弹塑性力学-第二章 应力分析
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000弹塑性力学-应力理论
y 32
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
弹性力学 (2)
平衡方程(不计体力)为
(2-5)
几何方程为 将式(2-6)中的第二式对 r 求一阶导数，得
(2-6)
(2-7)
式(2-7)为应变分量(或位移分量)表示的变形协调方程。 物理方程为
(2-8)
(2-9)
由式(2-8)可得到
将以上两式代入式(2-7)，得到以应力分量表示的变形协调方程
(2-10)
将此式与平衡方程式(2-5)第一式联立求解便可得到应力 分量 r 和 。 二、厚壁圆筒的应力和位移解 厚壁圆筒的应力、应变和位移分量求解一般有两种解法， 即位移法和应力法。
方程．四个几何方程和四个物理方程，求解十个未知量，即四 个应力分量 r , , z , zr ,四个应变分量 r , , z , zr , 和 两个位移分量 u , w 。 对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒体的几何形状、 载荷、支承情况沿 z 轴没有变化，所有垂直于轴线的横截面在 变形后仍保持为平面，则 zr 0, zr 0, 即 u 只决定于 r ．w只 决定于 z ，由此可得
线段PC的线应变为
PA和PC间的直角变化，即切应变为:
在
r
的平面内
由此，空间轴对称的几何方程为
(2-2)
3．物理方程 根据广义虎克定律，微元体的应力应变必须满足下列关系:
(2-3)
或写成
(2-4)
式中 e r z
综上所述，空间轴对称问题共十个基本方程，即两个平衡
(2-22)
(2-23)
②厚壁圆筒仅作用内压( pi 0 , po 0)时
(2-24)
pi 0 ,
po 0
(2-25)
③厚壁圆筒仅作用外压( pi 0 , po 0 )时
(2-5)
几何方程为 将式(2-6)中的第二式对 r 求一阶导数，得
(2-6)
(2-7)
式(2-7)为应变分量(或位移分量)表示的变形协调方程。 物理方程为
(2-8)
(2-9)
由式(2-8)可得到
将以上两式代入式(2-7)，得到以应力分量表示的变形协调方程
(2-10)
将此式与平衡方程式(2-5)第一式联立求解便可得到应力 分量 r 和 。 二、厚壁圆筒的应力和位移解 厚壁圆筒的应力、应变和位移分量求解一般有两种解法， 即位移法和应力法。
方程．四个几何方程和四个物理方程，求解十个未知量，即四 个应力分量 r , , z , zr ,四个应变分量 r , , z , zr , 和 两个位移分量 u , w 。 对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒体的几何形状、 载荷、支承情况沿 z 轴没有变化，所有垂直于轴线的横截面在 变形后仍保持为平面，则 zr 0, zr 0, 即 u 只决定于 r ．w只 决定于 z ，由此可得
线段PC的线应变为
PA和PC间的直角变化，即切应变为:
在
r
的平面内
由此，空间轴对称的几何方程为
(2-2)
3．物理方程 根据广义虎克定律，微元体的应力应变必须满足下列关系:
(2-3)
或写成
(2-4)
式中 e r z
综上所述，空间轴对称问题共十个基本方程，即两个平衡
(2-22)
(2-23)
②厚壁圆筒仅作用内压( pi 0 , po 0)时
(2-24)
pi 0 ,
po 0
(2-25)
③厚壁圆筒仅作用外压( pi 0 , po 0 )时
工程塑性力学(第二章)应变分析、应力分析和屈服条件
或
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
定义了一个量 Σ ，表征该点的应力状态，在坐标系 Oxyz 中。如果变换到另一个 坐标系 Ox ′y′z′
σ′ τ′ x xy τ ′ xz τ′ σ ′y τ ′yz yx τ′ τ′ σ′ zx zy z
仍然表征同一应力状态，仍为 Σ 。在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换 式的 9 个数所定义的量叫做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = −(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（2-11）
应力偏量 S ij 也是一种应力状态，同样也有不变量。进行类似的推导（或将
I1、I 2、I 3 式中的 σ x 、 σ y 和 σ z 分别用 s x 、 s y 和 sz 代替）即得应力偏量的三个不
2 J2 。 3
（2）等效应 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2 1 2 2 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) （2-17） 2 = 3J 2
s xy = τ xy ， s yz = τ yz ， s zx = τ zx ，……
（2-4）
则应力偏张量：
⎡σ x − σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡ s x s xy s xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ y −σm τ yz ⎥ = ⎢ s yx s y s yz ⎥ = S ij = σ ij − σ mδ ij （2-5） ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎢ ⎥ τ zy σz −σm⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s zx s zy s z ⎦ 应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影响 屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很重 要。
塑性力学-应力分析讲义_
S 3 J2S J3 0
(2-17)
求解上式，可得到应力偏张量的 3 个主应力 S1 ， S 2 ， S 3 （主偏应力） 。利用三角 方程求解，设 S i r sin ，带入式(2-17)中，整理得到：
sin 3
J3 J2 sin 3 0 2 r r
(2-16A)
或
J 1 S1 S 2 S 3 0
1 J 2 S1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] (2-16B) 6
J 3 S1 S 2 S 3
称为应力偏张量的不变量。定义广义剪应力 q （等效应力或应力强度 ）为：
I 1 ( 1 2 3 ) I 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) I 3 1 2 3 (2-10B)
2.1.4
应力张量的分解
三个正应力的平均值称为平均应力，并用 m 或 p 表示：
m p ( 11 22 33 )
(2-23A)
或
2 sin( ) 1 p 3 2 2 p q sin p 3 4 3 sin( 3 )
(2-23B)
其中， p = m 为平均应力， q = r 为广义剪应力或应力强度，在岩土力学中，常 以 ( p, q, ) 表示一点的应力状态。
2 S1 sin( 3 ) 2 J 2 sin S 2 3 S 4 3 sin( 3 )
(2-22)
考虑到前面所说的张量分解，应力张量的主应力可表示为：
弹塑性力学第二章
一、P点的正应变
x
(u
u dx) x dx
u
u x
在这里由于小变形，由y
方向位移v所引起的PA的伸缩
是高一阶的微量，略去不计。
o
u P
v
y
P
B v v dy
y
u u dx x
A
A
x
v v dx x
B
u u dy y
图2－5
13
同理可求得：
等厚度薄板，板边承受平 行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面 并且不沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0 τzy = 0
图2－1
3
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变
它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平
面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限
接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。
o
yx y
x
P
A
xy
x
y
B
N
YN
XN
N
S
N
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N 为该面的外
法线方向，其方向余弦为：
x
x
x
dx)
dy 1
x
dy1
(
yx
yx
y
dy)
弹塑性力学习题集 很全有答案
3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ），其主应变
为 ε1 = 1.7 ×10−4 ， ε 2 = 0.4 ×10−4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。 3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。
2—9 已知一点的应力张量为：
50 50 80
σ ij
=
0 − 75MPa
(对称)
− 30
试求外法线
n
的方向余弦为： nx
=
1 2
，ny
=
1 2
， nz
=
1 2
的微斜面上的全应力 Pα
，正
应力 σ α 和剪应力τ α 。
2—10 已知物体的应力张量为：
50 30 − 80
σ ij
=
0 − 30MPa
主应变的表达式。 2—41* 已知如题 2—41 图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为：
εz
=
γz E
,
εx
=εy
=
− νγz E
;
γ xy = γ yz = γ zx = 0;
试求位移分量，式中 γ 为杆件单位体积重量，E、ν 为材料的弹性常数。
2—42 如题 2—42 图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为：ε x = ε y = ε z = γ xy = 0,
2
3
各弹性常数的物理意义。
3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据
单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来
为 ε1 = 1.7 ×10−4 ， ε 2 = 0.4 ×10−4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。 3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。
2—9 已知一点的应力张量为：
50 50 80
σ ij
=
0 − 75MPa
(对称)
− 30
试求外法线
n
的方向余弦为： nx
=
1 2
，ny
=
1 2
， nz
=
1 2
的微斜面上的全应力 Pα
，正
应力 σ α 和剪应力τ α 。
2—10 已知物体的应力张量为：
50 30 − 80
σ ij
=
0 − 30MPa
主应变的表达式。 2—41* 已知如题 2—41 图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为：
εz
=
γz E
,
εx
=εy
=
− νγz E
;
γ xy = γ yz = γ zx = 0;
试求位移分量，式中 γ 为杆件单位体积重量，E、ν 为材料的弹性常数。
2—42 如题 2—42 图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为：ε x = ε y = ε z = γ xy = 0,
2
3
各弹性常数的物理意义。
3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据
单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来
2-1 应力状态分析
Sz=τxzl+τyzm+σzn 即 当斜面为边界时 因此S2=Sx2+Sy2+Sz2 σ= Sxl+Sym+Szn =σxl2+σym2+σxn2+2(τxylm+τyzmn+τxzln) τ2= S2-σ2 重要意义： （1）已知垂直面上的应力，则斜面上的应力可求，反之，可反求; （2）当斜面为外边界时，可利用外力求内力，建立了内外力之间的 关系。
l=0 m=± n=± 此时τ23=±（σ2 -σ3）/2 ，面上有σ=（σ2 +σ3）/2 l=± m=0 n=± 此时τ31=±（σ3–σ1）/2，面上有σ=（σ1 +σ3）/2 l=± m=± n=0 此时τ12=±（σ1–σ2）/2 ，面上有σ=（σ1 +σ2）/2 若σ1>σ2 >σ3则τmax=（σ1 –σ3）/2 此切应力为最大值即最大切应力。
第二章 应力分析
应力：单位面积上的内力。 塑性力学方法：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），
称微元体或单元体，根据单元体静力平衡条件 写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。 满足条件：连续，均质，同性，平衡，无体积力，体积不变。
第一节 外力、应力和点的应力状
态
任意一点的应力状态 —— 整个变形体的应力状态
一 应力分析
外力—— 产生内力的外部力 内力(或应力)―― 在外力的作用下，物体内部之间的平衡力 应力：正应力σ，
切应力τ
应力分析单元体法（三维）
设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得九个应力分 量，可写为矩阵：
作用面 作用方向 张量的定义：满足坐标系转换关系的分量集合 正负号：正面正向、负面负向取正号，正面负向、负面正向取负号。 单元体平衡有：τxy=τyx τxz=τzx τyz=τzy 因此σij=是对称张量
弹塑性力学——应力
x xy xz yx y yz z zx zy
• 张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
• 应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
y
应力分量的坐标变换
• 新旧坐标的夹角 ex
e ' x
ey
m1 m2
ez
n1 n2
l1 l2
ey '
ez'
l3
m3
n3
• e ' 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 x
Tx＝xl1+yxm1+zxn1 Ty＝xyl1+ym1+zyn1 Tz＝xzl1+yzm1+zn1
• 力矩平衡：绕z轴
(xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xy＝yx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx
静力学边界条件
n X A
xl+yxm+zxn＝ X
xyl+ym+zyn＝ Y ＝
xzl+yzm+zn
Z
z y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。
zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
xy x y y zy z Y 0
xz yz z Z 0 x y z
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x’3
e
' 3
e3
e1
e
' 1
e2' e2
x’2 x2
x1
x’1
e i' Q i'je j Q i'1 e 1 Q i'2e 2 Q i'3 e 3
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30
§2-3 应力分量转换公式
e i' Q i'je j Q i'1 e 1 Q i'2e 2 Q i'3 e 3
32
§2-3 应力分量转换公式
九个元素用矩阵表示
Qi'j Q
则新坐标基矢量用旧基矢量表示：
e '
Qe
ei' Qi' jej
2019/9/26
33
§2-3 应力分量转换公式
同理旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示
ei
Qij' e'j
Q ij' e ie 'j coxi,sx'j()
x xe xx yeyx ze z
2019/9/26
16
§2-2 应力矢量和应力张量
ti ijej
沿三个坐标面的应力矢量由九个 元素(分量)表示,
这九个分量组成一个二阶张量：
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
31 32 33 zx zy zz zx zy z
这九个分量的两个下标：第一个表示应力 矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力 矢量的分量的方向。
应力分量的正负：在正面上应力分量指向 坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分 量指向坐标负向为正，反之为负。
2019/9/26
3
§2-1 内力和外力
其中 fx, fy, fz 为沿三个坐标轴分量。 2.外部面力：作用在物体外部表面力
如静水压力、土压力等。 量纲：力/（长度）2。 求物体表面上任意一点P上
x3
F
P
S
受面力仍采用极限方法：
x2
x1
2019/9/26
4
§2-1 内力和外力
lim P S 0 F S F ie i F x i F y j F z k X i Y j Z k
t( n ) n n i ie j j n j je i i
斜面上的应力矢量沿正交坐标系分量：
ti nj ji
2019/9/26
21
§ 2-2
应力矢量和应力张量
t( n ) n n i ie j j n j je i i
定理：作用在过P点任一截面的应力矢量完 全由该点的应力张量线性表出。
第二章 应力分析
§2-1 内力和外力 §2-2 应力矢量和应力张量 §2-3 应力分量转换公式 §2-4 主应力和应力主方向、应力张量
的不变量 §2-5 最大正应力和剪应力 §2-6 应力张量的分解
§2-7 平衡微分方程、力的边界条件
2019/9/26
1
§2-1 内力和外力
1.1 外力：
物体承受外因而导致变形，外因可以是热力 作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作 用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积 力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械
2019/9/26
19
§2-2 应力矢量和应力张量
t(n)
n
[]为一二阶张量，
ijeiej
斜面上的应力矢量 t(n ) 沿正交坐标系分解 t(n) tiei
2019/9/26
20
§2-2 应力矢量和应力张量
根据柯西 公式
t(n) ti ei
引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）
——内力，为了描述物体内任意点P的内力可
采取如下方法：过P点设一个截面S将V分为 两部分：（相互有作用力与反作用力）
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7
§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量 n
F-
V- S-
S
V+ P
F
n+ n-
V+
F+
S+
一部分：V+、S+、外法线
代入上式，并忽略高阶微量
t(n) Stini S0
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
2019/9/26
14
§2-2 应力矢量和应力张量 x3
C
t(n) Stini S0 -t(2)
f -t(1)
n
t(n)
或 t(n) niti
P A
x2 B
-t(3)
x1
展开为 t(n ) t1 n 1 t2 n 2 t3 n 3
的面上的应力矢量t
(
n )；
（2）tn 的大小；（3）tn 与
n的夹角
（4）求t(n)的法向分量 n ；
（5）切向分量 n。
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26
作2.业在：P点两斜面法线向量n1和n2 ，证：
tn 1n2tn2n1（用指标符号证）。
n1
tn1
tn2
n2
n nnnniei
n t(n) n nnniijnj
x l 2 y m 2 z n 2 2 x y l m 2 y z m n 2 z x n l
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24
§2-2 应力矢量和应力张量
ntnntiein
tie in n ie i (tin n i)e i
ntn2n2 titi(ijn inj)2
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25
作业：
1 0 4
1。在物体中一点P的应力张量为
0
4
3 0
05，
求（1）过P点且外法线为
n12e112e2 12e3
（旧）第一个直角坐标系：
x3
e x i
i 1, 2, 3 x’3
i
（新）第二个直角坐标系：
' '
x e i i i 1,2,3 x1
e
'
3
e1
e3
e
' 19/9/26
29
§2-3 应力分量转换公式
x3
ei ei' 1
新坐标基矢量由旧 坐标基矢量表示
九个元素用矩阵表示
Q
i j '
注意
Q i'jQ i'jTQ T
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§2-3 应力分量转换公式
Q i'jQ i'jTQ T
旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示：
e QTe '
ei
Qij' e'j
n
、合力F；
另一部分：V-、S-、外法线 n、合力F；
截面上的合力：F F 或
FF0
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§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量
n
截面上P点上的内力情况，
S V+ P
F
在V+上S面围绕P点取S，
S上合力为F。
lim 应力矢量（作用在V+）：
31 32 33 zx zy zz zx zy z
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§2-2 应力矢量和应力张量
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
A x1
PACn2S, PABn3S,
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
可得
Si niS
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§2-2 应力矢量和应力张量 x3
根据微元体的平衡，得
C
-t(2)
t(n) St(i) Sif V0
P
而
t(i) t(i)ti
A x1
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§2-2 应力矢量和应力张量
下面说明一下[]为张量：
ti ijej
t(n) niti niijej nkijkiej
(n kek)(ijeiej)n
由商法则可知 t(n) n
[]为一二阶张量
柯西公式（Canchy formula）
柯西公式表示了应力张量与任一斜面上应力矢
量关系t(n)
且
t(
n
)是以三个坐标分量表示.
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§2-2 应力矢量和应力张量
n 应力矢量也可沿斜面法向 和切向分解
tn nn
n 其中，斜面法向应力：
n
n
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§2-2 应力矢量和应力张量
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
t ( n ) t ( i) n i t ( 1 ) n 1 t ( 2 ) n 2 t ( 3 ) n 3
t(x)lt(y)m t(z)n
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