高考椭圆题型总结有答案
高考椭圆题型总结有答案
椭圆题型总结
一、椭圆的定义和方程问题
一)定义:
命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0，常数)。
命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的充要条件。
已知F1、F2是两个定点，且F1F2=4，若动点P满足
PF1+PF2=4，则动点P的轨迹是椭圆。
已知1、2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长1到P，使得PQ=PF2，那么动点的轨迹是圆。
x^2+y^2=1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的
中点，椭圆则ON的值是4.O是椭圆的中心，(1,0)是椭圆的左
焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）。
选做：已知F1是椭圆，求|PA|+|PF1|的最小值。
二)标准方程求参数范围
试讨论k的取值范围，使方程(5-k)x^2+ky^2-3=0表示圆、椭圆、双曲线。
m>n>0”是“方程mx+ny=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充
要条件。
若方程xsinα+ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，α所在
的象限是第二象限。
方程x=1-3y所表示的曲线是椭圆的右半部分。
已知方程x+ky=2表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1.
1.根据下列条件求椭圆的标准方程：
1) 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2,-6)；
3) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2)。
二、简单几何性质
椭圆的离心率为e=√(1-b^2/a^2)，其中a、b分别为长轴和短轴的一半。
椭圆的周长为C=4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
椭圆的面积为S=πab。
点M(x,y)满足x2/25+(y+3)2/16=1，求点M的轨迹方程。
2.已知动点P(x,y)过定点A(-3,0)，并且在定圆B:(x-
3)2+y2=64的内部与其相内切，求动点P的轨迹方程。
3.已知椭圆E:x2/16+y2/25=1，直线l过点(4,0)且与椭圆E 相交于点A、B两点，求线l的方程。
4.已知椭圆E:x2/9+y2/4=1，点P在椭圆上，直线l过点P 且与椭圆E相切于点Q，求线l的方程。
5.已知椭圆E:x2/16+y2/9=1，点P在椭圆上，直线l过点P且与椭圆E相交于点A、B两点，且PA=3PB，求线l的方程。
剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落，然后再小幅度的改写每段话。
且与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆 C(ab) 相交，其中一个交点为 M(2,1)。
解题思路：
1）根据已知条件可列出椭圆的方程。
2）根据已知条件可求出点 N 的坐标，进而求出三角形FBN 的面积。
1.已知一直线与椭圆 4x+9y=36 相交于 A、B 两点，弦 AB 的中点坐标为 (1,1)，求直线 AB 的方程。
解题思路：
根据已知条件可列出直线 AB 的方程，利用中点坐标可求出直线的斜率，从而确定直线的方程。
2.椭圆 C 以坐标轴为对称轴，并与直线 l: x+2y=7 相交于P、Q 两点，点 R 的坐标为 (2,5)，若△PQR 为等腰三角形，∠PQR=90°，求椭圆 C 的方程。
解题思路：
根据已知条件可列出椭圆的方程，利用等腰三角形的性质可求出点 P 和 Q 的坐标，从而求出椭圆的方程。
注意：应该注意审题，删除明显有问题的段落。同时，可以对每段话进行小幅度的改写，使得表述更加清晰明了。
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三 压轴解答题 第二关 椭圆相关的综合问题 【名师综述】 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系． 【考点方向标】 方向一 中点问题 典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12 x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点， PF x ⊥轴，2 PF = . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ?面积的最大值. 【举一反三】 （2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦 点重合，且椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．
方向二 垂直问题 典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2 e =，且过点(22． （1）求椭圆C 的方程； （2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足 12AM AB =u u u u v u u u v ，12 DN DE =u u u v u u u v ，求MNF ?面积的最大值． 【举一反三】 （2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一 点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP P ，且POB ?的面积是1 2 ，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值. 方向三 面积问题 典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()22 22:10x y E a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直 线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线 OP 的斜率为1 2 -. （1）求椭圆C 的标准方程；
(完整版)高考椭圆题型总结
椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点 的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( ) A 。充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ） A 。椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动 点 Q 的轨迹是( ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断 动点M 的轨迹。 5. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。 (二) 标准方程求参数范围 1. 若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。（3，4）U(4，5） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。必要不充分条件 C 。充要条件 D 。既不充分又不必要条件
3. 已知方程11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 。 4. 已知方程22 2=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 . 6. 如果方程22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 8. 已知方程222 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 . (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程: （1）两个焦点的坐标分别为（0,5)和（0，－5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26; （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程。 2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为 。 3. 如果椭圆:k y x =+224上两点间的最大距离为8,则k 的值为 . 4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点,且椭 圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。 5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为 354和3 5 2，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） 长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-; （2） 在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6。
高考椭圆题型总结有答案
高考椭圆题型总结有答案 椭圆题型总结 一、椭圆的定义和方程问题 一)定义: 命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0，常数)。 命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的充要条件。 已知F1、F2是两个定点，且F1F2=4，若动点P满足 PF1+PF2=4，则动点P的轨迹是椭圆。 已知1、2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长1到P，使得PQ=PF2，那么动点的轨迹是圆。
x^2+y^2=1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的 中点，椭圆则ON的值是4.O是椭圆的中心，(1,0)是椭圆的左 焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）。 选做：已知F1是椭圆，求|PA|+|PF1|的最小值。 二)标准方程求参数范围 试讨论k的取值范围，使方程(5-k)x^2+ky^2-3=0表示圆、椭圆、双曲线。 m>n>0”是“方程mx+ny=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充 要条件。 若方程xsinα+ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，α所在 的象限是第二象限。 方程x=1-3y所表示的曲线是椭圆的右半部分。
已知方程x+ky=2表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1. 1.根据下列条件求椭圆的标准方程： 1) 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； 2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2,-6)； 3) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2)。 二、简单几何性质 椭圆的离心率为e=√(1-b^2/a^2)，其中a、b分别为长轴和短轴的一半。 椭圆的周长为C=4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
考点42 椭圆——2021年高考数学专题复习真题附解析
考点42 椭圆 【题组一 椭圆的定义及运用】 1．设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()129 0PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 【答案】D 【解析】当0a >时，由均值不等式的结论有：96a a + ≥=，当且仅当3a =时等号成立.当9 6a a + =时，点P 的轨迹表示线段12F F , 当129 6a F F a + >=时，点P 的轨迹表示以12F F 为焦点的椭圆,本题选择D 选项. 2．如图把椭圆22 12516 x y +=的长轴AB 分成8等分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P1， P2，…，P7七个点，F 是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=" " . 【答案】35 【解析】由已知得5a =，如图，E 是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知17FP EP =，26FP EP =， 35FP EP =，又45FP =，∴1234567FP FP FP FP FP FP FP ++++++7655675EP EP EP FP FP FP =++++++222535a a a =+++=．故答案为35．
3．椭圆 22 1 92 x y +=的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若14 PF=， 2 PF=_______； 12 F PF ∠的小大为 __________． 【答案】2 ；2 3π； 【解析】因为由椭圆的定义，我们可知 1221 222 1212 1212 12 22 |||| cos 2 164281 2422 PF PF a PF a PF PF PF F F PF F F PF PF PF +=∴=- +- ?∠= ? +- ==- ?? 中， 4．过椭圆 22 1 2516 x y +=的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则PFQ △的周长的最 小值为（） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【解析】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F ,
2020高考数学(理数)题海集训31 椭圆(30题含答案)
2020高考数学(理数)题海集训31 椭圆 一、选择题 1.与椭圆9x 2＋4y 2 =36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24=1 B ．x 2＋y 26=1 C.x 26＋y 2 =1 D.x 28＋y 25 =1 2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F.以原点O 为圆心的圆 与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( ) A.35 B ．12 C.23 D ．34 3.设椭圆C ： =1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°， 则C 的离心率为( ) A. B. C. D. 4.设椭圆13 422=+y x 的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若△PF 1F 2是直角三角形,则△PF 1F 2的面积为( ) A.3 B.3或1.5 C.1.5 D.6或3 5.椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点， 则椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 22 =1 B.x 22＋y 2 =1 C.x 24＋y 22=1 D.y 24＋x 22=1 6.已知椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P.若AP ―→=2PB ―→ ，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12 7.已知P 为椭圆x 225＋y 216 =1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2=1和圆(x －3)2＋y 2 =4上的点， 则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A ．5 B ．7 C ．13 D ．15 8.曲线x 225＋y 29=1与曲线x 225－k ＋y 29－k =1(k ＜9)的( ) A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等
高考数学题型归纳,直线和椭圆综合应用
第二课时 直线与椭圆的综合问题 考点一 弦中点问题 [典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦 的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( ) A.1 2 B.22 C.32 D.55 [解析] 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)， 所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1＝1.由⎩ ⎨⎧ x 21a 2 ＋y 21 b 2＝1，x 22a 2＋y 2 2 b 2 ＝1，两式相减得， (x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝ －b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝1 4，于是椭圆的离心率 e ＝c a ＝ 1－b 2a 2＝3 2 ，故选C. [答案] C [解题技法] 1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤 2．解有关弦中点问题的注意点 对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 1．已知椭圆：x 29＋y 2 ＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．9x ＋y －5＝0 B ．9x －y －4＝0 C ．x ＋9y －5＝0 D ．x －9y ＋4＝0 解析：选C 设A (x 1 ，y 1 )，B (x 2 ，y 2 )，则有⎩⎨⎧ x 2 1 9＋y 21＝1，x 22 9＋y 22 ＝1， 两式作差得(x 2－x 1)(x 2＋x 1) 9 ＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1) ＝0，因为x 2＋x 1＝1，y 2＋y 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1 ＝k AB ，代入后求得k AB ＝－19，所以弦所在的直线方程为y －1 2＝
第4讲 第三定义(解析版)-2021年新高考数学椭圆小题全归纳
第4讲 第三定义 一、单选题 1．椭圆C ：22 143 x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那 么直线1PA 斜率的取值范围是 A ．13[,]24 B ．33[,]84 C ．1[,1]2 D ．3[,1]4 【答案】B 【详解】 设P 点坐标为00(,)x y ，则22 00143x y +=，2002PA y k x =-，1 00 2PA y k x =+， 于是1 2 2 2 222003334•244 PA PA x y k k x x - ===---，故1 2 314PA PA k k =-. ∵2[2,1]PA k ∈-- ∴133[,]84 PA k ∈.故选B. 【考点定位】直线与椭圆的位置关系 2．双曲线C ：22 153 x y -=的左、 右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线1PA 斜率的取值范围是 A ．3[1,]10 -- B ．33[,]84 C ．33[,]1020 - - D ．33[ ,]2010 【答案】C 【详解】 试题分析：根据双曲线的方程可知1A ，2A 的坐标分别为 ， ，设点 的坐标为 ，则 ，．不难发现，且因为点在双 曲线上，所以22 00153 x y -=，再结合 ，解得，故选C ． 考点：双曲线的简单性质．
【思路点睛】本题中我们可以看到给出的两条直线具有相关性，即具有公共点，且它们各自所经过的定 点1A ，2A 是关于原点对称的，此时不难想到两条直线的斜率之间必然会有某种关系．那么解题的关键是找出两条直线斜率之间的等式关系，再根据已知直线的斜率的取值范围，求解未知直线的斜率． 3．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()22 22:10x y a b a b Ω+=>>，且AB ，AD 斜率之积的范围为 32,43⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ ，则椭圆Ω离心率的取值范围是 A ．1 2⎛ ⎝⎭ B ．⎝⎭ C ．41⎛ ⎝⎭ D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】A 【分析】 由题意，,D B 关于原点对称，设()()()0000,,,,,D x y B x y A x y --，AD AB k k ∴⋅= 222 202222 2 0002 222 000011x x b b a a y y y y y y b x x x x x x x x a ⎛⎫ ⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⨯===--+--，2222 321,,43b c a a ⎛⎫∴-=-∈-- ⎪⎝⎭ 22111,,,4323c e a ⎛⎫⎛⎫ ∴∈∴∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选A. 【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质与离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.本题是利用AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ ，得到2223,34b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，进而构造出关于e 的不等式，最后解出e 的范围. 4．设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左,右顶点为,,A B P 是椭圆上不同于,A B 的一点,设直线,AP BP 的 斜率分别为,m n ,则当 ln ln a m n b ++取得最小值时,椭圆C 的离心率为 A ． 15 B ． 2 C ． 45 D
高考数学二轮复习专项分层特训命题点23 椭圆含答案
命题点23 椭圆 小题突破 一、单项选择题 1．[2022·山东日照二模]已知曲线C ：x 2a ＋y 2a －1 ＝1，则“a >0”是“曲线C 是椭圆”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 2．[2022·全国甲卷(文) ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→ ·BA 2→ ＝－1，则C 的方程为( ) A ．x 218 ＋y 216 ＝1 B ．x 29 ＋y 28 ＝1 C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝1 3．[2022·广东肇庆二模]已知点F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点，点A 是椭圆上一点，点О为坐标原点，若|OA |＝|OF 1|，直线F 2A 的斜率为－3，则椭圆C 的离心率为( ) A ．58 B ．54 C ．13 D ．104 4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ·||MF 2 的最大值为( ) A ．13 B. 12 C ．9 D. 6 5．[2022·河北邯郸一模]已知椭圆C ：x 225 ＋y 216 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，则满足△PF 1F 2为直角三角形的点P 有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 6．[2022·湖南岳阳一模]已知椭圆长轴AB 的长为4，N 为椭圆上一点，满足||NA ＝1，∠NAB ＝60°，则椭圆的离心率为( ) A ．55 B ．255 C ．277 D ．377 7．[2022·全国甲卷(理)]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，
椭圆高考题赏析带解析
椭圆高考题赏析
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 45352515 答案:B 解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c.又222b a c =-,所以 222()4()a c a c +=-. 所以53a c =.所以35 c e a ==. 2.已知椭圆22221(y x a b a b +=>>0的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若AP 2PB =,则椭圆的离心率是 A.32 B.22 C.13 D.12 答案:D 解析:对于椭圆,∵AP 2PB =,则OA 2OF =,∴a=2c.∴12 e =. 3.已知椭圆22221(y x a b a b +=>>0的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使1221 sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为. 答案:(211)-, 解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得211221 sin PFF sin PF F PF PF |||| =,∠∠ 则由已知,得 1211a c PF PF =,|||| 即a|1PF |=c|2 PF |. 由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a,则c a |2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |2 2a c a =,+ 由椭圆的几何性质知|2PF |
高中数学 椭圆专题(经典例题 考题 练习)附答案
高中数学椭圆专题 一．相关知识点 1．椭圆的概念 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。 (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集。 2．椭圆的标准方程和几何性质 3．椭圆中常用的4个结论
(1)设椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P 在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。 (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。 (3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。 (4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。 一、细品教材 1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是() A.x2 25＋ y2 16＝1 B. x2 100＋ y2 9＝1 C. y2 25＋ x2 16＝1 D. x2 25＋ y2 16＝1或 y2 25＋ x2 16＝1 2．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是() A. 2 2 B. 2－1 2C．2－ 2 D.2－1 走进教材答案 1．A; 2．D 二、双基查验 1．设P是椭圆x2 4＋ y2 9＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．4B．8 C．6 D．18 2．方程x2 5－m＋ y2 m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是() A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
2021届高三高考数学复习压轴题专练32—椭圆(4)【含答案】
2021届高三高考数学复习压轴题专练32—椭圆（4）【含答 案】 1．直线10x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若2FC AC =，则该椭圆的离心率是( ) A ． 102 2 - B ． 31 2 - C ．222- D ．21- 解：如图所示： 对直线10x y -+=，令0x =，解得1y =，令0y =，解得1x =-， 故(1,0)F -，(0,1)C ，则(1,1)FC =， 设0(A x ，0)y ，则00(,1)AC x y =--， 而2FC AC =，则0021 2(1)1 x y -=⎧⎨ -=⎩，解得0012 12 x y ⎧=-⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩， 点A 又在椭圆上， 所以22 2 211 ()()221a b -+=，222(1,)c a b c ==+， 整理得4224421a a a -=-， 所以235 a += 所以241245(102)102 354435c e a ---=-+． 故选：A ．
2．已知椭圆2 214 x y +=的上顶点为A ，B 、C 为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直 线BC 过定点( ) A ．(1,0) B ．(3，0) C ．1 (0,)2 D ．3 (0,)5 - 解：因为AB AC ⊥，所以10AB AC k k =-<，所以直线BC 斜率存在， 设直线:(1)BC l y kx m m =+≠，1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，联立方程22 44y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ ， 消y 得222(41)8440k x kmx m +++-=，122 814km x x k -+= +， 2122 44 14m x x k -= +，(*) 又1212 11 1AB AC y y k k x x --=⋅=-， 整理得1212(1)(1)0y y x x --+=， 即1212(1)(1)0kx m kx m x x +-+-+=， 所以221212(1)(1)()(1)0(*)k x x k m x x m ++-++-=， 代入得：222222 4(1)(1)8(1) (1)01414k m k m m m k k +---+-=++， 整理得530m +=得35m =-，所以直线BC 过定点3 (0,)5 -． 故选：D ． 3．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若OAB ∠， OAF ∠的平分线分别交x 轴于点D ，E ，且222||||||2||||AD AE DE AD AE +-=⋅，则椭 圆C 的离心率为( ) A ． 22 B ． 31 2 - C ． 51 2 - D ． 32 解：如下图所示： 因 为 222||||||2|||AD AE DE AD AE +-⋅，所以由余弦定理得 222||||||2||||2 2||||AD AE DE AD AE AD AE +-⋅=⋅， 又(0,)2 DAE π ∠∈，所以45DAE ∠=︒．
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 41 椭圆
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 考点知识总结41 椭圆 高考 概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度 考纲 研读 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性 质(范围、对称性、顶点、离心率) 2．了解椭圆的简单应用 3．理解数形结合的思想 一、基础小题 1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1 2，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 2 3＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．x 24＋y 2 ＝1 答案 C 解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝1 2，所以a ＝2，b 2＝a 2 －c 2 ＝3，因此其方程是x 24＋y 2 3＝1.故选C.
2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 等于( ) A.12 B ．2 C.4 D ．14 答案 D 解析 由x 2 ＋y 2 1m ＝1及题意知，2 1m ＝2×2×1，得m ＝14.故选D. 3．已知动点M (x ，y )满足 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝4，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C.圆 D ．线段 答案 D 解析 设点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，由题意知动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝4＝|F 1F 2|，故动点M 的轨迹是线段F 1F 2.故选D. 4．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2 5＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2| |PF 1 |的值为( ) A.514 B ．513 C.49 D ．59 答案 B 解析 由题意知a ＝3，b ＝ 5.由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，因为PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF 2⊥x 轴，所以由x ＝c 时可得|PF 2|＝b 2a ＝53，所以|PF 1|＝6－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1 |＝5 13.故选B. 5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )
高考数学习题 椭圆及其性质
9.2 椭圆及其性质 基础篇 固本夯基 考点一 椭圆的定义及标准方程 1.(2022届黑龙江大庆月考,4)与双曲线y 2 2 -x 2 =1共焦点,且离心率为√3 2 的椭圆的标准方程为 ( ) A.y 22+x 2 =1 B.x 22+y 2 =1 C.y 24 +x 2=1 D.x 24 +y 2 =1 答案 C 2.(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F 1,F 2是椭圆C:x 29+y 24 =1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6 答案 C 3.(2021合肥一模,5)已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点,椭圆E 上一点P(2,1)关于原点的对称点为Q,若△PQF 的周长为4√2+2√5,则a-b=( ) A.√2 B.√22 C.√3 D.√3 2 答案 A 4.(2022届云南师大附中月考,8)已知椭圆x 24+y 23 =1,F 是椭圆的左焦点,P 是椭圆上一点,若椭圆内一点A(1,1),则|PA|+|PF|的最小值为 ( ) A.3 B.√10 C.√5+1 2 D.√5+1 答案 A 5.(2022届贵阳一中月考,15)已知m,n ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则方程C 9m x 2 +C 9n y 2 =1表示不同的椭圆的个 数为 . 答案 20 6.(2022届四川树德中学开学考,15)已知椭圆C:x 24+y 23 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2,M 为椭圆C 上任意一点,N 为圆E:(x-3)2 +(y-2)2 =1上任意一点,则|MN|-|MF 1|的最小值为 . 答案 2√2-5
高考数学专题《椭圆》习题含答案解析
专题9.3 椭圆 1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ） A B C ． D ． 【答案】B 【解析】，选B ． 2.（2019·北京高考真题）已知椭圆22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( ) A ．a 2=2b 2 B ．3a 2=4b 2 C ．a =2b D ．3a =4b 【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2 221,2 c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B. 3．（上海高考真题）设p 是椭圆22 12516 x y + =上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 【答案】D 【解析】 因为椭圆的方程为22 5 1162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=， 故选D ． 4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2 ， 且C 的离心率为 1 2 ，则C 的方程是（ ） A ．22143x y += B ．22 186 x y + C ．22 142 x y += D ．22 184 x y += 22 194 x y +=23 59 33 e = =练基础
【答案】A 【解析】 依题意，可得213141 2a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22 143x y +=. 故选：A 5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()22 2210x y a b a b +=>>，焦 距为2c ，直线:4 l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） A B ． 34 C ． 12 D ． 14 【答案】A 【解析】 设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A ，则4 y x = 由2AB c = ，可知OA c = = c = ，解得3x =， 所以1,33A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 把点A 代入椭圆方程得到2 2 22 131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+=， 整理得4281890e e -+=，即( )( ) 2 2 43230e e --=， 因01e << ，所以可得e =故选A 项. 6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆22 11615 y x +=的上、下焦点，在椭圆上 是否存在点P ，使 11PF ，12 1F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析 1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭 圆于两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）直线方程为：或. 【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、 三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜 角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得 到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程. 试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为 ，所以，所以②，解①②得. 所以椭圆的方程为：（4分） （2）①当直线的倾斜角为时，, ，不适合题意。（6分） ②当直线的倾斜角不为时，设直线方程， 代入得：（7分） 设，则,, ， 所以直线方程为：或（12分） 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式. 2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点. （1）当时，求直线AB的方程; （2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值. 【答案】（1）；（2）见解析。 【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标. 试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.
2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题17 解析几何中的椭圆问题(含详解)
专题17 解析几何中的椭圆问题 【高考真题】 1．(2022·全国甲文) 已知椭圆22 2 2: 1(0)x y C a b a b + =>>的离心率为1 3，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为 C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为( ) A ．2211816x y += B ．22198x y += C ．22132x y += D ．2 212 x y += 1．答案 B 解析 因为离心率1 3c e a = =， 解得2289b a =，2289b a =，12,A A 分别为C 的左右顶点， 则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b ，所以12(,),(,)BA a b BA a b =--=-，因为121BA BA ⋅=-，所以2 2 1a b -+=-，将2 289b a =代入，解得22 9,8a b ==，故椭圆的方程为22198 x y +=．故选B ． 2．(2022·全国甲理) 椭圆222 2 : 1(0)x y C a b a b + =>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若 直线,AP AQ 的斜率之积为 1 4 ，则C 的离心率为( ) A B ．2 C ．12 D ．13 2．答案 A 解析 (),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则11 11,AP AQ y y k k x a x a = =+-+， 故21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则() 2221 212b a x y a -=， 所以 () 222 12 2 2 114 b a x a x a -=-+，即2 214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a === A ． 3．(2022·新高考Ⅰ) 已知椭圆222 2 :1(0)x y C a b a b +=>>， C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为1 2 ．过 1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 3．答案 13 解析 ∵椭圆的离心率为1 2 c e a = =，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为 222222 2 13412043x y x y c c c + =+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵ 222AF a OF c a c ===，，，∴23 AF O π∠= ，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交 于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE ， 直线DE 的 方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-= ，整理化简得到：221390y c --=，判别式
专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)
专题25 椭 圆（解答题） 1．已知椭圆Γ：()22 211y x a a +=>与抛物线C ：()2 20x py p =>有相同的焦点F ，抛 物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程； （2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值． 【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文） 【答案】（1）Γ的方程为2 2 14 y x +=，C 的方程为2x =； （2）最大值为1． 【解析】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p - -，B 的坐标为1(,)22 p -， 所以有：2 22 2114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，所以2 4a = ，p = 所以椭圆Γ的方程为2 2 14 y x +=，抛物线C 的方程为2x =； （2）由（1）可知F 的坐标为， 设直线l 的方程为y kx =O 到MN 的距离为d ， 则d = = ，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ ， 可得( )2 2 410k x ++-= ，则()22 414 k k MN +==+， 1 OMN S ==≤ =， 当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1．
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： 22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F 1(－2， 0)，且点P (0，2)在椭圆C 1上． （1）求椭圆C 1的方程； （2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程 【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】（1）22184 x y +=； （2 ）y =+ y x =- 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(2,0)F -，所以2c =， 点(0,2)P 代入椭圆22 221x y a b +=，得241b =，即2b =， 所以2 2 2 8a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为22 184 x y +=； （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+， 由22 184x y y kx m ⎧+ =⎪⎨⎪=+⎩ ，消去y 并整理得222(12)4280k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以△2222164(12)(28)0k m k m =-+-= 整理得22 840k m -+=①，由28y x y kx m ⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(28)0k x km x m +-+=， 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以△222(28)40km k m =--=，整理得2km =②， 综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或k m ⎧=⎪ ⎨⎪=-⎩ ， 所以直线l 的方程为y = + y x =- 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．