平行四边形应用之动点问题典型题
中考数学动点之平行四边形问题(含特殊四边形)
动点之平行四边形问题(含特殊四边形)【例5】(2019·广东中考模拟)如图，点O 是平面直角坐标系的原点，点3)，AC ⊥OA 与x 轴的交点为C ．动点M 个单位长度由点A 向点O 运动．同时，动点N 以每秒3个单位长度由点O 向点C 运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动．(1)写出∠AOC 的值；(2)用t 表示出四边形AMNC 的面积；(3)求点P 的坐标，使得以O 、N 、M 、P 为顶点的四边形是特殊的平行四边形？【答案】(1)30°；(2)29(02)4t t <<；(3)33P 3t t,t 22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】(1)如图1中，作AH ⊥OC 于H ．在Rt △AOH 中，解直角三角形求出∠AOH 即可解决问题．(2)作MK ⊥BC 于K ．根据S 四边形AMNC ＝S △OAC ﹣S △OMN ，计算即可．(3)分别考虑以OM ，ON ，MN 为平行四边形的对角线，利用平行四边形的性质求解即可．【详解】解：(1)如图1中，作AH ⊥OC 于H ．∵3)，∴OHAH＝3，∴tan∠AOH＝AHOH，∴∠AOH＝60°，∵OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∴∠ACO＝30°．(2)作MK⊥BC于K．在Rt△AOH中，∵OH∠OAH＝30°，∴OA＝2OH＝在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝∴AC＝6，∵OM，∴MK＝OM•sin60°＝32t，∴S四边形AMNC＝S△OAC﹣S△OMN＝12•OA•AC﹣12•ON•MKa＝12×6﹣12×3t×32t＝94t2(0＜t＜2)．(3)当四边形CNMP1是平行四边形时，P1(2t﹣3t，32t)．当四边形ONP2M是平行四边形时，P2(t+3t，32t)．当四边形OMNP3是平行四边形时，P3(3t﹣2t，﹣32t)．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【变式5-1】(2019·江西中考真题)在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．(1)如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=________°；(2)如图2，连接AF．①填空：∠FAD_________∠EAB(填“>”，“<”，“=”)；②求证：点F在∠ABC的平分线上；(3)如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BCAB的值．【答案】(1)60°；(2)① =，②见解析；(3)4【解析】(1)根据菱形的性质计算；(2)①证明∠DAB=∠FAE=60°，根据角的运算解答；②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，证明ΔAFN≅ΔEFM，根据全等三角形的性质得到FN=FM，根据角平分线的判定定理证明结论；(3)根据直角三角形的性质得到GH=2AH，证明四边形ABEH为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．【详解】解：(1)∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF=180°−∠EAG=60°，∴∠CEF=∠AEC−∠AEF=60°，故答案为：60°；(2)①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=180°−∠ABC=60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠FAE=60°，∴∠FAD=∠EAB，故答案为：=；②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB=∠FMB=90°，∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°，∴∠AFN=∠EFM，∵EF=EA，∠FAE=60°，∴ΔAEF为等边三角形，∴FA=FE，在ΔAFN和ΔEFM中，{∠AFN =∠EFM ∠FNA =∠FME FA =FE，∴ΔAFN ≅ΔEFM(AAS)，∴FN =FM ，又FM ⊥BC ，FN ⊥BA ，∴点F 在∠ABC 的平分线上；(3)∵四边形AEFG 是菱形，∠EAG =120°，∴∠AGF =60°，∴∠FGE =∠AGE =30°，∵四边形AEGH 为平行四边形，∴GE//AH ，∴∠GAH =∠AGE =30°，∠H =∠FGE =30°，∴∠GAH =90°，又∠AGE =30°，∴GH =2AH ，∵∠DAB =60°，∠H =30°，∴∠ADH =30°，∴AD =AH =GE ，∵四边形ABEH 为平行四边形，∴BC =AD ，∴BC =GE ，∵四边形ABEH 为平行四边形，∠HAE =∠EAB =30°，∴平行四边形ABEH 为菱形，∴AB =AH =HE ，∴GE =3AB ，∴BC AB =3．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质.掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．【变式5-2】(2019·湖南中考真题)如图，二次函数213y x bx c=-++的图象过原点，与x轴的另一个交点为() 8,0(1)求该二次函数的解析式；(2)在x轴上方作x轴的平行线1y m=，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；(3)在(2)的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒(0t>)．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)21833y x x=-+；(2)当矩形ABCD为正方形时，m的值为4；(3)以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形，t的值为4或6.【解析】(1)根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；(3)由(2)可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由AQ EF//且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ EF =，分0t 4<≤，4t 7<≤，7t 8<≤三种情况找出AQ ，EF 的长，由AQ EF =可得出关于t 的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．【详解】(1)将()00，，()80，代入21y x bx c 3=-++，得：064803c b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 解得830b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为218y x x 33=-+． (2)当y m = 时，218x x m 33-+=，解得：1x 4=，2x 4=∴点a 的坐标为(4，m)，点b 的坐标为(4，m)，∴点d 的坐标为(4，0)，点c 的坐标为(4，0)．∵矩形abcd 为正方形，∴(44m=， 解得：1m 16=-，(舍去)，2m 4=．∴当矩形ABCD 为正方形时，m 的值为4．(3)以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由(2)可知：点A 的坐标为()24，，点B 的坐标为()64，，点C 的坐标为()60，，点D 的坐标为()20，．设直线AC 的解析式为()y kx a k 0=+≠， 将()a 24，，()c 60，代入y kx a =+，得2460k a k a +=⎧⎨+=⎩，解得16k a =-⎧⎨=⎩，∴直线ac 的解析式为y x 6=-+．当x 2t =+时，221814y x x t t 43333=-+=-++ ，y x 6t 4=-+=-+∴点E 的坐标为(2t +，214t t 433-++)，点F 的坐标为(2t +，t 4-+-t+4)．∵以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ ΕF // ，∴AQ EF =，分三种情况考虑：①当0t 4<≤时，如图1所示，AQ t =，EF=()221417t t 4t 4t t 3333-++--+=-+， ∴217t t t 33=-+，解得：1t 0=(舍去)，2t 4=；②当4t 7<≤时，如图2所示，AQ t 4=-，EF=()221417t t 4t 4t t 3333-++--+=-+， ∴217t 4t t 33-=-+， 解得：3t 2=-(舍去)，4t 6=；7t 8<≤,AQ t 4=-, EF=()221417t t 4t 4t t 3333-++--+=--，217t 4t t 33∴-=-，解得5t 5=舍去)，6t 5=舍去)综上所述，当以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t 的值为4或6【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用正方形的性质，找出关于m 的方程；(3)分0t 4<≤，4t 7<≤，7t 8<≤三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t 的一元二次方程．【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的顶点O 是坐标原点，点A 坐标为()1,3，A 、B 两点关于直线y x =对称，反比例函数()0k y x x =>图象经过点A ，点P是直线y x =上一动点.(1)B 点的坐标为______；(2)若点C 是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C 坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点Q 是线段OP 上一点(O 不与O 、P 重合)，当四边形AOBP 为菱形时，过点Q 分别作直线OA 和直线AP 的垂线，垂足分别为E 、F ，当QE QF QB ++的值最小时，求出Q 点坐标.【答案】(1)(3，1)；(2)12)C ，22)C ，3C ；(3)(2，2). 【解析】(1)根据点(a ，b)关于y=x 对称的点的坐标为(b ，a)直接写出答案即可；(2)首先求得反比例函数的解析式，然后设P(m ，m)，分若PC 为平行四边形的边和若PC 为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点C 的坐标；(3)连接AQ ，设AB 与PO 的交点为D ，利用四边形AOBP 是菱形，得到S △AOP=S △AOQ+S △APQ ，从而得到12PO•AD=12AO•QE+12AP•QF ，确定QE+QF=•PO ADAO 为定值，从而求解．【详解】解：(1)B 点的坐标为(3，1)；(2)∵反比例函数()0k y x x =>图象经过点A(1，3)， ∴k=1×3=3，∴反比例函数的解析式为3y x =， 点P 在直线y=x 上，∴设P(m ，m)①PC 为平行四边形的边，∵点A 的横坐标比点B 的横坐标小2，点A 的纵坐标比点B 的纵坐标大2， ∴点C 在点P 的下方，则点C 的坐标为(m+2，m-2)如图1，若点C 在点P 的上方，则点C 的坐标为(m-2，m+2)如图2，把C(m+2，m-2)代入反比例函数的解析式得：m =，∵m ＞0，∴m =，∴12)C +同理可得另一点22)C ，②若PC为平行四边形的对角线，如图3，∵A、B关于y=x对称，∴OP⊥AB此时点C在直线y=x上，且为直线y=x与双曲线的3yx=交点，由3y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩解得：11xy⎧=⎪⎨=⎪⎩22xy⎧=⎪⎨=⎪⎩(舍去)，∴3C，综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：12) C，22)C，3C；(3)连接AQ，设AB与PO的交点为D，如图4，∵四边形AOBP是菱形，∴AO=AP∵S△AOP=S△AOQ+S△APQ，∴12PO•AD=12AO•QE+12AP•QF∴QE+QF=•PO ADAO为定值，∴要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值最小，当QB⊥PO时，QB最小，所以D点即为所求的点，∵A(1，3)，B(3，1)∴D(2，2)，∴当QE+QF+QB的值最小时，Q点坐标为(2，2)．【点睛】本题是对反比例函数的综合知识的考查，熟练掌握反比例，四边形知识及分类讨论的数学思想是解决本题的关键，难度较大．。
与特殊的平行四边形有关的动点问题(提升版)
第13讲 与特殊的平行四边形有关的动点问题1. (4分)如图，P 为正方形 ABCD 内一点，且PA ： PB ：PC=1 ： 2 ： 3,则/ APB 的度数是 .1352. (6分)如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片， 点A对应点为A',若B'C=3,则AM 的长为. 2【教学目标】能熟练运用特殊平行四边形的性质定理和判定定理 解决动点问题.【教学重难点】根据已知几何图形间的位置关系和数量关系(如平行、全等) 解决动点涉及到的特殊平行四边形的存在性等问题. 【考点1】菱形的存在性问题【例1】如图，矩形 ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 上两点，且AE= CF .(1)求证：四边形 BEDF 为平行四边形.(2)若AB=6, AD = 9,则当AE 为何值时，四边形 BFDE 为菱形. ⑵ AE=2.5【例2】如图，平行四边形 ABCD 中，AD=9cm, CD = 3/2cm ，/B=45°,点M 、N 分别以A 、C 为起点, 1cm/秒的速度沿 AD 、CB边运动，设点 M 、N 运动的时间为t 秒(0wtw6).(1)求BC 边上高AE 的长度；(2)连接AN 、CM,当t 为何值时，四边形 AMCN 为菱形；t= 15/4(3)作MP ，BC 于P, NQLAD 于Q,当t 为何值时，四边形 MPNQ为正方形.t= 4.5小测试 总分10分 得分 ___________将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处,【例3】如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A (10, 0), C (0, 4), D为OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动.(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？t=5s(2)在线段PB上是否存在一点Q,使得ODQP为菱形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由;(3)当^ OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标(不必写过程).⑵ t= 3s y j,(3) P i (3, 4), P2 (2.5, 4), P3 (2, 4), P4 (8, 4) PC --- *-------------- B.----------------------- ■D Ax【考点2】矩形的存在性问题【例4】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC上运动.O, AC = 20cm, BD=12cm,两动点E、F(1)求证：当E、F运动过程中不与点。
平行四边形中的动点问题专题复习【精品】
平行四边形中的动点问题专题复习【精品】于HDHC是等腰三角形CH=DH=2QC- DH=CQ-CH=13t-2=1.t=1XXX为1s时，△DQC是等腰三角形．该问题的解答过程中，首先根据题目条件列出方程，然后通过解方程得到具体的数值解，最后根据几何知识进行推导和证明。
在变式题中，需要根据题目要求对原问题进行适当的变形和推广，然后按照相同的解题思路进行求解。
没有明显的格式错误和有问题的段落。
专项一：平行四边形中的动点问题1.在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则2s后四边形ABQP为平行四边形。
2.在等边△ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动。
如果点E，F同时出发，设运动时间为t（s），当t＝2或6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形。
3.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，a)，B(b，a)，且a，b满足(a－3)2＋|b－6|＝0.现将线段AB向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D。
连接AC，BD。
1) 求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；2) 在y轴上是否存在一点M，使三角形MCD的面积与四边形ABDC的面积相等？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；3) 点P是直线BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在直线BD上移动时(不与B，D重合)，直接写出∠BAP，∠DOP，∠APO之间满足的数量关系。
解：(1) 因为(a－3)2＋|b－6|＝0。
所以a－3＝0，b－6＝0，解得a＝3，b＝6.所以A(0，3)，B(6，3)。
因为将点A，B分别向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所以C(－2，0)，D(4，0)。
最新特殊平行四边形动点及存在性问题压轴题
特殊平行四边形中的动点及存在性问题【例1】正方形MCD 的边长为& M 在DC 且DM=2, N 是AC 上的一动点，DN+MN 的最小值 为 _________ O【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在X 轴、y 轴 的正半轴上，043, OB 二4, D 为边的中点.<1）若E 为边04上的一个动点，当△（：1）£的周长最小时，求点E 的坐标：（2）若£\ F 为边04」：的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF 的周长最小时，求点£、F 的坐标. f 例2】如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10, 0）, （0, 4）,点D 是OA 的屮点■点P 在BC I ；运动，当三角形ZiODP 是腰长为5的等腰三角形时，P 的坐标为 _________ : h = 4^riA+42r^ + \6, 一动点P 从点A 出发，在线段AB 1.以每秒2个单位长度的速度向点3运动: 动点。
从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 分别从点4、O 同时 出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随Z 停止运动.设运动时间为/（秒）（1） 求B 、C 两点的坐标：（2） 当『为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？并求岀此吋P 、e 两点的坐标；（3） 当『为何值时，△P0C 是以PO 为腰的等腰三角形？并求出P 、0两点的坐标•A (0,b 满足【例3】（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点ON、OF分别在X轴和y轴上，0为坐标原点，点E的坐标为（4, 3）,则点M的坐标为_________________ ；（2）在直角坐标系屮，有A （-1, 2）, B（3, 1）. C <1, 4）三点，另有一点Q与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标.【练习3】如图，四边形ABCD为矩形，C点在犬轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0, 0）, B点坐标是（3, 4）,矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD. AB 1；,且尸点的坐标是（2, 4）.（1）求G点坐标：（2）求直线EF解析式；（3）点N在*轴上，直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.【例4】在RgB C屮，Z8=90。
初二平行四边形动点练习题
初二平行四边形动点练习题平行四边形是初中数学中的重要概念之一，对于初二学生来说，掌握平行四边形的性质和相关定理是非常重要的。
本文将介绍一些初二平行四边形的动点练习题，帮助同学们巩固对平行四边形的理解和运用。
题一：在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE交AC于点F，若AB＝6cm，BC＝8cm，则证明DE＝2cm。
解答：首先，根据平行四边形的性质，我们知道对角线互相平分。
可以观察到平行四边形的一条对角线AD被点E平分，即AE＝ED。
我们需要证明DE＝2cm。
由于平行四边形ABCD的对角线互相平分，所以线段BF也被点E 平分，即BE＝EF。
根据题意可知，AB＝6cm，BC＝8cm，因此AC＝AB＋BC＝6cm＋8cm＝14cm。
根据线段等分定理可得：EF：FC＝EA：AC代入已知长度得：EF：FC＝AE：AC3：FC＝3：14根据比例关系可以得出FC＝14/3 cm。
又因为BE＝EF，所以线段BE的长度也为14/3 cm。
根据平行四边形的性质，DE＝BA＝BE－AE。
代入已知长度得：DE＝14/3 cm－6cmDE＝2cm故证明了DE＝2cm。
题二：在平行四边形ABCD中，E为AD上任意一点，F为BC上任意一点。
连接CF交BE于点G，若BE＝2x，EG＝x+3，CF＝x+4，证明AD＝3x+7。
解答：在平行四边形ABCD中，我们要证明AD＝3x+7。
首先，我们需要找到平行四边形内部的有关线段长度。
通过观察，我们可以看出线段BE和线段EG之间存在特定关系。
根据题意，我们知道BE＝2x，EG＝x+3，代入得：BG＝BE－EG＝2x－(x+3)＝x－3。
同理，我们可以确定线段CF和线段FG之间的关系。
根据题意，我们知道CF＝x+4，代入得：CG＝CF－FG＝x+4－(x－3)＝7。
现在我们需要确定线段AD的长度。
由于平行四边形ABCD的对角线互相平分，所以线段BE也被点G 平分，即BG＝1/2BE＝x－3/2。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。
八下数学平行四边形中的动点问题
动点问题练习题1．（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．2．如图，在四边形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．CP Q BA M N C1． 如图，在平面直角坐标系中，在四边形OABC 中，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的 坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？(2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？ 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． 2．（河北卷）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．3．（山东济宁）如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。
平行四边形动点典型例题
平行四边形动点典型例题平行四边形是一种特殊的四边形，其中对边是平行的。
在平行四边形中，有一些特殊的点和线段，它们有着独特的性质和关系。
动点问题是一类常见的几何问题，其中一个或多个点在空间中移动，我们需要研究它们的位置、关系和性质的变化。
下面，我们来看一个典型的平行四边形动点问题：问题描述：在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一动点，连接AE交边CD于点F。
求证：当点E在边BC上变动时，线段EF的中点一直在直线AC上。
解决方法：我们首先观察到，当点E在边BC上移动时，线段EF的中点一定在线段AF上，因为根据平行四边形的性质，线段AE与线段FC平行且等长。
接下来，我们需要证明线段AF与直线AC重合。
我们可以利用平行四边形的性质和平行线的性质来证明这一点。
首先，根据平行四边形的定义，我们知道线段AD与线段BC是平行的。
又因为线段AE与线段FC平行，所以线段AF与线段DC平行。
因此，线段AF与线段AC是平行的。
接下来，我们需要证明线段AF与线段AC也是等长的。
我们可以使用割线定理来证明这一点。
根据割线定理，当一条割线与两条平行线相交时，它将两条平行线上的交点分成相等的两部分。
在这个问题中，我们可以看到线段AE与线段FC平行，线段AF与线段DC平行，所以根据割线定理，线段AF与线段AC相等。
由于线段AF与线段AC既平行又等长，所以它们重合，即线段EF的中点一直在直线AC上。
通过这个例题，我们可以看到，动点问题可以通过观察和利用几何性质来解决。
平行四边形是几何学中一个重要的概念，在解决动点问题时经常会涉及到。
理解和掌握平行四边形的性质和特点，对于解决动点问题是非常有帮助的。
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在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ= １２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ，AB=12ｃｍ.若点 P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。同 时点Q从点C以1.5ｃｍ／s的速度沿C-B-A-D方向运动。 在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点的 四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在请 说明理由。
人教版数学八年下十ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ= １２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ，AB=12ｃｍ.若点 P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。同 时点Q从点C以1.5ｃｍ／s的速度沿C-B-A-D方向运动。 在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点的 四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在请 说明理由。
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在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ=１２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ， AB=12ｃｍ.若点P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。同时点Q从点C以1.5ｃｍ／ s的速度沿C-B-A-D方向运动。在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是 平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在请说明理由。
在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ= １２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ，AB=12ｃｍ.若点 P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。同 时点Q从点C以1.5ｃｍ／s的速度沿C-B-A-D方向运动。 在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点的 四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在请 说明理由。