苏州市届高三上学期期中考试数学试题

苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷

数 学

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B = ▲ ． 2．函数1

ln(1)

y x =

-的定义域为 ▲ ．

3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．

4．已知幂函数2

2*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ． 5．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是 ▲ ． 6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则

79

35

a a a a -=- ▲ ．

7．函数sin(2)(0)2

y x ??π

=+<<图象的一条对称轴是12

x π

=

，则?的值是 ▲ ． 8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()

01

f x x >-的解集为 ▲ ．

9．已知tan()24

απ

-=，则cos2α的值是 ▲ ．

10．若函数8,2

()log 5,2a

x x f x x x -+?=?

+>?≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 11．已知数列{},{}n n a b 满足1111

,1,(*)21

n n n n a a b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ??

= ▲ ．

12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A =+

且CD =则ABC △面积的最大值是 ▲ ．

13．已知函数()sin()6

f x x π=-，若对任意的实数5[,]62

αππ

∈-

-，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ．

14．已知函数ln ,0

()21,0x x f x x x >?=?+?

≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n

(,())C t f t （其中m n t <<），则1

2n m

+

+的取值范围是 ▲ ． 二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤)

15．(本题满分14分)

已知函数21

()sin(2)(0,0)42

f x ax b a b π=-+++>>的图象与x 轴相切，

且图象上相邻两个最高点之间的距离为

2

π． （1）求,a b 的值；

（2）求()f x 在[0,]4

π

上的最大值和最小值． 16．(本题满分14分)

在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240a bc -=． （1）当5

2,4

a m ==

时，求,b c 的值； （2）若角A 为锐角，求m 的取值范围． 17．(本题满分15分)

已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*131()n n S S n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在数列{}n b 中，13b =，*1

1()n n n n

a b b n a ++-=

∈N ，若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．

18．(本题满分15分)

如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）． （1）设MN 与AB 之间的距离为5

(02

x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；

（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？

19．(本题满分16分)

已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--．

（1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；

（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值；

（3）证明：当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2

x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）． 20．(本题满分16分)

已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ．

（1）若33a =，求5a 的值；

（2）证明：对任意正实数p ，221{}n n a pa -+成等比数列；

（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．

2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷

数学(附加题部分)

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）

如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O 于

E ，030AEC ∠=．

（1）求证：AF FO =；

（2

）若CF =AD AE ?的值． B ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）

已知矩阵1221??=????A ，42α??

=??

??

，求49αA 的值． C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为425

25x t y t ?

=-+????=??

(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为

极轴建立极坐标系，圆C

的极坐标方程为cos()(0)4

a ρθπ

-≠． （1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；

B

（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l a 的值． D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）

设,x y 均为正数，且x y >，求证：22

1

2232x y x xy y +

+-+≥．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)

在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；

（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ． 23．(本小题满分10分)

（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设*n ∈N ，试比较

11

1

23

1

n +++

+与ln(1)n +的大小，并证明你的结论． 2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷

数 学 参 考 答 案

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．{1} 2．(1,2)

(2,)+∞ 3．充分不必要 4．1 5．1

3

6．47．3π8．(2,0)(1,2)-9．4

5

- 10．(1,2]

11．1

2018

12113．2π14．1(1,e )e +

二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)

解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为

2

π

， ∴()f x 的周期为

2

π，∴202||2a a ππ

=>且，······································································2分 ∴2a =，··················································································································4分

此时1

())42

f x x b π=+++，