考前三个月·浙江专用高考数学文二轮专题复习篇教案：专题六 解析几何 专题六 第二讲
高三数学二轮复习教学案例------解析几何综合题
高三数学二轮复习教学案例------解析几何综合题一、知识点概括：解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。
解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.二、教学过程 考点1 判别式应用例1 已知双曲线122:22=-x y C ，直线l 过点()0,2A ，斜率为k ，当10<<k 时，双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时点B 的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与l 平行的直线，必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=∆. 由此出发，可设计如下解题思路：()10)2(:<<-=k x k y lk k kx y l 2222:'-++=把直线l ’的方程代入双曲线方程，消去y ，令判别式0=∆直线l ’在l 的上方且到直线l 的距离为2的值解得k解题过程略. 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如简解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为：212222=+-+-k kx kx ()10<<k ()*于是，问题即可转化为如上关于x 的方程.由于10<<k ，所以kx x x >>+22，从而有.222222k x kx k x kx +++-=-+-于是关于x 的方程()*⇔)1(22222+=+++-k k x kx⇔()⎪⎩⎪⎨⎧>+-++-+=+02)1(2,)2)1(2(222222kx k k kx k k x⇔()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-+=--++-++-.02)1(2,022)1(22)1(221222222kx k k kkx k k k x k由10<<k 可知：方程()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k 的二根同正，故02)1(22>+-+kx k k 恒成立，于是()*等价于()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k.由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式0=∆，就可解得 552=k . 考点2 判别式与韦达定理应用 例2 已知椭圆C:和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，使，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。
高三数学第二轮复习教案——解析几何
2020年高三数学第二轮复习教案——解析几何（4课时）一、考试内容回顾2009年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为26.9分，占17．9％；近几年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何知识和向量的方法．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化二、高考大纲要求(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4．了解圆锥曲线的初步应用。
三、复习目标1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.四、基础知识再现(一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+bya x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)线性规划问题1．线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. 2．线性规划问题有以下基本定理：⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+. 2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形. (四)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ac e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即ca y 2±=.(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab=； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有ac e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
第二轮专题复习 解析几何专题 教案示例 教案
第二轮专题复习 解析几何专题本周目标：能灵活应用圆锥曲线定义解决有关问题；能灵活处理直线和圆、直线和圆锥曲线的位置关系的有关问题；掌握处理取值范围问题的方法。
本周重点：圆锥曲线定义的应用；位置关系问题；取值范围及最值问题。
本周内容：一、圆锥曲线定义的应用例1．椭圆192522=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离为2，O 为原点，Q 为PF 1的中点，则|OQ|为________。
解：令F 2是此椭圆的另一焦点，则由P 是椭圆192522=+y x 上一点， ∴ |PF 1|+|PF 2|=2×5=10， 又|PF 1|=2， ∴|PF 2|=8，如图，在ΔPF 1F 2中，由Q 是PF 1中点，O 是F 1F 2中点知OQ//PF 2且||21||2PF OQ =， ∴ |OQ|=4。
例2．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，点P 是以F 1、F 2为直径的圆与椭圆的交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆离心率为_____。
解：如上图，已知实际为椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1。
在ΔPF 1F 2中，有*).........(sin ||sin ||sin ||2121212121PF F F F F PF PF F PF PF ∠=∠=∠∵PF 1⊥PF 2， ∴sin ∠F 1PF 2=1, 令此椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x则由椭圆第一定义有 |PF 1|+|PF 2|=2a,|F 1F 2|=2c, ∴由(*)式有**).........(2sin ||sin sin ||||2121211221c PF F F F F PF F PF PF PF =∠=∠+∠+又 ∵∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1， ∴∠PF 1F 2=75°，∠PF 2F 1=15°，∴ 21575cos 21575sin 2sin sin 00002112-⋅+=∠+∠F PF F PF .2630cos 45sin 200=⋅= ∴由(**)式有c a 2262=，∴3662a c ==， 即36=e 。
(浙江专用)高考数学二轮复习指导三回扣溯源,查缺补漏,考前提醒6解析几何课件
6•解析几何1・直线的倾斜角Q与斜率£(1)倾斜角a的范围为［0,兀).(2)直线的斜率①定义：/：=tan a(a^90°)；倾斜角为90。
的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点巴佝,刃)，尸2(兀2，乃)的直线的斜率为k = y -_y\x^x2)；③直线的方向向量0 = (1，Q・兀2［回扣问题1］直线xsin / 、兀A. 0,\ 厶)(71 7Cc・—” 4答案Da—y+1=0的倾斜角的取值范围是() B.(0, 7t)71「3兀］D.①4_U才兀丿2.直线的方程(1)点斜式：y—yo=k(x—x()),它不包括垂直于x轴的直线.(2)斜截式：y=kx+b,它不包括垂直于x轴的直线.(3)两点式：22工=匸乞，它不包括垂直于坐标轴的直线.歹2一刃兀2一兀1(4)截距式：专+£=1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.(5)—般式：任何直线均可写成Ax+By+C=O(A, B不同时为0)的形式.［回扣问题2］已知直线过点P(l, 5),且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为•答案5兀一y=0或兀+丁一6 = 03 •两直线的平行与垂直①厶：y=k x x+b v /2：y=k2x+b2（两直线斜率存在，且不重合），则有厶〃^ k x=k v 且冇工為；厶丄仏k v k2= — 1.②厶：Aix + Bjy + Cj =0, /2： A2x + B2y + C2 = 0,则有02A l B2~A2B l=0且BQ—场貯工。
；/t±/2A l A2+B l B2=0.［回扣问题3］设直线厶：x+加y+6 = 0和g：（肌—2）x~\~3y+2m = 0,当加= _______ 时，1{//12；当加= _______ 时，厶丄乙；当_______ 时，厶与?2相交；当加= ______ 时，厶与乙重合.答案一1 £血工3且加H — 1 34 •点到直线的距离及两平行直线间的距离\Ax（）+By（）+Cl⑴点P（xo,为倒直线Ax+By+C=0的距离为〃= 屈匚决；\c{-c2\ （2）两平行线h： Ax+By+Ci = O, /2： Ax+3y+C2 = 0间的距禺为〃=羽壬匚护.已知直线3x+4y—3 = 0与直线6x+加y+14 = 0平行，则它们之间[回扣问题4]的距离为（A 12 AjO答案C B.8 C.2r 17D y5 •圆的方程(1)圆的标准方程:(x—a)2+(y—b)2 = r2.(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),只有当D2+E2~4F>0时，方程x2+/+Dx+Ey+F=O才表示圆心为［―#, -f］,半径为丹”+衣―4尸的圆.［回扣问题5］已知圆C经过力(5, 1), 5(1, 3)两点，圆心在兀轴上，则圆C的标准方程为_________ •答案(x-2)2+y2=106•直线、圆的位置关系C ： (%—tz)2 + (y — Z?)2 = r 2(r>0)有相交、相禺、相切三种位 置关系•可从代数和几何两个方面来判断;①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：J>0相交；J<0 相离；J=0相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直 线的距离为乩贝\\d<r 相交；d>r 相离；d=r 相切.(1)直线与 的位置关系直线A Ax+By+C=Q 和(2)圆与圆的位置关系已知两圆的半径分别为厂1，r v则①当O Ql＞厂1 +厂2时,两圆外离;②当\O i O2\ = r i + r2时,两圆外切;③当1^ —r2l<IO1O2l<r1 + r2时,两圆相交；④当QQ匸叭一㊈时，两内切；⑤当OWOQIVbi —厂2〔时，两圆内含.［回扣问题6］(1)已知点M(l，0)是圆C：x2-ky2-4x-2y = 0内的一点, 短弦所在直线的方程是 _______ •⑵若圆C］：x2+y2= 1 与圆q：x1+y2—6x—^y+m=0 夕卜切, 则加=(A.21B.19C.9那么过点M的最)D.-11答案(l)x+y—1=0 (2)C7.对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于两定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支，在抛物线的定义中必须注意条件：F /,否则定点的轨迹可能是过点尸且垂直于直线I的一条直线.2 2[回扣问题7] (1)椭圆吉+話=1的两个焦点分别为戸，尸2,过焦点只的直线交椭于A, B两点，则△ABF?的周长为(A.10B.2C.16D.20(2)己知双曲线才一訂=1上的一点P到双曲线的一个焦点的距离为6,则点P到另一个焦点的距离为 ______ •⑶己知抛物线C：y2=x的焦点为F,点心，为)是CJL一点，IAFI=|x0,则应=( )A.lB.2C.4D.8答案(1)D⑵10⑶A8•求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤, 即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数.(1)椭圆标准方程：焦点在兀轴上, = l(Qb>0)；焦点在y轴上,l(Qb>0)・2 2(2)双曲线标准方程：焦点在兀轴上，話一*=1(QO, b>0)；焦点在y轴上,2X沪=l(a>0, b>0)・2 2 2 2⑶与双曲线左一*=1(QO, Z?>0)具有共同渐近线的双曲线系为石一*=久(久工0)・(4)抛物线标准方程焦点在兀轴上：于二土:四⑦〉。
高考数学大二轮总复习与增分策略专题六解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习文
第 3 讲 圆锥曲线的综合问题1．(2016 ·四川改编 ) 设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2＝ 2px ( p >0) 上随意一点，是线段PF 上的点，且＝ 2，则直线的斜率的最大值为 ______．MPM MFOM答案22p2y 0分析如图，由题意可知 F 2， 0 ，设 P 点坐标为2p ， y 0 ，明显，当 y 0<0→ →时，k OM <0；当 y 0>0 时，k OM >0，要求 k OM 的最大值， 不如设 y 0>0. 则 OM ＝OF ＋→→ 1→ → 1→ → 1→ 2→FM ＝ OF ＋ 3FP ＝ OF ＋ 3( OP － OF ) ＝ 3OP ＋ 3OF ＝22当且仅当 y 0＝ 2p 时等号成立．y 02 ＋p ，y32220 0yOM2＝≤ 6p3 3 ， k ＝p 02 ＝ 2 ，yyp2 26p＋3p ＋y 02．(2016 ·课标全国乙 ) 设圆 x 2＋y 2＋ 2x － 15＝ 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B (1,0) 且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 ， 两点，过 B 作 的平行线交 于点 .C D ACADE(1) 证明 EA ＋ EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1，直线 l 交 C 1 于 M ，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．解 (1) 因为 AD ＝ AC ， EB ∥ AC ，故∠ EBD ＝∠ ACD ＝∠ ADC ，所以 EB ＝ ED ，故 EA ＋ EB ＝ EA ＋ ED ＝ AD .又圆 A 的标准方程为 ( x ＋1) 2＋ y 2＝ 16，进而 AD ＝ 4，所以 EA ＋ EB ＝4.x 2 y 2由题设得 A ( － 1,0) ，B (1,0) ，AB ＝ 2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：4 ＋ 3 ＝1( y ≠0) ．(2) 当l与 x 轴不垂直时，设l的方程为y＝ k( x－1)(k≠0)，M( x1， y1)，N( x2， y2)．y＝ k x－1，由 x2y2得 (4 k2＋ 3) x2－ 8k2x＋ 4k2－ 12＝ 0.4＋ 3＝18k24k2－ 12则 x1＋x2＝4k2＋3， x1 x2＝4k2＋3，所以 MN＝1＋k212k2＋1|x － x | ＝2.124k＋ 3过点 (1,0)且与l 垂直的直线：＝－1x－1) ，k(B m y2点A到m的距离为k2＋1，所以＝ 22224k2＋ 34 －2＝ 4 2.PQ k ＋1k ＋1故四边形 MPNQ的面积11S＝2MN· PQ＝121＋42＋3.k可适当 l 与 x 轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83) ．当l 与x轴垂直时，其方程为x＝1，＝3，＝ 8，四边形的面积为 12.MN PQ MPNQ综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83) ．1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的地点关系为载体，以参数办理为中心，考察范围、最值问题，定点、定值问题，探究性问题.2. 试题解答常常要综合应用函数与方程、数形联合、分类议论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.热门一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，能够转变成函数的最值问题( 以所求式子或参数为函数值) ，或许利用式子的几何意义求解．x 2 y 2例 1已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝1( a >b >0) 的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正方形．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过点 Q (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 订交于 A ，B 两点，且点 P (4,3) ，记直线 PA ，PB 的斜率分别为k 1， k 2，当 k 1· k 2 取最大值时，求直线 l 的方程．解 (1) 由题意可得 b ＝ c ＝ 2， a ＝ 2，x 2 y 2故椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1.(2) 当直线 l 的斜率为 0 时， k 1k 2＝ 3 × 3 ＝ 3. 4－2 4＋2 4当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 1， A ( x 1，y 1) ， B ( x 2， y 2) ．x ＝ my ＋1， 2 2联立 x 2＋ 2y 2＝ 4，整理得 ( m ＋2) y ＋ 2my － 3＝ 0，故y 1＋y 2－ 2m1 － 3＝ 2，＝m ＋ y ym ＋ 22又 x 1＝my 1＋ 1， x 2＝ my 2＋ 1，3－ y 1 3－ y 2 所以 k 1· k 2＝·4－ x 1 4－ x 2＝3－ y 1 3－ y 2 3－ 13－ 2my my＝ 9－3 y 1＋ y 2 ＋ y 1y 29－ 3m y 1＋y 2＋2 1 2my y3 2＋2 ＋53 4 ＋ 1＝ mm＝ ＋ m22.4m ＋64 8m ＋ 12令 t ＝4m ＋ 1，只考虑 t >0 时，32t 32故 k 1·k 2＝4＋ t2－ 2t ＋ 25＝ 4＋25 ≤1，当且仅当 t ＝5 时取等号．t ＋ t － 2综上可得，直线 l 的方程为 x － y － 1＝ 0.思想升华解决范围问题的常用方法：(1) 数形联合法：利用待求量的几何意义，确立出极端地点后，数形联合求解． (2) 建立不等式法：利用已知或隐含的不等关系，建立以待求量为元的不等式求解．(3) 建立函数法：先引入变量建立以待求量为因变量的函数，再求其值域．x 22追踪操练 1如图，已知椭圆：4 ＋ y ＝ 1，点 A ，B 是它的两个极点，过原点且斜率为k 的直线 l 与线段 AB 订交于点 D ，且与椭圆订交于 E ， F 两点．→→(1) 若ED ＝ 6DF ，求 k 的值；(2) 求四边形 AEBF 面积的最大值．解 (1) 依题设得椭圆的极点 A (2,0) ， B (0,1) ，则直线 AB 的方程为 x ＋ 2y － 2＝ 0.设直线 EF 的方程为 y ＝ kx ( k >0) ．设 D ( x 0， kx 0) ， E ( x 1， kx 1) ， F ( x 2，kx 2) ，此中 x 1<x 2，x22联立直线 l与椭圆的方程4＋ y＝ 1，消去 y，y＝ kx得方程 (1 ＋ 4k2) x2＝4.故 x2＝－ x1＝22，1＋ 4k由→＝6→知，0－x1＝6(x2－0)，ED DF x x得 x01215210，＝ (6 x＋ x ) ＝ x＝7771＋ 4k2由点在线段上，知x 0＋2kx0－2＝0，D AB得 x0＝2210，所以1＋ 2k＝2，1＋2k7 1＋ 4k223化简，得 24k－25k＋ 6＝0，解得k＝3或k＝8.(2) 依据点到直线的距离公式，知点，到线段EF 的距离分别为h1＝2k， 2＝1，A B1＋k2h1＋k241＋k2又EF＝1＋ 4k2，所以四边形 AEBF的面积为＝1 (1＋2)＝21＋ 2kS2EF h h1＋ 4k21＋ 4k2＋44k＝ 21＋ 4k2＝ 21＋1＋ 4k24＝21＋≤2 2，14k＋k11当且仅当4k＝k，即k＝2时，取等号，所以四边形AEBF面积的最大值为 2 2.热门二定点、定值问题1．由直线方程确立定点，若获得了直线方程的点斜式：y－ y0＝ k( x－ x0)，则直线必过定点( x0，y0) ；若获得了直线方程的斜截式：y＝ kx＋ m，则直线必过定点(0 ，m) ．2．分析几何中的定值问题是指某些几何量( 线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等) 的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数没关，不依参数的变化而变化，而一直是一个确立的值．例2如图，曲线Γ由两个椭圆x2y2T1：a2＋b2＝1( a>b>0)和椭圆y2x2T2： b2＋c2＝1 (b>c>0)构成，当 a， b，c成等比数列时，称曲线Γ 为“猫眼曲线”．若猫眼曲线Γ过点 (0 ，－2) ，且a， b，c 的公比为2 2 .(1) 求猫眼曲线Γ 的方程；(2) 任作斜率为k( k≠0)且可是原点的直线与该曲线订交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭k OM圆 T2所得弦的中点为N，求证：为与k没关的定值；k ON(3) 若斜率为2的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点 A，B，N为椭圆T1上的随意一点( 点N与点A， B不重合) ，求△ABN面积的最大值．(1) 解b＝2，∴a＝ 2，c＝ 1，x2y2y2∴ T1：4＋2＝1， T2：2＋x2＝1.(2) 证明设斜率为k 的直线交椭圆T1于点C( x1， y1)， D( x2， y2)，线段CD中点M( x0， y0)，∴ x0＝x1＋x2， y0＝2y1＋ y2，222x1y14＋2＝1，由22x2y24＋2＝1，得x1－x2x1＋ x2＋y1－ y2y1＋ y24＝0.2∵ k 存在且 k≠0，∴ x1≠ x2，且 x0≠0.y1－ y2y01k·k 1∴·＝－，即OM＝－.12x 022x － x同理， k· k ON＝－2，∴k OM1＝，得证．k ON4(3)解设直线 l 的方程为 y＝2x＋ m，y＝2x＋m，联立y2x2b2＋c2＝1，222＋ 222222＝0.∴(b＋2c ) x2mcx＋ mc － b c ∵＝0，∴2＝2＋ 22，m b cl 1： y＝2x＋b2＋2c2y ＝ 2x ＋ m ，x 2 y 2a 2 ＋b 2＝ 1，∴(b 2＋2a 2) x 2＋ 2 2 2 2 2 22max ＋ ma － b a ＝0.22 2∵＝0，∴ m ＝b ＋ 2a ，l 2： y ＝ 2x － b 2＋ 2a 2.两平行线间距离：b 2＋ 2c 2＋ b 2＋ 2a 2d ＝，32 3ab 2a 2－ 2c 2∴ AB ＝b 2 ＋2a 2，AB ＝8 22－4·5·4 4 35＝ 5 ，d ＝| 10＋ 2|10＋ 222＋ － 1＝ .23 △ ABN 的面积最大值为1 4 3 10＋2 2 10＋ 4 S ＝2· 5 ·3 ＝5.思想升华(1) 动线过定点问题的两大种类及解法①动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y ＝ kx ＋ t ，由题设条件将t 用 k表示为t ＝ ，得 y ＝ ( ＋ ) ，故动直线过定点 ( － 0) ．mk k x m m,②动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量成立曲线 C 的方程，再依据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．(2) 求解定值问题的两大门路 ① 由特例得出一个值此值一般就是定值→ 证明定值：将问题转变成证明待证式与参数某些变量 没关②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其知足的拘束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．2x 2 y 2追踪操练 2 已知抛物线： y ＝ 2px ( p >0) 的焦点 F 在双曲线： 3 － 6 ＝ 1 的右准线上，抛物线与直线 l ： y ＝ k ( x － 2)( k >0) 交于 A ， B 两点， AF ， BF 的延伸线与抛物线交于 C ，D 两点．(1) 求抛物线的方程；(2) 若△ AFB 的面积等于 3，求 k 的值；k CD(3) 记直线 CD 的斜率为 k CD ，证明： k 为定值，并求出该定值．x 2 y 2x ＝ 1，解(1) 双曲线：3－ 6＝1 的右准线方程为所以 F (1,0) ，则抛物线的方程为y 2＝ 4x .22y 1y 2(2) 设 A ( 4 ， y 1) ， B ( 4 ， y 2) ，y 2＝ 4 ，x得 ky 2－ 4y － 8k ＝ 0，由 x － 2y ＝ k21 241 2＝ 16＋ 32k >0， y ＋ y ＝ k ， y y ＝－ 8.1 1 2S △AFB ＝2×1×|y 1 －y 2| ＝ 2y 1＋ y 2－4y 1y 21＝ 2k 2＋2＝3，解得k ＝2.2y22(3) 设 (y 33) ，则 →＝ ( 1y 33) ，4 ，－ 1，1) ，→＝(－ 1，C yFA4yFC 4y因为 A ， F ， C 共线，y 22所以 ( 13－ 1) y 3－ y 1( y－ 1) ＝0，4424即 y 3＋( － y 1) y 3－ 4＝ 0.y 14解得： y 3＝ y 1( 舍 ) 或 y 3＝－，y 14 4所以 C ( 2，－ ) ，同理y 1 y 1－ 4 4＋y 2y 1y 2y 1k CD ＝ 44＝－y 1 ＋y 2y 1－y22k CD故 k ＝ 2( 定值 ) ．44D ( 2，－)，y 2 y 2＝ 2k ，热门三探究性问题1．分析几何中的探究性问题，从种类上看， 主假如存在种类的有关题型，解决这种问题往常采纳“一定顺推法”，将不确立性问题明亮化．其步骤为：假定知足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在， 用待定系数法设出， 列出对于待定系数的方程组，若方程组有实数解， 则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在；不然，元素 ( 点、直线、曲线或参数) 不存在．2．反证法与考证法也是求解存在性问题常用的方法．例3 已知点P 是椭圆 上的任一点，P 到直线l1： ＝－ 2 的距离为 d 1，到点( － 1,0) 的距CxF2d 2 2离为 d ，且d＝ .21(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 如图，直线l 与椭圆C 交于不一样的两点，( ，都在x 轴上方 ) ，且∠ ＋∠ ＝180°.ABABOFAOFB( ⅰ) 当 A 为椭圆 C 与 y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；( ⅱ) 能否存在一个定点，不论∠OFA 怎样变化，直线 l 总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明原因.解 (1) 设 P ( x ， y ) ，则 d 1＝| x ＋ 2| ，d 2＝ x ＋12＋ y 2，d 2 x ＋ 12＋y 22＝| x ＋ 2|＝ ，d 12x 22化简得： 2 ＋ y ＝ 1，x 22∴椭圆 C 的方程为 ＋ y ＝ 1.2(2)( ⅰ) 由 (1) 知 A (0,1) ，又 F ( －1,0) ，∴ k AF ＝ 1，∵∠ OFA ＋∠ OFB ＝180°，∴ k BF ＝－ 1，∴直线 BF 方程为 y ＝－ 1( x ＋ 1) ＝－ x － 1，x 22 2代入 2 ＋ y ＝ 1，得 3x ＋ 4x ＝ 0，4解得 x ＝ 0 或 x ＝－ 3，4 1 1∴ B ( －3， 3) ， k AB ＝2.1∴直线 AB 的方程为 y ＝2x ＋ 1.( ⅱ) 因为∠ OFA ＋∠ OFB ＝180°，∴ k AF ＋ k BF ＝ 0.设直线 AB 方程为 y ＝ kx ＋ b ，2x2代入 ＋ y ＝ 1，212 2得： ( k ＋ ) x ＋ 2kbx ＋ b － 1＝0，2设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2，y 2) ，则x1＋ 2＝－2kb， 12＝ b2－ 1，x21 x x21k ＋ 2 k ＋ 2y 1 y 2∴ k AF ＋ k BF ＝ x 1＋ 1＋ x 2＋ 11＋ b 2kxkx ＋ b＝ x 1＋ 1 ＋x 2＋ 1＝ 2kx x ＋ k ＋ bx ＋ x2 ＋ 2b ＝ 0.1 21x 1＋ 1 x 2＋ 1∴(kx 1＋ b )( x 2＋ 1) ＋ ( kx 2＋ b )( x 1＋ 1)＝ 2kx 1x 2＋( k ＋ b )( x 1＋ x 2) ＋ 2bb 2－ 122＋1－ ( k ＋ b ) ×kb＝ 2k ×k k 2＋1＋ 2b ＝ 0.2 2 ∴ b － 2k ＝ 0，∴直线 AB 方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ． ∴直线 l 总经过定点 ( － 2,0) ．思想升华解决探究性问题的注意事项：存在性问题，先假定存在，推证知足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1) 当条件和结论不独一时，要分类议论．(2) 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假定成立，再推出条件．(3) 当条件和结论都不知，按惯例方法解题很难时，要思想开放，采纳此外的门路．x 2 y 2追踪操练 3(2015 ·四川 ) 如图，椭圆 E ：a 2 ＋ b 2 ＝ 1( a ＞b ＞ 0) 的离心2→ →率是2 ，点 P (0,1)在短轴 CD 上，且 PC · PD ＝－ 1.(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 设O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 ， B 两点．能否存在常数λ，使得 → ·→A OA OB→ →λ 的值；若不存在，请说明原因．＋ λPA · PB 为定值？若存在，求解 (1) 由已知，点 C ， D 的坐标分别为 (0 ，－ b ) ， (0 ， b ) ，又点P 的坐标为 (0,1) ，且 → · → ＝－ 1，PC PD1－ b 2＝－ 1，于是c2解得 a ＝ 2， ＝ 2 ，a ＝2 ，ba 2－b 2＝c 2，x 2 y 2所以椭圆 E 的方程为＋ ＝1.42(2) 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为y ＝kx ＋ 1， A ， B 的坐标分别为 ( x 1， y 1) ，( x 2， y 2) ，x 2 y 2联立 4＋ 2＝1，得 (2 k 2＋ 1)x2＋ 4 －2＝0，kxy ＝ kx ＋ 1，其鉴别式 ＝ (4 k ) 2＋ 8(2 k 2＋ 1) ＞ 0，所以1＋x2＝－ 4k， 1 2＝－2x2k ＋ 1 x x 2k ＋1→→→ →进而， OA · OB ＋λPA · PB＝ x 1x 2＋ y 1y 2＋ λ[ x 1x 2＋ ( y 1－1)( y 2－ 1)] 2＝ (1 ＋λ )(1 ＋ k ) x 1x 2＋ k ( x 1＋ x 2) ＋ 1－ 2λ－ 4 k 2＋ － 2λ－ 1＝2k 2＋ 1λ － 1＝－2－ λ－2.2k ＋ 1λ－1所以当 λ＝ 1 时，－ 2k 2＋ 1－ λ－ 2＝－ 3， → → → → 为定值． 此时 OA · OB ＋ λPA · PB ＝－ 3当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线CD ，此时， → · → ＋ → · →＝→· → ＋ →· →OA OB λPA PB OC ODλPC PD＝－ 2－ 1＝－ 3.→ → → →故存在常数 λ＝ 1，使得 OA · OB ＋ λPA · PB 为定值－ 3.已知椭圆x2y2a>0) 与抛物线2：y2ax订交于，B两点，且两曲线的焦点F重1：2＋＝ 1(＝ 2C a3C A合．(1)求 C1， C2的方程；(2)若过焦点 F的直线 l 与椭圆分别交于 M，Q两点，与抛物线分别交于 P，N两点，能否存在PN斜率为k( k≠0)的直线l ，使得＝2？若存在，求出MQk 的值；若不存在，请说明原因．押题依照此题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，表现了对直线和圆锥曲线地点关系的综合考察．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特点．解 (1) 因为C1，C2的焦点重合，2a所以 a －3＝2，所以 a2＝4.又 a>0，所以 a＝2.x2y2于是椭圆 C1的方程为＋＝1，4 3抛物线 C2的方程为 y2＝4x.PN(2)假定存在直线 l 使得＝2，MQ则可设直线l 的方程为 y＝ k( x－1)， P( x1， y1)， Q( x2， y2)，M( x3， y3)，N( x4， y4)．y2＝4x，可得 k2x2－(2 k2＋4) x＋ k2＝0，由y＝ k x－1，2k2＋ 4则 x1＋x4＝k2， x1 x4＝1，所以＝1＋2·x 1＋42－4 1x4PN k x x4 1＋ k 2＝k 2 .x 2y 2由 4＋ 3＝1，可得 (3 ＋ 4k 2) x 2－ 8k 2x ＋ 4k 2 －12＝ 0，y ＝ kx － 1 ，8k 24k 2－ 12则 x 2＋x 3＝3＋ 4k 2， x 2 x 3＝ 3＋ 4k 2 ，所以 MQ ＝2x ＋ x2x1＋ k ·3－ 4x32212 1＋ k 2＝3＋ 4k 2.PN若＝2，MQ4 1＋ k 2 ＝2× 12 1＋ k 2则k 23＋4k 2，6解得 k ＝± 2 .故存在斜率为6的直线 l ，使得 PN k ＝± ＝ 2.2MQA 组 专题通关1．平面上一机器人在前进中一直保持与点 F (1,0) 的距离和到直线 x ＝－ 1 的距离相等． 若机器人接触不到过点 P ( － 1， 0) 且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是 ________________ ．答案( －∞，－ 1) ∪(1 ，＋∞)分析 依据抛物线的观点可得机器人在以点F (1,0) 为焦点的抛物线 y 2＝ 4x 上，由题意可得y 2＝ 4x ，直线＝(x ＋ 1) 与抛物线y 2＝ 4 x没有交点，联立直线与抛物线y ky ＝ k x ＋ 1 ，2消元可得 y ＝ k · y＋ k ? k · y 2－ y ＋ k ＝0，4 4 即该方程无根，则k ≠0且＝ 1－ k 2<0? k <－ 1 或 k >1，所以 k 的取值范围为 ( －∞，－ 1) ∪(1 ，＋∞ ) ．x 2 y 22．已知椭圆 4 ＋b 2＝ 1(0< b <2) 的左，右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，若 BF 2＋AF 2 的最大值为 5，则 b 的值是 ________．答案3分析由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知AF ＋ BF ＋ AB ＝ 4a ＝ 8，所222 22b 2以 AB ＝ 8－ ( AF ＋BF ) ≥3. 由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即 a ＝ 3，可求得 b 2＝ 3，即 b ＝ 3.x 2 y 2→ →3．若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 的中心和左焦点， 点 P 为椭圆上的随意一点， 则 OP ·FP 的最大值为 ________．答案 6分析由题意得 F ( － 1,0) ，设点 P ( x 0， y 0) ，x 2则2y 0＝3(1 － )( －2≤ x 0≤2) ．4→ → 1) ＋y 2 2 2 OP · FP ＝ x 0( x 0＋ 0＝ x 0＋ x 0＋ y 022x 0＝ x 0＋x 0＋3(1 － 4 )＝ 1 ( x 0＋ 2) 2＋ 2.4又因为－ 2≤x 0≤2，所以当x 0＝2 时，→·→获得最大值，最大值为 6.OP FP4．已知抛物线 y 2＝ 2px ( p >0) ，△ ABC 的三个极点都在抛物线上，O 为坐标原点，设△ ABC 三条边 AB ， BC ，AC 的中点分别为 M ， N ， Q ，且 M ， N ， Q 的纵坐标分别为 y 1， y 2， y 3. 若直线 AB ，BC ， AC 的斜率之和为－11 1 1，则 y 1 ＋ y2 ＋y 3 的值为 ______．1答案－ p分析 设 A ( x ，y ) ， B ( x ， y ) ， C ( x ， y ) ，AABBCC2 y A ＝2px A ，2 则 y B ＝ 2px B ，2y C ＝ 2px C ，三个式子两两相减得y A ＋y B y A － y B ＝ 2p x A － x B ， y ＋yCy － y C ＝ 2p x － x C ，AA Ay B ＋y Cy B － y C ＝ 2p x B － x C ，2y 1即 2y 3 2y 2y A － y B y A － y C y B －y C＝ 2p x A － x B ，＝ 2p x A － x C ，＝ 2p x B － x C ，p ＝ y A － y B AByx － x＝ k，1 BA 即p ＝y － y＝ k BC ，B Cy 2 x B － x C p ＝ y A － y Cy x － x ＝ k AC ，3 A C所以 1 ＋ 111＋y＝－ .y 1 y 2 3px 2y 222→ →5．若 P 为椭圆 16＋15＝ 1 上随意一点， EF 为圆 ( x － 1) ＋y ＝4 的随意一条直径，则PE · PF的取值范围是 ________． 答案 [5,21]分析因为 → ·→＝ ( →－→) ·(→－→)PE PF NE NP NF NP→ →→ → → → 2＝ NE ·NF － NP ·(NE ＋ NF ) ＋ NP＝－ → → π－ → 2 2| NE || NF | ·cos 0＋ | NP | ＝－ 4＋ NP . 又因为椭圆x 2＋ y 2 ＝1 的 ＝4， ＝ 15，＝1，1615abcN (1,0) 为椭圆的右焦点，∴ NP ∈[a － c ， a ＋c ] ＝ [3,5] ，→ →∴ PE ·PF ∈[5,21] ．226．已知双曲线： x2－ y2＝ 1(>0， >0) 的离心率为 3， ， 为左，右极点，点P 为双曲线C a b a bA BC 在第一象限的随意一点，点O 为坐标原点，若直线PA ，PB ， PO 的斜率分别为k 1， k 2， k 3，记 m ＝k 1k 2k 3，则 m 的取值范围为 ________．答案 (0,2 2)x 2 y 2c分析 ∵双曲线 C ： a 2－ b 2＝1( a >0， b >0) 的离心率为 3，∴ e ＝ a ＝ 3，∴ b ＝ 2a ， 设 P ( x ， y ) ，∵点 P 为双曲线 C 在第一象限的随意一点，x 2 y 2x >0， y >0，∴ 2－2＝1，且ab∵ ， B 为双曲线C 的左，右极点，点 O 为坐标原点， ，，的斜率分别为k 1， 2 ， 3，APA PB POk k∴1 2＝ y·y＝ 2，3＝y>0， k k x ＋ a x －akx又∵双曲线的渐近线为 y ＝± 2x ，∴0<k 3< 2，∴ 0< m ＝ k 1k 2k 3<2 2.→ →x 2 y 27．已知 A (1,2) ，B ( －1,2) ，动点 P 知足 AP ⊥ BP . 若双曲线 a 2 － b 2＝1( a >0，b >0) 的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．答案 (1,2)分析设 P ( x ，y ) ，由题设条件，得动点 P 的轨迹为 ( x － 1)( x ＋ 1) ＋ ( y － 2)( y － 2) ＝ 0，即 x 2＋( y － 2) 2＝ 1，它是以 (0,2) 为圆心， 1 为半径的圆．x 2y 2b 又双曲线a 2 －b 2＝ 1( a >0， b >0) 的渐近线方程为y ＝± ax ，即bx ± ay ＝ 0，由题意，可得2a2aa 2＋b2>1，即c>1，c所以 e ＝ a <2，又 e >1，故 1<e <2.8．在直线 y ＝－ 2 上任取一点 Q ，过 Q 作抛物线 x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点 ________．答案 (0,2)分析设 (，－ 2)， (1， 1)， (2，2)，抛物线方程变成＝12，则y ′＝ 1，则在点AQ tA x yB x y y4x2x处的切线方程为y － y 1＝21x 1( x － x 1) ，化简得， y ＝ 21x 1x － y 1，同理，在点 B 处的切线方程为 y＝ 1 2 － 2. 又点 (，－ 2) 的坐标知足这两个方程，代入得：－2＝ 1 1 t － y 1，－ 2＝ 1 2 t － y 2，2x x yQ t2x2x1122) 都知足方程－ 11则说明 A ( x ， y ) ， B ( x ，y 2＝2xt － y ，即直线 AB 的方程为 y － 2＝2tx ，所以 直线 恒过定点 (0,2) ．ABx 2 y 239．(2016 ·北京 ) 已知椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的离心率为2 ，A ( a, 0) ，B (0 ，b ) ，O (0,0)，△ OAB 的面积为 1.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N . 求证： AN ·BM为定值．c3 1(1) 解 由已知 a ＝ 2 ， 2ab ＝ 1.又 a 2＝b 2＋c 2，解得 a ＝ 2， b ＝1， c ＝ 3.2x2∴椭圆 C 的方程为 ＋ y ＝ 1.(2) 证明由 (1) 知， A (2,0) ， B (0,1) ．2设椭圆上一点x 02P x ， y ，则4＋y ＝ 1.y 0当 x 0≠0时，直线 PA 方程为 y ＝ x 0－ 2( x － 2) ，－ 2y 0令 x ＝0 得 y M ＝ x 0－ 2.2y 0进而 BM ＝ |1 － y M | ＝ 1＋ x 0－ 2 .y 0－ 1直线 PB 方程为 y ＝x0 x ＋ 1.－ x 0令 y ＝0 得 x N ＝ y 0－ 1.x 0∴ AN ＝|2 － x N | ＝ 2＋ y 0－ 1 .x 02y 0∴ AN ·BM ＝ 2＋ y 0－1 · 1＋ x 0－ 2x 0＋ 2y 0－ 2x 0＋2y 0－ 2＝y 0－ 1 ·x 0 － 222＝ x 0 ＋4y 0＋ 4x 0y 0－ 4x 0－ 8y 0＋ 40 y 0－ 0－ 2 0＋ 2x x y＝4x 0y 0－4x 0－ 8y 0＋ 8＝ 4.x y － x－2y ＋ 2当 x 0＝0 时， y 0＝－ 1， BM ＝ 2， AN ＝ 2，∴ AN ·BM ＝ 4.故 AN · BM 为定值．x 210．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点 M ( x 0，y 0) 是椭圆 C ： 4 ＋y 2＝ 1 上一点，从原点 O 向圆直线 OP ， OQ 的斜率分别记为(1) 若圆 M 与 x 轴相切于椭圆2 5(2) 若 r ＝ 5 .1①求证： k 1k 2＝－ ；4M ：( x －x 0) 2＋ ( y －y 0) 2＝r 2作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P ，Q ，k 1， k 2 .C 的右焦点，求圆 M 的方程；②求 OP · OQ 的最大值．因为椭圆 C 的右焦点的坐标为 ( 3， 0) ，所以圆心 M 的坐标为 (1(1) 解3，± 2) ，进而圆 M 的方程为21 21( x － 3)＋ ( y ±2) ＝ 4.(2) ①证明因为圆 M 与直线 OP ：y ＝ k 1x 相切，| k 1 x 0－ y 0|2 5所以2 ＝5 ，k 1＋ 12 2 ＋ 10x y k ＋ 4－2即 (4 －5x ) k5y ＝ 0，10 0 1同理，有 (4 －2 2＋ 4－ 5y 25x ) k＋ 10x y k＝ 0，2 0 0 2所以 k 1， k 2 是方程222的两根，(4 － 5x 0) k ＋ 10x 0y 0k ＋ 4－ 5y 0＝ 024－ 5y 0进而 k 1k 2＝24－ 5x 04－ 5 1－ 1 24x＝24－ 5x 05 2 － 1＋4x 01＝2＝－ .4－5x 04②解 设点1(x1，1)， 2( x 2，y 2)，P yPy ＝ k 1 x ，联立 2x＋ y 2＝ 1，442解得 224k 1 2，x 1＝ 1＋ 4 2 ， y 1＝ 1＋ 41 1kk44k 2同理， x 22＝ 2 ，y 22＝ 2 2，1＋ 4k 2 1＋ 4k 24242222＋ 4k 12＋4k 22)所以 OP · OQ ＝ (k 1＋ 4 k 2) ·(1＋ 4k1＋411 1＋ 4 22k424 1＋ k 21＋ k 1 2＝ 1＋4 k 12· 1＋ 422k4＋4 121＋ 16k12＝k2· 1＋ 4k 21＋ 4k115＋20k 212≤22＝ 252，1＋ 4k 141当且仅当 k 1＝± 2时取等号．5 所以 OP · OQ 的最大值为.2B 组 能力提升1222222(0< r <2) ，动圆1211．已知圆 O ：( x － 2) ＋ y ＝ 16 和圆 O ：x ＋ y ＝ r M 与圆 O ，圆 O 都相切，动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e ， e( e >e ) ，则 e ＋2e 的最12 1 2 1 2小值是 __________ ．3＋2 2答案4分析①当动圆 M 与圆 O 1， O 2 都相内切时，MO 2＋ MO 1＝4－ r ＝ 2a ，故 e 1＝2.4－ r②当动圆 M 与圆 O 1 相内切而与 O 2 相外切时，2MO 1＋ MO 2＝4＋ r ＝ 2a ′，故 e 2＝ 4＋ r .2424－ 2r所以 e 1＋ 2e 2＝ 4－ r ＋ 4＋ r ＝ 16－ r 2 ，令 12－ ＝t (10< t <12) ， 1＋ 2 2＝2×1ree12824－ t － t ≥2× 1＝1 3＋2 212－ 8 ＝ 4.24－ 162 212．已知过定点 (1,0) 的直线与抛物线x 2＝ y 订交于不一样的 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2，y 2) 两点，则 ( x 1－ 1)( x 2－ 1) ＝ ________.答案1分析设过定点 (1,0) 的直线的方程为 y ＝k ( x － 1) ，代入抛物线x 2＝y 可得 x 2－ kx ＋ k ＝ 0，故 x 1＋ x 2＝ k ，x 1· x 2＝k ，所以 ( x 1－ 1)( x 2－ 1) ＝ x 1·x 2－ ( x 1＋x 2) ＋ 1＝ 1.13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2 y 21 C ： 2＋2＝ 1 ( a >b >0) 的离心率 e ＝ ，左顶a b2点为 ( －4， 0)，过点A 作斜率为k ( k ≠0) 的直线l 交椭圆 C 于点 ，交y 轴于点 .AD E(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 已知 P 为 AD 的中点，能否存在定点Q ，对于随意的 k ( k ≠0) 都有 OP ⊥EQ ，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明原因；AD ＋ AE(3) 若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M ，求 OM 的最小值．解(1) 因为左极点为A ( － 4,0) ，1所以 a ＝ 4，又 e ＝ 2，所以 c ＝ 2， 又因为 b 2＝ a 2－ c 2＝ 12，x 2 y 2所以椭圆 C 的方程为 16＋12＝ 1.(2) 直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 4) ，x 2 y 2＋ ＝ 1，由1612y ＝ k x ＋ 4 ，x 2 [ k x ＋ 4] 2 消元得， 16＋12＝ 1.化简得， ( x ＋ 4)[(4 k 2＋ 3) x ＋ 16k 2－ 12] ＝ 0， － 16k 2＋ 12所以 x 1＝－ 4， x 2＝ 4 2＋ 3 .k当 x ＝ － 16k 2＋ 12y － 16k 2＋ 1224k2时，＝ (2＋4)＝2，4k ＋ 3k4k ＋ 34k ＋3所以 D ( － 16 k 2＋12 24k4 2＋ 3 ， 4 k 2＋3)．k 因为点 P 为 的中点，AD 所以 P 的坐标为 ( － 16 k 2 12 k 2 ， 2 ) ， 4k ＋ 3 4k ＋ 33则 k OP ＝－ 4k ( k ≠0) ．直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 4) ，令 x ＝ 0，得 E 点坐标为 (0,4 k ) ，假定存在定点Q ( m ， n )( m ≠0) ，使得 OP ⊥ EQ ，3 n － 4k 则 k · k ＝－ 1，即－ ·＝－ 1 恒成立，OPEQ 4k m所以 (4 m ＋ 12) k － 3n ＝ 0 恒成立，4m ＋ 12＝ 0，m ＝－ 3， 所以 即 － 3n ＝0， n ＝ 0，所以定点 Q 的坐标为 ( － 3,0) ．(3) 因为 OM ∥ l ，所以 OM 的方程可设为y ＝ kx ，x 2 y 2 由 16＋ 12＝1，y ＝ kx ， 得 M 点的横坐标为4 3 x ＝± 2 ， 4 k ＋ 3由 OM ∥ l ，得AD ＋ AE | x D － x A | ＋ | x E － x A |＝ M OM | x | － 16k 2＋ 12x D － 2x A 4k 2＋ 3＋ 8 ＝M ＝ 4 3 | x | 4k 2＋ 31 ·4k 2＋ 9＝ 4k 2＋ 33 ＝ 1 ( 4k 2＋ 3＋6 )≥2 2， 3 4k 2＋ 3当且仅当 4 2＋ 3＝ 6 ，k 4k 2＋ 3即 k ＝± 32 时取等号，3AD＋ AE所以当 k＝±2时，OM 的最小值为 2 2.。
高考数学(浙江专版)二轮复习专题突破专题6 平面解析几何【教师版】
平面解析几何1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．判断两直线平行或垂直时，不要忘记斜率不存在的情形． 2．求圆的方程有两类方法：（1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系确定圆的半径大小和圆心坐标，进而得出圆的方程；（2）代数法：求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径． 3．判断两条直线位置关系可用一般式来进行判定，也可以用斜截式来判定． 4．判断点和圆、直线和圆、圆与圆的位置关系有两类方法：几何法和定义法 （1）点与圆的位置关系：①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断，d r >⇔点在圆外； d r =⇔点在圆上； d r <⇔点在圆内；②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与2r （或0）作比较， 大于2r （或0）时，点在圆外； 等于2r （或0）时，点在圆上； 小于2r （或0）时，点在圆内．（2）判断直线l ：()2200Ax By C A B ++=+≠与圆()()()2220x a y b r r -+-=>的位置关系： ①几何法：求出d =，比较r d ,的大小，d r <⇔直线与圆相交； d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离；②代数法：()()()2220,0.Ax By C x a y b r r ++=⎧⎪⎨-+-=>⎪⎩消元得一元二次方程，根据判别式∆的符号来判断， 0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切；0∆<⇔直线与圆相离．（3）圆与圆的位置关系：①几何法：利用两圆圆心距d 与两圆半径12,r r 的关系判断，12d r r >+⇔两圆外离； 12d r r =+⇔两圆外切；1212r r d r r -<<+⇔两圆相交； ()1212d r r r r =-≠⇔两圆内切； ()12120d r r r r ≤<-≠⇔内含；②代数法：根据两圆方程联立组成的方程组的解的情况判断， 无解⇔相外离或内含； 一组实数解⇔两圆外切或内切； 两组不同实数解⇔两圆相交．5．直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解，求圆的切线，一般用几何法（圆心到切线的距离等于半径）来求解． 6．与圆有关的最值问题主要题型有：（1）圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d r +，最小值d r -（d 是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d r +，最小值r d -；（2）圆上点到定直线距离的最值，设圆心到直线距离为d ，直线与圆相离，则最大值d r +，最小值d r -；直线与圆相交，则最大值d r +，最小值0；（3）(),P x y 为⊙O 上一动点，求,x y 的表达式(如222,x y x y ++等)的取值范围，一般利用表达式的几何意义转化．7．求圆锥曲线方程的方法：（1）定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法；（2）待定系数法：“先定型，后计算”，即先确定是何种曲线，焦点在哪个轴上，然后利用条件求,,a b p 的值．如：①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为22y ax =或22x ay =(0a ≠)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；②中心为原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+，双曲线方程可设为()2210x y mn m n-=>．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中222c a b =-，双曲线中222c a b =+的区别． 8．求曲线方程的常见方法：（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程；（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求；（3）相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程；（4）参数法：若动点的坐标()中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标联系起来，得到用参数表示的方程．如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程． 注意：（1）求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线．（2）求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．9．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．10．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定,,a b c 的关系．基本思路有两种： （1)根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出,a c ，然后根据离心率的定义式求解；(2)根据已知条件构造关于,a c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数，另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系． 11．关于圆锥曲线的特殊结论：,x y ,x y ,x y（1）平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点； （2）平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．涉及直线与二次曲线有两个交点时，一般方法是设出直线的方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系“整体代入、设而不求”和判别式处理，中点弦问题还可用点差法解决．12．涉及椭圆（或双曲线）两焦点距离的问题、焦点弦问题、焦点三角形问题，常结合定义、正余弦定理或勾股定理等知识解决；涉及到抛物线焦点(或准线)距离的问题，可优先考虑抛物线的定义．（1）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系和“设而不求”的思想；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．学科网①斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长1212|||PP x x =-或1221|||P P y y =-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：12||x x -=21||y y -=②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． （2）有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”或“设而不求法”来简化运算．13．解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：（1）利用函数，尤其是二次函数求最值；（2）利用三角函数，尤其是正余弦函数的有界性求最值； （3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值； （4）利用判别式求最值；（5）利用数形结合，尤其是切线的性质求最值． （6）应用导数研究函数的单调性及最值.解决最值问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量， 14．解决定值问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数，或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．15．解决曲线过定点问题常把直线或曲线方程中的变量,x y 当作常数看待（以常驭变），把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于,x y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．16．解决存在性问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果可以得到成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论，则说明假设不存在，否定作答即可．17．与解析几何有关的平面向量问题： （1）给出，即已知是的中点；（2）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数，即已知三点共线； （3）给出，即已知，即是直角；给出，即已知是钝角， 给出，即已知是锐角；学科网（3）给出，即已知是的平分线；（4）在平行四边形中，给出，即已知是菱形； （5）在平行四边形中，给出，即已知是矩形；（6）在中，给出，即已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （7）在中，给出，即已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （8）在中，给出，即已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （9）在中，给出，即已知通过的内心；（10）在中，给出，即已知是中边的中线．一、单选题1．（湖南岳阳市·岳阳一中高二月考）椭圆221y x k+=的一个焦点是(，那么k =（ ）A ．6-B ．6C 1D ．1【答案】B【解析】通过椭圆的焦点在y 轴上，则确定1k >，利用,,a b c 的关系，求出k 的值即可. 【详解】因为椭圆221y x k+=上的一个焦点为，在y 轴上，所以1k >， 所以15k -= 则6k =. 故选：B【要点回扣】椭圆的标准方程及其几何性质．2．（浙江高三开学考试）已知点(0,0),(O A ，B ，设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为函数y 图像上的点，则||OP =（ ）A B ．52C D ．3【答案】C 【解析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||2PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为由1c a ==可得，222312b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22102y x x -=>，而点P 在函数y 的图象上，所以，由()22102y y x x ⎧=⎪⎨-=>⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即OP ==． 故选：C.【要点回扣】双曲线的标准方程及其几何性质、直线与双曲线的位置关系．3．（陕西西安市·西安中学高三月考（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．3B ．1C ．4D ．2【答案】D 【解析】根据PF x ⊥轴可得出点P 的坐标为()1,k ，再将点P 的坐标代入抛物线C 的方程可求得正数k 的值. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，因为PF x ⊥轴，则点P 的横坐标为1P x =，因为点P 在曲线()0ky k x=>上，可得点()1,P k ， 又因为点P 在抛物线C 上，则2414k =⨯=，0k >，解得2k =.故选：D.【要点回扣】抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系．4．（浙江高三期末）双曲线2214x y -=的离心率为（ ）ABCD．2【答案】C 【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,2a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.【要点回扣】双曲线的标准方程及其几何性质．5．（湖南雅礼中学高三月考（文））“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若方程22126x ym m+=--表示椭圆，则20{6026m m m m->->-≠-，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ． 【回扣要点】椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．6．（浙江高三期末）已知双曲线C ：22221x y a b-=的离心率为53，且其实轴长为6，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 【答案】A 【解析】由双曲线C 的离心率为53,实轴长为6, 可得5326c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得35a c =⎧⎨=⎩,从而22216b c a =-=,所以双曲线C 的方程为:221916x y -=,故选:A.【要点回扣】双曲线的标准方程及其几何性质．7．（全国高三开学考试（理））已知圆22:4230C x y x y +--+=，过原点的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，则当ABC 的面积最大时，直线l 的方程为（ ） A ．0y =或43y x =B ．2y x =或12y x =- C ．0x =或13y x =D ．34y x =【答案】A 【解析】求出圆心坐标与半径r1=可求得直角斜率，得直线方程． 【详解】圆2222:4230,(2)(1)2C x y x y x y +--+=-+-=，因为ABC为等腰三角形，AC BC ==当90ACB ∠=︒时，ABC 的面积最大，此时圆心C 到直线l1=， 设直线l方程y kx =，解得0k =或43k =， 直线l 的方程为0y =或43y x =， 故选：A .【要点回扣】直线与圆的位置关系、圆的性质．8．（湖南长沙一中高三月考（文））若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,,F F P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,3]B ．(1,2]C ．[3,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B 【解析】设12,F F 分别是左右焦点，则点P 为右支上一点，如图. 依据双曲线定义知122PF PF a -=，则2232PF PF a -=， 则2a PF c a =-，所以2a c ≥， ∴2ce a=， 又1e >， 则12e <≤. 故选:B.【要点回扣】双曲线的定义、标准方程及其几何性质．9．（湖南高三期末（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F，直线y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ） AB1CD1【答案】D 【解析】由22221x y a b y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得x =，分别代入y =，A ∴，(B，，∴AF c =+，(BF c =，，AF BF ⊥∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b=--=++，2222243a b c a b ∴=+，(*)把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-，两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得24e =-1e ∴=，故选：D ．【要点回扣】1.椭圆的的标准方程及其几何性质；2. 直线与椭圆的位置关系．10．7．（浙江高三月考）已知点A 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点，(),0F c 为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形（O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆()2224b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF △面积的最小值大于28b ，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】结合题意先计算直线AE 的表达式，然后运用点到直线的距离计算圆心F 到直线AE 的距离，求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式，继而计算出椭圆离心率的取值范围.【详解】因为四边形OABE 是平行四边形，所以//BE AO ，且BE AO a ==，又因为点B 、E 关于y 轴对称，所以0,2a E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程得2202214y a a b +=，解得02y =±，故,22a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(),0A a -，所以()2:32AE l y x a a =+30ay -=，故min PF 即为F 到直线AE 的距离，d=，此时PQ ==，故2112228PQFb b SPQ R =⋅=⋅>，化简得2212d b >，故()2222231392b a c bb a +>+，即()()222231239a c a c a +>-+，整理得22222142a ac c a c ++>-，分子分母同除以2a ，得2212142e e e ++>-，即23420ee +->，所以e<舍去)或e >a c >，所以1e <，所以e ⎫∈⎪⎪⎝⎭故选：B【要点回扣】1.椭圆的方程及其几何性质；2. 直线与椭圆的位置关系；3.平面向量的运算． 二、填空题11．（湖南永州市·高三二模）大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有一动点P 满足2OP =，其中O 为坐标原点，若1,22M ⎛- ⎝⎭，则PM 的最小值为___________.【答案】1 【解析】先判断动点P 的轨迹，再结合圆的对称性判断,,O M P 三点共线时PM 最小，即得结果. 【详解】依题意可知，动点P 的轨迹是以O 为圆心，2r为半径的圆，即224x y +=，而1OM r ==<，故点1,2M ⎛ ⎝⎭在圆内， 根据圆的对称性可知，当,,O M P 三点共线时，PM 最小，即min211r O P M M =-=-=.故答案为：1.【回扣要点】数学文化、直线与圆的位置关系.12．（辽宁高三一模（文））已知M 是抛物线24y x =上一动点，N 是圆()2244x y +-=关于直线0x y -=的对称的曲线C 上任意一点，则MN 的最小值为_______________________．【答案】2- 【解析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到MN 的最小值.【详解】圆()2244x y +-=的圆心()0,4，半径2r设圆心()0,4关于直线0x y -=对称的点为()00,x y ，则0000414022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，解得0040x y =⎧⎨=⎩，所以曲线C 的方程为()2244x y -+=，圆心为()4,0C ，设(),(0)M x y x >，则()2224MC x y =-+，又24y x =，()()222226241=412MC x y x x x ∴+-+=-+=-， 2min12MC∴=，即min MC =min 2MN =，故答案为：2.【回扣要点】1.抛物线的方程、几何性质；2.直线与圆的位置关系质.13．（福建高三其他模拟）已知不过原点的动直线l 交抛物线()2:20C x py p =>于,A B 两点，O 为坐标原点，且||||OA OB OA OB +=-，若OAB 的面积的最小值为64，则p =___________；直线l 过定点，该定点的坐标为___________. 【答案】4 ()0,8 【解析】由题意得出0OA OB ⋅=，化简得到2124x x p ⋅=-，设:l y kx m =+，联立方程组，利用韦达定理，求得2m p =，再利用三角形的面积公式224S p p =≥，进而求得,p m 的值，即可求解.【详解】设直线与抛物线交于A B 、两点，()()1122,,,A x y B x y ，因为||||OA OB OA OB +=-，可得22()()OA OB OA OB +=-， 即2222+2+=2+OA OA OB OB OA OA OB OB ⋅-⋅，可得0OA OB ⋅=，可得12120OA OB x x y y ⋅=+=，所以221212022x x x x p p⋅+⋅=，得到2124x x p ⋅=-， 设:l y kx m =+，代入抛物线22x py =中，可得方程2220x pkx pm --=， 由韦达定理得12122,2x x pk x x pm +=⋅=-，所以2m p =，所以面积1122S p ===2224p p =≥，当且仅当0k =时，等号成立，即2464p =，解得4p =，所以8m =，此时直线8y kx =+过定点()0,8.【回扣要点】1.抛物线的方程、几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.平面向量的数量积.4.解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.14．（江苏启东市·高三期末）已知椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A ，B ，点M 为AB 的中点，直线MO （O，则b a =____________；又OA OB ⊥，则2a b +=____________．【解析】根据点差法结合已知两直线的斜率即可求得第一空；联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示OA OB ⊥可得第二空答案. 【详解】()11,A x y ，()22,B x y ，2211222211ax by ax by ⎧+=⎨+=⎩，∴()()222212120a x x b y y -+-=， ∴221222120a y y b x x -+=-，121212120y y y y a b x x x x -++⨯=-+，即(1)02a b +-⨯=，∴a b =，∴b a =2211ax y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩消y可得2()10a x +-+-=，12124x x x x ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩， ()()()121212121113y y x x x x x x =-+-+=-++=+，由OA OB ⊥，∴12120x x y y +=，30+=，∴1)2a =-=，4b =-∴2a b +=；【回扣要点】椭圆的定义和标准方程、几何性质，直线与椭圆的位置关系、点差法.15．（山东高三）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2 【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a =，所以椭圆M的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m ，++∴===∴=【回扣要点】1.椭圆的定义、方程及几何性质；2.双曲线方程、几何性质.16．（北京高考模拟（理））1F 、2F 分别为椭圆C ： 22195x y +=的左、右焦点，P 是C 上的任意一点. 则12•PF PF 的最大值为___________，若(0,A ，则2AP PF -的最小值为____________.【答案】9 4 【解析】由22195x y +=可得：3a =，2c = 由椭圆定义可知1226PF PF a +== 216PF PF ⇒=-()212111166PF PF PF PF PF PF ∴=-=-又1a c PF a c -≤≤+，即115PF ≤≤∴当13PF =时，12PF PF 取最大值，最大值为：1899-=()21126AP PF AP a PF AP PF -=--=+-又11AP PF AF +≥（当且仅当P 在线段1AF上时取等号） ()21min664AP PF AF ∴-=-==【回扣要点】椭圆的定义、几何性质、最值类问题.17．（湖北高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，点(),A a b -，点(),B a b.在点P 的运动过程中，12PF F △cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB∠∠+=∠∠成立的点P 有且只有3个.当点P 在x 轴的下方运动时，记12PF F △的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则 rR的最大值为________，PAB △的外接圆面积的取值范围为______________.【答案】32(4,162ππ⎡⎤-⎣⎦【解析】若cos cos 2sin sin PAB PBA PBA PAB ∠∠+=∠∠成立，分别讨论2APB π∠<和2APB π∠>时矛盾，可得2APB π∠=，则得出2a b =，由三角形12PF F 面积最大值得122c b ⨯⨯=2,1,a b c ===12F PF θ∠=，由余弦定理可得1221cos PF PFθ⋅=+，由三角形12PF F 面积得(2sin 1cos r θθ=+，即可求出r R 最大值；设PAB △的外接圆的圆心()0,D m ，设()2cos ,sin P αα,其中(),2αππ∈，由DA DP =，可得()23sin 121sin m αα+=-，令1sin t α=-，则(]1,2t ∈，利用导数求出，3,1m ⎡⎤∈⎣⎦，即可求出.【详解】 若cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB∠∠+=∠∠成立，显然当P 在左右顶点时，等式不成立，则PAB ∠和PBA ∠为锐角，若2APB π∠<，则2PAB PBA π∠+∠>，即2-PAB PBA π∠>∠，则sin sin 2-PAB PBA π⎛⎫∠>∠⎪⎝⎭，即sin cos PAB PBA ∠>∠，则cos 1sin PBA PAB ∠<∠， 同理，sin cos PBA PAB ∠>∠，则cos 1sin PAB PBA ∠<∠，则cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB∠∠+<∠∠，与已知矛盾；若2APB π∠>，则2PAB PBA π∠+∠<，即2-PAB PBA π∠<∠，则sin sin 2-PAB PBA π⎛⎫∠<∠⎪⎝⎭，即sin cos PAB PBA ∠<∠，则cos 1sin PBA PAB ∠>∠， 同理，sin cos PBA PAB ∠<∠，则cos 1sin PAB PBA ∠>∠，则cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB∠∠+>∠∠，与已矛盾，综上，若cos cos 2sin sin PAB PBA PBA PAB ∠∠+=∠∠成立，2APB π∠=，∴点P 在以AB 为直径的圆上，该圆与椭圆恰有3个交点，由对称性，可得其中一个交点为椭圆的下顶点，2a b ∴=，12PF F △122c b ∴⨯⨯=222a b c =+，可解得2,1,a b c ===设12F PF θ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅⋅，1224PF PF a +==，则可得1221cos PF PF θ⋅=+，12121sin sin 21cos PF F SPF PF θθθ∴=⋅⋅=+，又()(121212122PF F Sr PF PF F F r =++=， (sin 21cos rθθ∴=+，则(2sin 1cos r θθ=+，由正弦定理可得122sin F F R θ=，则sin R θ=，(()22sin 2sin 31cos 3rRθθθ-∴=-==，当P 在下顶点时，cos θ最小，此时23πθ=，r R ； 可得PAB △的外接圆的圆心在y 轴上，设圆心为()0,D m ， 设()2cos ,sin P αα,其中(),2αππ∈， 则DA DP =，即()()()2222212cos sin m m αα+-=+-，可得()23sin 121sin m αα+=-， 令1sin t α=-，则(]1,2t ∈，则236432322t t m t t t -+==+-令()3232f t t t =+-，则()222323422t f t t t-'=-=，当t ⎛∈ ⎝⎭时，()0f t '<，()f t 单调递减，2t ⎤∈⎥⎝⎦时，()0f t '>，()f t 单调递增，()min 33f t f ⎛∴== ⎝⎭，， ()112f =，()21f =，()max 1f x ∴=，3,1m ⎡⎤∴∈⎣⎦，则()(22414,162DA m ⎡⎤=+-∈⎣⎦，则PAB △的外接圆面积(24,162DA πππ⎡⎤⋅∈⎣⎦.故答案为：32；(4,162ππ⎡⎤-⎣⎦.【回扣要点】直线与椭圆的位置关系,正弦定理、余弦定理的应用,应用导数研究函数的性质. 三、解答题18．（全国高三专题练习（理））已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6. 【解析】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，42MP NP PQ NP MN ∴+=+=>=， 所以，动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则2a =，b ==因此，曲线C 的方程为:22143x y +=；（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 设()11,D x y 、()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以()2212134t DE t +===+， 同理()2212134t AB t +=+，1l 与2l 的距离为d =，所以，四边形ABDE 的面积为22434S t =⨯+，u =，则1u ≥，得224241313u S u u u ==++，由双勾函数的单调性可知，函数13y u u=+在[)1,+∞上为增函数，所以，函数2413S u u=+在[)1,+∞上为减函数， 当且仅当1u =，即0t =时，四边形ABDE 的面积取最大值为6.【回扣要点】1.椭圆的标准方程及几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.圆的方程及其性质；4.函数的性质．19. （浙江高三开学考试）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线:l yx =的距离为,2A B 为抛物线C 上两个动点，满足线段AB 的中点M 在直线l 上，点(0,2)N .（1）求抛物线C 的方程； （2）求NAB △面积的取值范围. 【答案】（1）24y x =；（2）(0,4]. 【解析】（1）利用抛物线焦点F 到直线l，求出抛物线方程； （2）设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法得出NAB △面积的取值范围． 【详解】 （1）,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭由2pd ==，解得2p = 所以抛物线方程为24y x =（2）设直线AB 的方程为：221212,,,,44y y x my t A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立方程组24y x x my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my t --=所以121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩，得(2,2)M m m有2212444y y m +=，即()21212216y y y y m +-=所以222t m m =- 点N 到AB的距离h =||AB ==所以1||2|2|2NABSAB h m t =⋅⋅=+42m m =-令uu =由24y x y x=⎧⎨=⎩，得l 与抛物线的两交点坐标为(0,0),(4,4)， 因点M 在l 上可得(0,2)m ∈ 所以(0,1]μ∈ 得34(0,4]NABSu =∈【要点回扣】1.抛物线的标准方程及几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系．20．（全国高三专题练习）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】(1)见详解；(2) 3或【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±. 当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或.【回扣要点】1.抛物线的标准方程及几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.直线与圆的位置关系．21．（江苏无锡市·高三月考）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．【答案】（1）22182x y +=，()4,0A ；（2）4)6y x =±-；（3）PM 与QN 的交点恒在直线2x =上，理由见解析. 【解析】（1）根据题意，列出方程组，结合222c a b =-，求得,a b 的值，得出椭圆的标准方程， 又由抛物线216y x =-，求得准线方程，即可求得A 的坐标；（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组，求得,M N 的坐标，即可求得直线MN 的方程； （3）设()()4,,4,P t Q t -，得到:4MN x ky =+，联立方程组，求得1212,y y y y +，得到1212y y ky y +=-，再由直线PM 和QN 的方程，求得交点的横坐标，即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-可得22411a b +=且c e a ==，又由222c a b =-， 解得228,2a b ==，即椭圆C 的方程为22182x y +=，又由抛物线216y x =-，可得准线方程为:4l x =，所以()4,0A .（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组()2200220018241328x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001,x y ==，当5,,(1,242M N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，可得直线:(4)6MN y x =--；当5,,(1,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-； 所以直线MN的方程为4)6y x =±-. （3）设()()4,,4,P t Q t -，可得:4MN x ky =+， 设()()1122,,,M x y N x y联立方程组224480x ky x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()224880k y ky +++=， 所以12122288,44k y y y y k k +=-=++，则1212y y ky y +=-， 又由直线111114:44y t tx y PM y x x x --=+--，222224:44y t y tx QN y x x x ++=---， 交点横坐标为()121212242ky y y y x y y ++==+，所以PM 与QN 的交点恒在直线2x =上.【回扣要点】1、椭圆、抛物线的标准方程及几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系．22．（全国高三开学考试（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点1,2P ⎛-- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线2y x m =-+(0m ≠且 m ≠交椭圆C 于A ，B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，探究：12k k 是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为14. 【解析】（1）根据椭圆离心率为2，且过点1,2P ⎛-- ⎝⎭，由222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩求解. （2）联立2214y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由1212122211y k x x y k +⋅=⋅++，结合韦达定理求解. 【详解】（1）由题意得2222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩， 解得21a b =⎧⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）联立22214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2210x m +-=，其中()22234140m m m ∆=--=-+>，解得22m -<<. 又0m ≠且 m ≠∴2m -<<0m <<或02m <<.设()11,A x y ，()22,B x y，则12x x +=，2121x x m =-，∴121212222211x m x m k k x x +++⋅=⋅++，()()212121212342221x x m x x m x x x x ⎛-++++ ⎝⎭⎝⎭=+++， ()22314m m m ⎛-+++ =，2114m +==， 即12k k 是定值，且定值是14. 【回扣要点】椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题.。
2014年高考数学(文)二轮专题复习篇教案：专题六 解析几何 专题六 第三讲
第三讲圆锥曲线的综合问题1．直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．3．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①|OP|∈[b，a]．②|PF1|∈[a－c，a＋c]．③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]．④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①|OP|≥a.②|PF1|≥c－a.(3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有：①|PF |≥p2.②A (m ，n )为一定点，则|P A |＋|PF |有最小值．1． (2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a2，设直线方程为y ＝b 2a2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0，所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2；又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18.2． (2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3答案 B解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 3． (2013·大纲全国)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]答案 B解析 利用直线P A 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线P A 1斜率的边界值． 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程式为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝⎛⎭⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38. 同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.4． (2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________． 答案 3解析 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △F AB ＝12×2×3＝3.5． (2012·北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为______． 答案3解析 ∵y 2＝4x 的焦点F (1,0)， 又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°， 故直线l 的方程为y ＝3(x －1)， 将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2－10x ＋3＝0.∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题例1 已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →.(1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ；(2)若λ∈⎣⎡⎦⎤13，12，求|PQ |的最大值．审题破题 (1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值． (1)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2， ∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2)＝λ⎝⎛⎭⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F .(2)解 由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16， ∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4， 则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2) ＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ2＋4⎝⎛⎭⎫λ＋1λ－12 ＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎡⎦⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎡⎦⎤52，103， 当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.反思归纳 求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．变式训练1 (2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线P A 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， ∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1 ＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5 ＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92， ∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例2 (2012·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ， 证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．审题破题 (1)先求出B 点坐标，代入抛物线方程，可得p 的值；(2)假设在y 轴上存在定点M ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点M ，转化为MP →·MQ →＝0，从而判断点M 是否存在．(1)解 依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明 方法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*) 由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．方法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)， 以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2， 交y 轴于点M 1(0,1)、M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1， 以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564， 交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)． 以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．反思归纳 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 变式训练2 已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率e＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33a 2＝b 2＋c2b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0y 23＋x 22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5， ∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 2＝－1. ∴两条切线的斜率之积为常数－1. 题型三 圆锥曲线中的存在性问题例3 如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．审题破题 (1)列方程组求出a 、c 即可；(2)由k OM ·k ON ＝－12先确定点M 、N 坐标满足条件，再根据OP →＝OM →＋2ON →寻找点P 满足条件：点P 在F 1、F 2为焦点的椭圆上． 解 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．反思归纳 探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论． 变式训练3 (2012·江西)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)动点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点P (0，t )(t <0)，使得l 与P A ，PB 都相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )， |MA →＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2， OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ， 由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程：x 2＝4y . (2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件， 则直线P A 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，它与y 轴的交点为F ⎝⎛⎭⎫0，－x 204.由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1.①当－1<t <0时，－1<t －12<－12，存在x 0∈(－2,2)，使得x 02＝t －12，即l 与直线P A 平行，故当－1<t <0时不符合题意． ②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 02，所以l 与直线P A ，PB 一定相交． 分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x 24，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 02x －x 24，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t2(x 0＋1－t )，x E ＝x 20＋4t2(x 0＋t －1)，则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4t x 20－(t －1)2. 又|FP |＝－x 204－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t 8·(x 20＋4t )2(t －1)2－x 2，又S △QAB ＝12·4·⎝⎛⎭⎫1－x 204＝4－x 202， 于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·(x 20－4)[x 20－(t －1)2](x 20＋4t )2 ＝41－t ·x 40－[4＋(t －1)2]x 20＋4(t －1)2x 40＋8tx 20＋16t 2. 对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QAB S △PDE为常数，即只需t 满足⎩⎪⎨⎪⎧－4－(t －1)2＝8t ，4(t －1)2＝16t 2.解得t ＝－1.此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.典例 (14分)抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． 规范解答解 (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0. [2分]设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .[7分](2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大．对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.[10分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4·(－4)＝410.于是，△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2. [14分]评分细则 (1)由OA →＋OB →＝(－4，－12)得到关于p ，k 的方程组得2分；解出p 、k 的值给1分；(2)确定△ABP 面积最大的条件给1分；(3)得到方程x 2＋4x －4＝0给1分． 阅卷老师提醒 最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值．1． 设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34C ．3D ．－3 答案 B解析 方法一 (特殊值法)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)， ∴OA →·OB →＝⎝⎛⎭⎫12，1·⎝⎛⎭⎫12，－1＝14－1＝－34. 方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2. 由抛物线的过焦点的弦的性质知：x 1x 2＝p 24＝14，y 1y 2＝－p 2＝－1.∴OA →·OB →＝14－1＝－34.2． 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析 不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得，y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3． 已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点( )A ．(2,0)B ．(1,0)C ．(0,1)D ．(0，－1)答案 B解析 因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.4． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 ∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|FM |＝y 0＋2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.5． 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________． 答案 y 2＝4x解析 设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x .6． 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎦⎤33，22解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2， 又x 2∈[0，a 2]，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以离心率e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.专题限时规范训练一、选择题1． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线 l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM .∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.2． 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0答案 A解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.3． 设AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2(a >b >0)中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(－c,0)，则△F 1AB 的面积最大为( )A ．bcB ．abC ．acD ．b 2答案 A解析 如图，由椭圆对称性知O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半．又OF 1＝c ，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值为b .所以△F 1OB 的面积最大值为12cb .所以△F 1AB 的面积最大值为bc .4． 已知点A (－1,0)，B (1,0)及抛物线y 2＝2x ，若抛物线上点P 满足|P A |＝m |PB |，则m 的最大值为( )A ．3B ．2C. 3D. 2答案 C解析 据已知设P (x ，y )， 则有m ＝|P A ||PB |＝(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2＝ (x ＋1)2＋2x(x －1)2＋2x ＝x 2＋4x ＋1x 2＋1＝1＋4xx 2＋1＝ 1＋4x ＋1x ，据基本不等式有m ＝1＋4x ＋1x≤1＋42x ×1x＝3，即m 的最大值为 3.故选C.5． 直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为 ( )A ．16B ．116C ．4D ．14答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. 6． 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是 ( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)答案 C解析 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标(c ，±b 2a)，已知k ∈(13，12)，∴B (c ，b2a )．又A (－a,0)，则斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. 7． 已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4 答案 A解析 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A. 8． 设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22B.⎝⎛⎦⎤0，33C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1答案 D解析 设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2， 当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cy a 2＋c 2，kQF 2＝cyb 2－2c 2， 由kF 1P ·kQF 2＝－1，得 y 2＝(a 2＋c 2)·(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0，此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的范围是⎣⎡⎭⎫33，1.二、填空题9． 已知椭圆的焦点是F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长是6，直线y ＝x ＋2与此椭圆交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－95，15 解析 由已知得椭圆方程是x 29＋y 2＝1，直线与椭圆相交有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋9y 2＝9，y ＝x ＋2，则10x 2＋36x＋27＝0，AB 中点(x 0，y 0)有x 0＝12(x A ＋x B )＝－95，y 0＝x 0＋2＝15，所以，AB 中点坐标是⎝⎛⎭⎫－95，15. 10．点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|P A |最小，则相应P 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，14 解析 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝⎛⎭⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|P A |最小． 11． 斜率为3的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点且与该抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝_______.答案 163解析 如图，过A 作AA 1⊥l ′，l ′为抛物线的准线．过B 作BB 1⊥ l ′，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过焦点F 作FM ⊥A 1A 交A 1A 于M 点，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |·cos 60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.12．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________． 答案 32解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32. (2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y－16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.三、解答题13．(2013·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程．(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则 d ＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(y －2)2＝3b 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6，∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1， d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝21－1m 2＋n 2. ∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n2＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2. ∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝12，当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n 2得⎩⎨⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为 ⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22或 ⎝⎛⎭⎫－62，－22，此时△OAB 的面积为12.。
高考数学 考前三个月 练透高考必会题型 专题6 第27练 完美破解立体几何证明题 文 新人教版
第27练 完美破解立体几何证明题[内容精要] 立体几何中的题目最主要的两点就是证明和计算，其中证明主要是来证明空间中的点、线、面间的平行或垂直关系．本节就来探讨空间中的位置关系的证明问题．题型一 空间中的平行问题例1 在如图所示多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1.(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明．(2)求多面体ABCDE 的体积．破题切入点 (1)可先猜后证，可以利用线面平行的判定定理进行证明．(2)找到合适的底面．解 如图，(1)由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，AH ，则FH 綊12ED ， 所以FH 綊AB ，所以四边形ABFH 是平行四边形，所以BF ∥AH ，又因为BF ⊄平面ACD ，AH ⊂平面ACD ，所以BF ∥平面ACD .(2)取AD 中点G ，连接CG .因为AB ⊥平面ACD ，所以CG ⊥AB ，又CG ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，所以CG ⊥平面ABED ，即CG 为四棱锥C －ABED 的高，求得CG ＝3，所以V C －ABED ＝13×(1＋2)2×2×3＝ 3. 题型二 空间中的垂直问题例2 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60°，AB ⊥B 1C .(1)求证：平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(2)若AB ＝2，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．破题切入点 (1)考查面面垂直的判定定理．(2)注意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系．(1)证明 由侧面AA 1B 1B 为正方形，知AB ⊥BB 1.又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(2)解 由题意，CB ＝CB 1，设O 是BB 1的中点，连接CO ，则CO ⊥BB 1.由(1)知，CO ⊥平面AA 1B 1B ，且CO ＝32BC ＝32AB ＝ 3.连接AB 1，则VC －ABB 1＝13S △ABB 1·CO ＝16AB 2·CO ＝233.因为VB 1－ABC ＝VC －ABB 1＝13VABC －A 1B 1C 1＝233，所以VABC －A 1B 1C 1＝2 3.故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为＝2 3.题型三 空间中的平行、垂直综合问题例3 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ∥平面PMA ；(2)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(3)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．破题切入点 (1)证明EG 、FG 都平行于平面PMA .(2)证明GF ⊥平面PDC .(3)设MA 为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．(1)证明 ∵E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，∴EG ∥PM ，GF ∥BC .又∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ∥AD ，∴GF ∥AD .∵EG 、GF 在平面PMA 外，PM 、AD 在平面PMA 内，∴EG ∥平面PMA ，GF ∥平面PMA .又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交，∴平面EFG ∥平面PMA .(2)证明 由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，∴PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .由(1)知GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .(3)解 ∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2.∵DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，∴DA 即为点P 到平面MAB 的距离，∴V P －MAB ∶V P －ABCD ＝13S △MAB ·DA ∶13S 正方形ABCD ·PD ＝S △MAB ∶S 正方形ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2∶(2×2)＝1∶4. 即三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比为1∶4.总结提高 1.证明平行关系的方法：(1)证明线线平行的常用方法：①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；②利用平行四边形进行转换；③利用三角形中位线定理证明；④利用线面平行、面面平行的性质定理证明．(2)证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．(3)证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．2．证明空间中垂直关系的方法：(1)证明线线垂直的常用方法①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直； ②利用勾股定理逆定理；③利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．(2)证明线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 D解析由直线a与B确定的平面与β有唯一交线．故存在唯一与a平行的直线．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于( ) A．60°B．90°C．30°D．随点E的位置而变化答案 B解析在正方体中，显然有A1D⊥AB，A1D⊥AD1，所以A1D⊥面AD1C1B，又C1E⊂面AD1C1B，故A1D⊥C1E.故选B.3．已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是( ) A．①③ B．②④ C．①④ D．②③答案 C解析对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有( )A ．AP ⊥△PEF 所在平面B ．AG ⊥△PEF 所在平面C ．EP ⊥△AEF 所在平面D ．PG ⊥△AEF 所在平面答案 A 解析 在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变．∴ ⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PEAP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒AP ⊥面PEF .5．如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③答案 B解析 对于①，∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .∵AB 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥PC ；对于②，∵点M 为线段PB 的中点，∴OM ∥PA ，∵PA ⊂平面PAC ，∴OM ∥平面PAC ；对于③，由①知BC ⊥平面PAC ，∴线段BC 的长即是点B 到平面PAC 的距离，故①②③都正确．6.如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EB 1F －HC 1G所得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台答案 D解析 A 中，∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥BC ，∴EH ∥平面BCC 1B 1.又过EH 的平面EFGH 与平面BCC 1B 1交于FG ，∴EH ∥FG .故A 成立．B 中，易得四边形EFGH 为平行四边形，∵BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥EF ，即FG ⊥EF .∴四边形EFGH 为矩形．故B 正确．C 中可将Ω看作以A 1EFBA 和D 1HC 1CD 为上、下底面，以AD 为高的棱柱．故C 正确．7.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．答案 平行解析 在平面ABD 中，AM MB ＝AN ND， ∴MN ∥BD .又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴MN ∥平面BCD .8．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于______．答案 2 解析 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.9.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．答案 ①④解析 由PA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，得PA ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴AE ⊥PB ，①正确；∵平面PAD ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立，③错；在Rt△PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确．10．给出命题：①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；④在三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．其中，正确的命题是________．(只填序号)答案②④解析①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知②④正确．11．如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.12．(2014·课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．(1)证明如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.(2)解在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC . 因为∠CBB 1＝60°， 所以△CBB 1为等边三角形． 又BC ＝1，可得OD ＝34.由于AC ⊥AB 1， 所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ， 且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114.又O 为B 1C 的中点， 所以点B 1到平面ABC 的距离为217， 故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为217.。
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第二讲圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF１|＋|PF２|＝２a（２a＞|F１F２|）||PF１|—|PF２||＝２a（２a＜|F１F２|）|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）y２＝２px（p＞0）图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥a x≥0顶点（±a,0）（0，±b）（±a,0）（0,0）对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点（±c,0）（错误!，0）轴长轴长２a，短轴长２b实轴长２a，虚轴长２b离心率e＝错误!＝错误!（0＜e＜１）e＝错误!＝错误!（e＞１）e＝１准线x＝—错误!渐近线y＝±错误!x１．（２0１３·课标全国Ⅱ）设抛物线C：y２＝２px（p>0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝５，若以MF为直径的圆过点（0,２），则C的方程为（）Ａ．y２＝４x或y２＝8xＢ．y２＝２x或y２＝8xＣ．y２＝４x或y２＝１6xＤ．y２＝２x或y２＝１6x答案C解析由题意知：F错误!，抛物线的准线方程为x＝—错误!，则由抛物线的定义知，x M＝５—错误!，设以MF为直径的圆的圆心为错误!，所以圆的方程为错误!２＋错误!２＝错误!，又因为圆过点（0,２），所以y M＝４，又因为点M在C上，所以１6＝２p错误!，解得p＝２或p＝8，所以抛物线C的方程为y２＝４x或y２＝１6x，故选Ｃ．２．（２0１３·课标全国Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则C 的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±x答案C解析由e＝错误!＝错误!知，a＝２k，c＝错误!k（k∈R＋），由b２＝c２—a２＝k２知b＝k.所以错误!＝错误!.即渐近线方程为y＝±错误!x.故选Ｃ．３．（２0１３·山东）抛物线C１：y＝错误!x２（p>0）的焦点与双曲线C２：错误!—y２＝１的右焦点的连线交C１于第一象限的点M.若C１在点M处的切线平行于C２的一条渐近线，则p等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析抛物线C１的标准方程为：x２＝２py，其焦点F为错误!，双曲线C２的右焦点F′为（２,0），渐近线方程为：y＝±错误!x.由y′＝错误!x＝错误!得x＝错误!p，故M错误!.由F、F′、M三点共线得p＝错误!.４．（２0１３·福建）椭圆Г：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左，右焦点分别为F１，F２，焦距为２c.若直线y＝错误!（x＋c）与椭圆Г的一个交点M满足∠MF１F２＝２∠MF２F１，则该椭圆的离心率等于________．答案错误!—１解析由直线方程为y＝错误!（x＋c），知∠MF１F２＝60°，又∠MF１F２＝２∠MF２F１，所以∠MF２F１＝３0°，MF１⊥MF２，所以|MF１|＝c，|MF２|＝错误!c，所以|MF１|＋|MF２|＝c＋错误!c＝２a.即e＝错误!＝错误!—１．５．（２0１３·浙江）设F为抛物线C：y２＝４x的焦点，过点P（—１,0）的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝２，则直线l的斜率等于________．答案±１解析设直线l的方程为y＝k（x＋１），A（x１，y１）、B（x２，y２）、Q（x0，y0）．解方程组错误!.化简得：k２x２＋（２k２—４）x＋k２＝0，∴x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝k（x１＋x２＋２）＝错误!.∴x0＝错误!，y0＝错误!.由错误!＝２得：错误!２＋错误!２＝４．∴k＝±１．题型一圆锥曲线的定义与标准方程例１（１）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F２在x轴上，离心率为错误!.过F１的直线l交C于A，B两点，且△ABF２的周长为１6，那么椭圆C的方程为__________．（２）已知P为椭圆错误!＋y２＝１和双曲线x２—错误!＝１的一个交点，F１，F２为椭圆的两个焦点，那么∠F１PF２的余弦值为________．审题破题（１）根据椭圆定义，△ABF２的周长＝４a，又e＝错误!可求方程；（２）在焦点△F１PF２中使用余弦定理．答案（１）错误!＋错误!＝１（２）—错误!解析（１）设椭圆方程为错误!＋错误!＝１，由e＝错误!知错误!＝错误!，故错误!＝错误!.由于△ABF２的周长为|AB|＋|BF２|＋|AF２|＝|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝１6，故a＝４．∴b２＝8．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由椭圆和双曲线的方程可知，F１，F２为它们的公共焦点，不妨设|PF１|>|PF２|，则错误!，所以错误!.又|F１F２|＝２错误!，由余弦定理可知cos∠F１PF２＝—错误!.反思归纳圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF１|＋|PF２|>|F１F２|，双曲线的定义中要求||PF１|—|PF２||<|F１F２|.变式训练１（１）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两个焦点F１，F２，M为双曲线上一点，且满足∠F１MF２＝90°，点M到x轴的距离为错误!.若△F１MF２的面积为１４，则双曲线的渐近线方程为__________．答案y＝±错误!x解析由题意得错误!·２c·错误!＝１４，所以c＝４．又错误!所以a＝错误!，b＝错误!.所以渐近线方程为y＝±错误!x.（２）设斜率为２的直线l过抛物线y２＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为４，则抛物线方程为________．答案y２＝±8x解析抛物线y２＝ax（a≠0）的焦点坐标为错误!，过焦点且斜率为２的直线方程为y＝２错误!，令x＝0得y＝—错误!.∴△OAF的面积为错误!×错误!×错误!＝４，∴a２＝6４，∴a＝±8．∴抛物线方程为y２＝±8x.题型二圆锥曲线的性质例２（１）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y２＝１6x的准线交于A，B两点，|AB|＝４错误!，则C的实轴长为（）Ａ．错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４Ｄ．8（２）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F１，F２，若曲线C上存在点P满足|PF１|∶|F１F２|∶|PF２|＝４∶３∶２，则曲线C的离心率等于（）Ａ．错误!或错误!Ｂ．错误!或２Ｃ．错误!或２Ｄ．错误!或错误!审题破题（１）利用抛物线的几何性质结合方程组求解；（２）由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线，再由离心率的定义即可求解．答案（１）C （２）A解析（１）设C：错误!—错误!＝１．∵抛物线y２＝１6x的准线为x＝—４，联立错误!—错误!＝１和x＝—４得A（—４，错误!），B（—４，—错误!），∴|AB|＝２错误!＝４错误!，∴a＝２，∴２a＝４．∴C的实轴长为４．（２）当曲线C为椭圆时，e＝错误!＝错误!＝错误!；当曲线C为双曲线时，e＝错误!＝错误!＝错误!.反思归纳（１）求椭圆或双曲线的离心率的方法：１直接求出a和c，代入e＝错误!；２建立关于a，b，c的方程或不等式，然后把b用a，c代换．通过解关于错误!的方程或不等式求得离心率的值或范围．（２）研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a、b、c或者建立a、b、c的关系式（等式或不等式），然后根据概念讨论相应的几何性质．变式训练２（１）已知O为坐标原点，双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点为F，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A，B，若（错误!＋错误!）·错误!＝0，则双曲线的离心率e为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析如图，设OF的中点为T，由（错误!＋错误!）·错误!＝0可知AT⊥OF，又A在以OF为直径的圆上，∴A错误!，又A在直线y＝错误!x上，∴a＝b，∴e＝错误!.（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左顶点与抛物线y２＝２px（p>0）的焦点的距离为４，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（—２，—１），则双曲线的焦距为（）Ａ．２错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４错误!Ｄ．４错误!答案B解析由错误!，解得错误!，由题意得错误!，得错误!，又知错误!＋a＝４，故a＝２，b＝１，c＝错误!＝错误!，∴焦距２c＝２错误!.题型三直线与圆锥曲线的位置关系例３已知过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点，斜率为２错误!的直线交抛物线于A（x１，y１），B（x２，y２）（x１<x２）两点，且|AB|＝9．（１）求该抛物线的方程．（２）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若错误!＝错误!＋λ错误!，求λ的值．审题破题（１）联立方程，利用焦点弦公式求解；（２）先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C在抛物线上求解．解（１）直线AB的方程是y＝２错误!（x—错误!），与y２＝２px联立，从而有４x２—５px＋p２＝0，所以x１＋x２＝错误!.由抛物线定义得|AB|＝x１＋x２＋p＝9，所以p＝４，从而抛物线方程是y２＝8x.（２）由p＝４知４x２—５px＋p２＝0可化为x２—５x＋４＝0，从而x１＝１，x２＝４，y１＝—２错误!，y２＝４错误!，从而A（１，—２错误!），B（４,４错误!）．设错误!＝（x３，y３）＝（１，—２错误!）＋λ（４,４错误!）＝（４λ＋１，４错误!λ—２错误!），又y错误!＝8x３，所以[２错误!（２λ—１）]２＝8（４λ＋１），即（２λ—１）２＝４λ＋１，解得λ＝0或λ＝２．反思归纳解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：（１）设方程及点的坐标；（２）联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程（注意二次项系数是否为零）；（３）应用根与系数的关系及判别式；（４）结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．变式训练３已知平面内一动点P到点F（１,0）的距离与点P到y轴的距离的差等于１．（１）求动点P的轨迹C的方程；（２）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l１，l２，设l１与轨迹C相交于点A，B，l２与轨迹C 相交于点D，E，求错误!·错误!的最小值．解（１）设动点P的坐标为（x，y），由题意有错误!—|x|＝１．化简得y２＝２x＋２|x|.当x≥0时，y２＝４x；当x<0时，y＝0．所以，动点P的轨迹C的方程为y２＝４x（x≥0）和y＝0 （x<0）．（２）由题意知，直线l１的斜率存在且不为0，设为k，则l１的方程为y＝k（x—１）．由错误!得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１，x２是上述方程的两个实根，于是x１＋x２＝２＋错误!，x１x２＝１．因为l１⊥l２，所以l２的斜率为—错误!.设D（x３，y３），E（x４，y４），则同理可得x３＋x４＝２＋４k２，x３x４＝１．故错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|＋|错误!|·|错误!|＝（x１＋１）（x２＋１）＋（x３＋１）（x４＋１）＝x１x２＋（x１＋x２）＋１＋x３x４＋（x３＋x４）＋１＝１＋错误!＋１＋１＋（２＋４k２）＋１＝8＋４错误!≥8＋４×２错误!＝１6．当且仅当k２＝错误!，即k＝±１时，错误!·错误!取最小值１6．典例（１４分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点为F（—１,0），且点P（0,１）在C１上．１（１）求椭圆C１的方程；（２）设直线l同时与椭圆C１和抛物线C２：y２＝４x相切，求直线l的方程．规范解答解（１）因为椭圆C１的左焦点为F１（—１,0），所以c＝１．将点P（0,１）代入椭圆方程错误!＋错误!＝１，得错误!＝１，即b＝１，所以a２＝b２＋c２＝２．所以椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１．[４分]（２）由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由错误!消去y并整理得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0．因为直线l与椭圆C１相切，所以Δ１＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）＝0．整理得２k２—m２＋１＝0．１[7分]由错误!消去y并整理得k２x２＋（２km—４）x＋m２＝0．因为直线l与抛物线C２相切，所以Δ２＝（２km—４）２—４k２m２＝0，整理得km＝１．２[１0分]综合１２，解得错误!或错误!所以直线l的方程为y＝错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!. [１４分]评分细则（１）得到b＝１给２分；（２）两个判别式应用中，得到化简后的方程均给１分，判别式等于0没化简不扣分；（３）k、m的值不全扣２分．阅卷老师提醒（１）对于直线和圆锥曲线相切的问题，除曲线为y２＝ax形式的，一般都利用判别式．（２）直线和圆锥曲线是高考热点，判别式、弦长公式、设而不求思想是常用工具．１．（２0１３·四川）抛物线y２＝４x的焦点到双曲线x２—错误!＝１的渐近线的距离是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．错误!答案B解析抛物线y２＝４x的焦点F（１,0），双曲线x２—错误!＝１的渐近线是y＝±错误!x，即错误!x±y ＝0，∴所求距离为错误!＝错误!.选Ｂ．２．（２0１３·湖北）已知0＜θ<错误!，则双曲线C１：错误!—错误!＝１与C２：错误!—错误!＝１的（）Ａ．实轴长相等Ｂ．虚轴长相等Ｃ．焦距相等Ｄ．离心率相等答案D解析双曲线C１：e＝错误!＝错误!，双曲线C２：e＝错误!＝１＋tan２θ＝错误!，∴C１，C２离心率相等．３．已知方程错误!＋错误!＝１表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（１,２）Ｄ．错误!答案C解析由题意可得，２k—１>２—k>0，即错误!解得１<k<２，故选Ｃ．４．（２0１３·江西）抛物线x２＝２py（p>0）的焦点为F，其准线与双曲线错误!—错误!＝１相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.答案6解析因为△ABF为等边三角形，所以由题意知B错误!，代入方程错误!—错误!＝１得p＝6．５．（２0１３·湖南）设F１，F２是双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF１|＋|PF２|＝6a且△PF１F２的最小内角为３0°，则双曲线C的离心率为______．答案错误!解析不妨设|PF１|>|PF２|，则|PF１|—|PF２|＝２a，又∵|PF１|＋|PF２|＝6a，∴|PF１|＝４a，|PF２|＝２a.又在△PF１F２中，∠PF１F２＝３0°，由正弦定理得，∠PF２F１＝90°，∴|F１F２|＝２错误!a，∴双曲线C的离心率e＝错误!＝错误!.6．（２0１３·辽宁）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝１0，|AF|＝6，cos∠ABF＝错误!，则C的离心率e＝________.答案错误!解析如图，在△ABF中，|AB|＝１0，|AF|＝6，且cos∠ABF＝错误!，设|BF|＝m，由余弦定理，得6２＝１0２＋m２—２0m·错误!，∴m２—１6m＋6４＝0，∴m＝8．因此|BF|＝8，AF⊥BF，c＝|OF|＝错误!|AB|＝５．设椭圆右焦点为F′，连接BF′，AF′，由对称性，|BF′|＝|AF|＝6，∴２a＝|BF|＋|BF′|＝１４．∴a＝7，因此离心率e＝错误!＝错误!.专题限时规范训练一、选择题１．（２0１３·广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（３,0），离心率等于错误!，则C的方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由题意知：c＝３，e＝错误!＝错误!，∴a＝２；b２＝c２—a２＝9—４＝５，故所求双曲线方程为错误!—错误!＝１．２．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（２，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为３，则|OM|等于（）Ａ．２错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４Ｄ．２错误!答案B解析由题意设抛物线方程为y２＝２px（p>0），则M到焦点的距离为x M＋错误!＝２＋错误!＝３，∴p＝２，∴y２＝４x.∴y错误!＝４×２＝8，∴|OM|＝错误!＝错误!＝２错误!.３．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左，右焦点分别为F１，F２，过F２作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F２H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．３答案A解析取双曲线的渐近线y＝错误!x，则过F２与渐近线垂直的直线方程为y＝—错误!（x—c），可解得点H的坐标为错误!，则F２H的中点M的坐标为错误!，代入双曲线方程错误!—错误!＝１可得错误!—错误!＝１，整理得c２＝２a２，即可得e＝错误!＝错误!，故应选Ａ．４．设F１、F２分别是双曲线x２—错误!＝１的左、右焦点，若点P在双曲线上，且错误!·错误!＝0，则|错误!＋错误!|等于（）Ａ．错误!Ｂ．２错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!答案B解析如图，由错误!·错误!＝0，可得错误!⊥错误!，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF１QF２为矩形，因为矩形的对角线相等，故有错误!＋错误!|＝|错误!|＝２c＝２错误!，所以选Ｂ．５．已知抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为２的正三角形，则p的值是（）Ａ．２±错误!Ｂ．２＋错误!Ｃ．错误!±１Ｄ．错误!—１答案A解析依题意得F错误!，设P错误!，Q错误!（y１≠y２）．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得错误!＋错误!＝错误!＋错误!，∴y错误!＝y错误!，∴y１＝—y２.又|PQ|＝２，因此|y１|＝|y２|＝１，点P错误!.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝错误!＋错误!＝２，由此解得p＝２±错误!，故选Ａ．6．（２0１３·浙江）如图，F１，F２是椭圆C１：错误!＋y２＝１与双曲线C２的公共焦点，A，B分别是C，C２在第二、四象限的公共点．若四边形AF１BF２为矩形，则C２的离心率是（）１Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析|F１F２|＝２错误!.设双曲线的方程为错误!—错误!＝１．∵|AF２|＋|AF１|＝４，|AF２|—|AF１|＝２a，∴|AF２|＝２＋a，|AF１|＝２—a.在Rt△F１AF２中，∠F１AF２＝90°，∴|AF１|２＋|AF２|２＝|F１F２|２，即（２—a）２＋（２＋a）２＝（２错误!）２，∴a＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｄ．7．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两条渐近线均和圆C：x２＋y２—6x＋５＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析∵双曲线错误!—错误!＝１的渐近线方程为y＝±错误!x，圆C的标准方程为（x—３）２＋y２＝４，∴圆心为C（３,0）．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx—ay＝0与圆C相切，∴错误!＝２，∴５b２＝４a２. １又∵错误!—错误!＝１的右焦点F２（错误!，0）为圆心C（３,0），∴a２＋b２＝9．２由１２得a２＝５，b２＝４．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．8．（２0１２·安徽）过抛物线y２＝４x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝３，则△AOB的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!答案C解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为（１,0），又|AF|＝３，由抛物线定义知：点A到准线x＝—１的距离为３，∴点A的横坐标为２．将x＝２代入y２＝４x得y２＝8，由图知点A的纵坐标y＝２错误!，∴A（２,２错误!），∴直线AF的方程为y＝２错误!（x—１）．联立直线与抛物线的方程错误!解之得错误!或错误!由图知B错误!，∴S△AOB＝错误!|OF|·|y A—y B|＝错误!×１×|２错误!＋错误!|＝错误!错误!.故选Ｃ．二、填空题9．已知F１、F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，过F１的直线交椭圆于A、B两点．若|F２A|＋|F２B|＝１２，则|AB|＝________.答案8解析如图所示，由椭圆定义得|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝２0，又|AF２|＋|BF２|＝１２，所以|AF１|＋|BF１|＝8，即|AB|＝8．１0．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）与双曲线C２：错误!—错误!＝１有相同的渐近线，且C１的右焦点为F（错误!，0），则a＝________，b＝________.答案１２解析与双曲线错误!—错误!＝１有共同渐近线的双曲线的方程可设为错误!—错误!＝λ，即错误!—错误!＝１（λ≠0）．由题意知c＝错误!，则４λ＋１6λ＝５⇒λ＝错误!，则a２＝１，b２＝４．又a>0，b>0，故a＝１，b＝２．１１．设F１、F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6,４），则|PM|＋|PF１|的最大值为________．答案１５解析|PF１|＋|PF２|＝１0，|PF１|＝１0—|PF２|，|PM|＋|PF１|＝１0＋|PM|—|PF２|，易知M点在椭圆外，连接MF２并延长交椭圆于P点，此时|PM|—|PF２|取最大值|MF２|，故|PM|＋|PF１|的最大值为１0＋|MF２|＝１0＋错误!＝１５．１２．过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点F作圆x２＋y２＝错误!的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．答案错误!解析设双曲线的右焦点为F′，由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝２×错误!＝a，故|PF|＝３a，根据勾股定理得|FF′|＝错误!a.所以双曲线的离心率为错误!＝错误!.三、解答题１３．（２0１２·安徽）如图，F １、F２分别是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF２与椭圆C的另一个交点，∠F１AF２＝60°.（１）求椭圆C的离心率；（２）已知△AF１B的面积为４0错误!，求a，b的值．解（１）由题意可知，△AF１F２为等边三角形，a＝２c，所以e＝错误!.（２）方法一a２＝４c２，b２＝３c２，直线AB的方程为y＝—错误!（x—c），将其代入椭圆方程３x２＋４y２＝１２c２，得B错误!，所以|AB|＝错误!·错误!＝错误!c.由S△AF１B＝错误!|AF１|·|AB|·sin∠F１AB＝错误!a·错误!c·错误!＝错误!a２＝４0错误!，解得a＝１0，b＝５错误!.方法二设|AB|＝t.因为|AF２|＝a，所以|BF２|＝t—a.由椭圆定义|BF１|＋|BF２|＝２a可知，|BF１|＝３a—t，再由余弦定理（３a—t）２＝a２＋t２—２at cos 60°可得，t＝错误!a.由S△AF１B＝错误!a·错误!a·错误!＝错误!a２＝４0 错误!知，a＝１0，b＝５错误!.１４．（２0１３·课标全国Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）右焦点的直线x＋y—错误!＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为错误!.（１）求M的方程；（２）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＋错误!＝１１错误!＋错误!＝１２１—２，得错误!＋错误!＝0．因为错误!＝—１，设P（x0，y0），因为P为AB的中点，且OP的斜率为错误!，所以y0＝错误!x0，即y１＋y２＝错误!（x１＋x２）．所以可以解得a２＝２b２，即a２＝２（a２—c２），即a２＝２c２，又因为c＝错误!，所以a２＝6，所以M的方程为错误!＋错误!＝１．（２）因为CD⊥AB，直线AB方程为x＋y—错误!＝0，所以设直线CD方程为y＝x＋m，将x＋y—错误!＝0代入错误!＋错误!＝１得：３x２—４错误!x＝0，即A（0，错误!），B错误!，所以可得|AB|＝错误!；将y＝x＋m代入错误!＋错误!＝１得：３x２＋４mx＋２m２—6＝0，设C（x３，y３），D（x４，y４），则|CD|＝错误!错误!＝错误!错误!，又因为Δ＝１6m２—１２（２m２—6）>0，即—３<m<３，所以当m＝0时，|CD|取得最大值４，所以四边形ACBD面积的最大值为错误!|AB|·|CD|＝错误!.。