统计学中的抽样分布基本理论
统计学中的中心极限定理与抽样分布
统计学中的中心极限定理与抽样分布统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，中心极限定理和抽样分布是两个重要的概念和原理。
它们在统计学的应用中起着至关重要的作用。
本文将对中心极限定理和抽样分布进行详细阐述。
一、中心极限定理中心极限定理是统计学中的一项核心概念，它描述了当从总体中抽取样本时，样本均值的分布会趋近于正态分布。
简而言之，中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体的分布形态如何，样本均值的分布都会接近于正态分布。
中心极限定理的重要性在于它为统计分析提供了一个基本的理论依据。
通过中心极限定理，我们可以进行推断性统计分析，并利用正态分布的性质进行假设检验、置信区间估计等。
以投掷硬币的实验为例，如果我们重复投掷大量次数，每次记录正面朝上的次数，那么这些次数的平均值将会呈现出正态分布。
即使每次投掷的结果并非正态分布，但通过中心极限定理，样本均值的分布将趋近于正态分布。
二、抽样分布抽样分布是指对从总体中抽取的样本数据进行统计分析后得到的分布。
在统计学中，我们通常不直接分析总体，而是通过对样本的分析来推断总体的特征。
而抽样分布则是这样的推断过程中，样本统计量的分布情况。
常见的抽样分布包括 t 分布、F 分布和卡方分布等。
这些分布是在特定条件下得出的，它们在统计推断中起着重要的作用。
1. t 分布t 分布是一种在小样本条件下使用的概率分布。
它与正态分布相似，但相对于正态分布而言，t 分布的尾部较宽。
t 分布的形态取决于自由度（样本容量减1），随着自由度的增加，t 分布逐渐逼近于正态分布。
t 分布常用于小样本条件下的统计推断，例如对两个样本均值进行比较时，使用 t 检验来判断两者是否有显著性差异。
2. F 分布F 分布是一种用于比较两个或更多组数据变异性的概率分布。
F 分布的形态取决于两个自由度，分子自由度表示组间变异的自由度，分母自由度表示组内变异的自由度。
F 分布常用于方差分析，用于比较多个样本组之间的差异性。
统计学中的抽样分布与中心极限定理
统计学中的抽样分布与中心极限定理在统计学中，抽样分布和中心极限定理是两个重要概念。
抽样分布是指从总体中连续地抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。
中心极限定理则是指在一定条件下，当样本容量趋于无穷大时，样本均值的分布逐渐接近正态分布。
一、抽样分布抽样分布是指在统计学中，从总体中随机地抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。
根据总体分布的不同形态，抽样分布可按照如下方式分类：1. 正态总体的抽样分布当总体服从正态分布时，样本均值的抽样分布也将服从正态分布。
这就是著名的正态抽样分布或称为正态分布的中心极限定理。
正态抽样分布在统计学中具有广泛的应用，因为许多自然界和社会科学现象都服从正态分布，故而正态抽样分布的应用范围较广。
2. 非正态总体的抽样分布当总体不服从正态分布时，样本均值的抽样分布通常不会呈现正态分布。
在这种情况下，我们可以通过大数定律和中心极限定理来描述样本均值的抽样分布。
这两个定理告诉我们，当样本的大小足够大时，即使总体不服从正态分布，样本均值的分布也会逐渐趋近于正态分布。
二、中心极限定理中心极限定理是统计学中的重要定理之一，它描述了当样本容量趋于无穷大时，样本均值的分布逐渐接近正态分布。
中心极限定理有三个不同的形式：李雅普诺夫定理、林德伯格-列维定理和辛钦定理。
这三个定理分别适用于不同的情况和总体分布。
1. 李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理适用于总体方差有限且总体分布没有特殊形态的情况。
该定理指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将逐渐接近于正态分布。
2. 林德伯格-列维定理林德伯格-列维定理是对于总体分布为任意形态的情况。
该定理表示，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似为正态分布。
这个定理是中心极限定理最常用的形式。
3. 辛钦定理辛钦定理适用于总体分布为指数分布或者离散分布的情况。
通过辛钦定理，我们可以得知，当样本容量足够大时，样本均值的分布将逐渐接近于正态分布。
综上所述，抽样分布和中心极限定理是统计学中非常重要的概念。
统计学第6章统计量及其抽样分布
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2. T统计量
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 )
n
的一个样本，
X
1 n
n i 1
Xi
(Xi X )2 s 2 i1
n 1
则 T(X) ~t(n1)
S/ n
称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。
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F分布
定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服 从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：
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中心极限定理
设从均值为，方差为2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时， 样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、 方差为σ2/n的正态分布。
当样本容量足够大时
(n≥30)，样本均值的抽样
分布逐渐趋于正态分布
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标准误差
标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异
1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本 均值的离散程度
因此，估计这100名患者治愈成功的比 例在85%至95%的概率为90.5%
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6.5 两个样本平均值之差的分布
设
X
1
是独立地抽自总体
X1 ~N(1,12)
的一个容量
为n1的样本的均值。 X 2 是独立地抽自总体
X2 ~N(2,22)的一个容量为n2的样本的均值，则有
E (X 1X 2)E (X 1) E (X 2)12
2. 样本均值的标准误差小于总体标准差
3. 计算公式为
x
n
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【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：
统计学之抽样与抽样分布
的抽样分布
统计推断的过程
• 总体均值
m=?
• 从总体中抽取 • 样本容量为 n 的样本
• 用 作为m 的点估计
• 计算样本平均值
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本平均值 的概率分 布
的期望值
E( ) = = 总体平均值
的抽样分布
的标准差
•
有限总体
无限总体
• 当 n/N < .05时，可以将一个有限总体看作是无限
统计学之抽样与抽样分 布
2020年4月29日星期三
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布 样本平均值 的抽样分布 样本比例 的抽样分布 抽样方法
•n = 100
•n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参数 进行很好的估计
也就是说，样本平均值在总体平均值+/-10分范围内的 概率为0.5036
•面积 = 2(.2518) = .5036
• 的抽样分布
•980 •990•1000
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本比例 的概率分布 的期望值
p = 总体比例
的抽样分布
的标准差 有限总体
无限总体
• 也称为样本比例的标准误
总体
•
称为有限总体校正因子.
• 也称为样本均值的标准误
的抽样分布
中心极限定理：只要样本容量足够大 (n > 30)，不管总 体服从什么分布，样本平均值 都可以认为近似服从 正态分布。
统计学抽样与抽样分布
3. 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于
实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
概率抽样（小结）
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。
n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。
样本分量：其中每一个Xi是一个随机变量，称为样本 分量。
样本观察值：一次抽样中所观察到的样本数据x1、x2、 x3称为样本观察值。 对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样 本容量也可大可小，因而，样本是不确定的、而是可5
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本指标（统计量）。在抽样估计中，用来反 映样本总体数量特征的指标称为样本指标，也 称为样本统计量或估计量，是根据样本资料计 算的、用以估计或推断相应总体指标的综合指 标。
3
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
（二）抽样平均误差（抽样标准误）
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标（因为 抽样误差是一个随机变量，它的数值随着可能抽取的 样本不同而或大或小，为了总的衡量样本代表性的高 低，就需要计算抽样误差的一般水平）。通常用样本 估计量的标准差来反映所有可能样本估计值与其中心 值的平均离散程度。
统计学中抽样和抽样分布基础知识
样本均值的抽样分布
定义：样本均值的所有可能值的概率分布 样本均值的数学期望：对于简单随机样本时，样本均值的数学期望与总体均值相等 样本均值样本中具有感兴趣特征的个体个数/样本容量 样本比率的抽样分布：是样本比率的所有可能值的概率分布
样本比率的数学期望：样本比率的数学期望与总体比率相等 样本比率的标准差
有限总体：有限总体修正系数*无限总体样本比率的标准差 无限总体：根号下p(1-p)/n 样本比率的抽样分布的形态 当样本容量足够大，同时np≥5和n(1-p)大于等于5时，样本比率的抽样分布可以 用正态分布近似
统计学中抽样和抽样分布基础知识
抽样基本属于
抽样总体：抽取样本的总体 抽样框：用于抽选样本的个体清单 参数：总体的数字特征
抽样
从有限总体的抽样 建议采用概率抽样 简单随机样本：从容量为N的有限总体中抽取一个容量为n的样本，如果容量为n 的每一个可能的样本都以相等的概率被抽出，则称该样本为简单随机样本 无放回抽样和有放回抽样 无放回抽样：被抽取对象已经选入样本，不希望该对象被多次选入 有放回抽样：对已经出现过的随机数仍选入样本
点估计
样本统计量：为了估计总体参数，计算样本的特征 抽样总体和目标总体
目标总体是我们想要推断的总体 抽样总体是指实际抽取样本的总体 点估计的性质 无偏性：样本统计量是相应总体参数的无偏估计量 有效性：采用标准误差较小的点估计量，给出的估计值与总体参数更接近 一致性：大样本容量给出的点估计与总体均值更接近
其他抽样方法
分层随机抽样：总体中的个体首先被分成层，总体中的每一个体属于且仅属于某一 层，从每一层抽一个简单随机样本 整群抽样：总体中的个体首先被分成单个组，总体中的每一个个体属于且仅属于某 一群，有群为单位抽取一个简单随机样本 系统抽样：对容量很大的总体，第一个个体为随机抽样，总体个体排列时个体的随 机顺序 方便抽样：非概率抽样 判断抽样：对总体非常了解主观确定总体中认为最具代表性的个体组成样本
数学统计学中的抽样分布与中心极限定理
数学统计学中的抽样分布与中心极限定理教案主题：数学统计学中的抽样分布与中心极限定理一、引言统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科，而抽样分布和中心极限定理是统计学中非常重要的概念和工具。
本教案将重点介绍抽样分布和中心极限定理的概念、性质和应用。
二、抽样分布抽样分布是指从总体中抽取样本后，对样本统计量的分布进行研究。
抽样分布的性质及其应用于统计推断中的意义是我们研究的重点。
1. 抽样分布的概念和基本性质a. 抽样分布的概念：抽样分布是指从总体中随机抽取样本，并计算出样本统计量后的分布。
b. 抽样分布的均值与总体均值：抽样分布的均值等于总体均值。
c. 标准误差与样本量：标准误差与样本量成反比。
d. 抽样分布的形状：根据中心极限定理，当样本量足够大时，抽样分布近似于正态分布。
2. 抽样分布的应用a. 置信区间：利用抽样分布，可以构建样本统计量的置信区间，用于总体参数的估计和推断。
b. 假设检验：通过与抽样分布进行比较，可以对总体参数的假设进行检验。
c. 抽样分布的应用案例：如投票调查中的样本误差估计、医学实验中对药物效果的检验等。
三、中心极限定理中心极限定理是统计学中的重要定理，它指出在一定条件下，大样本量下抽样均值的分布趋近于正态分布。
中心极限定理对于理解和推断总体参数具有重要意义。
1. 中心极限定理的概念和含义a. 中心极限定理的概念：中心极限定理是指在一定条件下，独立随机变量的和的分布近似服从正态分布。
b. 中心极限定理的含义：当样本量足够大时，抽样均值的分布近似服从正态分布，不论原始总体是什么分布。
2. 中心极限定理的条件和推论a. 独立同分布条件：中心极限定理要求随机变量独立同分布。
b. 样本量的要求：中心极限定理要求样本量足够大，一般认为当样本量大于30时，中心极限定理适用。
c. 中心极限定理的推论应用：求和问题、平均值问题、利用正态分布进行推断等。
四、抽样分布与中心极限定理的应用实例基于前面理论的讲解，我们将通过实际案例来演示抽样分布与中心极限定理的应用。
抽样分布知识点总结
抽样分布知识点总结抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了在进行抽样时得到的样本统计量的分布情况。
抽样分布是统计推断的基础，它可以帮助我们理解抽样误差以及估计参数的可信度。
在本文中，我们将对抽样分布的基本概念、性质和相关理论进行总结和讨论。
一、基本概念1.1 抽样与总体在统计学中，总体是指我们想要研究的所有个体的集合，而抽样则是从总体中选取一部分个体作为样本，以获得对总体特征的估计。
抽样可以是随机抽样、分层抽样、系统抽样等方法，目的是代表性地反映总体的特征。
1.2 样本统计量在抽样中，对样本数据进行统计分析得到的统计量称为样本统计量，常见的样本统计量有均值、方差、标准差、比例等。
样本统计量能够提供有关总体参数的估计和推断。
1.3 抽样分布抽样分布是描述样本统计量的分布情况的统计学概念。
当我们从总体中抽取多个样本，并计算每个样本的统计量时，得到的这些统计量的分布就是抽样分布。
抽样分布可以反映出样本统计量的可变性、偏移和分布形态等特征。
二、性质2.1 中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中的重要定理，它描述了在一定条件下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
中心极限定理对于理解抽样分布的性质和应用具有重要意义，也为许多统计推断方法提供了理论基础。
2.2 大数定律大数定律是另一个重要的抽样分布性质，它描述了当样本容量足够大时，样本均值会收敛于总体均值，即样本均值的抽样分布会集中在总体均值附近。
大数定律为我们理解样本统计量的稳定性和准确性提供了重要参考。
2.3 置信区间置信区间是根据抽样分布推断总体参数的一种方法，通过对抽样分布的分布情况进行分析，我们可以建立对总体参数的置信区间，从而对总体特征进行推断。
置信区间对于统计推断的可信度和精度有着重要的作用。
三、理论基础3.1 样本容量样本容量是影响抽样分布的一个重要因素，在实际抽样中，样本容量的大小对于样本统计量的分布情况有着重要的影响。
通常情况下，样本容量越大，抽样分布的稳定性和准确性越高。
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统计学中的抽样分布基本理论统计学是一门广泛应用于各个领域的学科。
在许多领域都需要
数据支撑决策，统计学是收集、分析和解释数据的科学。
而抽样
分布的基本理论则是统计学中最为基础且至关重要的概念之一。
什么是抽样分布？
抽样分布指的是在总体中选取一定数量样本的情况下，样本所
呈现的分布情况。
这个分布被称为抽样分布。
抽样分布正是在原
本无法得出准确结果时，在对样本进行检测和分析加以处理得出
的模拟分布情况。
抽样分布的定义
我们假设样本是从一个总体中随机抽取的，这个总体具有一个
概率分布，并且每个样本都独立地从该概率分布中抽取。
根据中
心极限定理，当样本数量足够大时，样本均值的分布将会近似正
态分布，均值为总体均值，标准差为总体标准差除以样本量的平
方根。
这个近似于正态分布的抽样分布称为样本均值的抽样分布。
抽样分布中的t分布
因为在实际应用中，样本的真实总体均值和总体标准差都是为了推断或预测总体特征，而在抽样时这些特征是不确定的，所以会有一定误差。
这时我们便需要用到其它类型的抽样分布。
t分布就是这样一种抽样分布方式，它在样本量较小时，比正态分布更适用。
它类似于正态分布，但在小样本情况下，会有更宽的尾部和更高的峰值。
t分布具有参数自由度 (df) ，其在自由度越大时，越接近于正态分布。
当自由度大于30时，两者基本一致。
了解抽样分布形式和方法对于进行更高质量的统计分析意义重大。
在统计中，我们总是使用概率论和数理统计中的一些基本思想来尽可能减少污染。
特别是在数据采集的实际工作中，数据样本的选取是统计分析的重要基础之一，样本均值的分布越正常，那么就可以推断出样本中的点集越正常。
抽样分布是推断总体、检验总体分布、总体均值、总体比率、总体标准差等经典统计问题的基础。