清华大学组合数学1
《组合数学第一讲》课件
概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下，某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性，例 如降雨的概率。
在排列中，各个元素的位置是独立的，互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c，则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记 为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
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组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中，计数原理是一种基本原理，用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题，以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种，它涉及到将问题分解为几个独立的部 分，然后分别计算每个部分的可能性，最后将各部分的计数相加。
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《组合数学第一 讲》ppt课件
目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
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da清华大学（英文名：Tsinghua University），地处北京西北郊繁盛的园林区，是在几处清代皇家园林的遗址上发展而成的。
清华大学的前身是清华学堂，始建于1911年，曾是由美国退还的部分庚子赔款建立的留美预备学校。
1912年，清华学堂更名为清华学校。
1925年设立大学部，开始招收四年制大学生。
1928年更名为国立清华大学，并于1929年秋开办研究院。
清华大学的初期发展，虽然渗透着西方文化的影响，但学校十分重视研究中华民族的优秀文化瑰宝。
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组合数学-CA001
Welcome all of you Doing the Mathematics!
这是美国最新发布的报告《教育机会：改革公民数学和科学教育 与全球经济》所强调的。据新出版的美国《科学》杂志报道，近 日，纽约卡耐基基金会在美国首都华盛顿特区召开新闻发布会， 发布卡内基―普林斯顿高等研究中心高级研究委员会的这份关于 数学和科学教育的新报告。委员会主席、普林斯顿高等研究中心 前主任、数学教授菲利普・格里菲斯作了主题演讲。
科学出版社） （科学出版社）
பைடு நூலகம்
组合数学，邵嘉裕
同济大学出版社） 编著 （同济大学出版社）
课程评分方法 (Grading Policies)
听课出勤率 总计２ 课时 课时， 次完成！ 总计２4课时，分8次完成！ 次完成 缺课达到三分之一， 缺课达到三分之一，即３次未到 考试 次为考试时间， 第8次为考试时间，试题源自课堂例题或 次为考试时间 作业 缺考
日出版的华尔街杂志上， 在2009年1月6日出版的华尔街杂志上，发表 年 月 日出版的华尔街杂志上 了一篇题为“学数学以找到好的工作” 了一篇题为“学数学以找到好的工作”的文章 （Doing the Math to Find the Good Jobs）。 ）。 该文称数学家列在美国最好职业榜第一位， 该文称数学家列在美国最好职业榜第一位，保 险精算师和统计学家分列第二和第三位。 险精算师和统计学家分列第二和第三位。这个 排行榜是由制作的。主要参 排行榜是由 制作的。 制作的 考了工作环境，收入，就业前景，体力要求， 考了工作环境，收入，就业前景，体力要求， 和强度。 和强度。此项研究称一个数学家的平均工资是 94,160美元，而伐木工人列在 美元， 美元 而伐木工人列在200项工作的最 项工作的最 后。 以下是这个最好最坏）排行榜前二十位和 以下是这个最好最坏） 后二十位的工作。 后二十位的工作。
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要容】主要介绍组合数学的基本容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构课程编号：60240023 课学时：48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课学时：48 开课学期：春任课教师：周之英【主要容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。
课程名称：专家系统课程编号：60240043 课学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等容。
课程名称：人工智能课程编号：60240052 课学时：32 开课学期：秋任课教师：群秀【主要容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。
课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课学时：48 开课学期：春任课教师：芬【主要容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。
组合数学 课后答案 PDF 版
循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意a, b G, G是循环群，有a * b b * a成立，因为循环群中的元素可写成a=xm 形式 所以等式左边xm × x n x m n , 等式右边x n xm＝x m n， a b b a，即所有 的循环群都是ABEL群。
因为 H 是 G 的子群， 所以在 H 中的一个 (b m ) r 一定在 G 中对应一个 a m 使得
(b m ) r a m ，
所以有 b rm a m ，则 rm 一定是 m 的倍数，所以则 H 的阶必除尽 G 的阶。 4．9 G 是有限群，x 是 G 的元素，则 x 的阶必除尽 G 的阶。
N-1 N-2
N
1
2 3
……
……
图N! C N!
如图： N 个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。一共 N!个。
……
…
6
…………………………
… …
……
… …
…
…
旋转 360/i，i={n,n-1,n-2,……1}； 得到 n 种置换 当且仅当 i=1 的置换（即顺时针旋转 360/1 度：P1=(c1)(c2)……(cn!);） 时有 1 阶循环存在 （因为只要圆桌转动，所有圆排列中元素的绝对位置都发生了 变化，所以不可能有 1 阶循环存在） 。 不同的等价类个数就是不同的圆排列个数，根据 Burnside 引理，
4.18 若以给两个 r 色球，量个 b 色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多 少种不同的方案。 解：单位元素（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） ，格式为（1）8. 绕中轴旋转 90。的置换非别为（1234） （5678） ， （4321） （8765） 2 格式为（4） ，同格式的共轭类有 6 个。
清华大学计算机专业核心课程
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40240144编译原理4(春)数据结构
40240243计算机网络3(秋)操作系统
40240432形式语言与自动机2(秋)离散数学（1）
20240103汇编语言程序设计3(秋)
计算机科学与技术专业限选课不少于11学分,其中：
计算机系统结构-----计算机科学与技术专业选修不少于2学分
计算机网络专题训练1(秋)
操作系统专题训练2(秋)
编译原理专题训练2(秋)
数据库专题训练2(秋)
计算机科学与技术专业的任选课程
课号课程名学分先修要求
30240253微计算机技术3汇编语言程序设计
80240193计算机网络前沿研究徐恪3
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初等数论及其应用 2离散数学
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30240134软件工程3C++ 数据结构
30240042人工智能导论2离散数学
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40240062数字图象处理2概率与统计 程序设计基础
30240134软件工程3C++ 数据结构
清华大学组合数学
=
−x2
−
1 2
x4
−
1 3
x6
−
L
∴ ln G ( x ) = ( x + 1 x 2 + 1 x 3 + L )
2
3
+ (x2 + 1 x4 + 1 x6 +L)
2
3
+ (x3 + 1 x6 + 1 x9 +L)+L
2
3
=
x 1− x
+
1 2
x2 1− x2
+
1 x3 3 1− x3
+L
(2 − 6 − 2)
7
§2.6.2 拆分数估计式
20
定理：设 证：令
pn为整数n的拆分数，则 pn G(x) = p0 + p1x + p2 x2 + L
<
e
n 3
一个整数n拆分成若干整数的和，在拆分中
每个整数允许重复出现。故
G1(x) =(1+x+x2 +L)(1+x2 +x4 +L)L
L(1+xm +x2m +L)
因整数n拆分成k个数的和的拆分可用 一k行的图像表示。所得的Ferrers图像的 共轭图像最上面一行有k个格子。例如：
最大数为5
5个数
24=6+6+5+4+3 5个数，最大数为6 24=5+5+5+4+3+2 6个数，最大数1为7 5
§2.6.3 Ferrers图像 (b)整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013课内学时：48 开课学期: 秋任课教师：黄连生【主要内容】主要介绍组合数学的基本内容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside 引理与Polya 定理、区组设计与编码的初步概念、 线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构课程编号：60240023课内学时：48 开课学期:春秋 任课教师：严蔚敏【主要内容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实 现的算法；查找表的各种表示方法；各种内排序算法的设计与分析；文件组织方 法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计任课教师：周之英课程编号：60240033课内学时：48 春开课学期:【主要内容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6面向对象设计方法；7、Design Pattern ；8、 分布式系统对象模型：CORBA 及DCOM/COM （OLE ； 9、实例分析（实时系统的设计）等 课程名称：专家系统任课教师：艾海舟 【主要内容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍 人工智能原理和知识工程的相关内容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、 知识获取 、推理机、不确定推理方法等内容。
课程名称：人工智能课程编号：60240043春 课内学时：48 开课学期:任课教师：陈群秀【主要内容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统; 搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人 工智能语言程序设计。
课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063课内学时：48 春 任课教师：李芬【主要内容】本课程是全部用PC 机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。
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二项式定理12(1)1(1)k k
x x x x −+=−+++−+L L
§2.2 递推关系
§2.2 递推关系
§2.2 递推关系
•假定n-1个盘子的转移算法已经确定。
§2.2 递推关系令h(n)表示n个圆盘所需要的转移盘次。
§2.2 递推关系
或利用递推关系(2-2-1)有
如何从母函数得到序列？
L ),2(),1(h h
§2.2 递推关系
例2. 求n位十进制数中出现偶数个5的正整数的个数。
+++=2)( x a x a a x A 9 :+=b a a x
§2.2 递推关系
故得关于母函数A(x)和B(x)得连立方程组：
§2.2 递推关系
解法二：n-1位的十进制数的全体共9×10n-1个(最高位不为0)，
§2.2 递推关系
§2.2 递推关系
§2.2 递推关系因，故令
100!!k k k k ==
§2.3 母函数的性质
一个序列和它的母函数一一对应。
给了
§2.3 母函数的性质
{b
{a}
}
不特别说明,下面假设
k<
l
性质2：
a b =若
性质3：k x
(
A)
1
x
−1
∑∞
收敛
若 ∑∞
a 性质4
b a
c+
a
b
b
b
a
a
=L
+
+
+
§2.3母函数的性质
1
§2.4 Fibonacci数列
L
++=2
)(x F x F x G 设
=+B A 0=+B A
§2.4.4在选优法上的应用
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有一单峰极值点，
§2.4.4在选优法上的应用
设函数在点取得极大值。
要求)(x f ξ=x
§2.4.4在选优法上的应用
§2.4.4在选优法上的应用
§2.4.4在选优法上的应用
x
可见做两次试验，至少可把区间缩至原
§2.4.4在选优法上的应用
§2.4.4在选优法上的应用
§2.4.4在选优法上的应用
§2.4.4在选优法上的应用
定理：测试n次可将包含单峰极值点的区间
§2.4.4在选优法上的应用
§2.4.4在选优法上的应用
§2.4.4在选优法上的应用
定理：设在给定区间内有单峰极值点。
如果包含极值点在内。