点．【解析】(1)设g(x)=f′(x)，利用导数研究函数g(x)的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；(2)分x∈(0,π)，x∈[π,2π)，x∈[2π,+∞)三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．。
江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题
江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题1. 集合A ={−1,0,1}，B ={y|y =sinx,x ∈R}则（ ）A ． A ∩B =BB ． A =BC ． A ∪B =BD ． C R A =B2. 复数z =11+i （i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=A ． 725B ． 15C ． −15D ． −7254. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0∘~90∘之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则tan1600∘的值为（ ）（小数点后保留2位有效数字）5. 定义在区间(0,π2)上的函数y =3cosx 与y =8tanx 的图象交点为P(x 0,y 0)，则sinx 0的值为（ ）A ． 13 B ． √33C ． 23D ． 2√236. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 均为单位向量，且满足12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ） A ． 38B ． 58C ． 78D ． 1987. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +2)=2−f(x)，f(2−3x)为偶函数，若f(0)=0，∑n k=1f(k)=123，则n 的值为（ ） A ．117B ．118C ．122D ．1238. 已知锐角ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a 2=b 2+bc ，则tanAtanB 的取值范围为（ ）A ． (1,+∞)B ． (1,√3)C ． (0,1)D ． (√3,+∞)9. 若z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）A ． |z 1−z 2|2=(z 1+z 2)2−4z 1z 2B ． z 1−z 1̅ 是纯虚数或零C ． |z 1−z 2|≤|z 1|+|z 2| 恒成立D ．存在复数 z 1 ， z 2 ，使得 |z 1z 2|<|z 1||z 2|10. 函数f(x)=tan(sinx +cosx)，则下列说法正确的是（ ）A ． f(x) 的定义域为 RB ． f(x) 是奇函数C ． f(x) 是周期函数D ． f(x) 既有最大值又有最小值11. 在ΔABC 中，AC =3,AB =5,∠A =120∘，点D 是BC 边上一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAC⃗⃗⃗⃗⃗ +yAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列说法正确的是（ ）A ． BC =7B ．若 x =y =0.5 ，则 AD =√192C ．若 AD =√192 ，则 x =y =0.5D ．当 AD 取得最小值时， x =519812. 已知函数f(x)={x +2x ≤0|lgx|x >0，方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）A ．函数 f(x) 的零点的个数为2B ．实数 m 的取值范围为 (−∞,32]C ．函数 f(x) 无最值D ．函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增13. 已知向量a =(4,−3)， b ⃗ =(x,6)，且a //b ⃗ ，则实数x 的值为_____ 14. 若函数f(x)=sin(ωx +π6),(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0),(x 0>0)成中心对称，则x 0的最小值为______.15. 函数f(x)=2ax 2−ax ，若命题“∃x ∈[0,1],f(x)≤3−a ”是假命题，则实数a 的取值范围为___________．16. 设ΔABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若b 2+3a 2=c 2，则tanCtanB =______，tanA 的最大值是______.17. 设α∈(0,π)，已知向量a =(√3sinα,1)，b ⃗ =(2,2cosα)，且a ⟂b⃗ ． (1)求sinα的值； (2)求cos(2α+7π12)的值．18. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2⟩的最小正周期为π，且点P(π6,2)是该函数图象上的一个最高点.(1)求函数f(x)的解析式；)个单位长度，得到函数g(x)的图象，g(x)在(2)把函数f(x)的图象向右平移θ(0<θ<π2]上是增函数，求θ的取值范围.[0,π419.已知z是复数，z+i和z都是实数，1−i（1）求复数z；（2）设关于x的方程x2+x(1+z)−(3m−1)i=0有实根，求纯虚数m.20.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB=60∘，点Q在OA上，点M,N在OB上，点P 在弧AB上，设∠POB=θ.（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA,OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⟂OA，PT⟂OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT 最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由.21.ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a=3√2,bsin B+C2=√52asinB．(1)求sinA；(2)如图，点M为边AC上一点，MB=MC,∠ABM=π2，求ΔABC的面积．22.已知二次函数y=f(x)的图象与直线y=−6只有一个交点，满足f(0)=−2且函数f(x−2)是偶函数．g(x)=f(x)x（1）求二次函数y=f(x)的解析式；（2）若对任意x∈[1,2],t∈[−4,4],g(x)≥−m2+tm恒成立，求实数m的范围；（3）若函数y=g(|x|+3)+k·2|x|+3−11恰好三个零点，求k的值及该函数的零点．。
江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题(含答案解析)
江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。
江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷
【解析】解：函数푦
=
lg(푥−1)
2−푥 中，
令{푥2−−1푥
>0 > 0，
解得1 < 푥 < 2， 所以函数 y 的定义域为(1,2)． 故答案为：(1,2)．
根据函数的解析式列出不等式组，求出解集即可．
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本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．
5公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】
解：设等比数列{푎푛}的公比为 q，
∵ 푎1 = 1,푎4 = 8，
∴ 푞3 =
푎4 푎1
=
8，解得푞
=
2，
则前 5 项和
푆5
=
1
× (1−25) 1−2
=
25−1 2−1
=
31
．
故答案为：31．
6.【答案】25
【解析】解： ∵ 푡푎푛훼 = 2，
∴
푠푖푛훼 cos훼 + 2푠푖푛훼
=
1
푡푎푛훼 + 2푡푎푛훼
=
1
+
2 2
×
2
=
25．
2
故答案为：5．
由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
(2)若푓(푥) = 푎 ⋅ 푏，푥 ∈ [0,휋2]，求푓(푥)的最大值及相应 x 的值．
17. 已知等比数列{푎푛}满足푎2 = 2 푎 푎 +1 푎
，且 2，
， 4成等差数列．
2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．下列条件中，使得“a ＞b ”成立的充分不必要条件是（ ） A ．|a |＞|b |B ．1a ＞1bC ．a 2＞b 2D ．lna ＞lnb2．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}，B ＝{x |x ＜a }，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（1，+∞）B ．[3，+∞）C ．[5，+∞）D ．（5，+∞）3．已知cos(α−π3)=45，则sin(π6+α)的值为（ ）A ．−45B ．−35C ．35D ．454．已知a →，b →是两个单位向量，且〈a →，b →〉=60°，若c →=2a →−b →，则cos〈a →，c →〉=（ ） A ．12B ．√32 C ．13D ．√335．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则sin C ＝（ ）A ．√714B ．√2114C ．3√714D ．3√21146．已知曲线y ＝ae x +xlnx 在点（1，ae ）处的切线方程为y ＝2x +b ，则（ ） A ．a ＝e ，b ＝﹣1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e ﹣1，b ＝1D ．a ＝e ﹣1，b ＝﹣17．满足{x |m ≤x ≤n }＝{y |y ＝x 2，m ≤x ≤n }的实数对m ，n 构成的点（m ，n ）共有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．无数个8．已知a =sin π13+cos π13，b =314+3−12，c ＝log 32+log 43，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．已知复数z 满足z(√3+i)=−2i ，则（ ） A ．|z |＝1 B ．z 的虚部为√32C ．z 3+1＝0D ．z 2=z10．函数f(x)=tan(2x −π4)，则（ ）A ．f （x ）的一个周期为π2B ．f （x ）是增函数C ．f （x ）的图象关于点(3π8，0)对称 D ．将函数y ＝tan2x 的图象向右平移π4个单位长度可得到f （x ）的图象11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，AA 1的中点，点P 在对角线A 1B 上，则（ ）A ．三棱锥P ﹣CEF 体积为16B ．点P 到平面CEF 的距离为23C ．AP +D 1P 的最小值为2√2+√2D ．四面体BCEF 外接球的表面积为14π12．对于数列{a n }，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有|a n |≤M ，则称数列{a n }为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{a n }为无界数列．下列说法正确的有（ ） A ．等比数列{a n }的公比为q ，若|q |＜1，则{a n }是有界数列 B ．若数列{a n }的通项a n =∑ n k=11k2，则{a n }是有界数列 C ．若正项数列{a n }满足：a n =a n−13a n−2(n ≥3)，则{a n }是无界数列 D ．若数列{a n }满足：1a 1+1a 2+⋯+1a n=1a 1a 2⋯a n，且a 1∈（0，1），则{a n }是有界数列三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，5S 6﹣6S 5＝30，则a 10＝ ．14．如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若AF ＝3，sin ∠ACF =3√314，则△DEF 的面积为 ．15．如图，一个半径为3的半圆，C 、D 两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，则CF →⋅DE →= ．16．已知函数f（x）＝|3﹣x2|﹣3，若|m|＜n，且f（m）＝f（n），则m的取值范围为，mn的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=2sin x4cosx4+√3cosx2．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合；（2）若f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m的最小值．18．（12分）在①∠BAC的平分线长为65；②D为BC中点，AD=√72；③AH为BC边上的高，AH=3√5719，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝2，2cos A＝3﹣a cos B．（1）求c；（2）若_____，求∠BAC的大小．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC，∠DAB＝90°，平面PDB⊥平面ABCD，AC⊥BD，AB⊥PD，BC＝1，PD=√2．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）满足f（x）＝e x﹣x2+2x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）＞（2﹣a）x+1在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n+1+S n=2n2+2n+1．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b 1＝1，b n+1+(−1)n b n =a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 22．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ．（1）若f （x ）在区间（1，2）上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当0＜a ＜1时，求证：f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1≠x 2），且f ′（x 1）+f ′（x 2）＜0．2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．下列条件中，使得“a ＞b ”成立的充分不必要条件是（ ） A ．|a |＞|b |B ．1a ＞1bC ．a 2＞b 2D ．lna ＞lnb解：对于A ：当a ＝﹣3，b ＝2时满足|a |＞|b |，此时不满足a ＞b ，所以A 错误； 对于B ：当a ＝2，b ＝3时满足1a ＞1b，此时不满足a ＞b ，所以B 错误；对于C ：当a ＝﹣3，b ＝2时满足a 2＞b 2，此时不满足a ＞b ，所以C 错误； 对于D ：lna ＞lnb ⇒a ＞b ＞0，所以lna ＞lnb 是a ＞b 的充分不必要条件． 故选：D ．2．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}，B ＝{x |x ＜a }，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（1，+∞）B ．[3，+∞）C ．[5，+∞）D ．（5，+∞）解：A ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}＝（1，5），因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，则a ≥5，即实数a 的取值范围为[5，+∞）． 故选：C ．3．已知cos(α−π3)=45，则sin(π6+α)的值为（ ）A ．−45B ．−35C ．35D ．45解：因为cos(α−π3)=45，所以sin(π6+α)=cos[π2−(π6+α)]=cos(π3−α)=cos(α−π3)=45．故选：D ．4．已知a →，b →是两个单位向量，且〈a →，b →〉=60°，若c →=2a →−b →，则cos〈a →，c →〉=（ ） A ．12B ．√32 C ．13D ．√33解：已知a →，b →是两个单位向量，a →⋅b →=1×1×cos60°=12，因为c →=2a →−b →，所以a →⋅c →=a →⋅(2a →−b →)=2a →2−a →⋅b →=2−12=32， |c →|=√4a →2−4a →⋅b →+b →2=√3，所以cos〈a →，c →〉=a →⋅c →|a →|⋅|c →|=√32． 故选：B ．5．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则sin C ＝（ ）A ．√714B ．√2114C ．3√714D ．3√2114解：如图所示：AD 为边AB 上的高，设AB ＝m ，则CD =√33m ，所以三角形ABC 的面积为S =12AB ⋅AC ⋅sinA =12AB ⋅CD ，即12×m ×AC ×√32=12×m ×√33m ，解得AC =23m ，在直角三角形ACD 中，因为A =π3，CD ⊥AB ，所以∠ACD =π6，则AD =12AC =13m ，所以BD ＝AB ﹣AD =23m ，在直角三角形BCD 中，BC =√CD 2+BD 2=√(√33m)2+(23m)2=√73m ， 所以由12AC ⋅BC ⋅sin∠ACB =12AB ⋅CD 可得：12×23m ×√73m ⋅sin∠ACB =12×m ×√33m ，解得sin ∠ACB =3√2114． 故选：D ．6．已知曲线y ＝ae x +xlnx 在点（1，ae ）处的切线方程为y ＝2x +b ，则（ ） A ．a ＝e ，b ＝﹣1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e ﹣1，b ＝1D ．a ＝e ﹣1，b ＝﹣1解：y ′＝ae x +lnx +1，k ＝y ′|x ＝1＝ae +1＝2，∴a ＝e ﹣1 将（1，1）代入y ＝2x +b ，得2+b ＝1，b ＝﹣1． 故选：D ．7．满足{x|m≤x≤n}＝{y|y＝x2，m≤x≤n}的实数对m，n构成的点（m，n）共有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个解：由{x|m≤x≤n}＝{y|y＝x2，m≤x≤n}，又y＝x2≥0，则m≥0，所以y＝x2在[m，n]单调递增，故值域为[f（m），f（n）]，即m，n是x2＝x的两根，解得x1＝0，x2＝1，当m＝n＝0时，点（m，n）为（0，0），当m＝n＝1时，点（m，n）为（1，1），当m＝0，n＝1时，点（m，n）为（0，1）．故选：C．8．已知a=sinπ13+cosπ13，b=314+3−12，c＝log32+log43，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：因为a=sin π13+cosπ13=√2sin(π4+π13)＜√2sin(π4+π12)=√2sinπ3=√62，a=√2sin(π4+π13)＞√2sinπ4=1，所以1＜a＜√62，又b=314+3−12，可得b＝（√3)12+√33＞（1.69)12+1.713=1.3+0.57＝1.87，所以b＞1.87；因为23＜32，所以2＜323，可得log3√3＜log32＜log3323，此时12＜log32＜23，因为34＝81＞43＝64，所以3＞43 4，因为35＝243＜44＝256，所以3＜445，此时log4434＜log43＜log4445，即34＜log43＜45，则12+34＜c=log32+log43＜23+45，所以c∈(54，2215)，易知√62=√244＜54＜2215＜1.87，则a＜c＜b．故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．已知复数z满足z(√3+i)=−2i，则（）A．|z|＝1B．z的虚部为√3 2C．z3+1＝0D．z2=z解：由z(√3+i)=−2i，得z=−12−√32i，|z|=√(−12)2+(−32)2=1，A正确；由复数虚部的定义可知，z的虚部为−√32，B错误；z3+1=(−12−√32i)3=1+1=2，C错误；z2=(−12−√32i)2=−12+√32i=z，D正确．故选：AD．10．函数f(x)=tan(2x−π4)，则（）A．f（x）的一个周期为π2B．f（x）是增函数C．f（x）的图象关于点(3π8，0)对称D．将函数y＝tan2x的图象向右平移π4个单位长度可得到f（x）的图象解：对于A：f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2，故A正确；对于B：f（x）的单调递增区间满足：kπ−π2＜2x−π4＜kπ+π2，即增区间为(kπ2−π8，kπ2+3π8)，k∈Z，故B错误．对于C：f（x）的对称中心满足：2x−π4=π2+kπ2，即中心为(3π8+kπ4，0)，k∈Z，故C正确；对于D：将函数y＝tan2x的图象向右平移π4个单位长度可得到y=tan2(x−π4)≠tan(2x−π4)，故D错误．故选：AC．11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AA1的中点，点P在对角线A1B上，则（）A．三棱锥P﹣CEF体积为16B．点P到平面CEF的距离为23C．AP+D1P的最小值为2√2+√2D．四面体BCEF外接球的表面积为14π解：根据题意，可作图如下：对于A，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CB⊥AB，CB⊥平面ABB1A1，在三棱锥P﹣CEF中，以△PEF为底面，则CB为其高，因为P∈A1B，易知△ABA1为等腰直角三角形，且E，F分别为AA1，AB的中点，所以EF∥A1B，且P到EF的距离为14|A1B|=14⋅√2|AB|=√22，V P−CEF=13⋅|CB|⋅S△PEF=13×2×12×√2×√22=13，故A错误；对于B，在Rt△BCE中，易知|BE|＝1，|BC|＝2，则|CE|=√|CB|2+|BE|2=√5，在Rt△AEF中，易知|AE|＝|AF|＝1，则|EF|=√2，在Rt△ACF中，易知|AC|=2√2，|AF|＝1，则|CF|=√|AF|2+|AC|2=3，在△CEF中，由余弦定理，cos∠CEF=|CE|2+|EF|2−|CF|22⋅|CE|⋅|EF|=−√1010，则sin∠CEF=3√1010，所以S△CEF=12⋅|EF|⋅|CE|⋅sin∠CEF=32，点P到平面CEF的距离为3V P−CEFS△CEF=3×1332=23，故正确；对于C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易知A1D1⊥平面ABB1A1，因为A1B⊂平面ABB1A1，所以A1D1⊥A1B，将D1绕A1旋转得到D1′使得A，P，D1′共面，如下图：易知D1P＝D1'P且AP+D1'P≥AD1'，在△AA1D1'中，易知∠AA1D1′＝135°，由余弦定理，|AD1′|2=|AA1|2+|A1D1′|2−2⋅|AA1|⋅|A1D1′|cos∠AA1D1′=4+4−2×2×2×(−√22)=8+4√2，则|AD1′|=2√2+√2，故C正确；对于D，取EC的中点M，易知M为Rt△BCE为外接圆圆心，连接AM，作NM∥AA1，FN∥AM，取O∈MN，连接OE，OF，如下图：因为MN∥AA1，所以MN⊥平面BCE，由M为Rt△BCE为外接圆圆心，则可设O为三棱锥F﹣BCE的外接球球心，即OE＝OF＝R，因为FN∥AM，所以易知四边形AMNF为矩形，则AM＝FN，MN⊥FN，在Rt△BCE中，cos∠CEB=BECE=√55，易知∠AEC＝π﹣∠CEB，则cos∠AEC=−√55，在△AEM中，由余弦定理，|AM|2=|AE|2+|EM|2−2|AE||EM|cos∠AEM=13 4，在Rt△MOE中，|OE|2＝|ME|2+|MO|2，OM|=√|OE|2−|ME|2=√R2−54，在Rt△FOM中，|OF|2＝|ON|2+|FN|2，|OF|2＝|FN|2+（1﹣|OM|）2，则R2=134+(1−√R2−54)2，解得R2=72，则球的表面积为4πR2＝14π，故D正确．故选：BCD．12．对于数列{a n}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|a n|≤M，则称数列{a n}为有界数列；若这样的正数M不存在，则称数列{a n}为无界数列．下列说法正确的有（）A．等比数列{a n}的公比为q，若|q|＜1，则{a n}是有界数列B．若数列{a n}的通项a n=∑n k=11k2，则{a n}是有界数列C．若正项数列{a n}满足：a n=a n−13a n−2(n≥3)，则{a n}是无界数列D．若数列{a n}满足：1a1+1a2+⋯+1a n=1a1a2⋯a n，且a1∈（0，1），则{a n}是有界数列解：对于A：不妨令首项为a1，则a n=a1q n−1，因为0＜|q|＜1，则|a n|=|a1q n−1|=|a1||q n−1|＜|a1|，所以此时{a n}为有界数列，所以A正确；对于B：当n≥2时，1n2＜1n(n−1)=1n−1−1n，又a n=112+122+⋯+1n2＜11+11−12+12−13+⋯+1n−1−1n=2−1n，所以0＜a n＜2，当n＝1时，a1＝1＜2，所以{a n}是有界数列，B正确；对于C：不妨令a1＝p，a2＝q（p＞0，q＞0），则a3=a23a1=q3p，a4=a33a2=19p，a5=a43a3=19q，a6=a53a4=p3q，a7=a63a5=p，a8=a73a6=q，所以数列{a n}是周期数列，所以数列{a n}是有界数列，C错误；对于D：由1a1+1a2+⋯+1a n=1a1a2⋯a n，得1a1+1a2+⋯+1a n−1=1a1a2⋯a n−1(n≥2)，两式相减得1a n=1a1a2⋯a n−1(1a n−1)，化简可得a1a2⋯a n﹣1＝1﹣a n，即a n＝1﹣a1a2⋯a n﹣1，当n＝1时由题知a1∈（0，1）；假设n＝k时结论成立，即a k＝1﹣a1a2⋯a k﹣1∈（0，1），此时a1a2⋯a k﹣1＝1﹣a k；则当n＝k+1时，a k+1=1−a1a2⋯a k=1−(1−a k)a k=a k2−a k+1=(a k−12)2+34，又因为a k∈（0，1），所以a k+1=(a k−12)2+34∈(0，1)，所以n＝k+1时成立，根据①和②可知，该结论成立，故a n∈（0，1），所以{a n}是有界数列，所以D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，5S6﹣6S5＝30，则a10＝20．解：设等差数列{a n}的公差为d，由5S6﹣6S5＝30，得5(S6−S5)−5(a1+a5)2=30，即有5a6﹣5a3＝30，于是3d＝a6﹣a3＝6，解得d＝2，所以a10＝a1+9d＝20．故答案为：20．14．如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形ABC，若AF＝3，sin∠ACF=3√314，则△DEF的面积为√3．解：因为△EFD为等边三角形，所以∠EFD＝60°，则∠EF A＝120°，在△AFC 中，由正弦定理，则AF sin∠ACF =AC sin∠AFC，解得AC =AF sin∠ACF ⋅sin∠AFC =33√314×√32=7， 由余弦定理，则AC 2＝AF 2+FC 2﹣2•AF •FC cos ∠AFC ，整理可得：49＝9+FC 2﹣2×3×FC ×（−12），即FC 2+3FC ﹣40＝0， 解得FC ＝5或﹣8（舍去），等边△EFD 边长为5﹣3＝2，其面积为12×2×2⋅sin60°=√3．故答案为：√3．15．如图，一个半径为3的半圆，C 、D 两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，则CF →⋅DE →= 12．解：取CD 的中点O ，连接OE ，OF ，因为C 、D 两点为直径AB 的三等分点，所以CF →=OF →−OC →，DE →=OE →−OD →=OE →+OC →，因为E 、F 两点为弧AB 上的三等分点，所以|OE →|=|OF →|=3，＜OE →，OF →＞=π3，|OC →|=|OD →|=1，＜OC →，OE →＞=π3，＜OC →，OF →＞=23π， 所以CF →⋅DE →=(OF →−OC →)⋅(OE →+OC →)=OF →⋅OE →+OF →⋅OC →−OC →⋅OE →−OC →2=|OF →||OE →|cos π3+|OF →||OC →|cos 23π−|OC →||OE →|cos π3−|OC →|2 =3×3×12+3×1×(−12)−1×3×12−1=12． 故答案为：12．16．已知函数f （x ）＝|3﹣x 2|﹣3，若|m |＜n ，且f （m ）＝f （n ），则m 的取值范围为 (−√3，√3) ，mn的取值范围为 （﹣3，3） ．解：f(x)=|3−x 2|−3={−x 2，x ∈[−√3，√3]x 2−6，x ∈(−∞，−√3)∪(√3，+∞)， 画出函数图像，如图所示：根据图像知：|m |＜n 且f （m ）＝f （n ），故m ∈(−√3，√3)，n ∈(√3，√6)，故﹣m 2＝n 2﹣6，即m 2+n 2＝6≥2|mn |，﹣3≤mn ≤3，|m |≠|n |，等号不成立，故﹣3＜mn ＜3，即mn ∈（﹣3，3）．故答案为：(−√3，√3)；（﹣3，3）．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=2sin x 4cos x 4+√3cos x 2． （1）求f （x ）的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．解：（1）因为f(x)=sin x 2+√3cos x 2=2sin(x 2+π3)， 所以当x 2+π3=−π2+2kπ，k ∈Z 即x =4kπ−5π3，k ∈Z 时，f （x ）取得最小值﹣2， 所以f （x ）的最小值为﹣2，此时x 的取值集合为{x|x =4kπ−5π3，k ∈Z}； （2）设f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位后得到函数g （x ），则g(x)=2sin(x−m 2+π3)， 因为g （x ）为偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），即sin(x 2−m 2+π3)=sin(−x 2−m 2+π3)，展开可得sin x 2cos(−m 2+π3)=0， 所以sin x 2cos(−m 2+π3)=0恒成立，所以−m 2+π3=π2+kπ，k ∈Z ，所以m =−π3−2kπ，k ∈Z ， 又因为m ＞0，所以m min =5π3． 18．（12分）在①∠BAC 的平分线长为65；②D 为BC 中点，AD =√72；③AH 为BC 边上的高，AH =3√5719，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知b ＝2，2cos A ＝3﹣a cos B ．（1）求c ；（2）若 _____，求∠BAC 的大小．解：（1）由b ＝2及2cos A ＝3﹣a cos B ，得b cos A ＝3﹣a cos B ，即b cos A +a cos B ＝3，由余弦定理得b ×b 2+c 2−a 22bc +a ×a 2+c 2−b 22ac =3，所以c ＝3． （2）若选①，记∠BAC ＝2θ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，即12bcsin2θ=12b ⋅ADsinθ+12c ⋅ADsinθ， 即6sin2θ=125sinθ+185sinθ， 即sin2θ＝sin θ，所以2sin θcos θ＝sin θ，因为θ∈(0，π2)，所以sin θ≠0，从而cosθ=12，即θ=π3，所以∠BAC =2π3； 若选②，由于D 为BC 中点，所以AD →=12(AB →+AC →)， 即4AD →2=AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →，又因为|AD →|=√72，|AB →|=3 |AC →|=2，所以AB →⋅AC →=−3， 即|AB →|⋅|AC →|⋅cos∠BAC =−3，所以cos ∠BAC =−12， 又因为∠BAC ∈（0，π），所以∠BAC =2π3， 若选③，由于AH 为BC 边上的高， 在Rt △BAH 中，BH 2=AB 2−AH 2=9−9×5719×19=14419，所以BH =12√1919， 在Rt △CAH 中，CH 2=AC 2−AH 2=4−9×5719×19=4919，所以CH =7√1919， 所以BC =BH +CH =√19，由余弦定理得cos ∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC =9+4−192×3×2=−12， 又因为∠BAC ∈（0，π），所以∠BAC =2π3．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，∠DAB ＝90°，平面PDB ⊥平面ABCD ，AC ⊥BD ，AB ⊥PD ，BC ＝1，PD =√2．（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值．解：（1）证明：因为平面PDB ⊥平面ABCD ，又平面PDB ∩平面ABCD ＝BD ，AC ⊥BD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面PDB ，又PD ⊂平面PDB ，所以AC ⊥PD ，又AB ⊥PD ，AC ∩AB ＝A ，AC ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，过A 作AZ ∥PD ，则有AZ ⊥AD ，AZ ⊥AB ，又因为∠DAB ＝90°，即AB ⊥AD ，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AZ 所在直线为z 轴，建系如图，设AB ＝t （t ＞0），则A （0，0，0），B （t ，0，0），C （t ，1，0），D （0，2，0），P(0，2，√2)， 所以AC →=(t ，1，0)，BD →=(−t ，2，0)，DP →=(0，0，√2)，由于AC ⊥BD ，所以AC →⋅BD →=0，所以t 2＝2，即t =√2，从而C(√2，1，0)，则DC →=(√2，−1，0)，PB →=(−√2，2，√2)，PC →=(−√2，1，√2)，设平面PDC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅DP →=0n →⋅DC →=0，即{√2z =0√2x −y =0，取n →=(1，√2，0)， 设平面PBC 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅PB →=0m →⋅PC →=0，即{−√2a +2b +√2c =0−√2a +b +√2c =0，取m →=(1，0，1)， 所以|cos ＜m →，n →＞|=1√3⋅√2=√66， 设二面角D ﹣PC ﹣B 的平面角为θ，则由图可知θ为钝角，所以二面角D ﹣PC ﹣B 的平面角余弦值为−√66．20．（12分）已知函数f （x ）满足f （x ）＝e x ﹣x 2+2x ．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若关于x 的不等式f （x ）＞（2﹣a ）x +1在（0，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为f （x ）＝e x ﹣x 2+2x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣2x +2，令m （x ）＝e x ﹣2x +2，则m ′（x ）＝e x ﹣2，当x ∈（﹣∞，ln 2）时，m ′（x ）＜0，当x ∈（ln 2，+∞）时，m ′（x ）＞0，所以m （x ）在（﹣∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，+∞）上单调递增，所以m （x ）min ＝m （ln 2）＝2（2﹣ln 2）＞0，即f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间．（2）由题意f （x ）＞（2﹣a ）x +1在区间（0，+∞）上恒成立，即e x ﹣x 2+2x ＞2x ﹣ax +1恒成立，即a ＞1x +x −e x x在区间（0，+∞）上恒成立， 令g(x)=1x +x −e x x，x ∈（0，+∞），只需a ＞g （x ）max ， 因为g ′(x)=−1x 2+1−e x ⋅x−e x x 2=(x−1)(x+1−e x )x 2， 令h （x ）＝x +1﹣e x ，x ∈（0，+∞），有h ′（x ）＝1﹣e x ＜0，所以函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以h （x ）＜h （0）＝0，即x +1﹣e x ＜0，所以当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝2﹣e，即a＞2﹣e，所以实数a的取值范围为（2﹣e，+∞）．21．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n+1+S n=2n2+2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b1＝1，b n+1+(−1)n b n=a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）法一：当n＝1时，S2+S1＝5，即a2+2a1＝5，由a1＝1，得a2＝3，由S n+1+S n=2n2+2n+1，得S n+S n−1=2(n−1)2+2(n−1)+1（n≥2），两式相减得：a n+1+a n＝4n（n≥2）．又a2+a1＝4，满足上式．所以当n∈N*时，a n+1+a n＝4n，又当n≥2时，a n+a n﹣1＝4（n﹣1），两式相减得：a n+1﹣a n﹣1＝4（n≥2），所以数列{a n}的奇数项是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列，所以a n=a1+n−12×4=2n−1（n为奇数），数列{a n}的偶数项是以a2＝3为首项，4为公差的等差数列，所以a n=a1+n−12×4=1+2(n−1)=2n−1（n为偶数），所以a n＝2n﹣1，即{a n}的通项公式是a n＝2n﹣1．法二：因为S n+1+S n=2n2+2n+1，所以S n+1−(n+1)2=−(S n−n2)，故S n+1−(n+1)2=−(S n−n2)=⋯=(−1)n(S1−12)，因为S1−12=0，所以S n−n2=0，即S n=n2，当n≥2时，a n=n2−(n−1)2=2n−1，当n＝1时，a1＝1适合上式，所以{a n}的通项公式是a n＝2n﹣1．（2）因为b n+1+(−1)n b n=a n，故当n＝2k﹣1（n∈N*）时，b2k﹣b2k﹣1＝a2k﹣1＝2（2k﹣1）﹣1＝4k﹣3①，当n＝2k（n∈N*）时，b2k+1+b2k＝a2k＝2×2k﹣1＝4k﹣1②，①、②两式相减得：b2k+1+b2k﹣1＝2（k≥1），因为b 1＝1，b 3+b 1＝2，所以b 3＝1，因为b 2k +1+b 2k ﹣1＝2（k ≥1），所以当n 为奇数时，b n ＝1，当n 为偶数时，b n ﹣b n ﹣1＝a n ﹣1＝2（n ﹣1）﹣1＝2n ﹣3，所以b n ＝a n ﹣1+1＝2n ﹣3+1＝2n ﹣2，所以b n ={1，n =2k −1，k ∈N ∗2n −2，n =2k ，k ∈N∗； 当n 为偶数时，T n =(b 1+b 3+⋯+b n−1)+(b 2+b 4+⋯+b n )=12n 2+12n ， 当n 为奇数时，T n =T n+1−b n+1=[12(n +1)2+12(n +1)]−[2(n +1)−2]=12n 2−12n +1， 综上，T n ={12n 2−12n +1，n =2k −1，k ∈N ∗12n 2+12n ，n =2k ，k ∈N ∗． 22．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ．（1）若f （x ）在区间（1，2）上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当0＜a ＜1时，求证：f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1≠x 2），且f ′（x 1）+f ′（x 2）＜0． 解：（1）已知f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx ，函数定义域为（1，2），可得f ′(x)=2ax +a −2−1x =2ax 2+(a−2)x−1x =(2x+1)(ax−1)x． 当a ≤0时，f ′（x ）＜0在（1，2）上恒成立，所以函数f （x ）在（1，2）上单调递减，则函数f （x ）在（1，2）上无极值点；当a ＞0时，当x ∈(0，1a)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ∈(1a，+∞)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）的极小值点为1a，无极大值点． 因为f （x ）在（1，2）上有极值，所以1a ∈(1，2)，解得12＜a ＜1， 综上，当12＜a ＜1时，f （x ）在区间（1，2）上有极值； （2）证明：易知函数f （x ）定义域为（0，+∞），当0＜a ＜1时，f ′(x)=(2x+1)(ax−1)x，x ＞0，由（1）知f(x)极小=f(1a)=−ln1a−1a+1，因为0＜a＜1，所以1a＞1，不妨令t=1a，t＞1，此时f（t）＝﹣lnt﹣t+1，因为f′(t)=−1t−1＜0在t∈（1，+∞）上恒成立，所以f（t）在（1，+∞）上单调递减，此时f（t）＜f（1）＝0，即f(x)极小=f(1a)＜0，因为f(1e)=ae2+a−2e−ln1e=ae2+ae+1−2e＞0，由（1）知函数f（x）在(0，1a)上单调递减，且f(1e)⋅f(1a)＜0，由零点存在定理可得函数f（x）在(1e，1a)，即(0，1a)上存在唯一的零点x1，使得f（x1）＝0，因为f(3a)=9a+3(a−2)a−ln3a=3+3a−ln3a，不妨令g（x）＝lnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），可得g′(x)=1x−1=1−xx，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）在x＝1处取得唯一极大值，也是最大值g（1）＝0，因为0＜a＜1，所以3a＞3，可得g(3a)＜0，即ln3a−3a−1＜0，此时3a−ln3a+1＞0，所以f(3a)＞3+1=4＞0，由（1）知函数f（x）在(1a，+∞)上单调递增，且f(1a)⋅f(3a)＜0，所以函数f（x）在(1a，+∞)上存在唯一的零点x2，使得f（x2）＝0，所以函数f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2），不妨设0＜x1＜x2，此时{f(x1)=ax12+(a−2)x1−lnx1=a(x12+x1)−2x1−lnx1=0f(x2)=ax22+(a−2)x2−lnx2=a(x22+x2)−2x2−lnx2=0，两式相减得a[(x12−x22)+(x1−x2)]−2(x1−x2)−(lnx1−lnx2)=0，即a(x1−x2)(x1+x2+1)−2(x1−x2)−ln x1x2=0，所以a=2(x1−x2)+ln x1x2(x1−x2)(x1+x2+1)，易知f′(x)=2ax2+(a−2)x−1x=2ax−1x+a−2，所以f′(x1)+f′(x2)=2a(x1+x2)−(1x1+1x2)+2(a−2)=2a(x1+x2+1)−(1x1+1x2)−4=2(x1+x2+1)2(x1−x2)+ln x1x2(x1−x2)(x1+x2+1)−(1x1+1x2)−4=2ln x1x2(x1−x2)−(1x1+1x2)，要证f′（x1）+f′（x2）＜0，即证2ln x1x2(x1−x2)−(1x1+1x2)＜0(0＜x1＜x2)，要证2ln x1x2−(1x1+1x2)(x1−x2)＞0，即证2lnx1x2−x1x2+x2x1＞0，不妨令t=x1x2，t∈(0，1)，即证2lnt−t+1t＞0，t∈（0，1），不妨设m(t)=2lnt−t+1t，函数定义域为（0，1），可得m′(t)=2t−1−1t2=−(t−1)2t2＜0恒成立，所以m（t）在（0，1）上单调递减，此时m（t）＞m（1）＝0．即2ln x1x2−x1x2+x2x1＞0成立，故f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2），且f′（x1）+f′（x2）＜0．。
2020-2021学年江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x2＞4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3]C．（2，3]D．[2，3]∪{﹣2} 2．（5分）角α的终边经过点（3﹣sinα，cosα），则sinα的值为（）A．B．C．D．3．（5分）等差数列中，a1+a2+a3＝﹣24，a18+a19+a20＝78，则此数列前20项和等于（）A．160B．180C．200D．2204．（5分）函数“的定义域为R”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要的条件5．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线C：y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（）A．﹣2B．2C．﹣e D．e7．（5分）衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a•e﹣kt．已知新丸经过50天后，体积变为，若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（）A．125B．100C．75D．1508．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若，S n＜2，则{a n}的公比的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选题（共4小题）.9．（5分）已知函数，则（）A．g（x）的图象关于点对称B．g（x）的图象的一条对称轴是C．g（x）在上递减D．g（x）在值域为（0，1）10．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＞0，公差d≠0，则（）A．若S5＞S9，则S15＞0B．若S5＞S9，则S7是S n中最大的项C．若S6＞S7，则S7＞S8D．若S6＞S7，则S5＞S611．（5分）已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，b＞a＞1且f（a）＝f（b），则（）A．1＜a＜2B．a+b＝abC．ab的最小值为D．12．（5分）函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，则（）A．B．C．k＝1D．k＞1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为．14．（5分）对任意正数x，满足xy+，则正实数y的最大值为．15．（5分）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为元（取1.211＝7.5，1.212＝9）．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，其导函数为f′（x），当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x）．若对任意x∈R，不等式e x f（e x）﹣e x+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，则正整数a的最大值为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π．（1）求ω的值及g（φ）＝f（）的值域；（2）若φ＝，sinα﹣2cosα＝0，求f（α）的值．18．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x（a∈R）（1）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求实数a的取值范围．19．（12分）在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．20．（12分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且满足a1＝b1＝2，a3+a5+a7＝30，b2b3＝a16．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项相分别为S n，T n．①是否存在正整数k．使得T k+1＝T k+b k+32成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；②解关于n的不等式S n≥b n．21．（12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，则称[a，b]为f（x）的一个“k倍倒城区间“．定义在[﹣4，4]上的奇函数g（x），当x∈[0，4]时，g（x）＝﹣x2+4x．（1）求g（x）的解析式；（2）求g（x）在[2，4]内的“8倍倒城区间”；（3）若g（x）在定义域内存在“k（k≥8）倍倒域区间”，求k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax•sin x．（1）求曲线C：y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当a＝﹣2时，设函数，若x0是g（x）在（﹣π，0）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（﹣π，0）上的唯一极大值点，且0＜g（x0）＜2．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x2＞4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3]C．（2，3]D．[2，3]∪{﹣2}解：∵A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣2或x＞2}，∴A∩B＝（2，3]．故选：C．2．（5分）角α的终边经过点（3﹣sinα，cosα），则sinα的值为（）A．B．C．D．解：∵角α的终边经过点（3﹣sinα，cosα），∴tanα＝＝，∴cos2α＝3sinα﹣sin2α，∴sinα＝，故选：C．3．（5分）等差数列中，a1+a2+a3＝﹣24，a18+a19+a20＝78，则此数列前20项和等于（）A．160B．180C．200D．220解：∵a1+a2+a3＝﹣24，a18+a19+a20＝78∴a1+a20+a2+a19+a3+a18＝54＝3（a1+a20）∴a1+a20＝18∴＝180故选：B．4．（5分）函数“的定义域为R”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要的条件解：定义域为R⇒a≥0，∵{a|a≥1}⫋{a|a≥0}，∴函数“的定义域为R”是“a≥1”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．解：由题知，f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，排除C和D，将x＝π代入f（x），得f（π）＜0，故选：A．6．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，﹣e），且与曲线C：y＝f（x）相切，则直线l的斜率为（）A．﹣2B．2C．﹣e D．e解：函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝lnx+1，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝1+lnm，则1+lnm＝＝，解得m＝e，k＝1+lne＝2，故选：B．7．（5分）衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a•e﹣kt．已知新丸经过50天后，体积变为，若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（）A．125B．100C．75D．150解：由题意得V＝a•e﹣50k＝a，①可令t天后体积变为a，即有V＝a•e﹣kt＝a，②由①可得e﹣50k＝，③又②÷①得e﹣（t﹣50）k＝，两边平方得e﹣（2t﹣100）k＝，与③比较可得2t﹣100＝50，解得t＝75，即经过75天后，体积变为a．故选：C．8．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若，S n＜2，则{a n}的公比的取值范围是（）A．B．C．D．解：设等比数列{a n}的公比为q，则q≠1．∵，S n＜2，∴＞0，＜2，∴1＞q＞0．∴1≤4﹣4q，解得．综上可得：{a n}的公比的取值范围是：．故选：A．二、多项选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题.目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）已知函数，则（）A．g（x）的图象关于点对称B．g（x）的图象的一条对称轴是C．g（x）在上递减D．g（x）在值域为（0，1）解：∵函数＝﹣sin x﹣cos x＝﹣2sin（x+），令x＝，求得g（x）＝﹣2，为最小值，故A错误、B正确；当x∈（﹣，），x+∈（﹣，），函数g（x）单调递减，故C正确；当x∈（﹣，），x+∈（0，），函数g（x）∈[﹣2，0），故D错误，故选：BC．10．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＞0，公差d≠0，则（）A．若S5＞S9，则S15＞0B．若S5＞S9，则S7是S n中最大的项C．若S6＞S7，则S7＞S8D．若S6＞S7，则S5＞S6解：若S5＞S9，则5a3＞9a5，即5（a1+2d）＞9（a1+4d），即a1+＜0，∴d＜﹣a1＜0，数列{a n}是递减数列，又S15＝15a8＝15（a1+7d）＜15（a1﹣a1×7）＝﹣a1＜0，故选项A错误；又d＜﹣a1＜0，不妨取d＝﹣a1，则a7＝a1+6d＝﹣a1＜0，故选项B错误；若S6＞S7，则a7＜0，又a1＞0，∴数列{a n}是递减数列，∴S8＜S7，故选项C正确；又当a7＜0时，a6有大于0的情形，故选项D错误，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，b＞a＞1且f（a）＝f（b），则（）A．1＜a＜2B．a+b＝abC．ab的最小值为D．解：函数f（x）的图象如图所示：因为b＞a＞1，则由图知1＜a＜2＜b，A正确，且由f（a）＝f（b）可得：lg（b﹣1）＝﹣lg（a﹣1），则（a﹣1）（b﹣1）＝1，故a+b＝ab，B正确，所以≥2＝2，又因为a＜2，所以“＝”不能取，故，D正确，故选：ABD．12．（5分）函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，则（）A．B．C．k＝1D．k＞1【解答】解∵函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，∴e x•x﹣（lnx+k）﹣x＝0，∴xe x﹣k﹣ln（xe x）＝0，令t＝xe x，（t＞0），则g（t）＝t﹣k﹣lnt，（t＞0）此函数只有一个零点，∴，可知g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；∴g（1）＝0，∴k＝1，此时＝1⇒．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为．解：因为f（x）＝ax2+（a+2）x+a2为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）对任意的x都成立，即ax2﹣（a+2）x+a2＝ax2+（a+2）x+a2，所以﹣（a+2）x＝（a+2）x恒成立，所以a+2＝0即a＝﹣2，f（x）＝﹣2x2+4，由＜0，解得，﹣或x＞2．故答案为：．14．（5分）对任意正数x，满足xy+，则正实数y的最大值为．解：2﹣4y2＝xy+≥2＝2y，当且仅当xy＝，即x＝1时，等号成立．所以4y2+2y﹣2≤0，即2y2+y﹣1≤0，解得y≤，又∵y＞0，故0＜y≤．所以y的最大值为．故填：．15．（5分）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为40000元（取1.211＝7.5，1.212＝9）．解：设1月月底小王手中有现款为a1＝（1+20%）×10000﹣1000＝11000元，n月月底小王手中有现款为a n，n+1月月底小王手中有现款为a n+1，则a n+1＝1.2a n﹣1000，即a n+1﹣5000＝1.2（a n﹣5000），所以数列{a n﹣5000}是首项为6000，公比为1.2为公比的等比数列，∴，即＝50000，年利润为50000﹣10000＝40000元，故答案为：40000．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，其导函数为f′（x），当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x）．若对任意x∈R，不等式e x f（e x）﹣e x+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，则正整数a的最大值为2解：根据题意构造F（x）＝xf（x）﹣x，由定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，可得f（x）为偶函数，又F（﹣x）＝﹣xf（﹣x）+x＝﹣xf（x）+x＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x），即xf′（x）+f（x）＞1，即F′（x）＝f（x）+xf′（x）﹣1＞0，所以F（x）在[0，+∞）递增，所以F（x）为R上的奇函数且单调递增，因为对任意x∈R，不等式e x f（e x）﹣e x+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，即F（e x）﹣F（ax）＞0，即F（e x）＞F（ax），可得e x＞ax对任意x∈R恒成立．又y＝e x﹣ax的导数为y′＝e x﹣a，当a≤0时，e x﹣a＞0，函数y＝e x﹣ax为增函数，e x＞ax对任意x∈R不恒成立；当a＞0时，x＞lna时，y′＞0，函数y递增；x＜lna时，y′＜0，函数y递减．可得x＝lna时，函数y取得最小值，且为a﹣alna，则a﹣alna＞0，解得0＜a＜e，故正整数a的最大值为2．故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π．（1）求ω的值及g（φ）＝f（）的值域；（2）若φ＝，sinα﹣2cosα＝0，求f（α）的值．解：（1）函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x﹣φ）．∵|φ|≤，∴﹣φ∈[﹣，]，g（φ）＝f（）＝sin（﹣φ）∈[﹣，1]．（2）若φ＝，则f（x）＝sin（2x﹣φ）＝sin（2x﹣）．∵sinα﹣2cosα＝0，∴tanα＝2，∴sin2α＝＝＝，cos2α＝＝＝﹣，故f（α）＝sin（2α﹣）＝sin2α﹣cos2α＝﹣×（﹣）＝．18．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x（a∈R）（1）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求实数a的取值范围．解：∵（1）当a＝3时函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x，函数f（x）＝﹣x3+x2﹣2x＝﹣x3+x2﹣2x，∴f′（x）＝﹣x2+3x﹣2，﹣x2+3x﹣2＞0，即1＜x＜2﹣x2+3x﹣2＜0即x＞2，x＜1．所以函数f（x）的单调增区间（1，2），单调递减区间为（﹣∞，1），（2，+∞）（2）对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，﹣x2+ax﹣2＜2（a﹣1），即x2﹣ax+2a＞0，△＝a2﹣8a，g（x）＝x2﹣ax+2a，当△＜0时0＜a＜8，不等式成立．当△≥0时，即a≥8，a≤0，g（1）＞0，≤1﹣1＜a≤0，综上实数a的取值范围：﹣1＜a＜8．19．（12分）在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．解：（1）选①，，由正弦定理可得sin C sin＝sin A sin C，因为C为三角形内角，sin C＞0，所以sin＝sin A，即cos＝2sin cos，因为A为三角形内角，∈（0，），所以sin＝，可得＝，可得A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），所以C﹣＝0，即C＝．选②，2cos A（b cos C+c cos B）＝a，由正弦定理可得2cos A（sin B cos C+sin C cos B）＝sin A，所以2cos A sin（B+C）＝2cos A sin A＝sin A，因为sin A≠0，所以cos A＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），所以C﹣＝0，即C＝．选③，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，由正弦定理可得（b﹣c）2＝a2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，因此cos A＝＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），所以C﹣＝0，即C＝．（2）因为△ABC的面积为3﹣＝bc sin A＝bc＝b2，所以解得b＝2．20．（12分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且满足a1＝b1＝2，a3+a5+a7＝30，b2b3＝a16．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项相分别为S n，T n．①是否存在正整数k．使得T k+1＝T k+b k+32成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；②解关于n的不等式S n≥b n．解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比是q，由题意得，解得：d＝2，故a n＝a1+（n﹣1）d＝2n，由题意得，解得：q＝2，故b n＝b1q n﹣1＝2n；（2）①假设存在T k+1＝T k+b k+32，即T k+1﹣T k＝b k+32，即b k+1＝b k+32，即2k+1＝2k+32，解得：k＝5，故存在k＝5符合题意；②令f（n）＝S n﹣b n，即解不等式f（n）≥0，f（n+1）﹣f（n）＝S n+1﹣S n﹣（b n+1﹣b n）＝a n+1﹣（b n+1﹣b n）＝2（n+1）﹣2n，令F（n）＝2（n+1）﹣2n，n∈N*，F（n+1）﹣F（n）＝2﹣2n，当n＝1时，F（n+1）﹣F（n）＝0，即F（1）＝F（2）＝2，当n≥2时，F（n+1）﹣F（n）＜0，即F（2）＞0＝F（3）＞F（4）＞…＞F（n）＞…，故n＝1，2时，f（n+1）﹣f（n）＞0，n＝3时，f（n+1）﹣f（n）＝0，n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＜0，又f（1）＝S1﹣b1＝a1﹣b1＝0，f（4）＝f（3）＝S3﹣b3＝a1+a2+a3﹣b3＝4，f（5）＝S5﹣b5＝a1+a2+a3+a4+a5﹣b5＝﹣2＜0，故0＝f（1）＜f（2）＜f（3）＝f（4）＞0＞f（5）＞f（6）＞…＞f（n）＞…，故f（n）≥0即S n≥b n的解为n∈{1，2，3，4}．21．（12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，则称[a，b]为f（x）的一个“k倍倒城区间“．定义在[﹣4，4]上的奇函数g（x），当x∈[0，4]时，g（x）＝﹣x2+4x．（1）求g（x）的解析式；（2）求g（x）在[2，4]内的“8倍倒城区间”；（3）若g（x）在定义域内存在“k（k≥8）倍倒域区间”，求k的取值范围．解：（1）设x∈[﹣4，0）时，﹣x∈（0，4]，所以g（﹣x）＝﹣x2﹣4x，又函数g（x）是奇函数，所以g（x）＝﹣g（﹣x）＝x2+4x，所以函数g（x）的解析式为：g（x）＝；（2）设该区间为[a，b]⊆[2，4]，则g（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，g（x）在区间[a，b]上递减，由题意可得：，解得a＝2，b＝，所以函数g（x）在[2，4]上的“8倍倒域区间”为[2，+1]；（3）由g（x）＝，则函数g（x）在[﹣4，﹣2]，[2，4]上单调递减，在区间[﹣2，2]上单调递增，设g（x）的“k倍倒域区间”为[a，b]，且k≥8，则，解得ab＞0，①当2≤a＜b≤4时，，即方程x3﹣4x2+k＝0在[2，4]上有两个不同的根，令f（x）＝x3﹣4x2+k，x∈[2，4]，f′（x）＝x（3x﹣8），当x∈[2，]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈[]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又f（2）＝﹣8+k，f（4）＝k，f（）＝﹣+k，要使得f（x）在[2，4]上有两个不同的零点，则，解得k∈[8，），同理可得：﹣4≤a＜b≤﹣2时，k∈[8，）；②﹣4≤a≤﹣2＜b＜0时，可得b＝﹣，矛盾，舍去，③0＜a＜2＜b≤4时，可得a＝，矛盾，舍去，④﹣2≤a＜b＜0时，g（x）在[a，b]上递增，则，两式相减可得：，又a≠b，故a+b+4＝，即，代入a，可得ab＝0，矛盾，舍去，同理，0＜a＜b≤2也不符，舍去，综上，k．22．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax•sin x．（1）求曲线C：y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当a＝﹣2时，设函数，若x0是g（x）在（﹣π，0）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（﹣π，0）上的唯一极大值点，且0＜g（x0）＜2．解：（1）f（0）＝1，f′（x）＝e x+a sin x+ax cos x，f′（0）＝1，故所求切线方程为：y＝x+1；（2）证明：a＝﹣2，f（x）＝e x﹣2x sin x，g（x）＝﹣2sin x，x∈（﹣π，0），g′（x）＝，x∈[﹣，0）时，g′（x）＜0，故g（x）在[﹣，0）递减，令h（x）＝（x﹣1）e x﹣2x2cos x，x∈（﹣π，﹣），h′（x）＝xe x﹣4x cos x+2x2sin x＝x（e x﹣4cos x+2x sin x），x∈（﹣π，﹣）时，h′（x）＜0，故h（x）在（﹣π，﹣）递减，h（﹣π）＝2π2﹣＞0，h（﹣）＝（﹣﹣1）＜0，h（﹣π）h（﹣）＜0，由零点存在性定理知：h（x）在（﹣π，﹣）上有唯一零点，即g′（x）在（﹣π，﹣）上有唯一零点，该零点即为x0，x∈（﹣π，x0）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，x∈（x0，﹣）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，又x∈[﹣，0）时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣π，x0）递增，在（x0，0）递减，∵x0∈（﹣π，﹣），∴g（x0）＞g（﹣）＝2﹣＝＞0，∵x0∈（﹣π，﹣），∴g（x0）＝﹣2sin x0＜﹣2sin x0＜2，故x0是函数g（x）在（﹣π，0）上的唯一的极大值点，且0＜g（x0）＜2．。
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试卷共4页.满分160分，考试时间120分钟.2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效. 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置）1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】 【分析】根据交集的运算可直接得出结果． 【详解】解：集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题． 2.已知复数z 满足2zi i=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为___________. 【答案】1- 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由2zi i=+，得(2)12z i i i =+=-+， ∴复数z 的实部为−1， 故答案为：−1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.已知向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥，则实数x 的值是___________. 【答案】1【解析】 【分析】由题意两个向量垂直，利用向量垂直的坐标运算，列方程求出x 的值． 【详解】解：∵向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥， ∴220x -=，解得1x =， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4.函数y =___________. 【答案】(1,2) 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，被开方数不小于零，列不等式求解即可．【详解】解：由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，函数的定义域为(1,2)， 故答案为：(1,2)．【点睛】本题考查函数定义域的求法，是基础题．5.等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________. 【答案】31 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q ，则前5项和55213121S -==-，故答案为：31．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 6.已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为_________.【答案】25【解析】 【分析】分子分母同时除以cos α，可将目标式转化为用tan α来表示，再代入tan α的值即可求得结果．【详解】解：sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++， 代入tan 2α=得，原式22145==+， 故答案为：25．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，当目标式是分式且分子分母均为sin α，cos α的齐次式时，可分子分母同时除以cos α，达到变形的目的，本题是基础题．7.“2x >”是“1x >”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个） 【答案】充分不必要 【解析】试题分析：因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立，所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 考点：充要关系8.已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为_______.【答案】12π【解析】【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭比较，列方程求解． 【详解】解：把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度，得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象， 26πϕ∴=， 则12πϕ=，故答案为：12π．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9.设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______.【答案】(1,2)- 【解析】 【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论，分别求出解集，再取并集，即得所求． 【详解】解：当20x +<时，由()2(2)f x f x+>得：22(2)1x x e++>，20x +<，2(2)11x ∴++<，又201x e e ≥=，22(2)1x x e ∴++>无解；当20x +≥时，由()2(2)f x f x+>得：22x x ee +>，22x x ∴+≥，解得：12x -<<，∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-，故答案为：(1,2)-．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数不等式的解法，是基础题．10.已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对()f x 求导，求出极小值点，然后判断()f x 的单调性求出极小值，再由()f x 的极小值大于0，建立关于m 的不等式，求出m 的范围． 【详解】解：由()ln m f x x x =-，得2()(0)x m f x x x'+=>， 令()0f x '=，则x m =-， 因为()ln mf x x x=-的极小值大于0， 必有极小值点0m ->，故0m <，所以当x m >-时，()0f x '>，当0x m <<-时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,)m -上单调递减，在(,)m -+∞上单调递增， 所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>，所以1m e<-， 综上，m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题． 11.已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】因为等差数列{}n a 各项都为正数，利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值．【详解】解：依题意，等差数列{}n a 各项都为正数， 所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭． 当且仅当373a a ==时等号成立． 故答案为：9．【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =，若6AE EB ⋅=-，则cos C _________.【答案】13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决． 【详解】解：如图，2CE ED =，CE 2ED ∴=，由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-， 得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-， 得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-，得(1CE ED CB -⋅=），即1ED CB ⋅=，即113CD CB ⋅=133cos 13C ∴⨯⨯=， 1cos 3C ∴=，故答案为13． 【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大． 13.若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ，则()12cos x x -=___________. 【答案】35【解析】 【分析】由已知可得1276x x π+=，得到1276x x π=-，则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合已知得答案．【详解】解：由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ， 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,),x π∈112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1222662x x πππ-+-∴=，1276x x π∴=-， ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：35． 【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题．14.已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的2x ，3(0,3)x ∈，使得()()()123f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为_____________. 【答案】)21,ln34e ⎡--⎣【解析】 【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ，利用导数求出1()ln x g x ea x-=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ，根据题意可得A B ⊆，列不等式即可求得实数a 的取值范围．【详解】解：23()3f x x x =-，(0,3)x ∈，2()633(2)f x x x x x '=-=-，可得：函数()f x 在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而(0)(3)0,(2)4f f f ===．()(0,4]f x A ∴∈=．1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈，11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增， 又(1)0g '=，∴函数()g x 在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．0x +→时，2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--．令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣．对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈， 使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆．10a ∴-≤，且24ln 3e a <--．解得214ln 3a e ≤<--． ∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣，故答案为：)21,ln34e ⎡--⎣．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120C ︒=，7c =，2a b -=. （1）求a ，b 的值； （2）求sin()A C +的值.【答案】（1）5a =，3b =（2）14【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=，结合2a b -=，即可解得a ，b 的值． （2）由（1）及余弦定理可求cos B ，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin()A C +的值． 【详解】解：（1）由余弦定理得22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=，2a b -=，22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得：22150b b +-=， 因为0b >，解得：3b =，5a =， 综上：5a =，3b =.（2）由（1）知5a =，3b =，7c =，所以22213cos 214a cb B ac +-==，因为B 为ABC ∆的内角，所以sin B ==，因为sin()sin()sin 14A CB B π+=-==，所以sin()A C +的值为14． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知向量(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =. （1）若//a b ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求x 的值； （2）若()f x a b =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值及相应x 的值. 【答案】（1）2x π=或3x π=.（2）最大值为32，此时6x π=. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算，列方程求解；（2）根据数量积的坐标运算，利用三角公式，将()f x 变形为sin()A x ωϕ+的形式，利用三角函数的性质求最值．【详解】解：（1）因为，(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =.，//a b ，所以2cos sin x x x =，所以cos (sin )0x x x =，所以cos 0x =或sin 0x x =，即cos 0x =或tan x =因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x π=或3x π=； （2）因为(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =，所以2()cos sin f x a b x x x =⋅=1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的最大值为32，此时6x π=． 【点睛】本题是向量背景下的三角运算问题，考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图像和性质，难度不大，但综合性较强．17.已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）12n n a . （2）20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩ 【解析】【分析】（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{}n a 的通项公式可求；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，作差可得当4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，再求出数列{}n b 的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b的前n 项和为n T ．【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q （不为0），2a ，31a +，4a 成等差数列，()32421a a a ∴+=+，22a =，所以22(21)22q q +=+，解得2q 或0q =（舍），211a a q∴==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a ； （2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-，∴当3n ≥，1n n c c +>，又410c =>，所以4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，因为10c =，21c =-，31c =-，所以10b =，21b =，31b =，所以10T =，21T =，32T =，当4n ≥时，123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++()3412222(7921)n n -=++++-+++-()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-， 综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ，下部是一个矩形ABCD ，圆弧CD 所在圆的圆心为O ，经测量4AB =米，3BC =米，COD 120︒∠=，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ，其中E ，F 在边AB 上，G ，H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=，矩形EFGH 的面积为S .（1）求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）求cos θ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？【答案】（1）8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3（2）1129cos θ+=【解析】【分析】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出0S '=时的cos θ的值，三角计算即可得出结果．【详解】解：（1）如图，作OP CD ⊥分别交AB ，GH 于M ，N ，由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，120COD ︒∠=，所以OM AB ⊥，ON GH ⊥，P ，M ，N 分别为CD ，AB ，GH 中点，60CON ︒∠=，在Rt COP ∆中，2CP =，60COP ︒∠=， 所以433OC =233OP = 所以33OM OP PM OP BC =-=-=， 在Rt ONG ∆中，GON OGF θ∠=∠=，433OG OC ==所以433GN θ=，433ON θ=， 所以8233GH GN θ==，43333GF MN ON OM θ==-=-， 所以438833(4cos 1)sin 333S GF GH θθθθ=⋅==-⎭，πθ0,3， 所以S 关于θ的函数关系式为：8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3 （2）由（1）得：()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3， 所以1cos ,12θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，令0S '=，得1cos ,12θ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且01cos 16θ+=， 所以0S '>，得00θθ<<，即S 在()00,θ单调递增，0S '<，得03πθθ<<，即S 在0,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时，S 取得最大值，所以当1cos 16θ+=时，矩形EFGH 的面积S 最大． 【点睛】本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力，本题属难题．19.已知函数()f x=（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1y x =-.（2）-1；（3）1a ≥【解析】【分析】（1）由函数()f x=()f x '，求出(1)f '和切点坐标，利用点斜式即可得出切线方程．（2）由()()(0)F x f x x x x=-=->，求得()F x '，分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点，即可得出()F x 单调性与极值．（3）令()ln ()ln ,(0,1]g x x af x x a x=-=-∈，求出()g x '，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）因为()f x= 所以()f x '=(1)1f '=， 因为()y f x =经过(1,0)，所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-；（2）因为()F x x=-，0x >， 所以()1F x '=-， 又()F x '在(0,)+∞递减，(1)0F '=，所以在(0,1)x ∈，()0F x '>，即()F x 在(0,1)递增；在(1,)x ∈+∞，()0F x '<，即()F x 在(1,)+∞递减，所以在1x =处，()F x 取极大值，(1)1F =-；（3）设()ln ()ln g x x af x x a=-=-，(0,1]x ∈，所以1()2a g x x '=-+= ①0a ≤时，()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立，所以()g x 在(0,1]递增，又(1)0g =，所以0(0,1)x ∃∈时，()00g x <，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去；②1a ≥时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=-≤，所以()0x ϕ≤，(0,1]x ∈，所以()0g x '≤对(0,1]恒成立，所以()g x 在(0,1]递减，又(1)0g =，所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立，所以1a ≥成立；③01a <<时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=->，解()0x ϕ=得两根为1x ，2x1=>，(0,1)==， 所以101x <<，21>x ，所以()1,1x x ∈，()0x ϕ>，()0g x '>，所以()g x 在()1,1x 递增，又(1)0g =，所以()1()01x g g <=，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去，综上：1a ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<，求整数1a 的值；（3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s t a b +是整数，求1a 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）120 【解析】【分析】（1）令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -，又得一式，将两式做差变形，利用等差中项进行证明；（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明．（3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．【详解】解：（1）因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时，11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=，所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列；（2）因为211a a -=，所以{}n a 的公差为1，因为对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<， 所以111433S <<，所以1334S <<，即1334a <<， 所以11a =或2，当11a =时，22a =，11S =，23S =，所以121114133S S +=+=，这与题意矛盾，所以11a ≠， 当12a =时，1n a n =+，(3)02n n n S +=>， 111123S =>，123111113n S S S S ++++>恒成立， 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭， 综上，1a 的值为2.（3）因为2115a a -=，所以{}n a 的公差为15， 所以11(1)5n a a n =+-， 所以111510n b a n =++， 由题意，设存在正整数s ，t ，使得s t a b l +=，l Z ∈，则111155510s t a a l +-+++=，即1202(5)1a l s t =--+， 因为5l s t Z --∈， 所以2(5)l s t --是偶数，所以1201a ≥，所以1120a ≥， 当1120a =时，41920b =， 所以存在141a b Z +=∈，综上，1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，难度较大．【选做题】本题包括21.22.23三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答，若多做，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则按作答的前两题评分．．．．．．．．．．.．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩， 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''， 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．22.已知曲线C的极坐标方程为2cos ραα=+（α为参数），直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<），若曲线C 被直线1求β的值. 【答案】3πβ=. 【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+-=，直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<）在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=，因为圆C 被直线1d ==， = k ∴=因为02πβ<<， 所以tan k β==所以3πβ=．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.选修4-2：不等式选讲设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 【答案】见证明【解析】【分析】把不等式左边化为1113b c c a a b++-+++，再利用柯西不等式得到11192b c c a a b ++≥+++，从而不等式得到证明. 【详解】因为,,0a b c >，1a b c ++=，所以a b c b c c a a b+++++ 1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b------=++=++-++++++ 由[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++，由柯西不等式，得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++ ⎪+++⎝⎭29≥= 所以11192b c a c a b ++≥+++，即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 【点睛】多变量不等式的证明，可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明，如果不等式是和与积的形式，可考虑前者，如果是平方和与对应乘积和的关系，则考虑后者，必要时需对原有不等式变形化简，使之产生需要的结构形式.24.某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立. （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）38，23.（2）分布列见解析，数学期望2524. 【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ，则3()4P A =，且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【详解】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3()4P A =，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38，23； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，1(2)4P X ==， 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=， 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =，1113C F CC =.设b aλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.【答案】（1）60°（2）32λ=【解析】【分析】（1）推导出1AA ⊥平面ABC ，11,AB AA AA ⊥⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角．（2）推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面1A EF ，能求出λ的值．【详解】解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-. 因为1||||2AE A F ==，11AE A F ⋅=-， 所以1111cos ,2||||22AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-⨯. 所以向量AE 和1A F 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°；（2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则10AE n ⋅=，且10AF n ⋅=.即03bz ax +=，且203bz ay +=. 令1z =，则3b x a =-，23b y a =-. 所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面AEF 的一个法向量.同理，222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ，所以120n n ⋅=，22221099λλ∴--+=， 解得32λ=. 所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
江苏省苏州市高三上学期期中调研数学试题(有答案)(精选)
苏州市第一学期高三期中调研试卷数 学注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置) 1．已知集合{02}A x x =≤≤，{11}B x x =-<≤，则A B =I ▲ ．2．若命题2:,10p x x ax ∃∈++<R 使，则p ⌝： ▲ ．3．函数y =▲ ．4．曲线cos y x x =-在点(,)22ππ处的切线的斜率为 ▲ ．5．已知4tan 3α=-，则tan()4πα-= ▲ ．6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：194a a =，则数列2{log }n a 的前9项之和为 ▲ ．7．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8xf x =，则19()3f -=▲ ．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sin 3sin C B =，则A = ▲ ．9．已知函数221,0(),0x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩≤，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．若函数cos21tan (0)sin 22y θπθθθ+=+<<，则函数y 的最小值为 ▲ ．11．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足：111(1),1n n n a a a a ++=-=，数列{}n b 满足：1n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前10项的和10S = ▲ ．13．设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对应的边为a,b,c ，若A,B,C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数的取值范围是 ▲ ．14．已知函数2()()x af x x a -=+，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，则满足条件的实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数()33()x xf x λλ-=+⋅∈R（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．16．(本题满分14分)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12log n n nb a a =，12n n S b b b =+++，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．17．(本题满分15分)已知函数()2sin()cos 3f x x xπ=+⋅．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A为锐角且()2f A =，2b =，3c =，求cos()A B -的值．18．(本题满分15分)如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，120BCD ∠=，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米． （1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； （2）试求的值，使路EF 的长度y 最短．BD19． (本题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n ∈N 满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足2120(*)n n n b b b n ++-+=∈N ，35b =，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n nn n n b a c a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a +≥，求实数a 的取值范围；（3）将数列{},{}n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ⋅⋅⋅，求这个新数列的前n 项和n S ．20． (本题满分16分)已知32()31(0)f x ax x a =-+>，定义{}(),()()()max (),()(),()()f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧==⎨<⎩≥． （1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，求实数a 的取值范围；（3）若()ln g x x =，试讨论函数()h x (0)x >的零点个数．第一学期高三期中调研试卷 数 学 (附加) 注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟． 2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲) （本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅B ．(矩阵与变换) （本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点(1,3)-变换为(0,8)．（1）求矩阵M ；（2）求曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程．C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）已知平面直角坐标系Oy 中，圆C 的参数方程为cos 2(,0)sin 2x r r y r θθθ=+⎧>⎨=+⎩为参数．以直角坐标系原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lπsin()104θ++=．（1）求圆C 的圆心的极坐标；（2）当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围．D ．(不等式选讲) （本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证 2222111115a b c d a b c d+++++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A 、B 、C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B 、C 的概率均为a (01)a <<，且这三个测试项目能否通过相互独立．（1）用随机变量表示张某在测试中通过的项目个数，求的概率分布和数学期望()E X （用a 表示）； （2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a 的取值范围．23．(本小题满分10分)在如图所示的四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，90DAB ABC ︒∠=∠=，SA AB BC a ===，3AD a =(0)a >，E 为线段BS 上的一个动点．（1）证明：DE 和SC 不可能垂直；（2）当点E 为线段BS 的三等分点（靠近B ）时，求二面角S CD E --的余弦值．DBC第一学期高三期中调研试卷 数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{|0}x x ≤≤1 2．2,10x x ax ∀∈++R 使≥ 3．(2,1]- 4．2 5．7 6．9 7．2- 8．3π9．1(,0]4-10．2 11．3 12．1011 13．(1,2] 14．0a ≥二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）函数()33x xf x λ-=+⋅的定义域为R ．∵()f x 为奇函数，∴()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立，即3333(1)(33)0x x x x x xλλλ---+⋅++⋅=++=对x ∀∈R 恒成立， ∴1λ=-． ．．．．．．．．．．3分此时()331x x f x -=->即2(3)310x x-->，解得33)x x >舍去， ．．．．．．．．．．6分∴解集为3{|log x x >． ．．．．．．．．．．7分（2）由()6f x ≤得336x xλ-+⋅≤，即363x xλ+≤，令3[1,9]xt =∈，原问题等价于6t tλ+≤对[1,9]t ∈恒成立，亦即26t t λ-+≤对[1,9]t ∈恒成立， ．．．．．．．．．．．10分 令2()6,[1,9]g t t t t =-+∈， ∵()g t 在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，∴当9t =时，()g t 有最小值(9)27g =-，∴27λ-≤． ．．．．．．．．．14分 16．(本题满分14分)解：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴3242(2)a a a +=+， ．．．．．．．．．．1分 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴21311820a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解之得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， ．．．．．．．．4分∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =． ．．．．．．．．．．6分（2）∵1122log 2log 22n n nn n n b a a n ===-⋅， ．．．．．．．．．．7分∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅， ……①)22)1(2221(S 2132+⋅+⋅-++⨯+⨯-=n n n n n ， ……②②-①得23122222n n n S n +=++++-⋅1112(12)222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-． ．．．．．．．．．．12分∵1262n n S n ++⋅>，∴12262n +->，∴16n +>，5n >， ．．．．．．．．．．13分∴使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为6． ．．．．．．．．．．14分17．(本题满分15分)解：（1）()(sin )cos f x x x x =x x x 2cos 3cos sin +=1sin 22x x =++sin(2)3x π=+． ．．．．．．．．．2分由02x π≤≤得，42333x πππ+≤≤，sin(2)13x π+≤， ．．．．．．．．．4分∴0sin(2)13x π++≤，即函数)(x f 的值域为[0,1． ．．．．．6分（2）由()sin(2)3f A A π=++得sin(2)03A π+=，又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴23A ππ+=，3A π=． ．．．．．．．．8分在ABC ∆中，由余弦定理2222cos =7a b c bc A =+-，得7=a ． ．．．．．．．10分由正弦定理sin sin a bA B =，得sin sin 7b A B a ==， ．．．．．．12分∵b a <，∴B A <，∴cos B =，∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+127==． ．．．．15分18．(本题满分15分)解：（1）平行四边形ABCD 的面积为1212sin12032ABCDS=⨯⨯⨯=，当点F 与点D 重合时，13sin1202CFE S CE CD x∆=⋅⋅=，∵14CFE ABCDS S∆=，∴x ，1x =（百米），∴E 是BC 的中点． ．．．．3分（2）①当点F 在CD 上时，∵011sin120244CFE ABCDS CE CF S∆=⋅⋅==，∴1CF x =， ．．．．．．．．4分在三角形CDE 中，22202cos120EF CE CF CE CF =+-⋅⋅，∴y =，当且仅当1x =时取等号，此时E 在BC 中点处且F 与D 重合，符合题意； ．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②当点F 在DA 上时，∵()124ABCDCEFD x FD S S +==梯形，∴1DF x =-， ．．．．．．．．．．9分Ⅰ．当CE DF <时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,12,60EG GF x EGF ==-∠=，由余弦定理得y ； Ⅱ．当CE DF ≥，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,21,120EG GF x EGF ==-∠=，由余弦定理得y ；由Ⅰ、Ⅱ可得y == ．．．．．．．．．．．．．．．13分∴当14x =时，min y =， 此时E 在BC 的八等分点（靠近C ）处且34DF =（百米），符合题意； ．．．．14分∴由①②可知，当14x =（百米）时，路EF 最短为（百米）． ．．．．15分19．(本题满分16分)解：（1）∵1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，∴1111(1)222n A A n n n =+-⨯=+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ， ∴*11(1)(2)(1)1()22n n n n n n n a A A n n +++++=-=-=+∈N ，又11a =，∴*()n a n n =∈N ． ．．．．．．．．．．．．．3分∵2120n n n b b b ++-+=，∴ 数列{}n b 是等差数列， 设{}n b 的前n 项和为n B ，∵3799()632b b B +==且35b =，∴79b =，∴{}n b 的公差为7395=17373b b --=--，*2()n b n n =+∈N ． ．．．．．．5分（2）由（1）知21122()22n n n n n b a n n c a b n n n n +=+=+=+-++，∴12n n T c c c =+++1111122(1)3242n n n =+-+-++-+11122(1)212n n n =++--++11232()12n n n =+-+++， ∴11232()12n T n n n -=-+++． ．．．．．．．．．．．．．．．7分设1132()12n R n n =-+++，则11142()013(1)(3)n n R R n n n n +-=-=>++++，∴数列{}n R 为递增数列， ．．．．．．．．．．．．．9分∴min 14()3n R R ==，∵对任意正整数n ，都有2n T n a -≥恒成立，∴43a ≤． ．．．．．．．．．．．．．10分（3）数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(5)2nn n B +=．①当*2()N n k k =∈时，2(1)(5)322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+；②当*41()N n k k =+∈时，2+12(21)(22)2(25)22n k k k k k k S A B +++=+=+2481k k =++，特别地，当1n =时，11S =也符合上式； ③当*41()N n k k =-∈时，2212(21)22(25)4422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+．综上：22213, 2 4263, 43465, 414n n n n k n n S n k n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-⎨⎪⎪++=-⎪⎩，*k ∈N ． ．．．．．．．．．．．16分20．(本题满分16分)解：（1）∵函数32()31f x ax x =-+，∴2'()363(2)f x ax x x ax =-=-． ．．．．．．．．．．1分令'()0f x =,得10x =或22x a =，∵0a >，∴12x x <，列表如下：∴()f x 的极大值为(0)1f =，极小值为222()11f a a a a =-+=-． ．．．．．．．3分（2）2363)()(x ax x f x x g -='=，∵存在[1,2]x ∈使()()h x f x =，∴()()f x g x ≥在[1,2]x ∈上有解，即32323136ax x ax x -+-≥在[1,2]x ∈上有解，即不等式3132a x x +≤在[1,2]x ∈上有解， ．．．．．．．．．．．．．4分设233[1,32]131()x y x x x x +∈=+=，∵2433'0x y x --=<对[1,2]x ∈恒成立，∴313y x x =+在[1,2]x ∈上单调递减，∴当1x =时，313y x x =+的最大值为4， ∴24a ≤，即2a ≤． ．．．．．．．．．7分（3）由（1）知，()f x 在(0,)+∞上的最小值为224()1f aa =-， ①当2410a ->，即2a >时，()0f x >在(0,)+∞上恒成立，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上无零点． ．．．．．．．．．8分②当2410a -=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，又(1)0g =，∴()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有一个零点． ．．．．．．．．．9分③当2410a -<，即02a <<时，设32()()()31ln x f x g x ax x x ϕ=-=-+-(01)x <<，∵211'()366(1)0x ax x x x xxϕ=--<--<，∴()x ϕ在(0,1)上单调递减，又232123(1)20,()0a e a e e e ϕϕ-=-<=+>，∴存在唯一的01(,1)x e ∈，使得0()0x ϕ=． Ⅰ．当00x x <≤时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-=≥，∴()()h x f x =且()h x 为减函数，又0000()()()ln ln10,(0)10h x f x g x x f ===<==>，∴()h x 在0(0,)x 上有一个零点； Ⅱ．当0x x >时，∵0()()()()0x f x g x x ϕϕ=-<=，∴()()h x g x =且()h x 为增函数， ∵(1)0g =，∴()h x 在0(,)x +∞上有一个零点；从而()max{(),()}h x f x g x =在(0,)+∞上有两个零点． ．．．．．．．．．15分综上所述，当02a <<时，()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点． ．．．．．．．．．．16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分)证明：连接AD ，∵AB 为圆的直径，∴AD BD ⊥， 又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，∴BD BE BA BF ⋅=⋅． ．．．．．．．．．．．．．5分 又ABC ∆∽AEF ∆，∴AB ACAE AF =，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． ．．．．．10分B ．(矩阵与变换，本小题满分10分)解（1）设ab Mcd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及1038a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得883038a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）设原曲线上任一点(,)P x y 在M 作用下对应点'(',')P x y ，则'6244'x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'62'44x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，解之得2''82'3'8x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，代入320x y +-=得'2'40x y -+=，即曲线320x y +-=在M 的作用下的新曲线方程为240x y -+=． ．．．．．．10分 C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)解：（1）由cos 2:sin 2x r C y r θθ=+⎧⎨=+⎩得222(2)(2)x y r -+-=，∴曲线C 是以(2,2)为圆心，为半径的圆，∴圆心的极坐标为)4π． ．．．．．．．．．．．．．5分（2）由πsin()104l θ++=得:10l x y ++=，从而圆心(2,2)到直线l的距离为d ==∵圆C 与直线l 有公共点，∴d r ≤，即r ．．．．．．．．．．10分D ．(不等式选讲，本小题满分10分)证明：∵2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d ++++++++++++++2+≥2()1a b c d =+++=， ．．．．．．．．．．．．5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，∴2222111115a b c d a b c d +++++++≥． ．．．．．．．．．．．．10分22．(本题满分10分)解：（1）随机变量的可能取值为0，1，2，3．022211(0)(1)C (1)(1)22P X a a ==--=-；021222111(1)C (1)(1)C (1)(1)222P X a a a a ==-+--=-； 122222111(2)C (1)(1)C (2)222P X a a a a a ==-+-=-； 222211(3)C 22P X a a ===．从而的分布列为222211141()0(1)1(1)2(2)322222a a E X a a a a +=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=． ．．．．．．5分（2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P X P X a a a a =-==---=-， 22112(1)(2)[(1)(2)]22aP X P X a a a -=-==---=， 222112(1)(3)[(1)]22a P X P X a a -=-==--=．由2(1)012021202a a aa ⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩≥≥≥和01a <<，得102a <≤,即的取值范围是1(0,]2． ．．．．10分23．(本题满分10分)解：（1）∵SA ⊥底面ABCD ，90DAB ︒∠=，∴AB 、AD 、AS 两两垂直．以A 为原点，AB 、AD 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、轴建立空间直角坐标系（如图）， ．．．．．．．．．．．．．．．1分则(0,0,)S a ，(,,0)C a a ，(0,3,0)D a (0)a >，∵SA AB a ==且SA AB ⊥，∴设(,0,)E x a x -其中0x a ≤≤，∴(,3,)DE x a a x =--，(,,)SC a a a =-， ．．．．．．．．．．．．．．．．2分 假设DE 和SC 垂直，则0DE SC ⋅=，即2223240ax a a ax ax a --+=-=，解得2x a =，这与0x a ≤≤矛盾，假设不成立，所以DE 和SC 不可能垂直． ．．．．．．．．4分（2）∵E 为线段BS 的三等分点（靠近B ），∴21(,0,)33E a a ． 设平面SCD 的一个法向量是1111(,,)n x y z =，平面CDE 的一个法向量是2222(,,)n x y z =，∵(,2,0)CD a a =-，(0,3,)SD a a =-，∴1100n CD n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即11112030ax ay ay az -+=⎧⎨-=⎩，即111123x y z y =⎧⎨=⎩，取1(2,1,3)n =， ．．．．．．．．．．．．6分∵(,2,0)CD a a =-，21(,3,)33DE a a a =-，∴2200n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即2222220213033ax ay ax ay az -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，即222225x y z y =⎧⎨=⎩，取2(2,1,5)n =， ．．．．．．．．．．．．8分设二面角S CD E --的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角，∴121212cos|cos ,|||||14n n n n n n θ⋅=<>===⋅，即二面角S-CD-E 的余弦值为． ．．．．．．．．．．．．10分。
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苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷数 学一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B = ▲ ． 2．函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ ．3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ． 5．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是 ▲ ． 6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则7935a a a a -=- ▲ ．7．函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=，则ϕ的值是 ▲ ． 8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ ．9．已知tan()24απ-=，则cos2α的值是 ▲ ．10．若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 11．已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ⋅⋅= ▲ ．12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A =+且CD =则ABC △面积的最大值是 ▲ ．13．已知函数()sin()6f x x π=-，若对任意的实数5[,]62αππ∈--，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ．14．已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t （其中m n t <<），则12n m++的取值范围是 ▲ ． 二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本题满分14分)已知函数21()sin(2)(0,0)42f x ax b a b π=-+++>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π． （1）求,a b 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值． 16．(本题满分14分)在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240a bc -=． （1）当52,4a m ==时，求,b c 的值； （2）若角A 为锐角，求m 的取值范围． 17．(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*131()n n S S n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在数列{}n b 中，13b =，*11()n n n na b b n a ++-=∈N ，若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．18．(本题满分15分)如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）． （1）设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．(本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--．（1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值；（3）证明：当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）． 20．(本题满分16分)已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，221{}n n a pa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学(附加题部分)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O 于E ，030AEC ∠=．（1）求证：AF FO =；（2）若CF =AD AE ⋅的值． B ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求49αA 的值． C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠． （1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；B（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l a 的值． D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ． 23．(本小题满分10分)（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设*n ∈N ，试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小，并证明你的结论． 2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞ 3．充分不必要 4．1 5．136．47．3π8．(2,0)(1,2)-9．45- 10．(1,2]11．1201812113．2π14．1(1,e )e +二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π， ∴()f x 的周期为2π，∴202||2a a ππ=>且，······································································2分 ∴2a =，··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++，又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴1||022b b +=>，·······················································6分∴122b =-；··········································································································8分 （2）由（1）可得())4f x x π=+， ∵[0,]4x π∈，∴4[,]444x ππ5π+∈，∴当444x π5π+=，即4x π=时，()f x；·················································11分 当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0．························································14分16．(本题满分14分)解：由题意得b c ma +=，240a bc -=．···············································································2分（1）当52,4a m ==时，5,12b c bc +==， 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；································································································6分 （2）2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-，····························8分 ∵A 为锐角，∴2cos 23(0,1)A m =-∈，∴2322m <<，····················································11分 又由b c ma +=可得0m >，·························································································13分m <·····································································································14分 17．(本题满分15分)解：（1）∵*131()n n S S n +=+∈N ，∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥，∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥，·························································································2分 又当1n =时，由2131S S =+得23a =符合213a a =，∴*13()n n a a n +=∈N ，······························3分 ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为1*3()n n a n -=∈N ；·····················5分 （2）∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ，∴{}n b 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分 ∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ，·····················································································9分 ∴2n n a b n λ+≤，即1233n n n λ-⋅+≤，即2133n n nλ--≤对*n ∈N 有解，··································10分设2*13()()3n n n f n n --=∈N ，∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=， ∴当4n ≥时，(1)()f n f n +<，当4n <时，(1)()f n f n +>， ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>，∴max 4[()](4)27f n f ==，···························································································14分 ∴427λ≤．·············································································································15分 18．(本题满分15分)解：（1）当01x <≤时，过A 作AK CD ⊥于K （如上图），则1AK =，122CD AB DK -==，1HM x =-， 由2AK MH DK DH ==，得122HM x DH -==， ∴322HG DH x =-=+，∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+；·······························································4分 当512x <<时，过E 作ET MN ⊥于T ，连结EN （如下图）， 则1ET x =-，22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∴292(1)4MN x =-- ∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---，······································································8分 综上：222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤；·································································9分 （2）当01x <≤时，2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减， ∴max ()(0)2S x S ==；································································································11分2︒当512x <<时，2229(1)(1)994()2(1)(1)2424x x S x x x -+--=---⋅=≤，当且仅当29(1)(1)4x x -=--3251(1,)2x +∈时取“=”，∴max 9()4S x =，此时max 9()24S x =>，∴()S x 的最大值为94，············································14分 答：当MN 与AB之间的距离为14+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值．····················15分 19．(本题满分16分)解：（1）设切点坐标为00(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入上式，得0ln 0x =，01x =，∴切线方程为1y x =-；·······························································································2分 （2）当0m =时，2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞， ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞，············································································3分 当01x <<时，()0F x '>，当1x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，·············································································5分 ∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+；当1a >时，()F x 的最大值为(1)0F =；········································································7分 （3）2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-，设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立， 只要证max ()3h x <-，下证此结论成立．∵1()(1)(e )x h x x x'=--，∴当112x <<时，10x -<，·······················································8分 设1()e x u x x =-，则21()e 0x u x x '=+>，∴()u x 在1(,1)2递增，又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线，且1()202u <，(1)e 10u =->，∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =，即001e x x =，00ln x x =-，····················································11分 当01(,)2x x ∈时，()0u x <，()0h x '>；当0(,1)x x ∈时，()0u x >，()0h x '<； ∴函数()h x 在01[,]2x 递增，在0[,1]x 递减， ∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--，····························14分∵212y x x =--在1(,1)2x ∈递增，∴0002()121223h x x x =--<--=-，即max ()3h x <-，∴当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立．··························16分 20．(本题满分16分)解：（1）∵1423a a a a =，∴46a =，又∵2534a a a a =，∴54392a a ==；·······································2分（2）由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩，两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=，∵0n a >，∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ，从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列，···································································4分 设公比分别为12,q q ，则1122222n n n a a q q --==，1121111n n n a a q q ---==，······································5分 又∵312=n n n n a a a a +++，∴42231122a a qa a q ===，即12q q =，···························································6分 设12q q q ==，则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+，且2210n n a pa -+>恒成立，数列221{}n n a pa -+是首项为2p +，公比为q 的等比数列，问题得证；····································8分 （3）法一：在（2）中令1p =，则数列221{}n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q ---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩， 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩，·····································································10分 且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去）， (13)分∴224121k k k S =-=-，212121k k S --=-， 从而对任意*n ∈N 有21n n S =-， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴1*2()n n a n -=∈N ，综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ．······················16分 法二：由（2）知，则122n n a q -=，121n n a q --=，且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去）， (11)分∴121222n n n a q --==，22212n n a --=，从而对任意*n ∈N 有12n n a -=，····································13分 ∴01211222222112nn n n S --=++++==--， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列，综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ．······················16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分)解：（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形，∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，∴AF FO =；······································································5分 （2）解：连接BE ，B∵CF =AOC ∆是等边三角形， ∴可求得1AF =，4AB =，∵AB 为圆O 的直径，∴90AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠， 又∵BAE DFA ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆，∴AD AFAB AE=， 即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．··················································································10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分) 解：矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， 令()0f λ=，解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=，····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，·····································6分又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦，······························································································8分∴5049494911225031331αλαλα⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦A ．···········································································10分C ．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)解：（1）直线l 的普通方程为220x y +-=；··········································································3分圆C 的直角坐标方程为222()()222a a a x y -+-=；·······························································6分（2）∵圆C 任意一条直径的两个端点到直线l∴圆心C 到直线l|2|aa +-，·······················································8分 解得3a =或13a =-．·······························································································10分D ．(不等式选讲，本小题满分10分) 证：∵0,0,0x y x y >>->，∴22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-21()()3()x y x y x y =-+-+=-≥，。