立体几何第一章专题

第一章 1.3 1.3.1 第2课时一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( )A ．63B ．36C ．11D ．122．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )A ．3B ． 4C ． 5D ．63．(2013～2014学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．164．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4B ．143C ．163D ．66．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm 二、填空题7．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________8．(2013·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.9．(2014·全国高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的的侧面积相等且S 1：S 2＝9 ：4，则V 1 V 2＝________三、解答题10．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．11．已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．12．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．第一章1.3 1.3.2一、选择题1．半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( )A ．22R 3B ．43πR 3C ．893R 3D ．39R 3 2．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )A ．6π6B ．π2C ．2π2D ．3π2π3．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )A ．6 5B ．5 4C ．4 3D ．3 24．(2013～2014·山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．20 2B ．252C ．50πD ．200π5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π 6．64个直径都为a 4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )A ．V 甲>V 乙且S 甲>S 乙B ．V 甲<V 乙且S 甲<S 乙C ．V 甲＝V 乙且S 甲>S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙二、填空题7．(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．8．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________．9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．三、解答题10．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S 1、S 2、S 3，试比较它们的大小．11．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm ，圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？12．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：m)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)．(2)求这个几何体的表面积及体积．第一章 1.3 1.3.1 第1课时一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍C ．2倍D ．2倍2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )A ．27B ．4 3C ．6D ．33．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π规律总结：圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A．6a2B．12a2C．18a2D．24a25．(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32 B．16＋16 2C．48 D．16＋32 26．(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．180 B．200C．220 D．240二、填空题7．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝________cm.8．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．9．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．三、解答题（8题）10．已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．11．(2013～2014·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．12．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)1．3.3 球的体积和表面积1．一个球的表面积扩大为原来的4倍，那么该球的体积扩大为原来的________倍．2．半径为1的球和边长为2的正方体，它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球>S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球<S 正方体D ．不能确定3．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，那么球的体积为( )A.3π2B.π6C.2π3D.3π24．若半径为1的球面上两点A ，B 间的球面距离为2π3，则弦长AB 等于( ) A.32B ．1C. 2 D. 3 5．球的一个截面面积为49π cm 2，球心到截面距离为24 cm ，则球的表面积是________．6．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．7．已知正方体外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长等于( ) A ．2 2 B.2 33 C.4 23 D.4 338．圆柱形容器的内壁底半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降( )A.53 cmB.35 cmC.45 cmD.43cm 9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图K1-3-6)，求球的半径．图K1-3-610．如图K1-3-7(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．图K1-3-71．3.2 柱体、锥体、台体的体积1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1∶V 2＝( )A ．1∶3B ．1∶1C ．2∶1D ．3∶12．圆锥母线长为2，底面半径为1，则圆锥的体积为( )A.23π B ．2π C.3π D.33π 3．矩形两邻边的长为a ，b ，当它分别绕边a ，b 旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为( )A.b aB.a bC.⎝⎛⎭⎫b a 3D.⎝⎛⎭⎫a b 3 4．若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．cmD ．5．如图K1-3-4是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33πB.12πC.33πD.36π 6．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸造成一个正方体的铜块，则铸成铜块的棱长为________．7．将长和宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆柱的体积为________．8．将半径为6的圆形铁皮，剪去面积为原来16的扇形，余下的部分卷成一个圆锥的侧面，则其体积为________．9．(2012年山东)如图K1-3-5，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，求三棱锥D 1-EDF 的体积．图K1-3-510．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高为4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些，说明理由．1.3 空间几何体的表面积与体积1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积1．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是( ) A ．4 3π B ．2 2πC ．2 3πD ．4 2π2．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 23．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的全面积是( )A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.⎝⎛⎭⎫32＋34a 24．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为( )A ．52πB ．36πC ．45πD ．37π5．若一圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积之比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π6．(2012年广东)某几何体的三视图如图K1-3-1，它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π图K1-3-1 图K1-3-27．若一个圆锥的正视图(如图K1-3-2)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．8．如图K1-3-3，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，则圆柱的表面积为__________．图K1-3-39．已知圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？最大值为多少？10．圆锥的半径为r ，母线长为4r ，M 为底面圆周上任意一点，从M 拉一根绳子，环绕圆锥的侧面一周再回到M ，求最短绳长．柱体、锥体、台体的表面积一、选择题1．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，且侧面A 1ABB 1与侧面A 1ACC l 的面积相等，则∠BB 1C 1等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ） A ．10cm B ．52cm C ．512+πcm D ．4252+πcm4．中心角为43π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于（ ）A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶85．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （a <b ），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（ ）A ．33（b 2－a 2）B ．23（b 2－a 2C ．3（b 2－a 2）D ．23（b 2－a 2）6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶3∶5C ．1∶2∶4D ．1∶3∶97．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（ ）A ．3∶5B ．9∶25C ．5∶41D ．7∶98．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．ππ221+B ．ππ421+C ．ππ21+D ．ππ241+9．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH的表面积为T ，则S T等于（ ）A ．91B ．94C ．41D ．3110．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（ ）A ．40B ．)31(20+C ．)31(30+D ．303二、填空题11．长方体的高为h ，底面面积是M ，过不相邻两侧棱的截面面积是N ，则长方体的侧面积是______．12．正四棱台上、下底面的边长为b 、a （a ＞b ）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．13．圆锥的高是10 cm ，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．14．圆台的母线长是3 cm ，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm 2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．三、解答题15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a ，侧面积为S ，求棱台上底面的边长．16．圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?17．圆锥底面半径为r ，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A ，求一个动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程．柱体、锥体与台体的体积一、选择题1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（ ）A ．2倍B ．4倍C ．2倍D ．22倍2．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是（ ）A 、28cmB ．32 cmC ．36 cmD ．40 cm3．正六棱台的两底面的边长分别为a 和2a ，高为a ，则它的体积为（ ）A ．32321aB ．3233aC ．337aD ．3237a4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．215．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm 2，则此球的体积为（ ）A ．334cm πB ．386cm πC ．361cm πD ．366cm π6．正六棱锥的底面边长为a ，体积为323a ，那么侧棱与底面所成的角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．125π7．正四棱锥的底面面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为（ ）A 、S Q 31B ．)(2122Q S Q -C 、)(2122Q S S -D 、)(6122Q S Q -8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）A ．1∶7B ．2∶7C ．7∶19D ．3∶169．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S 1、S 2、S 3，下面关系中成立的是（ ）A ．S 3＞S 2＞S 1B ．S 1＞S 3＞S 2C ．S 1＞S 2＞S 3D ．S 2＞S l ＞S 310．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（ ）A ．1∶5B ．1∶23C ．1∶11D ．1∶47二、填空题11．底面边长和侧棱长都是a 的正三棱锥的体积是_______．12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．三、解答题15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．16．两底面边长分别是15cm 和10cm 的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，求h ．18．如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C l D l 的棱长为a ，E 为棱AD 的中点，求点A 1到平面BED 1的距离．球的体积和表面积 一、选择题1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ，8倍2．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是（ ）A ．π42cB ．π42cC ．π2c D ．2πc 23．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（ ）A ．916πB ．38πC ．4πD ．964π4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ ）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．32倍5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（ ）A 、1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（ ）A ．4πB ．4πC ．π32D ．42π7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm ，两个直径都是5 cm 的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（ ）A 、35cmB ．310cmC ．340cm D ．65cm8．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积为（ ）A 、916π B ．38π C ．4π D ．964π9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（ ）A ．S 球＞S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球＜S 正方体D ．大小关系不确定二、填空题11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V 1、V 2、V 3，则V 1＋V 2＝_____V 3．12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l ，则球的体积为_________．13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm 2的圆柱状容器中，容器水面升高34cm ，则玻璃球的半径为__________．14．将一个半径为R 的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．15．表面积为Q 的多面体的每个面都外切于半径为R 的一个球，则多面体与球的体积之比为______．16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm ，“大球”的外径为40 mm ，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．三、解答题17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为16的小球？18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大?19．三棱锥A －BCD 的两条棱AB ＝CD ＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．。