量子霍尔效应
量子霍尔效应与拓扑绝缘体
量子霍尔效应与拓扑绝缘体引言：量子霍尔效应和拓扑绝缘体是当今凝聚态物理领域中备受关注的研究课题。
量子霍尔效应是指在二维电子系统中，当外加磁场达到一定强度时，电子会在材料内部形成特殊的电导态，即霍尔电导。
而拓扑绝缘体则是指一类具有特殊电子能带结构的材料，其内部电子态在边界上会呈现出特殊的导电性质。
本文将深入探讨量子霍尔效应和拓扑绝缘体的物理机制和应用前景。
一、量子霍尔效应的基本原理量子霍尔效应的基本原理可以通过考虑二维电子系统在外加磁场下的行为来理解。
当磁场作用于电子时，电子会受到洛伦兹力的作用，导致其运动轨迹弯曲。
在低温和强磁场下，电子的能级会发生量子化，即只有特定的能级可以被占据。
这些能级被称为朗道能级，其能量与磁场强度成正比。
当填充满一个朗道能级时，下一个能级将会出现空缺，此时电子无法在材料内部自由传导，从而形成电阻。
二、整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应根据填充的朗道能级数目，量子霍尔效应可以分为整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应。
整数量子霍尔效应发生在朗道能级的填充数为整数的情况下，而分数量子霍尔效应则发生在朗道能级的填充数为分数的情况下。
整数量子霍尔效应的经典示例是在二维电子气体中，填充数为1的情况下出现的霍尔电导。
而分数量子霍尔效应则是在填充数为分数的情况下，通过引入电子间的相互作用而产生的特殊电导行为。
三、拓扑绝缘体的特殊电子态拓扑绝缘体是一类具有特殊电子能带结构的材料。
在这些材料中，电子能带的拓扑性质导致其在边界上出现特殊的导电性质，即边界态。
这些边界态具有非常特殊的性质，例如在边界上的电子只能沿一个方向传导，而在另一个方向上则被禁止传导。
这种特殊的边界态被称为霍尔边界态，与量子霍尔效应中的霍尔电导有一定联系。
四、量子霍尔效应和拓扑绝缘体的应用前景量子霍尔效应和拓扑绝缘体在凝聚态物理领域具有广泛的应用前景。
首先，量子霍尔效应在精密测量和标准电阻等领域发挥着重要作用。
由于量子霍尔效应中的电导值非常精确，可以用于精确测量电阻的标准，从而推动了电阻计量学的发展。
量子力学中的量子霍尔效应研究
量子力学中的量子霍尔效应研究量子霍尔效应是指在低温和强磁场条件下，二维电子系统中观察到的一种非常特殊的电导行为。
这种现象的发现和研究，对于我们理解凝聚态物理学和量子力学的基本原理具有重要意义。
本文将从量子霍尔效应的发现历史、理论解释和实验研究等方面展开讨论。
量子霍尔效应的发现可以追溯到20世纪70年代。
当时，德国物理学家冯·克莱茨等人通过实验证实，在低温和强磁场下，二维电子气体的电导率会出现量子化的现象。
这意味着电子在二维平面上运动时，其电导率只能取特定的离散值，而非连续的。
这一发现引起了广泛的关注和研究，被认为是凝聚态物理学的重大突破之一。
量子霍尔效应的理论解释是基于量子力学的基本原理。
在强磁场下，电子的运动受到量子化的限制，只能沿着磁场方向运动，并形成一维的电子能级。
当温度趋近于绝对零度时，电子会填充这些能级，形成所谓的朗道能级。
在二维电子气体中，朗道能级的填充数目决定了电子的电导行为。
当朗道能级的填充数目发生变化时，电导率会出现跃迁，从而导致电导率的量子化。
实验研究是进一步理解量子霍尔效应的重要手段。
通过精确控制低温和强磁场条件，科学家们可以观察到量子霍尔效应的具体行为，并进行详细的测量和分析。
例如，通过测量电导率随磁场和温度的变化，可以确定量子霍尔效应的临界条件和相应的量子化数值。
此外，还可以通过引入杂质和缺陷等控制参数，研究量子霍尔效应的局域化和相变等现象。
近年来，随着量子技术的快速发展，量子霍尔效应的研究也取得了一系列重要进展。
例如，科学家们利用量子霍尔效应构建了一种新型的电子学器件——量子霍尔效应转换器。
这种器件可以将电流转换为高精度的电压信号，具有极高的灵敏度和稳定性，广泛应用于精密测量和量子计算等领域。
此外，量子霍尔效应还与拓扑物理学密切相关。
拓扑物理学是近年来兴起的一门新兴学科，研究物质的拓扑性质和拓扑相变等问题。
量子霍尔效应被认为是一种具有拓扑性质的量子态，其独特的电导行为与拓扑不变量之间存在紧密的联系。
量子霍尔效应
量子霍尔效应霍尔效应，它实际上一种电磁效应的。
我们给一块半导体通电，在导体外面外加一个与电流方面垂直的磁场，磁场会使半导体中的电子与空穴（可以视为正电荷）受到不同方向的洛伦兹力而在不同方面上聚集，聚集起来的电子和空穴之间会产生电场，此时在半导体两侧产生了垂直于磁场和电流方向的电压，而且在此电压生成的电场力和磁场的洛伦兹力平衡以后，后来的电子和空穴就不在聚集，顺利通过不发生偏移。
这种现象是由美国物理学家霍尔于1879年研究金属导电机制的时候发现的，所以命名为“霍尔效应”，且在实际生活中产生了广泛的应用，根据霍尔效应做成的霍尔器件，就是以磁场为工作媒介，将物体的运动参数转变为数字电压的形式输出，使之具备传感和开关功能。
如：汽车的点火系统，设计人员将霍尔传感器放在分电器内取代机械断电器，用作机械断电器，用作点火脉冲发生器。
这种霍尔点火发生器随着转速变化的磁场在带电半导体内产生脉冲电压，控制电控单元的初级电流。
相对于机械断电器而言，霍尔式点火脉冲发生器无磨损免维护，能够适应恶劣的环境，同时能够精确的控制点火，具有明显的优势。
什么是量子霍尔效应（二维）我们上面所说的霍尔效应是在三维的导体中实现的，其中的电子可以在导体中自由运动。
现在科学家通过某些手段将电子限制在一个二维平面内，之后添加一个垂直于该平面的磁场，同时沿着二维电子平面一个方向通以电流，此时在二维平面的另一个方向上测量到电压。
这种现象称为量子霍尔效应，属于量子力学版的霍尔效应。
该现象是由德国物理学家冯•克利青发现，并因此获得1985年的诺贝尔物理学奖。
但是为何在霍尔效应提出100年后才有人发现量子霍尔效应。
主要原因是理想的二维电子气难以实现，在半导体技术高速发展之后，人们才能在“金属-氧化物-半导体场效应晶体管”中实现比较理想的二维电子气，而且想要观测到这种现象还需要提供极低温和强磁场环境。
量子霍尔效应与上一节提到的霍尔效应最大不同之处在于横向电压对磁场的响应不同。
超导电学中的量子霍尔效应
超导电学中的量子霍尔效应超导电学是现代物理学中的一个重要分支，涉及到电子的超导、磁性、量子场论和拓扑态等方面。
在这个广阔的领域中，量子霍尔效应是一个备受关注的现象。
本文将围绕着“超导电学中的量子霍尔效应”这个主题，深入探讨这个引人入胜的研究领域。
第一部分：初识量子霍尔效应量子霍尔效应是一种量子力学效应，它是指在弱磁场和低温下，在二维区域内沿着磁场方向形成的微小电压，这种电压与所施加的电流方向正交，而且其电导系数只由普朗克常数和电荷的平方根确定。
这个效应在实际应用中，特别是在半导体器件和电子学中被广泛使用。
1985年，德国物理学家Von Klitzing因其在这个领域的贡献而获得了诺贝尔物理学奖。
量子霍尔效应的一个重要特点是其在高温下不存在，因此需要低温和强磁场的条件。
这一效应的产生是由于材料中的电子在强磁场下，会发生能带分裂，在能带最低谷处，电荷是间断的，因此无法支持外加电场引起的电子传导，同时也抑制了电荷的随机热运动。
这种情况下，电流仅在样品的边界上流动，形成的电布洛赫周期与磁通量子数有关，即量子霍尔电导。
第二部分：量子霍尔效应的物理原理量子霍尔效应的物理原理归结于二维电子系统中的两个重要特征：强磁场和晶格的周期性。
一般地，在强磁场中，电子发生种子运动，因而在能带中会出现Landau能级，每一个Landau能级在横向方向上都将分裂成若干个磁子能级。
另外，在晶格周期性势场中，电子出现布洛赫态，而区域形成的布局则可表示成类似于图案的水平分层。
这两种性质的紧密结合形成了量子霍尔效应与二维电子体系之间的关系。
当外加电压使二维电子体系沿着其流动方向变化而导致的荷电粒子流不再是一般的流动时，便出现了量子霍尔效应。
这是由于存在于磁场下处于产生布洛赫周期的电子的莫尔陶斯特关联的，这种关联将导致电荷在强磁场下，其相对于晶格的周期性成为了二维电子体系的重要信息载体。
这样，通过这种信息载体，可以建立起电流和晶格调控的联系，从而达到强效的电流效果。
量子霍尔效应的边界态解释
量子霍尔效应的边界态解释
量子霍尔效应是一种量子力学现象，它发生在二维电子系统中，当这些系统处于低温和高磁场的条件下。
在这种情况下，电子的行为将受到量子效应的影响。
在量子霍尔效应中，电子将被束缚在二维平面上，而在该平面上存在着一个恒定的磁场。
电子将在横向磁场的作用下发生
霍尔漂移，从而在材料内部形成了一个电压梯度。
这种效应
被称为霍尔电压，它垂直于电流方向。
根据遵循量子霍尔效应的材料的不同，电子的边界态也会不同。
在整个材料内，电子将根据磁场和能带结构等因素自发地形成特定的能级结构，即能级间隔。
而在材料的边界附近，存在特殊的边界态，这些态是没有在体积内形成的常规电子态。
边界态的出现源于量子力学的约束条件和边界条件。
边界态的行为在很大程度上由维度和边界条件所决定。
例如，对于四边形形状的二维系统，边界态可能会聚集在角落周围。
而在边界上修剪得更加光滑的系统中，边界态可能会扩展到整个边界。
这些边界态具有特殊的能级结构，并且在系统的整个体积范围内都是能带间隔的终止态。
这些态在量子霍尔效应的测量中起到重要作用，它们具有特殊的电导行为，这种行为与体积内的常规电子态不同。
总之，量子霍尔效应中的边界态是由于量子力学的约束条件和
边界条件导致的特殊电子态。
这些态对电导行为有重要影响，并且在二维电子系统的霍尔效应研究中具有重要意义。
量子霍尔效应
量子霍尔效应量子霍尔效应是一种在二维材料中观察到的量子输运现象，具有诸多重要的物理和应用意义。
本文将介绍量子霍尔效应的基本原理、实验观测以及相关应用领域。
一、量子霍尔效应的基本原理量子霍尔效应是指当在二维电子气体中施加一弱的磁场时，电子在垂直于磁场方向的平面内沿着边界形成准连续的态，而趋于不散射。
这种不散射的现象可以通过霍尔电阻测量，即电子在横向电场下的电流在垂直方向的电压降。
量子霍尔效应的本质是由于二维系统中的电子受到磁场的束缚，导致电子只能运动在垂直磁场方向的能级上，形成了称为“朗道能级”的能带结构。
在这个结构中，电子的态密度非常紧凑且高度定域，导致电子不易发生散射，从而实现了量子霍尔效应。
二、量子霍尔效应的实验观测量子霍尔效应最早由物理学家冯·克莱因在量子霍尔材料中实验观测到，并因此获得了诺贝尔物理学奖。
他们使用了非常低温以及超高纯度的半导体材料，以观察到这一现象。
实验观测量子霍尔效应的关键在于霍尔电阻的测量。
在二维电子气体中，施加横向电场后，由于电子发生霍尔效应，沿垂直方向会产生电压差。
通过测量这个电压差和施加电场的比值，即得到了霍尔电阻。
当温度趋近于绝对零度时，霍尔电阻呈现出量子化的特征，即呈现为离散的平台。
这种离散的霍尔电阻是量子霍尔效应的直接证据。
三、量子霍尔效应的应用领域量子霍尔效应在凝聚态物理学以及纳米电子学领域具有重要的应用。
其中最重要的应用之一是准粒子和拓扑能带的研究。
在量子霍尔系统中，由于存在较强的相互作用效应以及拓扑性质，准粒子如磁极子、准粒子夸克等得以在这个平面上实现。
这种拓扑态准粒子的研究对于理解凝聚态物理和发展新的量子计算技术具有重要的意义。
另外，量子霍尔效应还在纳米电子器件中有广泛的应用。
由于量子霍尔效应使得电子传输在边界上趋于无散射，因此可以用于构建更加稳定和可控的纳米电子器件。
例如，在量子霍尔体系中可以实现高精度的电流标准以及高灵敏度的传感器，这对于电子技术的发展具有重要的作用。
低维材料中的量子霍尔效应
低维材料中的量子霍尔效应量子霍尔效应在凝聚态物理领域中被广泛研究和应用。
它是指当电子在二维材料中运动时，在特定的磁场下产生的局域化现象。
本文将讨论低维材料中的量子霍尔效应及其重要性。
1. 量子霍尔效应简介量子霍尔效应是1980年代初发现的，是由德国物理学家克劳斯·冯·克莱茨博士领导的研究团队发现的。
他们在高纯度的二维硅材料上进行了实验，通过精确的测量发现了霍尔电阻随着磁场的变化而呈现间断的量子级别变化。
2. 二维材料的量子霍尔效应二维材料是指具有平面拓扑结构的材料，如石墨烯、硼硝烯等。
在这些材料中，电子只能在二维平面内运动，其运动受到磁场限制。
当磁场达到一定强度时，电子在横向受力下进入局域化状态，形成谷能带。
此时，电子在横向移动时产生的霍尔电压呈现间断性变化，即量子霍尔效应。
3. 除了二维材料外，低维材料也可以展现出量子霍尔效应。
低维材料包括一维纳米线、零维纳米点等。
当这些低维结构的尺寸趋近于电子波长时，量子效应变得显著，量子霍尔效应也会显现出来。
通过调控低维材料的尺寸和形态，可以精确控制量子霍尔效应的特性。
4. 量子霍尔效应的应用量子霍尔效应在现代科技中有着广泛的应用前景。
首先，量子霍尔效应可以用于准粒子的操控和研究，为量子计算和量子信息领域提供了新的可能性。
其次，量子霍尔效应可以用于高精度电阻计量和标准，为电子测量提供了重要的参考基准。
此外，量子霍尔效应在微纳尺度热电转换和热量计量等领域也有着广泛的应用前景。
5. 量子霍尔效应研究的挑战与展望尽管量子霍尔效应在凝聚态物理中有着重要的地位，但其研究仍然面临着一些挑战。
首先，多数量子霍尔效应需要低温和强磁场条件下进行实验，限制了其应用范围。
其次，低维材料的合成和制备仍然困难，制约了量子霍尔效应的研究和应用。
未来，我们需要通过发展新的合成方法和研究技术，推动量子霍尔效应的进一步应用研究。
综上所述，低维材料中的量子霍尔效应是一个重要的研究领域，具有广泛的科学和技术应用前景。
什么是“量子霍尔效应”？
什么是“量子霍尔效应”？"量子自旋霍尔效应"是指找到了电子自转方向与电流方向之间的规律，利用这个规律可以使电子以新的姿势非常有序地"舞蹈"，从而使能量耗散很低。
在特定的量子阱中，在无外磁场的条件下（即保持时间反演对称性的条件下），特定材料制成的绝缘体的表面会产生特殊的边缘态，使得该绝缘体的边缘可以导电，并且这种边缘态电流的方向与电子的自旋方向完全相关，即量子自旋霍尔效应。
如果量子自旋霍尔系统中一个方向的自旋通道能够被抑制。
比如，通过铁磁性，这自然的会导致量子反常霍尔效应。
铁磁导体中的霍尔电阻由正比于磁场的正常霍尔效应部分和正比于材料磁化带来的反常霍尔效应部分组成。
量子反常霍尔效应指的是反常霍尔效应部分的量子化。
量子自旋霍尔效应的发现极大地促进了量子反常霍尔效应的研究进程。
前期的理论预言指出，量子反常霍尔效应能够通过抑制H gT e系统中的一条自旋通道来实现。
遗憾的是，目前还没有能够在这个材料系统实现铁磁性，即而无法实现量子化反常霍尔效应。
后来又有理论预言指出，将B i2Se3这种拓扑绝缘体材料做薄并且进行磁性掺杂，就有可能能够实现量子霍尔电阻为h/(ve2)的量子反常霍尔效应。
这个理论预言被常翠祖等人通过实验证实。
(要在实验上实现量子反常霍尔效应，)常翠祖等人需要战胜一系列非常困难的材料问题。
量子反常霍尔效应要求材料的体导电和表面导电通道完全被抑制掉。
上面理论预言的Bi2Se3体系，由于存在不可避免的Se空位缺陷导致的高浓度的电子型掺杂，不能满足实现量子反常霍尔效应的要求。
为了避免这个问题，他们选择了(B i1-x Sb x)2T e3体系。
这个体系中，可以通过改变S b的组分x，他们能够将费米能级调到铁磁性导致的能隙内的电荷中性点上。
通过对材料各种参数进一步的不断优化，他们最终实现了无外加磁场情况下量子化的霍尔电阻。
他们观察到的量子反常霍尔效应的性质是非常稳定的。
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怎么来解释实验中 H 出现的平台呢？(见 上图)。平台的存在说明有电子的态仅对电子 密度n有贡献，但对 H 无贡献。这就表明有 局域态，为解释这一点必须考虑杂质的存在。 杂质使朗道能级变宽而成了能带，并且互相重 叠起来。理论计算表明大部分电子状态局域化 了，即被杂质所束缚，只有那些处在能带中心 的状态仍然是扩展态。改变电子浓度就改变了 费米能级。当费米能级处在局域态区时霍尔电 导取量子数值，而当费米能级跨过一个扩展态 时，霍尔电导率就改变一个量子数。
然而，考虑了局域态后，又为什么霍尔电导 仍是量子化了的呢？对此，普拉格(Prange)认为 局域态的存在并不影响霍尔电流。当电子费米能 级位于局域态时，扩展态的电子会补偿应由局域 态贡献的霍尔电流。后来，劳甫林(Laughlin)又 提出了规范不变的观点。所谓规范不变实质即电 荷守恒。从这一点来说劳甫林的这一观点是普拉 格观点的另一种更实质化、一般化的说法。然而 作为物理的机理来说，哈伯林(Halperin)的“边 界流”观点是十分重要的。边界流是一种拓扑元 激发流。正是边界流的存在，才得以使量子化在 有局域态存在时仍成立。不过，对此也有人持反 对意见。应该说，即使在今天，整数量子霍尔效 应(IQHE)的解释还是不完全清楚的。
xy
为霍尔电导
电子在均匀磁场中运动的Landau能级
由量子力学, 电子处在磁场中的哈密顿量为
1 2 H [( px eBy ) 2 p y pz2 ] S z B 2m
这里选择矢量势
A ( By,0,0)
波函数为(因为H中不显含x, z)
i ( x, y, z) ( y)exp[ ( px x pz z)]
量子霍尔效应
• Prof. Robert B. Laughlin • Department of Physics • Stanford University, Stanford, CA 94305 • rbl@
经典霍尔效应
1879年,由Johns Hopkins 大学 的研究生Edwin Hall发现, 其导 师是Henry A. Rowland 教授.
量子霍尔效应
童国平
浙江师范大学数理信息学院物理系
内容提要
• 引言 • 经典Hall效应 • 电子的Landau能级 • 磁通量子化 • 整数量子Hall效应(IQHE) • 分数量子Hall效应(FQHE) • 展望
引言
(1985年第一次诺贝奖)
1930年, Landau 证明量子力学下电子对磁化 率有贡献, 同时也指出动能的量子化导致磁化率 随磁场的倒数周期变化. 1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔 电导, 1978年 Klaus von Klitzing 和Th. Englert 发 现霍尔平台, 但直到1980年, 才注意到霍尔平台 的量子化单位 e2 h , 1985年, Klaus von Klitzing 获诺贝尔物理奖.
m n
lc eB
1/ 2
在xy平面内单位面积态之数目为 nB eB h 对于某一个Landau能级, 在y方向的平衡位置数目也由nB 决定, 故能级的简并度是 nB .
磁通量子化
选标量函数仅依赖方位角
2 1 L A dl R r R 2 R
有磁场时, 加入罗仑兹力, 平面电子运动的 Langevin方程为
稳态时, j nevd , 假定磁场沿z方向, 在xy 平 面内
vd e vd ( E vd B) m
0 Ex c j y jx
0 E y c jx j y
其中
c eB m
其中 0 h e 为磁通量子.
整数量子Hall效应(IQHE)
• 二维电子系统
目前, 二维电子气主 要以下面三个方式实现 1, MOSFET(金属-氧化 物-半导体场效应管) 硅中空穴向z方向运动 ,在SiO2和Si 的表面出现 负电荷.电子密度为:
10 cm
13
-2
MOSFET 示意图 p-Si 空穴型
两种状态: 扩展态 和 局域态
只有扩展态可以传导霍尔电流 (0度下), 因此若扩展态的占据数不 变, 则霍尔电流不变. 当Fermi能级 位于能隙中时, 出现霍尔平台.
Laughlin(1981) 和 Halperin(1982)基于规范变换 证明, 只要第 i 个扩展态占满, 则霍尔电阻由下式精 确给出 R h
• 从紧束缚近似提供的能带图像不难理解， 在能带中心附近的态应该保持扩展态，至 少对不是非常强的无序系统来说应该成立； 在能带边缘的那些态是局域态。 • 1968年莫特对这种从局域态到扩展态的过 渡，提出了迁移率边缘的临界能量Ec的概 念。 • 莫特在1973年又进一步提出Ec处有一个电 导率的突变，即从局域态的σmin=0到扩展 态σmin≠0的突变.
• 实验条件
1. 极低温(1.5K) 2. 强磁场(18T) 3. 比较纯的样品
• 实验装置示意图
实验观测到的霍尔电阻
1. 霍尔电阻有台阶
2. 台阶处纵向电阻为零.
3. 台阶高度为 h ie 2 , i 为整数, 对应于占满第 i 个Landau能级, 精度大约为5ppm.
由于杂质的作用, Landau能级 的态密度将展宽(如下图).
应用:
1. 1990年起, 国际电阻标准为:
h e 25812.806 精度
2
2 10
8
1克利青电阻 h 4e 6453.2015
2
2. 精细结构常数 精度
0.3ppm
分数量子霍尔效应
整数霍尔效应发现才2年，紧接着崔琦 (Taui，美籍华裔)、斯多麦(Stormer)和谷沙特 (Gossard)又发现了分数量子霍尔效应(FQHE)， 这就提出了更深层的问题。他们在GaAs— AlGaAs异质结上观察到，上述 H 的表示式中M 为分数，而不仅是整数。实验是在高度净化， 温度更低(～1K)，磁场更强(约15特斯拉)的条 件下进行的。此后的大量实验却发现M=p/q，p 是奇数或偶数，而对最低朗道能级，q总是奇数。 1987年后又发现偶分母分数态M=5/2。
电流密度为
若存在外加静磁场, 则电导率和电阻率都变为张量
ne2 j nevd E 0E m
xx xy xx , yx yy yx
此处 j= E , E= j 仍然成立.
xy yy
MOSFET 的电子能级结构
2, 超晶格 例: GaAs/AlGaAs 异质结的电子能级结构 电子密度: 1011 cm-2
3, 液氦表面
液氦表面有一 个超过1eV的势垒, 阻止电子透射到液 氦中去,而镜象电 荷(+e)势又吸引电 子于表面.电子密 度:
109 cm-2
整数量子Hall效应(IQHE)
量子霍尔效应
• Stormer, Horst L. • Email:
horst@
• Telephone: (212)854-3279
量子霍尔效应
• DANIEL C. TSUI, 崔琦 Professor • Room B-426, Engineering Quadrangle • Carol Agans, Administrative Assistant • 609-258-3217 • Connie Brown, Assistant • 609-258-4641 • 609-258-6279 (f)
0 e2 n m
(回旋频率) (经典电导率)
xy yx = c 0
电导率与电阻率的关系为
2 xx 2 xy
xx yy 0 (1 c2 2 ) 2 2 xy yx 0c (1 c )
( )
A 0 exp i 0
作规范变换,并选取
A A A
若波函数描述延展态,则方位 角可以取任意值. 若满足周期性,则 单值性要求:
exp ie
m, m 0, 1, 2,... 0
xx xx ( ), xy xy ( )
2 xx 2 xy
xy 如果 另一方面
0
, 则当
xx 0 时, xx
也为0.
xy ne B xx c
由此, 当 xx 0 时,
jx xy Ey
,
H xy ne B
整数量子霍尔效应的发现是在MOS器件 上作出的，这是一个2维有边界的现象。所 谓边界，就是系统的拓扑结构。在有一定 的拓扑结构下考虑无序(杂质)问题，这本 身就是一个新问题。在这一方面，一些形 式上拓扑问题的研究固然重要，但可能还 只是问题的第一步，真正的物理还在于考 虑无序后的局域态、扩展态和边界流等问 题。
经典霍尔效应
长条形导体:
电流密度: 横向电场:
jx nev
Ey vB
电阻率与磁场成正比
霍尔电阻率: H Ey jx B ne
经典霍尔效应
根据德鲁特电导理论, 金属中的电子在被杂质散射前的一 段时间t内在电场下加速, 散射后速度为零. τ称为弛豫时间. 电子的平均迁移速度为
vd eE m
如前所述整数量子霍尔效应(IQHE)可 以用单粒子近似很好地描述，其物理图像 已基本清楚。不过仍存在一些问题值得深 入研究。分数量子霍尔效应(FQHE)必须是 高迁移率的样品在更低的温度下才能观察 到。分数量子霍尔效应也是一个强磁场中 的电子强关联系统，因为要解释分数量子 霍尔效应必须考虑电子相互作用。这从理 论上提出了一类全新的问题。
根据薛定谔方程可求得电子的能量为