6.4.万有引力理论的成就 精品课件(人教版必修2)

2．计算天体的质量 下面以地球质量的计算为例，介绍几种 计算天体质量的方法： (1)若已知地球的半径 R 和地球表面的 重力加速度 g，根据物体的重力近似等 于地球对物体的引力，得 M地· m mg＝G 2 ，解得地球质量为 M 地＝ R R2g . G
(2)质量为 m 的卫星绕地球做匀速圆周运动 Mm G r2
特别提醒：(1)计算天体的质量的方法不仅 适用于地球，也适用于其他任何星体．注意 方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体 的质量． (2)要注意R、r的区分．R指中心天体的半径 ，r指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨 道运行，则有R＝r.
即时应用(即时突破，小试牛刀) 1． (2011 年高考福建卷)“嫦娥二号”是 我国月球探测第二期工程的先导星．若 测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度 均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的 周期为 T，已知引力常量为 G，半径为 4 3 R 的球体体积公式 V＝ πR ，则可估算 3 月球的( )
第四节
万有引力理论的成就
课标定位 学习目标：1.了解重力等于万有引力的条 件． 2．会用万有引力定律求中心天体的质量． 3．了解万有引力定律在天文学上的重要应 用． 重点难点：1.利用万有引力定律对天体进行 有关计算． 2．万有引力定律与牛顿第二定律综合解决 圆周运动问题．
课前自主学案
核心要点突破 第 四 节
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
一、地球质量的计算 1． 若不考虑地球自转的影响， 地面上质 量为 m 的物体所受的重力近似等于地球
引力 对物体的______． Mm G 2 2．公式：mg＝
二、计算天体的质量 1．将行星(或卫星)的运动近似看做
4π2r3 【答案】 T2G
【名师归纳】
对于双星问题要注意：
(1)两星所需的向心力由两星球间万有引力提 供，两星球做圆周运动的向心力大小相等．
(2)双星具有共同的角速度、周期． (3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线 上．
变式训练3 (2010年高考重庆理综卷)月球与 地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球 和地球可视为一个由两质点构成的双星系统 ，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周 运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运 动的线速度大小之比约为( )
2
变式训练1 (2011年合肥高一检测)如果我们 能测出月球表面的加速度g，月球的半径R和 月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引 力定律“称量”月球的质量了．已知引力常 量G，用M表示月球的质量，关于月球质量 ，下列各式正确的是( )
gR2 A．M＝ G 4π2R3 C．M＝ GT2
GR2 B．M＝ g T2R3 D．M＝ 2 4π G
F3T4 【答案】 16π4Gm3 【方法总结】 求天体质量的方法主要有两
种： 一种方法是根据重力加速度求天体质量， M gR 即 g＝G 2，则 M＝ ；另一种方法是根据 G R 天体的圆周运动，即根据天体做圆周运动的 Mm 向心力由万有引力提供，列出方程：G 2 ＝ r 4π2 4π2r3 m 2 r，求得 M＝ . T GT2
3．海王星和冥王星的轨道与计算结果不完 全符合，因此人们猜测在冥王星外侧还有未 发现的大行星．
注意：海王星和哈雷彗星的“按时回归”最终 确立了万有引力定律的地位．
核心要点突破
一、天体质量和密度的计算 1．求天体质量的思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆 周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心 力等于它与中心天体的万有引力，利用此关 系建立方程求中心天体的质量．
例3
【思路点拨】 双星在他们的引力作用下 做圆周运动，周期和角速度相同，都是由万 有引力提供向心力． 【精讲精析】 设两颗恒星的质量分别为 m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2.根 据题意有 r1＋r2＝r 根据万有引力定律和牛顿定律，有
m1m2 4π2 G 2 ＝m1 2 r1 r T m1m2 4π2 G 2 ＝m2 2 r2 r T 联立以上各式解得 4π2r3 m1＋m2＝ 2 . TG
解析：选 A.根据月球表面物体的重力和 GMm 万有引力相等，mg＝ 2 ，可得月球 R gR2 质量 M＝ G ，所以 A 对，B 错．
由月球和地球间的万有引力提供月球绕 M地M 地球运转的向心力即 G 2 ＝ r 2π 2 M( T ) r(其中 r 为地月距离)可求中心天 4π2r3 体地球的质量 M 地＝ 2 ，所以 C、D GT 均错．
二、应用万有引力定律计算天体运动 1．解决天体问题的两条思路： (1)万有引力提供向心力 2 v Mm G 2 ＝ ma 向 ＝ m r ＝ mω2r ＝ mωv ＝ r 4π2 m 2 r. T (2)重力近似等于万有引力(m 在 M 的表 面附近，不考虑自转影响) Mm mg＝G 2 . R
2．常用的几个关系式 设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的 中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动 v2 Mm GM (1)由 G 2 ＝m r 得 v＝ ，r 越 r r 大，天体的 v 越小． Mm GM 2 (2)由 G 2 ＝mω r 得 ω＝ 3 ，r r r 越大，天体的 ω 越小．
天体密度的估算
例2 假设在半径为R的某天体上发射一颗该
天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆 周运动的周期为T1，已知引力常量为G，则 该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体 表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的 周期为T2，则该天体的密度又是多少？
【自主解答】
设卫星的质量为 m，天
体的质量为 M.卫星贴近表面运动时有 Mm 4π 4π R G 2 ＝m 2 R，解得 M＝ R T1 GT2 1
2π 2 4π r m r⇒M＝ ，已知卫星的r和T可以 T GT2 求M； v2 rv2 m ⇒M＝ ，已知卫星的r和v可以求M； G r 3 2 rω 2 mω r⇒M＝ ，已知卫星的r和ω可以求M. G
2 3
＝
3．计算天体的密度 若天体的半径为 R，则天体的密度 ρ＝ M 4 3 πR 3 4π2r3 3πr3 将 M＝ 代入上式得：ρ＝ 2 3 GT2 GT R 特别地，当卫星环绕天体表面运动时， 其轨道半径 r 等于天体半径 R，则 ρ＝ 3π 2. GT
3π 【答案】 GT2 1
3πR＋h3 GT2R3 2
4π2r3 【方法总结】 利用公式 M＝ 计算 GT2 出天体的质量，再利用 ρ＝ 计算天 4 3 πR 3 体的密度，注意 r 指天体运动的轨道半 径，而 R 指中心天体的半径，只有贴近 中心天体运行时才有 r＝R. M
变式训练2 如果在一个星球上，宇航员为 了估测星球的平均密度，设计了一个简单的 实验：他先利用手表，记下一昼夜的时间T ；然后，用弹簧秤测一个砝码的重力，发现 在赤道上的重力为两极的90%.试写出该星 球平均密度的估算表达式．
A．密度
B．质量
C．半径
D．自转周期
解析： A.对“嫦娥二号”由万有引力提供向心力可 选 GMm 4π2 4π2R3 得： 2 ＝m 2 R， 故月球的质量 M＝ ， 因“嫦 R T GT2 娥二号”为近月卫星， 故其轨道半径为月球的半径 R， 但由于月球半径未知，故月球质量无法求出，月球质 量未知，则月球的半径 R 也无法求出，故 B、C 项均 4π2R3 M GT2 3π 错；月球的密度 ρ＝ ＝ ＝ 2，故 A 正确． V 4 3 GT πR 3
航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为F ，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行， 测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星 球的质量．
【思路点拨】
解答该题应明确两个关系：
(1)在行星表面物体的重力等于星球对它的 万有引力． (2)在行星表面附近飞船飞行的向心力由万有 引力提供．
【精讲精析】 当宇宙飞船在行星表面 空间做匀速圆周运动时，它的向心力由 万有引力提供，设行星质量、飞船质量 分别为 M 和 m1，行星半径为 R，则有 Mm1 4π2 G 2 ＝m1R 2 ① R T 砝码 m 的重力等于万有引力 Mm F＝G 2 ② R F3T4 由①②得 M＝ 4 3. 16π Gm
C．线速度变小
D．角速度变小
GMm 2π 2 解析：选 A.由 2 ＝mr( T ) 可知，变 r GM 轨后探测器轨道半径变小，由 a＝ 2 、 r v＝ GM 、ω＝ r GM 3 可知，探测器向 r
心加速度、线速度、角速度均变大，只 有选项 A 正确．
课堂互动讲练
天体质量的估算
例1 (2011年南京高一检测)在某行星上，宇
30π 答案：ρ＝ 2 GT
“双星”问题的求解
天文学家将相距较近、仅在彼此的引 力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系 统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗 恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已 知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的 某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双 星系统的总质量．(万有引力常量为G)
2 2 3
4 3 根据数学知识可知星球的体积 V＝ πR 3 M 4π2R3 3π 故该星球密度 ρ＝ V ＝ ＝ 4 3 GT2 1 2 GT1· πR 3
卫星距天体表面距离为 h 时有 Mm 4π2 G (R ＋ h) ， 解 得 M ＝ 2＝m T2 R＋h 2 4π2R＋h3 GT2 2 4π2R＋h3 3πR＋h3 M 所以 ρ＝ V ＝ ＝ 2 3 . GT2R 2 4 3 GT2· πR 3
Mm 2π 2 r3 (3)由 G 2 ＝m( T ) r 得 T＝2π GM ，r r 越大，天体的 T 越大． Mm GM (4)由 G 2 ＝man 得 an＝ 2 ，r 越大，天 r r 体的 an 越小．
3．解决天体问题时应注意的问题
(1)在用万有引力等于向心力列式求天体的质 量时，只能测出中心天体的质量，而环绕天 体的质量在方程式中被消掉了． (2)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题 目中的隐含条件．如地球公转一周是365天 ，自转一周是24小时，其表面的重力加速度 约为9.8 m/s2等．