弹塑性力学应力函数解法详细讲解
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弹塑性力学应力函数解法详细讲解
1 x y E 1 y y x E 21 代入到本构方程 xy xy E
x
x xy fx 0 x y xy x y y fy 0
f f 2 x y x y
V x V F y y F x
式子中的V为体力势函数。 同样可以引进一个airy函数，使得他满足下面的 关系式 2 x V 2
y
此时微分方程自动满足
y
xy
2 V x 2 2 xy
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弹塑性平面问题的应力函数解法
相容方程可简化为
( x y ) 0
2
引进函数 ，使得它 满足如下的关系式
x, y
2 2 4 0 4 x x y y
4 4 4
x 2 / y 2 y 2 / x 2 xy 2 / xy
其中是拉普拉 斯算子
2 2 2 x 2 y 2 z 2
• 将airy函数代入平衡微 分方程，则平衡方程 自动满足，代入应变 协调方程 得到
上式可简化为
0
4 2 2
弹塑性平面问题的应力函数解法
2. 体力为有势的情况 即 代入平面微分方程化为
( x V ) xy 0 x y xy ( y V ) 0 x y
Z
将上式 代入本构方程得平 面 方程
应力问题中的物理方程即
1 x y E 1 y y x E
应变问题中的物理
x
1 xy G E 其中G 21
xy
1 2 x ( x y) E 1 1 2 y ( y x) E 1 21 xy xy E z xz yz 0
2-弹塑性力学-应力分析
正应力 剪应力
1 1 3 3 1 τ8 = (σ1 σ 2 )2 + (σ 2 σ 3 )2 + (σ 3 σ1 )2 3
σ 8 = (σ1 + σ 2 + σ 3 ) = I1
总应力
2 2 P = σ8 +τ8 8
八面体上的正应力与塑性变形无关,剪应力与塑性变形有关. 八面体上的正应力与塑性变形无关,剪应力与塑性变形有关.
不计体力) (不计体力)
物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 对弹性变形和塑性变形均适用. 对弹性变形和塑性变形均适用.
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
推导原理:
– 静力平衡条件: 静力平衡条件: –
σ I1σ + I2σ I3 = 0
3 2
(σ3 I1σ2 I2σ I3 = 0)
(σ σ1)(σ σ2)(σ σ3) = 0
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
应力不变量
式中
I1 = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3
σx I2 = τ yx
τ xy σ y + σ y τ zy
r r r Sn = σ n + τ n r r r r σn = σ x +σ y +σ z r r r r τn = τ x +τ y +τ z
或者
σ = σ l l ij i j n S n = σ ij l i 2 2 τ n = S n σ n
(求和约定的缩写形式) 求和约定的缩写形式) 应力平衡微分方程
1 1 3 3 1 τ8 = (σ1 σ 2 )2 + (σ 2 σ 3 )2 + (σ 3 σ1 )2 3
σ 8 = (σ1 + σ 2 + σ 3 ) = I1
总应力
2 2 P = σ8 +τ8 8
八面体上的正应力与塑性变形无关,剪应力与塑性变形有关. 八面体上的正应力与塑性变形无关,剪应力与塑性变形有关.
不计体力) (不计体力)
物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 对弹性变形和塑性变形均适用. 对弹性变形和塑性变形均适用.
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
推导原理:
– 静力平衡条件: 静力平衡条件: –
σ I1σ + I2σ I3 = 0
3 2
(σ3 I1σ2 I2σ I3 = 0)
(σ σ1)(σ σ2)(σ σ3) = 0
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
应力不变量
式中
I1 = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3
σx I2 = τ yx
τ xy σ y + σ y τ zy
r r r Sn = σ n + τ n r r r r σn = σ x +σ y +σ z r r r r τn = τ x +τ y +τ z
或者
σ = σ l l ij i j n S n = σ ij l i 2 2 τ n = S n σ n
(求和约定的缩写形式) 求和约定的缩写形式) 应力平衡微分方程
3.9 应力函数解法
应力函数法既保留了应力解法的优点能直接求解应力分量又吸收了位移解法的思想能自动满足平衡方程基本未知量降为3个所以是弹性理论中最常用的解法之一
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
应力函数解法
应力函数的引出： 应变 6 个分量可由协调方程约束后，化为独立的 3 个分量，相当于 3 个位移（单 值连续）； 应力 6 个分量可由平衡方程约束后，也可独立出 3 个分量，它也一定存在类似位 移的事先满足平衡方程的量。下面来寻找这个量：
(**)
=
Φ ,=
Φ, +
Φ,
+
Φ, +
Φ,
+
Φ, +
Φ,
= −Φ , + Φ , + Φ , = − , + , + , = − , + , + , ,
Email: onexf@
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
对于二维平面弹性问题，可进一步简化。若选 1 个Φ 分量作为应力函数： 若令 Maxwell 量为： = = 0； = Φ( , ) 这就是平面问题中的 G.B. Airy 应力函数（最早的应力函数）。 若令 Morera 量为： = Φ( , )； = = 0 这就是柱形杆扭转问题中的 Prandtl 应力函数
=
,
(其中：Φ = Φ )
(2)
ΦΦΦ
[Φ] =
ΦΦ
Φ
场函数 称为 Beltrami 应力函数张量，它自动满足平衡方程。 将(2)式代入常体力的 B-M 方程（3 个）来求解，得：
∇
,+
, , =0
(3)
Email: onexf@
使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
应力函数解法
应力函数的引出： 应变 6 个分量可由协调方程约束后，化为独立的 3 个分量，相当于 3 个位移（单 值连续）； 应力 6 个分量可由平衡方程约束后，也可独立出 3 个分量，它也一定存在类似位 移的事先满足平衡方程的量。下面来寻找这个量：
(**)
=
Φ ,=
Φ, +
Φ,
+
Φ, +
Φ,
+
Φ, +
Φ,
= −Φ , + Φ , + Φ , = − , + , + , = − , + , + , ,
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使用教材：《材料固体力学》上册 周益春编著 科学出版社
对于二维平面弹性问题，可进一步简化。若选 1 个Φ 分量作为应力函数： 若令 Maxwell 量为： = = 0； = Φ( , ) 这就是平面问题中的 G.B. Airy 应力函数（最早的应力函数）。 若令 Morera 量为： = Φ( , )； = = 0 这就是柱形杆扭转问题中的 Prandtl 应力函数
=
,
(其中：Φ = Φ )
(2)
ΦΦΦ
[Φ] =
ΦΦ
Φ
场函数 称为 Beltrami 应力函数张量，它自动满足平衡方程。 将(2)式代入常体力的 B-M 方程（3 个）来求解，得：
∇
,+
, , =0
(3)
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弹塑性力学——应力
x xy xz yx y yz z zx zy
• 张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
• 应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
y
应力分量的坐标变换
• 新旧坐标的夹角 ex
e ' x
ey
m1 m2
ez
n1 n2
l1 l2
ey '
ez'
l3
m3
n3
• e ' 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 x
Tx＝xl1+yxm1+zxn1 Ty＝xyl1+ym1+zyn1 Tz＝xzl1+yzm1+zn1
• 力矩平衡：绕z轴
(xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xy＝yx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx
静力学边界条件
n X A
xl+yxm+zxn＝ X
xyl+ym+zyn＝ Y ＝
xzl+yzm+zn
Z
z y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。
zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
xy x y y zy z Y 0
xz yz z Z 0 x y z
弹塑性力学应力分析
解之 将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
二. 最大和最小应力
3 z
3
设一点的主应力及其主方向已知，现以 三主方向取Oxyz坐标，如图所示 设任一斜截面N，其方向余弦为l1、l2、l3 2
则由斜截面正应力公式 及
1x
N
12
N
O
y2
1
主应力单元体
3
求极值
解之 同理，将
xxyy ( x 12))22 x2x2yy
xxyy ( y 12))22 x2x2yy
ll33((21) 0
设 为第一主方向与x轴的夹角
则由三角函数关系可得
例2-2 已知弹性体内部某点的 应力状态为
a 0 a
ij
0
a
0
a 0
a 0 a
求主应力和主方向。
解：不变量的计算
代入特征方程
C zx pz
yx
xy
xz
x
zy yz
N
pN y
设斜截面上全应力为：
O y
yz
x
zy
xz xy zx
yzp y
B
y
沿坐标的分量为：
px
A
z
x
简写为：
设四面体斜面的面积为：
则三个直面的面积为：
简写为：
考虑四面体微元的平衡
X 0 Y 0
pxdSN xdSx yxdSy zxdSz 0 pydSN xydSx ydSy zydSz 0
将 向外法线和斜面分解为 和 。
则
即
将Cauchy定理代入：
展开整理得：
弹塑性力学讲义应力
第1章 应 力1. 1 应力矢量物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。
对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。
如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。
考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。
设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为∆S ，作用在微面上的内力合力为∆F ，则该微面上的平均内力集度为∆F /∆S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为T (n ) =SFs ∆∆∆0lim→B∆SACPn ∆Fxyz图1.1 应力矢量定义在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z（1.1）式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。
上篇弹性力学第1章应力8除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x、T y 和T z。
实际应用中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。
显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。
所有这些应力矢量构成该点的应力状态。
由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n微面上的应力矢量为：T(-n)= -T(n) （1.2）1.2 应力张量人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。
在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。
弹塑性力学课件
应力分析 应变分析 应力应变关系
.
第三讲：应力应变分析
. 弹塑性力学研究生核心课程 任晓丹
同济大学建筑工程系
October 10, 2016
任晓丹
第三讲：应力应变分析
应力分析 应变分析 应力应变关系
EulerCauchy 应力原理
Ti
( n)
= lim
∆Fi dFi = ∆s→0 ∆S dS
任晓丹
任晓丹 第三讲：应力应变分析
σij − σδij = 0
应力分析 应变分析 应力应变关系
应力偏量
定义静水应力： 1 1 1 σm = Tr(σ ) = σii = (σ1 + σ2 + σ3 ) 3 3 3 应力偏量定义为： sij = σij − σm δij 应力偏量表示纯剪应力状态，对于很多材料，是其重要的破 坏控制机制，所以应力偏量应用十分广泛。 J1 、J2 和 J3 分别称为应力偏张量的第一、第二、第三不变 量。由于 J1 = 0，因此，一点的应力状态也可以用 I1 、J2 和 J3 表示。
任晓丹
第三讲：应力应变分析
应力分析 应变分析 应力应变关系
（第二）平衡方程
合力矩为零 ∫ MO = ∫∂ Ω =
∂Ω
∫ r × TdS + ϵijk xj Tn k dS +
Ω
∫
r × FdΩ ϵijk xj Fk dΩ = 0
Ω
第一项 ∫ R1 =
∂Ω
∫ ϵijk xj σmk nm dS =
Ω
′ ′ βki tk = σij nl βlj ⇒ βmi βki tk = δmk tk = tm = βmi σij nl βlj
应力转轴公式 (张量表达)
.
第三讲：应力应变分析
. 弹塑性力学研究生核心课程 任晓丹
同济大学建筑工程系
October 10, 2016
任晓丹
第三讲：应力应变分析
应力分析 应变分析 应力应变关系
EulerCauchy 应力原理
Ti
( n)
= lim
∆Fi dFi = ∆s→0 ∆S dS
任晓丹
任晓丹 第三讲：应力应变分析
σij − σδij = 0
应力分析 应变分析 应力应变关系
应力偏量
定义静水应力： 1 1 1 σm = Tr(σ ) = σii = (σ1 + σ2 + σ3 ) 3 3 3 应力偏量定义为： sij = σij − σm δij 应力偏量表示纯剪应力状态，对于很多材料，是其重要的破 坏控制机制，所以应力偏量应用十分广泛。 J1 、J2 和 J3 分别称为应力偏张量的第一、第二、第三不变 量。由于 J1 = 0，因此，一点的应力状态也可以用 I1 、J2 和 J3 表示。
任晓丹
第三讲：应力应变分析
应力分析 应变分析 应力应变关系
（第二）平衡方程
合力矩为零 ∫ MO = ∫∂ Ω =
∂Ω
∫ r × TdS + ϵijk xj Tn k dS +
Ω
∫
r × FdΩ ϵijk xj Fk dΩ = 0
Ω
第一项 ∫ R1 =
∂Ω
∫ ϵijk xj σmk nm dS =
Ω
′ ′ βki tk = σij nl βlj ⇒ βmi βki tk = δmk tk = tm = βmi σij nl βlj
应力转轴公式 (张量表达)
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
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V x V F y y F x
式子中的V为体力势函数。 同样可以引进一个airy函数，使得他满足下面的 关系式 2 x V 2
y
此时微分方程自动满足
y
xy
2 V x 2 2 xy
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弹塑性平面问题的应力函数解法
Z
将上式 代入本构方程得平 面 方程
应力问题中的物理方程即
1 x y E 1 y y x E
应变问题中的物理
x
1 xy G E 其中G 21
xy
1 2 x ( x y) E 1 1 2 y ( y x) E 1 21 xy xy E z xz yz 0
E∕(1-υ^2)，υ换为υ∕(1-υ)，就
- - x y
2 2 x y 2 y
x
21
2 x
xy y
得到平面
应变物理方程
将平 使它只包含正应力而不包含切应力。 为此将下式平衡微分方程对x y 求 导
2.或者用应力函数表示体积力势为常数的情 况----
2 2 l1 l2 X y 2 xy 2 2 2 l1 2 l2 Y y x
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热烈欢迎
吕龙生同学
• 将它代入应变协调方程得
4 (1 v) 2V
• 上式就是有势体力作用下弹性平面问题要 求满足的基本方程。
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弹塑性平面问题的应力函数解法
上面我们讲到了体积力不同，会产生的两种 不同的方程。对于同是外力的面积力我们也 是要求求解的。特别是对于边界条件而言， 研究应力函数的时候，也需要将静力边界条 件给出。 1.有体积力势的情况 --- xl1 xy l2 X yx l1 y l2 Y
相容方程可简化为
( x y ) 0
2
引进函数 ，使得它 满足如下的关系式
x, y
2 2 4 0 4 x x y y
4 4 4
x 2 / y 2 y 2 / x 2 xy 2 / xy
2 2 2 2 2 xy y x 2 y 2 x x
求导后然后相加，注意到xy 面的切应力等于yx面的切应 力所以得
y
1.考虑体力是长量的情况 • 采用应力法求解弹性平面问题的一-特殊解法---应力函数求解法 • 在不计体积力的时候即Fx和Fy等于0， 弹性平面问题满足的平衡微分方程可 化简为
将上式代入到
其中是拉普拉 斯算子
2 2 2 x 2 y 2 z 2
• 将airy函数代入平衡微 分方程，则平衡方程 自动满足，代入应变 协调方程 得到
上式可简化为
0
4 2 2
弹塑性平面问题的应力函数解法
2. 体力为有势的情况 即 代入平面微分方程化为
( x V ) xy 0 x y xy ( y V ) 0 x y
报告人：01031
弹塑性平面问题的应力函数解法
弹性力学的基本解 法
位移法
应力法.
应力函数需要满足 哪些条件呢
应力法
平衡条件 几何条件
本构条件
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弹塑性平面问题的应力函数解法
有面积力 有体积力
总述方向
无体积力 无面积力
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在平面问题中 =0，带入到本构方程得平面
平面问题中，因为物体各点都不沿z 方向移动，所哟在z方向线段都没有 伸缩，即 0 所以
Z
Z x y
通过上式可以看出，两种平 面问题的物理方程是不一样 的。然而，如果在平面应
2
2 2 2 x y xy 2 得 y 2 x xy
力问题的物理方程将E换为
- - 21 x y
2 2 2 2 x y 2 y x x
xy y
xy x 0 0 x y xy y 0 0 x y
得相容方程
2 x y
f x f y 1 x y
1 x y E 1 y y x E 21 代入到本构方程 xy xy E
x
x xy fx 0 x y xy x y y fy 0
f f 2 x y x y