高中数学组卷 (3)
高中数学第3全册测试
高中数学第3全册测试说明：时间120分钟,总分值150分；可以使用计算器．一、选择题〔每题只有一个正确选项；每题5分,共60分〕 1.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是〔A 〕a n =n 2-(n-1) 〔B 〕a n =n 2-1 〔C 〕a n =2)1(+n n 〔D 〕a n =2)1(-n n 2.数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的〔A 〕第12项 〔B 〕第13项 〔C 〕第14项 〔D 〕第15项3.在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,n 2=a 1a 2…a n 恒成立,那么a 3+a 5等于 〔A 〕7613111(B)(C)(D)3161544.一个三角形的两内角分别为45°和60°,如果45°角所对的边长是6,那么60°角所对的边长为(A )36 (B )32 (C )33 (D ) 26 5.在△ABC 中,假设∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,那么a ∶b ∶c 等于(A )1∶2∶3(B )3∶2∶1 (C )2∶3∶1(D )1∶3∶26.在△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,满足条件的△ABC(A )无解 (B )有解 (C )有两解 (D )不能确定7、等差数列{n a }的前n 项和记为n S ,假设1062a a a ++为一个确定的常数,那么以下各数中可以用这个常数表示的是(A ) 6S (B ) 11S (C )12S (D ) 13S8.在等差数列{a n }中,假设a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120,那么2 a 10－a 12的值为 (A)20(B)22(C)24(D)289. 当a <0时,不等式42x 2+ax -a 2<0的解集为 (A){x |-6a <x <7a } (B ){x |7a <x <-6a } (C){x |6a <x <-7a} (D ){x |-7a <x <6a} 10.在∆ABC 中,A B C ,,为三个内角,假设cot cot 1A B ⋅>,那么∆ABC 是 ( ) (A )直角三角形 (B )钝角三角形(C )锐角三角形 (D )是钝角三角形或锐角三角形11.等差数列{a n }满足56a a +=28,那么其前10项之和为 〔 〕 〔A 〕140 〔B 〕280 〔C 〕168 〔D 〕5612.不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是( )(A ) 矩形( B ) 三角形(C ) 直角梯形(D ) 等腰梯形二、填空题〔把答案写在题中的横线上；每题4分,共16分〕13. 数列{a n }中,a n =(-1)n ·n +a (a 为常数)且a 1+a 4=3a 2,那么a =_________,a 100=_________.14.在△ABC 中,假设 0503,30,b c a ===则边长___________.15.假设不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-3121<<x },那么a +b =_________. 16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成假设干个图案：那么第n 个图案中有白色地面砖 块.三、解做题：本大题共6小题,共74分．解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤． 17．〔本小题总分值12分〕 非等边三角形ABC 的外接圆半径为2,最长的边23BC =,求sin sin B C +的取值范围.18. 〔本小题总分值12分〕在湖的两岸A 、B 间建一座欣赏桥,由于条件限制,无法直接度量A 、B 两点间的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案. 〔1〕画出测量图案；〔2〕写出测量步骤〔测量数据用字母表示〕；〔3〕计算AB 的距离〔写出求解或推理过程,结果用字母表示〕.19．〔本小题总分值12分〕设{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,,,,134234211a b b b a a b a ==+==分别求出{}n a 及{}n b 的前10项的和1010T S 及. 20．〔本小题总分值12分〕10<<m ,解关于x 的不等式13>-x mx. 21、〔本小题总分值12分〕东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定本钱为80元.从今年起,工厂投入100万元科技本钱,并方案以后每年比上一年多投入100万元科技本钱.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定本钱)(n g 与科技本钱的投入次数n 的关系是)(n g =180+n .假设水晶产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为)(n f 万元.①求出)(n f 的表达式；②问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？22．〔本小题总分值14分〕等比数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ,设数列{}n b 满足对任意自然数n 都有11a b +22a b +33a b +┅+nn a b =n 2+1恒成立. ①求数列{}n b 的通项公式；②求+++321b b b ┅+2005b 的值. 参考答案：一、选择题CCBAD ABCBB AD二、填空题42n +. 三、解做题 17. 解：由正弦定理2BC R SinA= ,得23sin =A . ∵BC 是最长边,且三角形为非等边三角形, ∴π32=A . )3sin(sin sin sin B B c B -+=+π1sin 2B B =+sin()3B π=+. 又30π<<B ,∴2333B πππ<+< ,sin()13B π<+≤.故 c B sin sin +的取值范围为1]18.略.19.解：设等差数列{}n a 的公差为,d 等比数列{}n b 的公比为q . d q q b d a d a 42,,31,122342+=∴=+=+= ①又,,21,,2333342b a d a q b q b =+=== d q 214+=∴ ② 那么由①,②得242q q =-.22,21,02±==∴≠q q q 将212=q 代入①,得855,8310-=∴-=S d当22=q 时,)22(323110+=T , 当22-=q 时,)22(323110-=T , 20. 解：原不等式可化为：[x 〔m -1〕+3](x -3)>00<m <1, ∴-1<m -1<0, ∴ 31313>-=--m m ; ∴ 不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x x 133|.21.解：第n 次投入后,产量为10+n 万件,价格为100元,固定本钱为180+n 元,科技本钱投入为100n ,所以,年利润为n n n n f 100)180100)(10()(-+-+=〔+∈N n 〕 =)191(801000+++-n n520≤ (万元) 当且仅当191+=+n n 时,即 8=n 时,利润最高,最高利润为520万元.22. 解：〔1〕 对任意正整数n ,有11a b +22a b +33a b +┅+nn a b=n 2+1 ① ∴当n =1时,311=a b ,又11=a ,∴31=b ； 当2≥n 时,11a b +22a b +33a b +┅+11--n n a b =n 2-1 ② ∴②-①得 2=nn a b ； 1322-⨯==n n n a b ；∴n-13 , (1),23 , (2)n n b n =⎧=⎨⨯≥⎩〔2〕+++321b b b ┅+2005b=)323232(320042⨯++⨯+⨯+=)13(332004-+=20053。
2016高考全国3数学试卷及解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试（III）一．选择题（共12小题）1．设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．68．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8110．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三．解答题（共7小题）17．已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2018年04月22日fago的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得c osθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：A．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三．解答题（共7小题）17．已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+co sθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。
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高考高三7月内部特供卷 文科数学(三)学生版
********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星2019-2020学年7月份内部特供卷文科数学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 1．已知集合{}=13M x x ≤≤，{}2N x x =>，则集合()M N =R （ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}1x x ≥C ．{}12x x ≤<D ．{}23x x <≤2．i 为虚数单位，则复数43i2i+=+（ ） A ．112i 55- B ．112i 55+ C ．112i 55-+D ．112i 55--3．设x ∈R ，则“()()120x x +->”是“1x ≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（ ） A ．()()()320log 2log 3f f f <<- B ．()()()32log 20log 3f f f <<- C ．()()()23log 3log 20f f f -<<D ．()()()32log 2log 30f f f <-<5．将函数()cos π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位长度，则所得函数的最小正周期为（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π6．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P -，渐近线方程为2y x =±的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x y B ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=7．已知是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将折成直二面角，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π8．已知函数()22,0,0ax x x f x ax x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，恒有()()f x a f x +<成立， 则实数a 的取值范围是（ ）A ．1515,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．151,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．151,22⎛⎤-- ⎥ ⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是_________．10．曲线()32932f x x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为________． 11．若实数x ，y 满足条件32122800x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+≤+≤≥≥⎪⎪⎩，则34z x y =+的最大值为_____．12．圆22:66100C x y x y +--+=上的点到直线0x y +=的最短距离为_____．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********13．若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是______． 14．在△ABC 中，4AB =，6BC =，π2ABC ∠=，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE BD ⊥，则AE BC =⋅________．三、解答题：本大题共6个大题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市学校征召100名教师做义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组，现把该组的成员按年龄分成5组，如下表所示：（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区宣传活动，应从第3，4，5组各选出多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，宣传组决定在这6名志愿者中随机选2名志愿者介绍宣传经验． （ⅰ）列出所有可能结果；（ⅱ）求第4组至少有1名志愿者被选中的概率．16．（13分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a c -=，sin B C =．（1）求cos A 的值；（2）求πsin 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星17．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中：PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3PB AB AD ===，BC =1，M 为棱PD 上的点．（1）若13PM PD =，求证：CM ∥平面PAB ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PAB ； （3）求直线BD 与平面PAD 所成角的大小．18．（13分）已知公比为正数的等比数列{}n a ，首项13a =，前n 项和为()n S n ∈*N ，且33S a +，55S a +，44S a +成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设6n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和()n T n ∈*N ．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********19．（14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ △为等边三角形，求直线1l 的方程．20．（14分）已知函数2()ln (21)f x a x x a x =-+-，其中a ∈R ． （1）当a =1时，求函数()f x 的单调区间； （2）求函数()f x 的极值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星灿若寒星2019-2020学年7月份内部特供卷文科数学（三）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 1．【答案】A【解析】∵{}2N x x =>，{}2N x x ∴=≤R ，则集合(){}12M N x x =≤≤R，故选A ． 2．【答案】B【解析】∵()()()()43i 2i 43i 112i 112 i 2i 2i 2i 555+-++===+++-，∴复数43i 112i 2i 55+=++， 故选B ． 3．【答案】A【解析】由()()120x x +->，得x >2或1x <-， 又1x ≥，得x ≥1或1x ≤-，∴“()()120x x +->”是“1x ≥”的充分而不必要条件．故选A ． 4．【答案】C【解析】∵f （x ）为偶函数，∴()()22log 3log 3f f -=， ∵30log 21<<，2log 31>，f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴()()()23log 3log 20f f f <<，即()()()23log 3log 20f f f -<<，故选C ． 5．【答案】D 【解析】由题πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2→图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变1πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6→再向左平移个单位1ππ315πcos cos 26212y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其周期2π4π12T ==，故选D ． 6．【答案】B【解析】∵双曲线的渐近线方程为2y x =±，∴设所求双曲线的标准方程为222x y k -=．又()22,2-在双曲线上，则16214k =-=，即双曲线的方程为22214x y -=，∴双曲线的标准方程为221714x y -=，故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意，知过四点的球的直径为以为邻边的长方体的对角线的长，而3DA =1DB DC ==，则()2153112R =++=， 所以球的表面积为254π5π2S ⎛== ⎝⎭，故正确答案为C ．8．【答案】C【解析】易证函数()f x 为奇函数，∵11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，恒有()()f x a f x +<成立，∴x =0时，f (a )<f (0)=0， 当a =0时，f (a )=0舍去；当a >0时，()30f a a a =+<不成立，舍去； 当a <0时，30a a -+<，解得10a -<<，（i ）1 ,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 0x a +<，∴()22a x a a x ax x -+++<-+， 即2320a x a a --+<恒成立，令()232h x a x a a =--+，则()h x 单调递减，∴()23max 102h x h a a a ⎛⎫=-=-+< ⎪⎝⎭，150a -<<； （ii 150a -<<时，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x a f x +<恒成立， 10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1512x a ⎫-+∈⎪⎪⎝⎭，()2f x ax x =+对称轴1122x a =->，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********若15 ,02x a ⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()()0f x a f x +<<，成立；若10,2x a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2f x ax x =+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则()()f x a f x +<恒成立，综上1502a -<<，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．【答案】5【解析】模拟程序的运行k =1，S =20；S >0，执行循环体，203117S =-⨯=，k =2； S >0，执行循环体，173211S =-⨯=，k =3； S >0，执行循环体，11332S =-⨯=，k =4； S >0，执行循环体，23410S =-⨯=-，k =5； 此时，不满足S >0，输出k =5，故答案为5． 10．【答案】9【解析】由题意可得()2393f x x x '=+-，∴()13939f '=+-=，∴曲线()32932f x x x x =+-在点()()1,1f 处的切线斜率为9，故答案为9． 11．【答案】18【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,3p 处取得最大值， 最大值为max 34324318z x y =+=⨯+⨯=．故答案为18．12．【答案】2【解析】由题意可得圆C 的标准方程为()()22338x y -+-=， 圆心为()3,3C ，半径22r =， ∴圆心C 到直线0x y +=的距离为22333211d +==+．因此圆()()22338x y -+-=上的点到直线0x y +=的最短距离为32222d r -=-=．故答案为2． 13．【答案】22【解析】∵lg lg lg 0a b ab +==，∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0， 则212222a b ab+≥=， 当且仅当21a b=且ab ＝1时，即2a =，2b =取得最小值22． 故答案为22． 14．【答案】16【解析】建立平面直角坐标系，如图所示；则A （0，4），B （0，0），C （6，0），D （3，2）， 设E （x ，0），则(),4AE x =-，()3,2BD =，由AE ⊥BD ，得380AE BD x =-=⋅，解得83x =，∴8,43AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星灿若寒星又()6,0BC =，∴8640163AE BC =-⨯=⋅⨯．故答案为16．三、解答题：本大题共6个大题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【答案】（1）2，3，1；（2）（i ）见解析，（ii ）45． 【解析】（1）从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，由频率分布表得：应从第3组抽取206260⨯=名志愿者， 应从第4组抽取306360⨯=名志愿者，应从第5组抽取106160⨯=名志愿者．（2）（ⅰ）记第3组的2名志愿者为A 1，A 2，第4组的3名志愿者为B 1，B 2，B 3，第5组的1名志愿者为C 1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C 1），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C 1），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，C 1），（B 2，B 3）（B 2，C 1），（B 3，C 1），共有15种．（ⅱ）第4组没有志愿者被选中包括（A 1，A 2），（A 1，C 1），（A 2，C 1），共三种，故第4组至少有1名志愿者被选中的概率341155-=．16．【答案】（1）6；（2）351-．【解析】（1）∵6a cb -=，sin 6sin B C =． ∴由正弦定理得66sin sin sin 6sin 66A CBC -==⨯， 即有sin A ＝2sin C ，a ＝2c ，6b c =，由余弦定理知22222226cos 242626b c a A bc c +-====． （2）∵由（1）知，6cos 4A =，A 为三角形内角，∴210sin 1cos 4A A =-=， ∴15sin 2A =，221cos 2cos sin 4A A A =-=-，∴π351sin 2sin 2cos cos 2 sin 666ππA A A -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．17．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30︒．【解析】（1）证明：过点M 作MH ∥AD ，交PA 于H ，连接BH ，因为13PM PD =，所以13HM AD BC ==． 又MH ∥AD ，AD ∥BC ，所以HM ∥BC ， 所以BCMH 为平行四边形，所以CM ∥BH ．又BH ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以CM ∥平面PAB ．（2）∵PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PB AD ⊥， 又AD AB ⊥，且PBAB B =，∴AD PAB ⊥平面，又AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB ． （3）取PA 的中点为N ，连接BN ， ∵PB AB =，∴BN ⊥PA ，连接DN ，又平面PAD ⊥平面PAB ，故BN ⊥平面PAD ， 则∠BDN 为直线BD 与平面PAD 所成角，此时，322BN =，32BD = ∴1sin 2BN BDN BD ∠==，即30BDN ∠=︒， ∴求直线BD 与平面PAD 所成角的大小30°.18．【答案】（1）162n n a ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=；（2）()1222nn T n ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭=．【解析】（1）依题意公比为正数的等比数列{}*n a n ∈N （），首项13a =， 设13n n a q -=，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********∵33S a +，55S a +，44S a +成等差数列，∴()5533442S a S a S a +=+++， 即()()()1234512312342222a a a a a a a a a a a a ++++=++++++， 化简得534a a =，从而241q =，解得12q =±， ∵{}*n a n ∈N （）公比为正数，∴12q =，16,2nn a n ⎛⎫⨯∈ ⎪⎝⎭=*N ． （2）162nn n na b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，则()()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()23411111111231222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减可得23411111111111112212222222212n n n n n T n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，化简可得()1222nn T n ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭=．19．【答案】（1）22182x y +=；（2）y =0或23y x =．【解析】（1）由题222224112a b c ea abc ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =b =c =∴椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）由题，当1l 的斜率k =0时，此时PQ =2:0l x y -+=与y 轴的交点(0,满足题意；当1l 的斜率0k ≠时，设直线1:l y kx =与椭圆联立22182y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22814kx +=，22814x k =+， 设()00,P x y ，则()00,Q x y --，228 14x k ∴=+，2202814k y k =+，PO ∴==又PQ 的垂直平分线方程为1yx k =-，由10y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M ⎛∴ ⎝⎭， MO ∴=， ∵MPQ △为等边三角形，MO ∴==解得k =0(舍去)，23k =， ∴直线1l 的方程为23y x =． 综上可知，直线1l 的方程为y =0或23y x =．20．【答案】（1）单调减区间为()1,+∞，增区间为（0，1）；（2）见解析；（3）a >1．【解析】（1）当a =1时，()2 ln f x x x x =-+，()()()211121x x f x x x x+-'=-+=-， 当()0f x '<时，x >1；()0f x '>时，0<x <1，∴函数()f x 的单调减区间为()1,+∞，增区间为（0，1）． （2）()f x 的定义域是()0,+∞，()()()()21221x x a af x x a x x+-'=-+-=-， 若0a ≤，则()0f x '<，此时()f x 在()0,+∞递减，无极值； 若0a >，则由()0f x '=，解得x a =，当0x a <<时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<， 此时()f x 在（0，a ）递增，在（a ，+∞）递减，∴当x a =时，函数的极大值为()()ln 1f a a a a =+-，无极小值．（3）由（2）可知，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞递减，则f (x )至多有一个零点，********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星灿若寒星不符合题意，舍去；当0a >时，函数的极大值为()()ln 1f a a a a =+-， 令()()ln 10g x x x x =+->， ∵()110g x x+'=>，∴g (x )在()0,+∞单调递增， 又g (1)=0，∴0<x <1时，g (x )<0；x >1时，g (x )>0，（i ）当01a <≤，()()0f a ag a =≤，则函数f (x )至多有一个零点，不符合题意，舍去； （ii ）当1a >时，()()0f a ag a =>，∵2121110f a e e e e ⎛⎫⎛⎫=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数f (x )在1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭内有一个零点，∵()()()()()()()231ln 31312131ln 3131f a a a a a a a a a ⎡⎤-=---+--=---⎣⎦， 设()()ln 2h x x x x =->， ∵()110h x x-'=<，∴()h x 在()2,+∞内单调递减， 则()()312ln 220h a h -<=-<，∴函数f (x )在(),31a a -内有一个零点，则当a >1时，函数f (x )恰有两个零点， 综上，函数f (x )有两个不同的零点时，a >1．。
2017高考全国3数学试卷及解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（III）一．选择题（共12小题）1．已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=16．设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB． C．D．9．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣ B．C．D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为．14．设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=．15．设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是．16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是．（填写所有正确结论的编号）三．解答题（共7小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．20．已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．21．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（c osθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．2018年04月22日fago的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】解不等式组求出元素的个数即可．【解答】解：由，解得：或，∴A∩B的元素的个数是2个，故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．则|z|=．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A．【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．4．（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：T r+1r x5﹣r y r．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：T r=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣+11）r x5﹣r y r．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数=22×（﹣1）3+23×=40．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，可得，即，可得=，解得a=2，b=，所求的双曲线方程为：﹣=1．故选：B．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．6．设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D．【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．7．执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，此时N的最小值为2，故选：D．【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB． C．D．【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==，由此能求出该圆柱的体积．【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r==，∴该圆柱的体积：V=Sh==．故选：B．【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．9．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{a n}前6项的和为==﹣24．故选：A．【点评】本题考查等差数列前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．10．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e===．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣ B．C．D．1【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+）=0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（e x﹣1+）有唯一解，等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+）的图象只有一个交点．①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；综上所述，a=，故选：C．【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为﹣1．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=﹣8．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是（，+∞）．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣，则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞，此时＜x≤0，当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+，此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，综上x＞，故答案为：（，+∞）．【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是②③．（填写所有正确结论的编号）【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1，|AB|=，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|=1，|AB|=，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量=（0，1，0），||=1，直线b的方向单位向量=（1，0，0），||=1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），∴AB′在运动过程中的向量，=（cosθ，sinθ，﹣1），||=，设与所成夹角为α∈[0，]，则cosα==|sinθ|∈[0，]，∴α∈[，]，∴③正确，④错误．设与所成夹角为β∈[0，]，cosβ===|cosθ|，当与夹角为60°时，即α=，|sinθ|===，∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ=|cosθ|=，∵β∈[0，]，∴β=，此时与的夹角为60°，∴②正确，①错误．故答案为：②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三．解答题（共7小题）17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA +cosA=0，a=2，b=2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A ，再根据余弦定理即可求出， （2）先根据夹角求出cosC ，求出CD 的长，得到S △ABD =S △ABC ． 【解答】解：（1）∵sinA +cosA=0，∴tanA=，∵0＜A ＜π， ∴A=，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 即28=4+c 2﹣2×2c ×（﹣）， 即c 2+2c ﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4， 故c=4．（2）∵c 2=b 2+a 2﹣2abcosC ， ∴16=28+4﹣2×2×2×cosC ，∴cosC=，∴CD===∴CD=BC∵S △ABC =AB•AC•sin ∠BAC=×4×2×=2，∴S △ABD =S △ABC =【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【分析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200≤n ≤500，根据300≤n ≤500和200≤n ≤300分类讨论经，能得到当n=300时，EY 最大值为520元．【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X=200）==0.2，P（X=300）=，P（X=500）==0.4，∴X的分布列为：X200300500P0.20.40.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n；若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n，当200≤n≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n，若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n．∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．19．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．（2）设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则=．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得===1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则=．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴===1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由•=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得•=0，则坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•=0，则坐标原点O在圆M上；（2）由题意可知：•=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0，∴⊥，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，则y1y2=﹣4，由•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣4，则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，∴坐标原点O在圆M上；（2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=，y1+y2=，y1y2=﹣4，圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），由•=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，则x1+x2=，y1+y2=﹣1，则M（，﹣），半径为r=丨MP丨==，∴圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=．当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=，∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+）＜，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+）（1+）…（1+）＜e，另一方面可知（1+）（1+）…（1+）＞2，从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），比较可得结论．【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f （a），若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0矛盾；所以a=1；（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+）＜，k∈N*．一方面，ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，即（1+）（1+）…（1+）＜e；另一方面，（1+）（1+）…（1+）＞（1+）（1+）（1+）=＞2；从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m成立，所以m的最小值为3．【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x ﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；（2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0化为普通方程：x+y﹣=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=．【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，∴其普通方程为：x+y﹣=0，联立得：，∴ρ2=x2+y2=+=5．∴l3与C的交点M的极径为ρ=．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；综上，g（x）max=，∴m的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．。
高中数学组卷高中数学高三大题
高中数学组卷一．解答题（共12小题）1．（2016•盐城一模）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围．2．（2016•松江区一模）已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．3．（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．4．（2015•泉州校级模拟）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和（n∈N*），且a2=3，S4=16（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．5．（2015•新课标I）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．6．（2015•淮南一模）如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．（Ⅱ）证明：AM⊥PM．7．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．8．（2016•眉山模拟）某高三年级从甲（文）乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85分，乙组学生成绩的中位数是83分．（1）求x和y的值；（2）从成绩在90分以上的学生中随机取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率．9．（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．10．（2015•新课标II）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0，0≤α＜π）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标（2）若C2与C1相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．11．（2015•濮阳一模）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．12．（2015•福州一模）已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）【解答】解：（1）由图象知，A=2，…（2分）又==，ω＞0，所以T=2π=，得ω=1．…（4分）所以f（x）=2sin（x+φ），将点（，2）代入，得+φ=2k（k∈Z），即φ=+2kπ（k∈Z），又﹣＜φ＜，所以，φ=．…（6分）所以f（x）=2sin（x+）．…（8分）（2）当x∈[﹣，]时，x+∈[﹣，]，…（10分）所以sin（x+）∈[﹣，1]，即f（x）∈[﹣，2]．…（14分）2．【解答】解：（1）f（x）==，当时，，所以f（x）的值域为．（2）令，∴，故或，k∈Z，∴当函数y=f（x）的图象和直线y=1时的两交点的最短距离为．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．3【解答】解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．．4．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差是d，由已知条件得解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，∴T n=b1+b2+…+b n===．【点评】本题考查的知识要点：等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型．5．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，∵AE⊥EC，△EBG为直角三角形，∴BE=x，∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，∴AE2=6，则AE=，∴从而得AE=EC=ED=，∴△EAC的面积S==3，在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE=，AF==，则EF=，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，故该三棱锥的侧面积为3+2．6．【解答】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP；证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形，所以CM平行且相等于DN，所以四边形MCNA为矩形，所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP，所以CN∥平面AMP．（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点所以PE⊥平面ABCD，CM=，所以PE⊥AM，在△AME中，AE==3，ME==，AM==，所以AE2=AM2+ME2，所以AM⊥ME，所以AM⊥平面PME所以AM⊥PM．【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．7．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．8．【解答】解（1）∵甲组学生的平均分是85，∴．∴x=5．…（2分）∵乙组学生成绩的中位数是83，∴y=3．…（4分）（2）甲组成绩在90（分）以上的学生有两名，分别记为A，B，乙组成绩在90（分）以上的学生有三名，分别记为C，D，E．…（6分）从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）…（8分）其中甲组至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）记“从成绩在90（分）以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件M，则．…（12分）【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本中位数、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．9．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，化简，得ρ=2cosθ．（Ⅱ）依题意设A（），B（），∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ3﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C 2的极坐标方程，得，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查考生运算求解能力、考查化归与转化思想、考查分析问题、解决问题能力．10．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．曲线C3：ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x．联立，解得或．∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0）和（，）；（2）曲线C1的极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α＜π．因此A的极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α），所以|AB|=|2sin cosα|=4|sin（α﹣）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．【点评】本题考查了曲线的极坐标与直角坐标方程的互化、极坐标方程的运用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．【解答】解：（I）根据直线l的参数方程为，（t为参数），消去t，得，故直线l的普通方程为：；依据曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．结合互化公式，得到：曲线的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设点P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），则所以d的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题重点考查了参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识，属于中档题．12．直角坐标方程，与圆的方程联立即可得出交点坐标．【解答】解：（Ⅰ）将曲线C1的参数方程（α为参数）．消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，∴C1的普通方程为：x2+y2﹣4x=0．将代入上述方程可得ρ2﹣4ρcosθ=0，∴C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，可得直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．由，解得或．∴C1与C2交点的直角坐标分别为（4，0），（2，﹣2）．可得极坐标分别为（4，0）或．【点评】本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．。
高中数学组卷指数寒数
高中数学组卷指数函数一．选择题（共10小题）1．（2015秋•安徽期末）已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（）C．（0，1）D．∅2．（2015秋•哈尔滨校级期中）下列函数中，是指数函数的（）A．y=2•3x B．y=3x+1C．y=3x D．y=x33．（2015秋•德州期中）已知指数函数y=f（x）的图象过点（，），则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．﹣2D．24．（2016•菏泽二模）若函数f（x）=2x+b﹣1（b∈R）的图象不经过第二象限，则有（）A．b≥1B．b≤1C．b≥0D．b≤05．（2016•贵州校级模拟）函数y=a x+2﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过得点是（）A．（0，0）B．（0，﹣1）C．（﹣2，0）D．（﹣2，﹣1）6．（2015秋•河南期末）函数y=2|x|的图象是（）A．B．C．D．7．（2014•武侯区校级模拟）函数的图象大致为（）A．B．C．D．8．（2015秋•滕州市期中）令a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则三个数a、b、c的大小顺序是（）A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a9．（2016•鹰潭一模）已知全集U=R，集合，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0＜x≤2或x≥4}D．{x|0≤x＜2或x＞4}10．（2016•海淀区一模）函数f（x）=的定义域是（）A．[O，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]二．填空题（共10小题）11．（2016•长宁区一模）方程9x+3x﹣2=0的解是．12．（2015秋•阳东县校级期中）若函数f（x）=（a﹣2）•a x为指数函数，则a=．13．（2015•张家港市校级模拟）已知点A、B分别在函数f（x）=e x和g（x）=3e x的图象上，连接A，B两点，当AB 平行于x轴时，A、B两点间的距离为．14．（2015春•淮安校级期末）函数y=a x﹣2+1（a＞0，a≠1）不论a为何值时，其图象恒过的顶点为．15．（2015秋•济南校级期中）已知函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点，则a的取值范围是．16．（2015•聊城校级模拟）函数y=2x在[0，1]上的最大值与最小值之和为．17．（2014秋•南关区校级期中）不等式3x+1＜92x﹣1的解集为．18．（2014秋•大兴区期中）函数f（x）=3x﹣1，x∈[﹣1，2]的值域是．19．（2015春•南通校级期末）函数的值域为．20．（2015春•淮安期末）已知函数的图象关于原点对称，则实数a值是．三．解答题（共6小题）21．（2015秋•肇庆校级期中）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．22．（2015秋•忻州校级期末）已知函数f（x）=（）|x|．（1）作出函数f（x）的图象；（2）指出该函数的单调递增区间；（3）求函数f（x）的值域．23．（2014•奎文区校级模拟）已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．24．（2012秋•商南县校级月考）已知f（x）=，（1）求函数f（x）的定义域、值域．（2）讨论f（x）的单调性．25．（2015秋•顺义区校级期中）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．26．（2015•上海模拟）（文）已知函数f（x）=（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015秋•安徽期末）已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（）C．（0，1）D．∅【解答】解：A={y|y=x}=[0，+∞），B={y|y=（）x，x＞1}=，则A∩B=，故选：A．2．（2015秋•哈尔滨校级期中）下列函数中，是指数函数的（）A．y=2•3x B．y=3x+1C．y=3x D．y=x3【解答】解：形如y=a x（a＞0，a≠1）的函数为指数函数，y=2•3x的3x系数不为1，y=3x+1的指数不是x，y=x2是幂函数只有y=3x符合指数函数定义．故选C．3．（2015秋•德州期中）已知指数函数y=f（x）的图象过点（，），则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．﹣2D．2【解答】解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0，且a≠1，为常数），把点（，）代入可得=，解得a=．∴，则log2f（2）==﹣2．故选：C．4．（2016•菏泽二模）若函数f（x）=2x+b﹣1（b∈R）的图象不经过第二象限，则有（）A．b≥1B．b≤1C．b≥0D．b≤0【解答】解：因为y=2x，当x＜0时，y∈（0，1）．所以，函数f（x）=2x+b﹣1（b∈R）的图象不经过第二象限，则有b﹣1≤﹣1，解得b≤0．故选：D．5．（2016•贵州校级模拟）函数y=a x+2﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过得点是（）A．（0，0）B．（0，﹣1）C．（﹣2，0）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：令x+2=0，解得x=﹣2，所以当x=﹣2时，函数y=a0﹣1=0，即函数y=a x+2﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（﹣2，0）．故选：C．6．（2015秋•河南期末）函数y=2|x|的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x）∴y=2|x|是偶函数，又∵函数y=2|x|在[0，+∞）上单调递增，故C错误．且当x=0时，y=1；x=1时，y=2，故A，D错误故选B7．（2014•武侯区校级模拟）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x=0时函数无意义故C，D错又∵=1+（x≠0）且2x∈（0，1）∪（1，+∞）∴﹣1＜2x﹣1＜0或2x﹣1＞0∴＜﹣1或＞0∴＜﹣2或＞0∴1+＜﹣1或1+＞1即y＜﹣1或y＞1又∵x＞0时2x﹣1恒正且单调递增，x＜0时2x﹣1恒负且单调递增∴x＞0时恒正且单调递减，x＜0时恒负且单调递减∴=1+在（﹣∞，0）和（0，+∞）单调递减故答案A对B错故选A8．（2015秋•滕州市期中）令a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则三个数a、b、c的大小顺序是（）A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，所以c＜b＜a故选D9．（2016•鹰潭一模）已知全集U=R，集合，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0＜x≤2或x≥4}D．{x|0≤x＜2或x＞4}【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}，∴∁U B={x|x＞4或x＜2}，即A∩（∁U B）={x|0≤x＜2或x＞4}，故选：D．10．（2016•海淀区一模）函数f（x）=的定义域是（）A．[O，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1]【解答】解：要使函数有意义，则需2x﹣1≥0，即为2x≥1，解得，x≥0，则定义域为[0，+∞）．故选A．二．填空题（共10小题）11．（2016•长宁区一模）方程9x+3x﹣2=0的解是0．【解答】解：∵9x+3x﹣2=0即（3x）2+3x﹣2=0∴（3x+2）（3x﹣1）=0⇒3x=﹣2（舍），3x=1．解得x=0故答案为012．（2015秋•阳东县校级期中）若函数f（x）=（a﹣2）•a x为指数函数，则a=3．【解答】解：∵函数f（x）=（a﹣2）•a x为指数函数，∴，解得：a=3，故答案为：313．（2015•张家港市校级模拟）已知点A、B分别在函数f（x）=e x和g（x）=3e x的图象上，连接A，B两点，当AB 平行于x轴时，A、B两点间的距离为ln3．【解答】解：根据题意，∵y=f（x）=e x，∴x=lny；又∵y=g（x）=3e x，∴x=ln；∴A、B两点之间的距离为lny﹣ln=ln（y÷）=ln3，故答案为：ln314．（2015春•淮安校级期末）函数y=a x﹣2+1（a＞0，a≠1）不论a为何值时，其图象恒过的顶点为（2，2）．【解答】解：令x=2，得y=a0+1=2，所以函数y=1+a x﹣2的图象恒过定点坐标是（2，2）．故答案为：（2，2）．15．（2015秋•济南校级期中）已知函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点，则a的取值范围是（0，1）．【解答】解：f（x）=|2x﹣1|的图象如下图所示：由图可知：当0＜a＜1时，函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点，故答案为：（0，1）16．（2015•聊城校级模拟）函数y=2x在[0，1]上的最大值与最小值之和为3．【解答】解：函数y=2x在[0，1]上是增函数，所以最大值为2，最小值为1，它们之和为3，故答案为3．17．（2014秋•南关区校级期中）不等式3x+1＜92x﹣1的解集为{x|x＞1}．【解答】解：原不等式可化为：3x+1＜34x﹣2，即：x+1＜4x﹣2，解得：x＞1，所以原不等式的解集是：{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．18．（2014秋•大兴区期中）函数f（x）=3x﹣1，x∈[﹣1，2]的值域是[﹣，8]．【解答】解：函数f（x）=3x﹣1在[﹣1，2]上是增函数，∴f（﹣1）≤f（x）≤f（2），即﹣≤f（x）≤8，∴函数的值域是[﹣，8]．故答案为：[﹣，8]．19．（2015春•南通校级期末）函数的值域为（0，2]．【解答】解：因为x2﹣2x≥﹣1，函数是减函数，所以∈（0，2]．故答案为：（0，2]．20．（2015春•淮安期末）已知函数的图象关于原点对称，则实数a值是．【解答】解：∵函数的图象关于原点对称，∴函数f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即a+=﹣（a+）=﹣a﹣，即2a=﹣﹣=﹣==1，解得a=，故答案为：三．解答题（共6小题）21．（2015秋•肇庆校级期中）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【解答】解：（1）由题意得所以（2）由（1）得因为函数在[0，+∞）上是减函数所以当x=0时f（x）由最大值所以f（x）max=2所以f（x）∈（0，2]所以函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，2]．22．（2015秋•忻州校级期末）已知函数f（x）=（）|x|．（1）作出函数f（x）的图象；（2）指出该函数的单调递增区间；（3）求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）图象如图所示：（2）由图象可知，函数的单调递增区间为（﹣∞，0），（3）由图象可知，函数的值域为（0，1]．23．（2014•奎文区校级模拟）已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．【解答】解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，y miin=0．24．（2012秋•商南县校级月考）已知f（x）=，（1）求函数f（x）的定义域、值域．（2）讨论f（x）的单调性．【解答】解：（1）∵∀x∈R，都有2x＞0，∴2x+1＞1，故函数f（x）=的定义域为实数集R．∵f（x）==1﹣，而2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜2，∴﹣2＜﹣＜0，∴﹣1＜1﹣＜1．即﹣1＜f（x）＜1．∴函数f（x）的值域为（﹣1，1）．（3）∀x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=，∵2＞1，∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1﹣2x2＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在实数集R上单调递增．25．（2015秋•顺义区校级期中）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由题设，需，∴a=1，∴，经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．（2）减函数证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x1＜x2 ∴0＜＜；∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0∴该函数在定义域R 上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立，∴△=4+12k＜0，得即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）时函数存在零点．26．（2015•上海模拟）（文）已知函数f（x）=（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．【解答】解：（1）由题意知，≥3x；化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；（2）由题意，f（0）==0，故a=1；再由f（1）+f（﹣1）=0得，b=3；经验证f（x）=是奇函数，（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（3a+b），∵x1＜x2，∴＞0；故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．。
正余弦定理习题加答案详解超级详细
∴由余弦定理可得：cosC= = = ．
故答案为： ．
14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为 +1，且sinA+sinB= sinC，则边AB的长为1．
【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC= +1．
BC+AC= AB，
两式相减，可得AB=1．
故答案为：1．
15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．
（1）求角A的值；
（2）若a= ，则求b+c的取值范围．
【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2 =a﹣2a• ，
利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），
即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，
【解答】解：（1）∵ ．
∴由正弦定理，得 ，化简得cosA= ，
∴A= ；
（2）∵∠B= ，∴C=π﹣A﹣B= ，
可知△ABC为等腰三角形，
在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7= ，
解得b=2，
∴△ABC的面积S= b2sinC= = ．
19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2aco模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（ ）
1.2.1子集与真子集
2020年02月05日高中数学的高中数学组卷一．选择题（共37小题）1．若全集{0U =，1，2，3}且{2}U A =，则集合A 的真子集共有( )A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个2．集合{1，2，3}的真子集的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．83．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为( )A ．0X ⊆B ．{0}X ∈C ．X ∅∈D ．{0}X⊆ 4．集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个5．若集合{|0}B x x =，且A B A =，则集合A 可能是( )A ．{1，2}B ．{|1}x xC ．{1-，0，1}D ．R6．设集合{|03A x x =<且}x N ∈的真子集的个数是( )A ．16B ．8C ．7D ．47．集合{1，2，3}的子集共有( )A ．7个B ．8个C ．6个D ．5个8．已知集合{1A =，2，3}，{2B =，3}，则( )A ．AB = B ．A B =∅C ．A B ⊂≠D ．B A ⊂≠9．已知集合{0A =，1}，{|B z z x y ==+，x A ∈，}y A ∈，则B 的子集个数为()A ．3B ．4C ．7D ．810．集合{|04}A x N x =∈<<的真子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．811．已知全集{0U =，1，2}且{2}U A =，则集合A 的真子集共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个12．集合{a ，}b 的子集有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个13．集合{a ，}b 的子集的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个14．定义集合*{|A B x x A =∈，且}x B ∉，若{1A =，3，5，7}，{2B =，3，5}，则*A B的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．415．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则( )A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆D ．R Q P ⊆16．已知集合{0M =，1}，则满足{0MN =，1，2}的集合N 的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．8 17．满足{a ，}{b M a ，b ，c ，d ，}e 的集合M 的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9 18．设集合{sin ,}3n M x x n Z π==∈，则满足条件33{,}22P M -=的集合P 的个数是( )A ．1B ．3C ．4D ．819．下列说法中，正确的是( )A ．任何一个集合必有两个子集B ．若A B φ=，则A ，B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集D ．若S 为全集，且A B S =，则A B S ==20．设集合{1A =，2，3，4，5，6}，{4B =，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．821．已知集合{1A =，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是( )A ．15B ．16C ．3D ．422．已知集合{1A =，2，3}，{2B =，3}，则( )A ．AB = B ．A B =∅C ．A B ⊆D ．B A ⊆23．集合2{|6y N y x ∈=-+，}x N ∈的真子集的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．624．已知集合2{|20A x ax x a =++=，}a R ∈，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．1-C ．0，1D ．1-，0，125．设集合{1M =-，1}，2{|6}N x x x =-<，则下列结论正确的是( )A ．N M ⊆B ．N M =∅C ．M N ⊆D ．M N R =26．集合{1，2，3}的子集共有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个27．已知集合{1M =-，0，1}，{|cos N y y x ==，}x M ∈，则集合N 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．828．下列四个命题：①{0}∅=；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个29．若集合{1A =，2}，{1B =，3}，则集合A B 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．1630．已知集合{1A =，2，3}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}x y A +∈，则集合B 的子集的个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．1631．若{1，2}{1A ⊆⊆，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．932．设集合{P =立方后等于自身的数}，那么集合P 的真子集的个数是( )A ．3B ．4C ．7D ．833．已知集合{2A =，3}，{2B =，4}，P AB =，则集合P 的子集的个数是( ) A ．2B ．4C ．8D ．16 34．集合3{|1}A x N x =∈，2{|log (1)1}B x N x =∈+，S A ⊆，S B ≠∅，则集合S 的个数为( )A ．0B ．2C ．4D ．835．若{1，2}{1A ⊆⊆，2，3，4，5}，则集合A 的个数是( )A ．8B ．7C ．4D ．336．下列集合中，是集合2{|5}A x x x =<的真子集的是( )A ．{2，5}B ．(6,)+∞C ．(0,5)D ．(1,5)37．已知集合{A a =，b ，}c ，下列可以作为集合A 的子集的是( )A ．aB ．{a ，}cC ．{a ，}eD ．{a ，b ，c ，}d二．填空题（共10小题）38．集合{1-，0，1}共有 个子集．39．若全集{0U =，1，2，3}且{2}U A =，则集合A 的真子集共有 个．40．已知a 是实数，若集合{|1}x ax =是任何集合的子集，则a 的值是 ．41．集合{1A =，2}的子集个数为 ．42．满足{0，1，2}{0A ⊆，1，2，3，4，5}的集合A 的个数是 个．43．若规定1{E a =，210}a a ⋯的子集{}12,,nk k k a a a ⋯为E 的第k 个子集，其中_11_21_31_12222k k k k n k ----=+++⋯+．则 （1）1{a ，3}a 是E 的第 个子集；（2）E 的第211个子集是 ．44．已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 构成的集合为 ．45．集合{1，2，3}的真子集共有 个．46．已知集合{A a =，b ，}c ，则集合A 的真子集的个数是 ．47．已知集合{0A =，1，2}，则A 的子集的个数为 ．三．解答题（共3小题）48．已知集合{|(3)(5)0}A x x x =+-，{|223}B x m x m =-<<-，且B A ⊆，求实数m 的取值范围．49．设集合1{|24}32x A x -=，22{|3210}B x x mx m m =-+--<． （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数．（2）若B =∅，求m 的取值范围．（3）若A B ⊇，求m 的取值范围．50．设集合1{|24}32x A x -=，22{|3210}B x x mx m m =-+--<． （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数；，求m的取值范围．（2）若A B2020年02月05日高中数学的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共37小题）1．若全集{0U =，1，2，3}且{2}U A =，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个【分析】利用集合中含n 个元素，其真子集的个数为21n -个，求出集合的真子集的个数．【解答】解：{0U =，1，2，3}且{2}U A =，{0A ∴=，1，3}∴集合A 的真子集共有3217-= 故选：C ．【点评】求一个集合的子集、真子集的个数可以利用公式：若一个集合含n 个元素，其子集的个数为2n ，真子集的个数为21n -．2．集合{1，2，3}的真子集的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】集合{1，2，3}的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集．【解答】解：集合的真子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，∅．共有7个． 故选：C ．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．3．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为( )A ．0X ⊆B ．{0}X ∈C ．X ∅∈D ．{0}X ⊆【分析】根据0大于1-可知0是集合X 中的元素，且以0为元素的集合是集合X 的子集，即可判断出答案．【解答】解：根据集合中的不等式1x >-可知0是集合X 的元素即0X ∈，则{0}X ⊆ 故选：D ．【点评】此题考查学生掌握元素与集合关系的判断方法，以及理解子集和真子集的概念来判断两集合之间的关系，也是高考常考的题型．学生做题时容易把元素与集合的关系与集合与集合的关系混淆．4．集合{1A=-，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有() A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．【解答】解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，1}-，0，1}，四个；-、{1故选：B．【点评】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．5．若集合{|0}=，且A B AB x x=，则集合A可能是()A．{1，2}B．{|1}x x C．{1-，0，1}D．R⊆，进而可得答案．【分析】集合{|0}B x x=，且A B A=，则故A B【解答】解：集合{|0}=，且A B AB x x=，⊆，故A B故A答案中{1，2}满足要求，故选：A．【点评】本题考查的知识点是集合的子集，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．6．设集合{|03=<且}A x x∈的真子集的个数是()x NA．16B．8C．7D．4【分析】由集合{|03=<且}A x x∈，根据真子集的定义即可得出答案．x N【解答】解：集合{|03∈=，1，2}，x NA x x=<且}{0∴集合A的真子集是：ϕ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共有7个，故选：C．【点评】本题考查了集合的子集，属于基础题，关键是掌握真子集的定义．7．集合{1，2，3}的子集共有()A．7个B．8个C．6个D．5个【分析】集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：集合{1，2，3}的子集有：⋯，2，3}共8个．∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}{1故选：B．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．8．已知集合{1A =，2，3}，{2B =，3}，则( )A ．AB = B ．A B =∅C ．A B ⊂≠D ．B A ⊂≠ 【分析】直接利用集合的运算法则求解即可．【解答】解：集合{1A =，2，3}，{2B =，3}，可得A B ≠，{2AB =，3}，B A ⊂≠，所以D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．9．已知集合{0A =，1}，{|B z z x y ==+，x A ∈，}y A ∈，则B 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 【分析】先求出集合B 中的元素，从而求出其子集的个数．【解答】解：由题意可知，集合{|B z z x y ==+，x A ∈，}{0y A ∈=，1，2}，则B 的子集个数为：328=个，故选：D ．【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n 个元素，其子集有2n 个．10．集合{|04}A x N x =∈<<的真子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8【分析】先求出集合的元素的个数，再代入21n -求出即可．【解答】解：集合{|04}{1A x N x =∈<<=，2，3}，∴真子集的个数是：3217-=个，故选：C ．【点评】本题考查了集合的子集问题，若集合的元素有n 个，则子集的个数是2n 个，真子集的个数是21n -个，本题是一道基础题．11．已知全集{0U =，1，2}且{2}U A =，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【分析】根据题意，易得{1A =，0}，由集合的元素数目与集合子集数目的关系，可得其子集的数目，排除其本身这个子集后可得其真子集的数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，全集{1U =，2，0}，且{2}U A =，则{1A =，0}， A 的子集有224=个，其中真子集有413-=个；故选：A ．【点评】本题考查集合的元素数目与集合子集数目的关系：若A 中有n 个元素，则A 有2n 个子集．12．集合{a ，}b 的子集有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据子集的定义解答．【解答】解：集合{a ，}b 的子集有∅，{}a ，{}b ，{a ，}b 共有4个；故选：C ．【点评】本题考查了集合的子集的个数求法；如果集合有n 个元素，那么它的子集有2n 个．13．集合{a ，}b 的子集的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n 个子集．由此能求出结果．【解答】解：集合{a ，}b 中有两个元素，∴集合{a ，}b 有224=个子集，故选：C ．【点评】本题考查集合的子集个数的求法，解题时要认真审题．注意公式若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n 个子集的灵活运用．14．定义集合*{|A B x x A =∈，且}x B ∉，若{1A =，3，5，7}，{2B =，3，5}，则*A B的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由定义*A B 即A 中的元素除去B 中元素构成的集合．写出*A B ，再判断子集个数即可．【解答】解：由题意：*{1A B =，7}，故其子集为∅，{1}，{7}，{1，7}，个数为4 故选：D ．【点评】本题考查集合的运算、集合子集个数问题，属基础知识、基本运算的考查．15．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则( )A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P Q ⊆D ．R Q P ⊆【分析】此题只要求出24x <的解集{|22}x x -<<，画数轴即可求出．【解答】解：{|4}P x x =<，2{|4}{|22}Q x x x x =<=-<<，如图所示，可知Q P ⊆，故选：B ．【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．16．已知集合{0M =，1}，则满足{0MN =，1，2}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【分析】由M 与N 的并集得到集合M 和集合N 都是并集的子集，又根据集合M 的元素得到元素2一定属于集合N ，找出两并集的子集中含有元素2的集合的个数即可．【解答】解：由{0MN =，1，2}， 得到集合M M N ⊆，且集合N M N ⊆，又{0M =，1}，所以元素2N ∈，则集合N 可以为{2}或{0，2}或{1，2}或{0，1，2}，共4个．故选：C ．【点评】此题考查了并集的意义，以及子集和真子集．要求学生掌握并集的意义，即属于M或属于N 的元素组成的集合为M 和N 的并集，由集合M 得到元素2一定属于集合N 是本题的突破点．17．满足{a ，}{b M a ，b ，c ，d ，}e 的集合M 的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【分析】根据题意，列举满足{a ，}{b Ma ⊆，b ，c ，d ，}e 的集合M ，即可得答案． 【解答】解：根据题意，满足{a ，}{b M a ，b ，c ，d ，}e 的集合M 有{a ，b ，}c ，{a ，b ，}d ，{a ，b ，}e ，{a ，b ，c ，}d ，{a ，b ，c ，}e ，{a ，b ，d ，}e ，共6个； 故选：A ．【点评】本题考查集合的子集的判断，解题时要注意符号“⊆”与“”的不同含义．18．设集合{sin,}3n M x x n Z π==∈，则满足条件33{,}22P M -=的集合P 的个数是( ) A ．1B ．3C ．4D ．8【分析】先利用列举法求出{|sin,}3n M x x n Z π==∈，再根据集合并集的定义“由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解集合P 即可．【解答】解：{|sin,}3n M x x n Z π==∈= 33{,}22PM -=，P ∴=或或{0,或{0} 故选：C ．【点评】本题主要考查了集合中并集的运算，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．19．下列说法中，正确的是( ) A ．任何一个集合必有两个子集 B ．若AB φ=，则A ，B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集D ．若S 为全集，且AB S =，则A B S ==【分析】根据空集是任何集合的子集可判断A 、C 不正确；可举简单的两个集合说明B 不正确；根据交集的运算说明D 不正确．【解答】解：A 、例如空集∅的子集只有它本身，即一个子集，故A 不正确；B 、如{1A =，2}，{3B =，4，5}，则A B φ=，且它们都不是空集，故B 不正确；C 、由空集是任何集合的子集和真子集的定义知，空集是本身的子集但不是真子集，故C 不正确；D 、因A B S =，则S A ⊂且S B ⊂，又因S 为全集，则A B S ==，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了子集的定义和交集的运算，注意特殊情况“∅”的规定，对于选择题可以举例说明即可．20．设集合{1A =，2，3，4，5，6}，{4B =，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且S B ≠∅的集合S 的个数是( ) A ．57B ．56C ．49D ．8【分析】因为集合S 为集合A 的子集，而集合A 的元素有6个，所以集合A 的子集有62个，又集合S 与集合B 的交集不为空集，所以集合S 中元素不能只有1，2，3，把不符合的情况舍去，即可得到满足题意的S 的个数．【解答】解：集合A 的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，⋯，{1，2，3，4，5，6}，共123456666666164C C C C C C ++++++=个； 又S B ≠∅，{4B =，5，6，7，8}，所以S 不能为：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个， 则满足S A ⊆且S B ≠∅的集合S 的个数是64856-=．故选：B ．【点评】此题考查学生掌握子集的计算方法，理解交集的意义，是一道基础题． 21．已知集合{1A =，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是( ) A ．15B ．16C ．3D ．4【分析】根据集合的元素数目与真子集个数的关系，而A 有4个元素，计算可得答案． 【解答】解：根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n 元素的真子集有21n -个， 集合A 有4个元素，则其真子集个数为42115-=， 故选：A ．【点评】本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n 元素的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个．22．已知集合{1A =，2，3}，{2B =，3}，则( ) A ．A B =B ．A B =∅C ．A B ⊆D ．B A ⊆【分析】直接根据子集的定义，得出B A ⊆，且{2A B =，3}A =≠∅，能得出正确选项为D ．【解答】解：因为{1A =，2，3}，{2B =，3}， 显然，A B ≠且B A ⊆， 根据集合交集的定义得，{2A B =，3}A =，所以，AB ≠∅，故选：D ．【点评】本题主要考查了集合及其运算，涉及集合相等，子集和空集的定义，以及交集的运算，属于基础题．23．集合2{|6y N y x ∈=-+，}x N ∈的真子集的个数是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【分析】根据条件，让x 从0开始取值，求出对应的y 值：0x =，6y =；1x =，5y =；2x =，2y =；3x =，3y =-，显然x 往后取值对应的y 值都小于0，所以集合2{|6y N y x ∈=-+，}{2x N ∈=，5，6}，这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数．【解答】解：0x =时，6y =； 1x =时，5y =； 2x =时，2y =； 3x =时，3y =-；函数26y x =-+，x N ∈，在[0，)+∞上是减函数；3x ∴时，0y <；2{|6y N y x ∴∈=-+，}{2x N ∈=，5，6}；∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}； ∴该集合的真子集个数为7．故选：C ．【点评】考查描述法表示集合，自然数集N ，以及真子集的概念．24．已知集合2{|20A x ax x a =++=，}a R ∈，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．1-C ．0，1D ．1-，0，1【分析】若A 有且仅有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程220ax x a ++=恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a 的取值范围． 【解答】解：由题意可得，集合A 为单元素集，（1）当0a =时，{|20}{0}A x x ===，此时集合A 的两个子集是{0}，∅， （2）当0a ≠时 则△2440a =-=解得1a =±， 当1a =-时，集合A 的两个子集是{1}，∅， 当1a =，此时集合A 的两个子集是{1}-，∅． 综上所述，a 的取值为1-，0，1． 故选：D ．【点评】本题考查根据子集与真子集的概念，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用．属于基础题．25．设集合{1M =-，1}，2{|6}N x x x =-<，则下列结论正确的是( ) A ．N M ⊆B ．NM =∅C ．M N ⊆D ．M N R =【分析】求出集合N ，从而判断出M ，N 的关系即可．【解答】解：集合{1M =-，1}，2{|6}{|23}N x x x x x =-<=-<<， 则M N ⊆， 故选：C ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题． 26．集合{1，2，3}的子集共有( ) A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【分析】集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 【解答】解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个．故选：D ．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．27．已知集合{1M =-，0，1}，{|cos N y y x ==，}x M ∈，则集合N 的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．8【分析】求出集合N，然后根据子集的含义知，集合{1N=，cos1}的子集中的元素是从集合N中取得，对于每一个元素都有取或不取两种方法，同乘法原理即可其子集的个数．【解答】解：集合{1==，}M=-，0，1}，{|cosN y y x∈，x M含有n个元素的集合的子集共有：2n个，所以{1N=，cos1}所以它的子集的个数为：4．故选：B．【点评】本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n个元素的集合的子集共有：2n个．28．下列四个命题：①{0}∅=；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】利用空集的定义、属性对各个命题进行判断．Φ不含任何元素；空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集．【解答】解：对于①Φ不含任何元素而{0}含元素0，故①错对于②空集是本身的子集，故②错对于③空集的子集只有其本身，故③错对于④，空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集，故④对故选：B．【点评】本题考查空集的定义、性质：Φ不含任何元素；空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集．29．若集合{1B=，3}，则集合A B的真子集的个数为()A=，2}，{1A．7B．8C．15D．16【分析】由根据集合的定义得到：集合{1A B=，2，3}，由此能求出集合A B的真子集个数．【解答】解：{1B=，3}，A=，2}，{1A B=，2，3}，∴集合{1-=．∴集合A B的真子集个数为3217故选：A．【点评】本题考查并集的运算和求集合的真子集的个数．若集合A中有n个元素，则集合A有21n -个真子集．30．已知集合{1A =，2，3}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}x y A +∈，则集合B 的子集的个数为( ) A ．4B ．7C ．8D ．16【分析】先求出{(1,1)B =，(1,2)，(2,1)}，由此能求出B 的子集个数．【解答】解：集合{1A =，2，3}，平面内以(,)x y 为坐标的点集合{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}x y A +∈，{(1,1)B ∴=，(1,2)，(2,1)}，B ∴的子集个数为：328=个．故选：C ．【点评】本题考查集合的子集的求法与性质，考查集合的含义，是基础题． 31．若{1，2}{1A ⊆⊆，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据题意A 中必须有1，2这两个元素，因此A 的个数应为集合{3，4，5}的子集的个数．【解答】解：{1，2}{1A ⊆⊆，2，3，4，5}，∴集合A 中必须含有1，2两个元素， 因此满足条件的集合A 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．故选：C ．【点评】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键．有n 个元素的集合其子集共有2n 个．32．设集合{P =立方后等于自身的数}，那么集合P 的真子集的个数是( ) A ．3B ．4C ．7D ．8【分析】先根据立方后等于自身的数写出集合P ，再根据集合的元素数目与真子集个数的关系，而P 有3个元素，计算可得答案． 【解答】解：根据题意得：3x x =，则2(1)0x x -=， 即(1)(1)0x x x -+=，{0P ∴=，1，1}-， 那么集合P 真子集的个数为3217-=． 故选：C ．【点评】本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n 元素的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个．33．已知集合{2A =，3}，{2B =，4}，P A B =，则集合P 的子集的个数是( )A ．2B ．4C ．8D ．16【分析】先由题设条件求出集合P 中元素的个数，再计算集合P 的子集的个数． 【解答】解：{2A =，3}，{2B =，4}，{2P AB ∴==，3，4}，∴集合P 的子集的个数328==．故选：C ．【点评】本题考查并集的运算和子集个数的求法，解题时要认真审题，仔细解答． 34．集合3{|1}A x N x=∈，2{|log (1)1}B x N x =∈+，S A ⊆，S B ≠∅，则集合S 的个数为( ) A ．0B ．2C ．4D ．8【分析】首先化简集合A 和B ，然后由条件可知S 中必含有元素1，可以有元素2，3，从而得出结果．【解答】解：2log (1)1x + 22log (1)log 2x ∴+∴1012x x x N +>⎧⎪+⎨⎪∈⎩故{0B =，1}，从0开始逐一验证自然数可知{1A =，2，3}，要使S A ⊆，SB ≠∅，S 中必含有元素1，可以有元素2，3，所以S 只有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}． 故选：C ．【点评】此题考查了交集的定义以及集合的包含关系，得出S 中必含有元素1，可以有元素2，3是解题的关键．35．若{1，2}{1A ⊆⊆，2，3，4，5}，则集合A 的个数是( ) A ．8B ．7C ．4D ．3【分析】集合子集的列举要按照一定的顺序，防止遗漏．【解答】解：集合A 有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}， {1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．故选：A ．【点评】本题考查了集合子集的列举及其个数，属于基础题． 36．下列集合中，是集合2{|5}A x x x =<的真子集的是( ) A ．{2，5}B ．(6,)+∞C ．(0,5)D ．(1,5)【分析】求解二次不等式化简A ，然后可得集合A 的真子集． 【解答】解：因为2{|5}{|05}A x x x x x =<=<<， 所以是集合2{|5}A x x x =<的真子集的是(1,5)． 故选：D ．【点评】本题考查集合的子集的求法，属于基础题．37．已知集合{A a =，b ，}c ，下列可以作为集合A 的子集的是( ) A ．aB ．{a ，}cC ．{a ，}eD ．{a ，b ，c ，}d【分析】根据集合的子集的定义，即可判断得到答案． 【解答】解：根据集合的子集的定义，∴集合{A a =，b ，}c 的子集为：∅，{}a ，{}b ，{}c ，{a ，}b ，{a ，}c ，{b ，}c ，{a ，b ，}c ，对应选项，则可以作为集合A 的子集的是{a ，}c ． 故选：B ．【点评】本题考查了集合的子集与真子集，研究集合的子集问题时，要特别注意∅．如果集合A 的元素个数是n ，则其子集个数是2n ，真子集个数是21n -．属于基础题． 二．填空题（共10小题）38．集合{1-，0，1}共有 8 个子集．【分析】集合{1P =，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 【解答】解：因为集合{1-，0，1}，所以集合{1-，0，1}的子集有：{1}-，{0}，{1}，{1-，0}，{1-，1}，{0，1}，{1-，0，1}，∅，共8个．故答案为：8．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．39．若全集{0U=，1，2，3}且{2}A=，则集合A的真子集共有7个．U【分析】由全集{0U=，1，2，3}且{2}A=求出A集合，然后就可以算出真子集的个数．U【解答】{0U=，1，2，3}且{2}A=U∴=，1，3}{0A-=个A∴集合的真子集有3217故答案为：7【点评】本题主要考查集合的补集运算以及真子集个数的求法，只要利用公式即可得到答案，属易题．40．已知a是实数，若集合{|1}x ax=是任何集合的子集，则a的值是0．【分析】由题意，集合{|1}x ax=是任何集合的子集，则此集合必是空集，a的值易求得．【解答】解：由于a是实数，若集合{|1}x ax=是任何集合的子集，则此集合必是空集，故方程1a=ax=无根，所以0故答案为：0．【点评】本题考查集合中的参数取值问题，空集的概念，解题的关键是理解题意，得出是任何集合的子集的集合必是空集．41．集合{1A=，2}的子集个数为4．【分析】集合{1，2，}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：集合{1A=，2}的子集有∅，{1}，{2}，{1，2}共4个．故答案为4．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．A⊆，1，2，3，4，5}的集合A的个数是6个．42．满足{0，1，2}{0【分析】由题意知集合A中一定含有0，1，2三个元素，问题转化为求{3，4，5}的子集，根据非空子集的公式，写出结果．【解答】解：由题意知集合A中一定含有0，1，2三个元素，∴问题转化为求{3，4，5}的子集，并且是求非空子集，∴有3217-=个，故答案为：7【点评】本题考查集合的子集与子集，注意条件中所要求的是要求的集合与{0，1，2}的包含的关系，不要出错，本题是一个基础题．43．若规定1{E a =，210}a a ⋯的子集{}12,,nk k k a a a ⋯为E 的第k个子集，其中_11_21_31_12222k k k k n k ----=+++⋯+．则（1）1{a ，3}a 是E 的第 5 个子集； （2）E 的第211个子集是 ．【分析】（1）由_11_21_31_12222k k k k n k ----=+++⋯+受到启发，根据集合元素的特征，将其用二进制表示出来，0为不出现，1为出现，进而可得答案； （2）十进制211等于二进制11010011，将其对应的集合写出即可．【解答】解：（1）1{a ，33}{a a =，1}a 化成二进制101(0为不出现，1为出现）， 这里3a 出现，2a 不出现，1a 出现，所以是101； 二进制的101等于十进制5，故第一个空填5； 故答案为：5．（2）十进制211等于二进制11010011， 即对应集合8{a ，7a ，5a ，2a ，1}a ，又由8{a ，7a ，5a ，2a ，11}{a a =，2a ，5a ，7a ，8}a 故第二空填1{a ，2a ，5a ，7a ，8}a ． 故答案为：1{a ，2a ，5a ，7a ，8}a ．【点评】本题是转化思想的典型题目，注意从题目的条件中寻找突破点，进而结合题意解题，解题中，特别注意与原题的验证．44．已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 构成的集合为 {1-，0，1} ．【分析】由集合2{|1}{1A x x ===-，1}，1{|1}{}B x ax a===，B A ⊆，B =∅，或{1}B =-，或{1}B =．由此能求出实数a 构成的集合．【解答】解：集合2{|1}{1A x x ===-，1}，1{|1}{}B x ax a===，B A ⊆， B ∴=∅，或{1}B =-，或{1}B =．当B =∅时，1a不存在，0a ∴=． 当{1}B =-时，11a =-，1a ∴=-． 当{1}B =时，11a=，1a ∴=． ∴实数a 构成的集合为{1-，0，1}．故答案为：{1-，0，1}．【点评】本题考查子集与真子集的应用，是基础题．解题时要认真审题，易错点是容易忽视B 为空集的情况．45．集合{1，2，3}的真子集共有 7 个．【分析】集合{1，2，3}的真子集是指属于集合的部分，包括空集．【解答】解：集合{1，2，3}的真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．故答案为：7【点评】本题考查集合的真子集个数问题，对于集合M 的真子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的真子集共有(21)n -个46．已知集合{A a =，b ，}c ，则集合A 的真子集的个数是 7 ．【分析】由集合A 中的元素有3个，把3n =代入集合的真子集的公式21n -中，即可计算出集合A 真子集的个数．【解答】解：由集合A 中的元素有a ，b ，c 共3个，代入公式得：3217-=，则集合A 的真子集有：{}a ，{}b ，{}c ，{a ，}b ，{b ，}c ，{a ，}c ，∅共7个． 故答案为：7【点评】解得本题的关键是掌握当集合中元素有n 个时，真子集的个数为21n -．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．47．已知集合{0A =，1，2}，则A 的子集的个数为 8 ．【分析】由集合A 中的元素有3个，把3n =代入集合的子集的公式2n 中，即可计算出集合A 子集的个数．【解答】解：由集合A 中的元素有0，1，2共3个，代入公式得：328=，则集合A 的子集有：{0，1，2}，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，∅共8个． 故答案为：8．【点评】解得本题的关键是掌握当集合中元素有n 个时，真子集的个数为21n -．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．三．解答题（共3小题）48．已知集合{|(3)(5)0}A x x x =+-，{|223}B x m x m =-<<-，且B A ⊆，求实数m 的取值范围．【分析】当B =∅时，223m m --；当B ≠∅时，22323235m m m m -<-⎧⎪--⎨⎪-⎩由此能求出实数m 的取值范围．【解答】解：{|(3)(5)0}{|35}A x x x x x =+-=-．{|223}B x m x m =-<<-，且B A ⊆∴当B =∅时，223m m --，即1m ．当B ≠∅时，B A ⊆，∴22323235m m m m -<-⎧⎪--⎨⎪-⎩，∴114m m m >⎧⎪-⎨⎪⎩，解得14m <． 综上，实数m 的取值范围{|4}m m ．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．49．设集合1{|24}32x A x -=，22{|3210}B x x mx m m =-+--<． （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数．（2）若B =∅，求m 的取值范围．（3）若A B ⊇，求m 的取值范围．【分析】（1）由条件：“x Z ∈”知集合A 中的元素是整数，进而求它的子集的个数；（2）由条件：“B =∅”知集合B 中的没有任何元素是，得不等式的解集是空集，进而求m ；（3）由条件：“A B ⊇”知集合B 是A 的子集，结合端点的不等关系列出不等式后解之即得．【解答】解：化简集合{|25}A x x =-，集合B 可写为{|(1)(21)0}B x x m x m =-+--<（1）x Z ∈，{2A ∴=-，1-，0，1，2，3，4，5}，即A 中含有8个元素，A ∴的非空真子集数为822254-=（个)．（2）显然只有当121m m -=+即2m =-时，B =∅．（3）当B =∅即2m =-时，B A =∅⊆；当B ≠∅即2m ≠-时，（ⅰ）当2m <-时，(21,1)B m m =+-，要B A ⊆，只要21236152m m m +-⎧⇒-⎨-⎩，所以m 的值不存在；（ⅱ）当2m >-时，(1,21)B m m =-+，要B A ⊆，只要1212215m m m --⎧⇒-⎨+⎩． 【点评】本题考查集合的子集、集合的包含关系判断及应用以及空集的性质及运算．是一道中档题．50．设集合1{|24}32x A x -=，22{|3210}B x x mx m m =-+--<． （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数；（2）若A B ⊇，求m 的取值范围．【分析】（1）由x Z ∈，知1{|24}{232x A x -==-，1-，0，1，2，3，4，5}．由此能求出A 的非空真子集的个数．（2）由{|25}A x x =-<<，22{|3210}{|(21)(1)0}B x x mx m m x x m x m =-+--<=---+=．A B⊇，知12215121m m m m --⎧⎪+⎨⎪-+⎩，或21215211m m m m +-⎧⎪-⎨⎪+-⎩，当B =∅，△0，由此能求出m 的取值范围． 【解答】解：（1）1{|24}{|25}32x A x x x -==-， x Z ∈，{2A ∴=-，1-，0，1，2，3，4，5}．A ∴的非空真子集的个数为822254-=．（2）{|25}A x x =-<<，22{|3210}{|(21)(1)0}B x x mx m m x x m x m =-+--<=---+=．A B ⊇，当B =∅，△0，解得2m =-．∴12215121m m m m --⎧⎪+⎨⎪-+⎩，或21215211m m m m +-⎧⎪-⎨⎪+-⎩，解得12m -，或m 不存在．故m 的取值范围{|12m m -或2}m =-．【点评】本题考查集合的真子集个数的求数，考查满足条件的实数的取值范围的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．。
(新高考)2021版11月内部特供卷 数学(三)教师版
（新高考）2020-2021学年好教育云平台11月份内部特供卷数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，(){}30M x x x =+<，{}1N x x =<-，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥-B ．{|30}-<<x xC ．{|3}x x ≤-D ．{|10}x x -≤<【答案】D【解析】由题意可知，(){}{}3030M x x x x x =+<=-<<， 阴影部分用集合表示为()UN M ，而{}1N x x =<-，故{}1U N x x =≥-，(){|10}U N M x x ∴=-≤<，故选D ．2．若复数2i(i 12iz -+=+为虚数单位)，则2z +=（ ） A ．2B ．5C ．3D ．5【答案】B 【解析】()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 5z -+--+====++-，则22i 2125z +=+=+=， 故选B ．3．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔>， 所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，故选C ．4．在3log 0.1a =，πtan 4b =，122c -=，sin2d =中，最大的数为（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】B【解析】因为33log 0.1g 1lo a =<，所以0a <；πtan 14b ==；12212c -=<=；sin21d =<，故1b =最大，故选B ． 5．若πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα=（ ） A ．25 B ．355C ．25-D ．5 【答案】A【解析】因为πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，所以tan 2α=， 则222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5αααααααα===++，故选A ． 6．若函数()1cos 1x f x a x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则常数a 的值等于（ ） A ．1- B ．1C ．12-D ．12【答案】D【解析】因为函数()1cos 1x f x a x e ⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数， 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号所以()()f x f x -=-，即()11cos cos 11x xa x a x e e -⎛⎫⎛⎫+-=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 则11cos 011x xa a x e e -⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12011x x xe a e e ++=--，则210a -=，所以12a =，故选D ． 7．若3sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．3-【答案】A 【解析】π3sin 122α⎛⎫-=⎪⎝⎭，22πππ31cos 2cos 212sin 12612122ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=--=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， π1cos 262α⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，故π2π2π1sin 2cos 2cos 233262πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A ． 8．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足()()2f x f x -=，若()12f =，则()()()()2132020f f f f +++=（ ）A ．2020B ．2020-C ．0D ．2【答案】C【解析】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且(0)0f =， 又由()()2f x f x -=，得(2)()()f x f x f x +=-=-，可得(4)()f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(2)(0)0f f ==，(4)(0)0f f ==， 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以(1)(2)(3)(2020)505[(1)(2)(3)(4)]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=，故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．如图，在梯形ABDC 中，AB CD ∥，||2||AB CD =，AD 与BC 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．12AD AC AB -=B ．AB BC CD DA +++=0 C ．|2|0OA OD += D ．2133OA DC DB =+ 【答案】ABC【解析】A ．12AD AC CD AB -==，所以A 正确； B ．AB BC CD DA +++=0正确，所以B 正确； C ．OCDOBA ，所以12CD OD AB OA ==，即12OD OA =-， 所以20OA OD OA OA +=-==0，所以C 正确； D ．()()22224233333OA DA DB BA DB DC DB DC ==+=+=+，故D 不正确， 故选ABC ．10．设函数()4sin π213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象为C ，则下列结论中正确的是（ ） A ．图象C 关于直线5π12x =-对称 B ．图象C 关于点0π,6⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在区间5π,1212π⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数 D ．把函数()4si πn 16f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C【答案】AC【解析】对于A ，函数()4sin π213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称轴方程为ππ2π()32x k k +=+∈Z ， 解得ππ()122k x k =+∈Z ， 当1k =-时，可得5π12x =-，所以图象C 关于直线5π12x =-对称正确；对于B ，函数()4sin π213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心为2π)π(3x k k +=∈Z ，解得()ππ62k x k =-+∈Z ， 当0k =时，可得π6x =-，所以图象C 关于点1π,6⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，而不是关于点0π,6⎛⎫- ⎪⎝⎭对称， 故B 选项不正确；对于C ，函数()4sin π213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的单调增区间为πππ2π22π()232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ()1212k x k k -≤≤+∈Z ， 当0k =时，5ππ1212x -≤≤，所以函数()f x 在区间5π,1212π⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数正确； 对于D ，把函数()4si πn 16f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到函数()4sin π216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，不是图象C ，故D 选项不正确， 综上AC 正确，故选AC ．11．在ABC △中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ．已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ） A ．::7:5:3a b c =B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C ==D ．若8+=b c ，则ABC △【答案】ABD【解析】设4b c k +=，5c a k +=，6(0)a b k k +=>， 则72a k =，52b k =，32c k =，故::7:5:3a b c =，即A 选项正确； 又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确； 由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误； 若8+=b c ，则2k =，故5b =，3c =，120A =︒，所以1sin 2ABC S bc A ==△ D 选项正确， 故选ABD ．12．已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．1(0,1)x ∃∈，2(1,3)x ∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1,e -⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222,,82e e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】BCD【解析】对于选项A ，零点不是一个点，所以A 错误； 对于选项B ，当1x <时，()xf x xe =，则()(1)xf x x e '=+， 由()0f x '>，得11x -<<；由()0f x '<，得1x <-， 所以()xf x xe =在()1,1-上单调递增；在(),1-∞-上单调递减，所以(0,1)x ∈时，()f x 单调递增，则0()<<f x e ；当1x >时，3()x e f x x =，则4(3)()x e x f x x-'=， 由()0f x '>，得3x >；由()0f x '<，得13x <<，所以3()xe f x x =在()1,3上单调递减；在()3,+∞上单调递增，所以(1,3)x ∈时，(3)()(1)f f x f <<，即3()27e f x e <<，所以1(0,1)x ∃∈，2(1,3)x ∈，使12()()f x f x >，即B 正确；对于选项C ，由选项B 中判断的函数的单调性，可得(1)f -和(3)f 为两个极小值，且31(1)(3)27f f e e -=-<=，所以min 1()(1)f x f e =-=-，则()f x 的值域为)1,e -⎡-+∞⎣， 选项C 正确；对于选项D ，221()1x x x e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，若()0g x =，则0x =；则关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根 ⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，当1x <时，2()(2)xg x e x x '=+，当x 变化时，()'g x ，()g x 的变化情况如下：x 2x <-2- 20x -<< 0 01x <<()'g x+-+()g x极大值极小值极大值2(2)g e-=，极小值(0)0g =； 当1≥x 时，3(2)()xe x g x x -'=， 当x 变化时，()'g x ，()g x 的变化情况如下：x 112x <<2 2x >()'g x-+()g xe极小值极小值2(2)4e g =，画出函数221()1x x x e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，大致图像如下，由图像可得，只需22424e a e <<或2a e >，即a 的取值范围是222,,82e e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选BCD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．()()1tan171tan 28+︒+︒=________． 【答案】2【解析】原式1tan17tan 28tan17tan 28=+︒+︒+︒⋅︒， 又()tan17tan 28tan 1728tan 4511tan17tan 28︒+︒︒+︒==︒=-︒⋅︒，∴tan17tan 281tan17tan 28︒+︒=-︒⋅︒，故()()1tan171tan 282+︒+︒=， 故答案为2．14．函数22()log log )f x x x =的最小值为________．【答案】14-【解析】()()()2222222111log 2log 1log log log 224f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=⋅+=+=+- ⎪⎣⎦⎝⎭， 所以，当21log 2x =-，即22x =时，()f x 取得最小值14-，所以答案应填14-． 15．已知函数()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣，则实数ω的取值范围是__________． 【答案】11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】函数()π3πsin cos cos 6223f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在[]0,πx ∈上，πππ,π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 又f x 在[]0,π上的值域为32⎡⎢⎣，πsin 3x ω⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ233ω∴≤+≤，1163ω∴≤≤，故答案为11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．在角1θ、2θ、3θ、…、30θ的终边上分别有一点1P 、2P 、3P 、…、30P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k ︒-︒︒+︒，130k ≤≤，k ∈N ，则12330cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______．【解析】()()()sin 15,sin 75k k k P ︒-︒︒+︒，即()()()sin 15,cos 15k P k k ︒-︒︒-︒， 由三角函数定义知()cos sin 15k k θ=︒-︒，()()12330sin14cos cos cos co sin13sin 14sin 15s θθθθ=︒+︒++-︒++++⋅⋅⋅-︒+sin14sin13sin14sin15=︒+︒+-︒-︒()sin15sin 4530=-︒=-︒-︒cos 45sin 30sin 45cos304=︒︒-︒︒=，四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，（0A >，0>ω，π2ϕ<）的最小正周期为4π． （1）从①03πf ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2π 13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；③x ∀∈R ，都有()2π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数()f x 的解析式； （2）求（1）中所求得的函数()f x 在区间2ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）见解析；（2）最小值为1-【解析】（1）因为()f x 的最小正周期为4π，所以2π4πω=，解得12ω=． 选①②：因为03πf ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 0π6ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 解得ππ6k ϕ=+，k ∈Z ． 因为π2ϕ<，所以6π=ϕ．又因为2π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以ππsin 136A ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即sin 16πA ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以2A =，所以()26π12sin x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．选②③：因为x ∀∈R ，都有()2π3f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭， 所以2π3x =时，()f x 取得最大值，即πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ， 所以π2ϕ<，所以6π=ϕ．又因为2π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以ππsin 136A ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即sin 16πA ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以2A =， 所以()26π12sin x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）因为2ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1πππ,2663x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以π13sin ,2622x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，当2π3x =-时，()f x 取得最小值为1-；当π3x =时，()f x 取得最大值为3，所以()f x 取得最小值为1-，最大值为3．18．（12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且122316a a +=，23264a a a =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令21o 32nn a b g =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2nn a =；（2）292n n nT -=．【解析】（1）设正项等比数列{}n a 公比为q ，则122316a a +=，23264a a a =⋅，即转化为1124511123164a a q a q a q a q+=⎧⎨=⋅⎩，解得12a q ==， {}n a ∴的通项公式为2nn a =．（2）21o 32n n a b g =，代入2nn a =，化简得5n b n =-， 则2n ≥时，11n n b b --=是常值，{}n b ∴是等差数列，首项为4-，公差为1，{}n b ∴的前n 项和()452n n n T -+-==292n n-． 19．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB PA ==，E ，F 分别为BC ，PD 的中点．（1）求证：PB ∥平面AFC ；（2）求平面P AE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）217． 【解析】（1）连结BD ，交AC 于O ，连结FO ，底面ABCD 为菱形，O 为BD 中点，F 为PD 中点，则PB ∥FO ， 又PB ⊄平面AFC ，FO ⊂平面AFC ，则PB ∥平面AFC ．（2）底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，E 为BC 的中点，则AE ⊥BC ，则AE ⊥AD ． 以A 为原点，AE ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系． 则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()3,0,0E，()3,1,0C，()0,2,0D ，()3,0,0AE =，()0,0,2AP =，()3,1,0DC =-，()0,2,2DP =-，因为AD ⊥平面P AE ，所以可取平面P AE 的法向量是()0,1,0=m ，设平面PCD 的法向量(),,x y z =n ，则由00DC DP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，得30220x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，则取()1,3,3=n ，21cos ,7⋅==m n m n m n ， 设平面P AE 与平面PCD 所成锐二面角的平面角为θ，则21cos 7θ=， 故平面P AE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值是217． 20．（12分）已知ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos a c B b C -=．（1）求B 的大小；（2）如图，AB AC =，在直线AC 的右侧取点D ，使得24AD CD ==．当角D 为何值时，四边形ABCD 面积最大． 【答案】（1）π3B =；（2）5π6D ∠=．【解析】（1）（法一）：在ABC △中，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，2sin cos sin cos sin cos sin()A B B C C B B C ∴=+=+，2sin cos sin A B A ∴=， sin 0A ≠，1cos 2B ∴=， 0πB <<，故π3B =． （法二）在ABC △中，由余弦定理得222222(2)22a c b a b ca cb ac ab+-+--⨯=⨯， 222a c b ac ∴+-=，2221cos 22a cb B ac +-∴==，0πB <<，故π3B =． （2）由（1）知，π3B =且AB AC =，ABC △为等边三角形，设D α∠=，则在ABC △中，由余弦定理得216416cos 2016cos AC αα=+-=-，21πsin 5343cos 23ABC S AC α∴=⨯⨯=-△，142sin 4sin 2ACD S αα=⨯⨯=△，∴四边形ABCD 的面积π5343cos 4sin 538sin()3S ααα=-+=+-，0πα<<，ππ2π333α∴-<-<， ∴当ππ32α-=，即5π6α=时，max 853S =+，所以当5π6D ∠=时，四边形ABCD 的面积取得最大值853+．21．（12分）支付宝作为常见的第三方支付工具，对提现转账均收费，有鉴于此，部分对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系，某调查机构对此进行调查，并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取200人，把这200人分为3类：认为使用支付宝方便，仍使用支付宝提现转账的用户称为“A 类用户”；根据提现转账的多少确定是否使用支付宝的用户称为“B 类用户”；提前将支付宝账户内的资金全部提现，以后转账全部通过银行的用户称为“C 类用户”，各类用户的人数如图所示：同时把这200人按年龄分为青年人组与中老年人组，制成如图所示的22⨯列联表：A 类用户非A 类用户合计 青年 20 中老年 40 合计200（1）完成22⨯列联表并判断是否有99．9%的把握认为“A 类用户与年龄有关”；（2）从这200人中按A 类用户､B 类用户､C 类用户进行分层抽样，从中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求在这4人中A 类用户､B 类用户､C 类用户均存在的概率；（3）把频率作为概率，从支付宝的全球所有用户中随机抽取3人，用X 表示所选3人中A 类用户的人数，求X 的分布列与期望． 附：()2P K k ≥0．01 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001k 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828(参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)【答案】（1）列联表见解析，有99．9%的把握认为；（2）310；（3）分布列见解析，数学期望为95．【解析】（1）22⨯列联表补充如下：A 类用户非A 类用户合计 青年 80 20 100 中老年 40 60 100 合计12080200()222008060402033.33310.82810010012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99．9%的把握认为“A 类用户与年龄有关”．（2）从这200人中按A 类用户､B 类用户､C 类用户进行分层抽样，从中抽取10人，则A 类用户6人､B 类用户3人､C 类用户1人，设A 类用户､B 类用户､C 类用户均存在的事件为事件D ，()211121631631410C C C C C C 451832100C 1PD ++===， 所以在这4人中A 类用户､B 类用户､C 类用户均存在的概率为310． （3）把频率作为概率，从支付宝所有用户中抽取3人，可近似看作3次独立重复试验，所以X 的取值依次为0，1，2，3，且3~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭．()303380C 15125P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21333361C 155125P X ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭， ()22333542C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3333273C 5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 所以()f x 的分布列为3355EX =⨯=．22．（12分）已知函数()()ln f x e x ax a =-∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20xxf x e ex -+≤．【答案】（1）见解析；（2）见解析证明． 【解析】（1）()()0ef x a x x-'=>， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为増函数； ②若0a >，则当e x a <时，()0f x '>；当ex a>时，()0f x '<． 故在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 为増函数；在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 为减函数．（2）因为0x >，所以只需证()2xe f x e x≤-，由（1）知，当a e =时，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以()()max 1f x f e ==-．记()()20x e g x e x x =->，则()()21xx e g x x -'=，所以，当01x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数； 当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以()()min 1g x g e ==-．所以当0x >时，()()f x g x ≤，即()2x e f x e x≤-，即()20xxf x e ex -+≤．【海南省海口市华侨中学2021届高三第一次月考数学试题用稿】。
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2018年04月30日634****0510的高中数学组卷
一．选择题（共27小题）
1．斜率为4的直线经过点A（3，5），B（a，7），C（﹣1，b）三点，则a，b的值为（）
A．a=B．a=﹣，b=﹣11 C．a=，b=﹣11 D．a=﹣，b=11
2．下列说法正确的是（）
A．若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2
B．若直线l1∥l2，则k1=k2
C．若直线l1，l2的斜率不存在，则l1∥l2
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．下列说法正确的是（）
A．一条直线和x轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α≤180°
C．任何一条直线都有斜率
D．任何一条直线都有倾斜角
4．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．
5．直线x+y+1=0的倾斜角为（）
A．30°B．60°C．120° D．150°
6．若θ是直线l的倾斜角，且sinθ+cosθ=，则l的斜率为（）
A．﹣ B．﹣或﹣2 C．或2 D．﹣2
7．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2
8．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线kx﹣y+1﹣k=0与线段AB相交，则k的取值范围是（）
A． B．C．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D．[1，2] 9．经过两点A（2，1），B（1，m2）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（）
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜1 D．m＞1或m＜﹣1
10．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）
A．B．C． D．
11．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）
A．115°B．120°C．135° D．150°
12．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（0，m）三点共线，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5
13．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．1 D．﹣2
14．已知两点A（﹣1，0），B（2，1），直线l过点P（0，﹣1）且与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A．[﹣1，1]B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[﹣1，0）∪[1，+∞）
15．已知点A（﹣2，4）、B（4，2），直线l过点P（0，﹣2）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A．[1，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）16．直线（1+a2）x﹣y+2=0的倾斜角的取值范围是（）
A．[0，]B．[0，]C．[0，]∪（，] D．[，）17．过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
18．若A（x，﹣1），B（1，3），C（2，5）三点共线，则x的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
19．已知点A（2，0），点B（﹣2，0），直线l：（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），若直线l与线段AB有公共点，则λ的取值范围是（）
A．[﹣1，3）B．（﹣1，1）∪（1，3）C．[﹣1，1）∪（1，3]D．[﹣
1，3]
20．“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与直线bx+2y﹣2=0平行”的（）
A．充分必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
21．已知点A（a，a）（a≠0），B（1，0），O为坐标原点．若点C在直线OA上，且BC与OA垂直，则点C的坐标是（）
A．B．C．D．
22．以下四个命题：
①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；
③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．
其中正确的命题是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
23．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，﹣）的所有直线中（）
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B．恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
24．M（2，﹣3），N（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则l的斜率k的取值范围为（）
A．B．C．k≤﹣4或D．
25．直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是（）
A．平行B．垂直
C．斜交D．与a，b，θ的值有关
26．已知线段PQ的两个端点的坐标分别为P（﹣1，6）、Q（2，2），若直线mx+y
﹣m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）C．[﹣2，3] D．[﹣3，2]
27．直线l经过点（1，2），且倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍，则以下各点在直线l上的是（）
A．（1，1） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，0）
二．填空题（共11小题）
28．平面上三条直线x﹣2y+1=0，x﹣1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A=．
29．一条直线过点P（2，0）且点Q（﹣2，）到该直线的距离等于4，则该直线倾斜角为．
30．平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是．31．设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为．
32．已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：ax﹣y+3a=0．若l1⊥l2，则a=．33．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为．34．已知直线l的斜率为k，经过点（1，﹣1），将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m，若直线m不经过第四象限，则直线l的斜率k 的取值范围是．
35．直线﹣x+y﹣6=0的倾斜角是，在y轴上的截距是．36．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．
37．若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是．
38．直线ax+y+1=0与连接A（3，2），B（﹣3，2）两点的线段相交，则a的取值范围．
三．解答题（共2小题）
39．求下列在直线l的方程
（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；
（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（3）过点A（2，1）和直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点．40．设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A
（1）求tan2A的值；
（2）求cos（﹣A）的值．
2018年04月30日634****0510的高中数学组卷
参考答案
一．选择题（共27小题）
1．C；2．D；3．D；4．C；5．D；6．D；7．A；8．B；9．C；10．A；11．D；12．A；13．B；14．B；15．D；16．D；17．C；18．B；19．D；20．C；21．D；22．D；23．C；24．C；25．B；26．A；27．A；
二．填空题（共11小题）
28．{﹣1，0，﹣2}；29．或；30．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0；31．（2，+∞）；32．±1；33．1；34．0≤k≤；35．30°；2；36．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）；37．[0，]∪[，π）；38．a≤﹣1或a≥2；
三．解答题（共2小题）
39．；40．；。